A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
15 pág.
apresentação conjuntos

Pré-visualização | Página 1 de 2

1
CONJUNTOS 
E 
INTERVALOS
Estácio de Sá – Prof Iran Aragão
Representação de Conjuntos
Para representar um conjunto, usaremos duas chaves,
escrevendo entre elas uma propriedade característica
de seus elementos ou escrevendo cada um desses
elementos.
Exemplos:
a) A = {vogais do alfabeto} ou A = {a, e, i, o, u}
b) B = {números pares entre 1 e 7} ou B = {2, 4, 6}
c) C = {letras da palavra banana} ou C = {b, n, a}
No conjunto não se deve repetir os elementos iguais.
Observe, no conjunto C, que:
Estácio de Sá – Prof Iran Aragão
2
- Podemos, ainda, representar um conjunto colocando os seus
elementos dentro de uma linha fechada que não se entrelaça
(diagrama de Venn).
Exemplos:
- Num conjunto é permitido substituir elementos por
reticências, desde que isto não prejudique a compreensão.
Exemplos:
a){0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} = {0, 2, 4,..., 12, 14}
b){números ímpares entre 0 e 20} = {1, 3, 5, 7, 9, ...,17, 19}
c){números pares} = {0, 2, 4, 6, ...}
•a
•e •i
•o•u
A
•2 •4
•6
B
•b •n
•a
C
Estácio de Sá – Prof Iran Aragão
Conjunto Unitário
Exemplos: 
a) A = {números pares inteiros maiores que 1 e menores 
que 3}
b) B = {dias da semana que começam pela letra d}
Temos: A = {2} e B = {domingo}
Conjunto Vazio
{ } ou Ø.
Exemplos:
a) A = {dias da semana que começam pela letra y}
b) B = {meses do ano que têm 35 dias}
Temos:
A = Ø e B = Ø
É aquele que não possui nenhum elemento. É representado por
É aquele que tem um só elemento.
Errado escrever: {Ø}
3
Relação de Pertinência
Seja o conjunto das vogais:
M = {a, e, i, o, u}
Observe que:
• a pertence ao conjunto M  a  M.
 b não pertence ao conjunto M  b M.
Outros exemplos: 
a) 5  {1, 2, 5} c) a  {a, b}
b) 6  {1, 2, 5} d) m  {a, b}
Os símbolos  e  são usados para relacionar
elemento e conjunto.
•a •e
•o•u
•i
M
Relação de Inclusão


Sejam A = {1, 2} e B = {1, 2, 3, 4, 5}:
• A  B, pois em A não existe nenhum elemento que não 
pertença ao conjunto B.
 Em outras palavras todos os elementos de A pertencem 
a B.
Outros exemplos: 
a) {2, 5}  {1, 2, 5} c) {a, c}  {a, b}
b) {1, 2, 5}  {1}
Os símbolos , ,  e  são usados para
relacionar conjuntos.
 está contido 
 contém
4
Subconjuntos
Um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B, se todos
os elementos de A forem também elementos de B.
Dizemos, então, que A é subconjunto de B ou que A está
contido em B e indicaremos por: A  B
Exemplos: 
a) Se A = {1, 2} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, então A  B, pois todos os
elementos de A pertencem a B.
A
•1
•2
B
•3
•5
•4b) {m}  {a, m, c}
c) {2, 3, 4}  {1, 2, 3, 4,...}
Estácio de Sá – Prof Iran Aragão
- Indicaremos que um conjunto “A não está contido em B” por 
A  B.
Exemplos:
a) {5, 6}  {5, 7, 9}
b) {a}  {b, c}
- Se “A está contido em B”, podemos dizer que “B contém A” e
indicar por B  A.
Exemplos:
a) {a, b}  {a, b, c}, então {a, b, c}  {a, b}
b) {3, 8, 5}  {3, 8, 5, 6, 2}, então {3, 8, 5, 6, 2}  {3, 8, 5}
Indicaremos que “A não contém B” por A  B.
Estácio de Sá – Prof Iran Aragão
5
Conjunto das Partes
• O conjunto formado por todos os subconjuntos de um
conjunto é determinado conjunto das partes deste conjunto,
sendo indicado por P(A), sendo A um conjunto qualquer.
• Dado um conjunto A = {2, 4, 6}, teremos como conjunto das
partes de A com 2n elementos, sendo n o número de
elementos do conjunto A. No exemplo n = 3, pois o conjunto
A tem 3 elementos, logo, n(P(A)) = 8, pois 23 = 8.
P(A) = {, {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2,4,6}}
• É importante lembrar que: o conjunto das partes é formado
por todas as combinações possíveis entre os elementos do
conjunto mais o conjunto vazio, já que adota-se, por
convenção, que para todo conjunto A, tem-se que   A;
• Logo pode-se dizer que:   P(A) e   P(A), {2}  P(A) e
{2, 6}  P(A).
Estácio de Sá – Prof Iran Aragão
Interseção de conjuntos
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos
elementos que pertencem a A e também pertencem a B.
O símbolo  indica interseção.
A  B = {x/x  A e x  B}
Exemplos:
a) {a, b, c}  {b, c, d} = {b, c}
b) {1, 5}  {1, 4, 5} = {1, 5}
c) {2, 4}  {7} = 
- Quando a interseção de dois conjuntos é vazia, como no
último exemplo, dizemos que os conjuntos são disjuntos.
A
B
A
B
A B
Estácio de Sá – Prof Iran Aragão
6
Exemplo: 
A = {1, 4, 5}
B = {1, 2, 5}
C = {1, 3, 5, 7}
Então : A  B  C = {1, 5}
•4 •2
•3 •7
•5
•1
- O conjunto interseção de três ou mais conjuntos é formado 
pelos elementos comuns a esse conjunto.
Conjunto Disjuntos
Dois conjuntos A e B são disjuntos se a sua interseção é
vazia, isto é, não possui nenhum elemento. Em outras palavras, A e
B são disjuntos se somente se A  B = Ø. Por exemplo, se
A = {1, 3, 5} e B = {2, 4, 6, 8}, então A  B = Ø.
A B
CEstácio de Sá – Prof Iran Aragão
c) {2, 5}  {1} = {1, 2, 5}
 Você verificou, nos exemplos, que o conjunto união é
formado pelos elementos de A e B sem repetição dos mesmos.
A
B
A
B
a) {2, 3, 4}  {3, 5} = {2, 3, 4, 5}
b) {a, b}  {a, b, c} = {a, b, c}
A
B
União de conjuntos
A união dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos
elementos que pertencem ao A ou ao B.
O símbolo  indica união.
A  B = {x/x  A ou x  B}
Estácio de Sá – Prof Iran Aragão
7
Exemplos:
A = {1, 5}
B = {1, 2, 3}
C = {3, 4}
Então: A  B  C = {1, 2, 3, 4, 5}
NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE CONJUNTOS
 O conjunto união de três ou mais conjuntos é formado por
todos os elementos pertencentes a esses conjuntos.
Se A é um conjunto finito, designamos por n(A) o número de
elementos de A. Por exemplo, se A = {0, 1, 5}, então n(A) = 3.
Para determinar o número de elementos da reunião de dois
conjuntos A e B, dividimos o problema em dois casos:
Estácio de Sá – Prof Iran Aragão
1° caso: A e B são disjuntos, n(A  B) = 0. Neste caso, :
Se A = {0, 1, 5}, então n(A) = 3, e B = {2, 4, 6, 8} com
n(B) = 4. Então A  B = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 8} e
n(A  B) = 3 + 4 = 7
2° caso: A e B não são disjuntos. Neste caso, quando
somamos n(A) com n(B), contamos os elementos de A  B duas
vezes portanto:
n(A  B) = n(A) + n(B)
Se A = {0, 1, 4, 5, 6}, então n(A) = 5, e B = {2, 4, 6, 8}
com n(B) = 4, tem-se n(A  B) = 2. Então A  B = {0, 1, 2, 4,
5, 6, 8} e
n(A  B) = 5 + 4 – 2 = 7
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)
8
Exemplos:
A = {1, 5}
B = {1, 2, 3}
C = {3, 4}
Então: A  B  C = {1, 2, 3, 4, 5}
 O conjunto união de três ou mais conjuntos é formado
por todos os elementos pertencentes a esses conjuntos.
Estácio de Sá – Prof Iran Aragão
EXERCÍCIOS
9
• Sabendo que A = {1, 2, {1, 2}, {3}, }, responda se as 
afirmativas são verdadeiras ou falsas:
Elementos de A : 1A ( ) {3}A ( )
2A ( ) {3}A ( )
3A ( )  A ( )
{1, 2}A ( )  A ( )
{1, 2}A ( ) {{3}}A ( )
Estácio de Sá – Prof Iran Aragão
• Sabendo que A = {1, 2, {1, 2}, {3}, }, responda se as 
afirmativas são verdadeiras ou falsas:
Elementos de A : 1
2
{1, 2}
{3}

1A (V) {3}A (F)
2A (V) {3}A (V)
3A (F)  A (V)
{1, 2}A (V)  A (V)
{1, 2}A (V) {{3}}A (V)
Estácio de Sá – Prof Iran Aragão
10
Considere os conjuntos:
A={0,3,5,7,9} C={0,2,3,6,8,9}
B={1,3,4,7, 8, 9} D={0, 3, 8,10}
a) (A  B)
d) (A  B)  C
f) A  (B  D)
b) (A  B)  C
c) (A  B)
e) (B  D)
Estácio de Sá – Prof Iran Aragão
Considere os conjuntos:
A={0,3,5,7,9} C={0,2,3,6,8,9}
B={1,3,4,7, 8, 9} D={0, 3, 8,10}
a) (A  B)
{0,3,5,7,9}  {1,3,4,7,8,9}
= {3,7,9}
d) (A  B)  C
{0,1,3,4,5,7,8,9} {0,2,3,6,8,9} 
= {0,3,8,9}
f) A  (B  D)
{0,3,5,7,9}