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1 CONJUNTOS E INTERVALOS Estácio de Sá – Prof Iran Aragão Representação de Conjuntos Para representar um conjunto, usaremos duas chaves, escrevendo entre elas uma propriedade característica de seus elementos ou escrevendo cada um desses elementos. Exemplos: a) A = {vogais do alfabeto} ou A = {a, e, i, o, u} b) B = {números pares entre 1 e 7} ou B = {2, 4, 6} c) C = {letras da palavra banana} ou C = {b, n, a} No conjunto não se deve repetir os elementos iguais. Observe, no conjunto C, que: Estácio de Sá – Prof Iran Aragão 2 - Podemos, ainda, representar um conjunto colocando os seus elementos dentro de uma linha fechada que não se entrelaça (diagrama de Venn). Exemplos: - Num conjunto é permitido substituir elementos por reticências, desde que isto não prejudique a compreensão. Exemplos: a){0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} = {0, 2, 4,..., 12, 14} b){números ímpares entre 0 e 20} = {1, 3, 5, 7, 9, ...,17, 19} c){números pares} = {0, 2, 4, 6, ...} •a •e •i •o•u A •2 •4 •6 B •b •n •a C Estácio de Sá – Prof Iran Aragão Conjunto Unitário Exemplos: a) A = {números pares inteiros maiores que 1 e menores que 3} b) B = {dias da semana que começam pela letra d} Temos: A = {2} e B = {domingo} Conjunto Vazio { } ou Ø. Exemplos: a) A = {dias da semana que começam pela letra y} b) B = {meses do ano que têm 35 dias} Temos: A = Ø e B = Ø É aquele que não possui nenhum elemento. É representado por É aquele que tem um só elemento. Errado escrever: {Ø} 3 Relação de Pertinência Seja o conjunto das vogais: M = {a, e, i, o, u} Observe que: • a pertence ao conjunto M a M. b não pertence ao conjunto M b M. Outros exemplos: a) 5 {1, 2, 5} c) a {a, b} b) 6 {1, 2, 5} d) m {a, b} Os símbolos e são usados para relacionar elemento e conjunto. •a •e •o•u •i M Relação de Inclusão Sejam A = {1, 2} e B = {1, 2, 3, 4, 5}: • A B, pois em A não existe nenhum elemento que não pertença ao conjunto B. Em outras palavras todos os elementos de A pertencem a B. Outros exemplos: a) {2, 5} {1, 2, 5} c) {a, c} {a, b} b) {1, 2, 5} {1} Os símbolos , , e são usados para relacionar conjuntos. está contido contém 4 Subconjuntos Um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B, se todos os elementos de A forem também elementos de B. Dizemos, então, que A é subconjunto de B ou que A está contido em B e indicaremos por: A B Exemplos: a) Se A = {1, 2} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, então A B, pois todos os elementos de A pertencem a B. A •1 •2 B •3 •5 •4b) {m} {a, m, c} c) {2, 3, 4} {1, 2, 3, 4,...} Estácio de Sá – Prof Iran Aragão - Indicaremos que um conjunto “A não está contido em B” por A B. Exemplos: a) {5, 6} {5, 7, 9} b) {a} {b, c} - Se “A está contido em B”, podemos dizer que “B contém A” e indicar por B A. Exemplos: a) {a, b} {a, b, c}, então {a, b, c} {a, b} b) {3, 8, 5} {3, 8, 5, 6, 2}, então {3, 8, 5, 6, 2} {3, 8, 5} Indicaremos que “A não contém B” por A B. Estácio de Sá – Prof Iran Aragão 5 Conjunto das Partes • O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto é determinado conjunto das partes deste conjunto, sendo indicado por P(A), sendo A um conjunto qualquer. • Dado um conjunto A = {2, 4, 6}, teremos como conjunto das partes de A com 2n elementos, sendo n o número de elementos do conjunto A. No exemplo n = 3, pois o conjunto A tem 3 elementos, logo, n(P(A)) = 8, pois 23 = 8. P(A) = {, {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2,4,6}} • É importante lembrar que: o conjunto das partes é formado por todas as combinações possíveis entre os elementos do conjunto mais o conjunto vazio, já que adota-se, por convenção, que para todo conjunto A, tem-se que A; • Logo pode-se dizer que: P(A) e P(A), {2} P(A) e {2, 6} P(A). Estácio de Sá – Prof Iran Aragão Interseção de conjuntos A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e também pertencem a B. O símbolo indica interseção. A B = {x/x A e x B} Exemplos: a) {a, b, c} {b, c, d} = {b, c} b) {1, 5} {1, 4, 5} = {1, 5} c) {2, 4} {7} = - Quando a interseção de dois conjuntos é vazia, como no último exemplo, dizemos que os conjuntos são disjuntos. A B A B A B Estácio de Sá – Prof Iran Aragão 6 Exemplo: A = {1, 4, 5} B = {1, 2, 5} C = {1, 3, 5, 7} Então : A B C = {1, 5} •4 •2 •3 •7 •5 •1 - O conjunto interseção de três ou mais conjuntos é formado pelos elementos comuns a esse conjunto. Conjunto Disjuntos Dois conjuntos A e B são disjuntos se a sua interseção é vazia, isto é, não possui nenhum elemento. Em outras palavras, A e B são disjuntos se somente se A B = Ø. Por exemplo, se A = {1, 3, 5} e B = {2, 4, 6, 8}, então A B = Ø. A B CEstácio de Sá – Prof Iran Aragão c) {2, 5} {1} = {1, 2, 5} Você verificou, nos exemplos, que o conjunto união é formado pelos elementos de A e B sem repetição dos mesmos. A B A B a) {2, 3, 4} {3, 5} = {2, 3, 4, 5} b) {a, b} {a, b, c} = {a, b, c} A B União de conjuntos A união dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao A ou ao B. O símbolo indica união. A B = {x/x A ou x B} Estácio de Sá – Prof Iran Aragão 7 Exemplos: A = {1, 5} B = {1, 2, 3} C = {3, 4} Então: A B C = {1, 2, 3, 4, 5} NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE CONJUNTOS O conjunto união de três ou mais conjuntos é formado por todos os elementos pertencentes a esses conjuntos. Se A é um conjunto finito, designamos por n(A) o número de elementos de A. Por exemplo, se A = {0, 1, 5}, então n(A) = 3. Para determinar o número de elementos da reunião de dois conjuntos A e B, dividimos o problema em dois casos: Estácio de Sá – Prof Iran Aragão 1° caso: A e B são disjuntos, n(A B) = 0. Neste caso, : Se A = {0, 1, 5}, então n(A) = 3, e B = {2, 4, 6, 8} com n(B) = 4. Então A B = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 8} e n(A B) = 3 + 4 = 7 2° caso: A e B não são disjuntos. Neste caso, quando somamos n(A) com n(B), contamos os elementos de A B duas vezes portanto: n(A B) = n(A) + n(B) Se A = {0, 1, 4, 5, 6}, então n(A) = 5, e B = {2, 4, 6, 8} com n(B) = 4, tem-se n(A B) = 2. Então A B = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 8} e n(A B) = 5 + 4 – 2 = 7 n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) 8 Exemplos: A = {1, 5} B = {1, 2, 3} C = {3, 4} Então: A B C = {1, 2, 3, 4, 5} O conjunto união de três ou mais conjuntos é formado por todos os elementos pertencentes a esses conjuntos. Estácio de Sá – Prof Iran Aragão EXERCÍCIOS 9 • Sabendo que A = {1, 2, {1, 2}, {3}, }, responda se as afirmativas são verdadeiras ou falsas: Elementos de A : 1A ( ) {3}A ( ) 2A ( ) {3}A ( ) 3A ( ) A ( ) {1, 2}A ( ) A ( ) {1, 2}A ( ) {{3}}A ( ) Estácio de Sá – Prof Iran Aragão • Sabendo que A = {1, 2, {1, 2}, {3}, }, responda se as afirmativas são verdadeiras ou falsas: Elementos de A : 1 2 {1, 2} {3} 1A (V) {3}A (F) 2A (V) {3}A (V) 3A (F) A (V) {1, 2}A (V) A (V) {1, 2}A (V) {{3}}A (V) Estácio de Sá – Prof Iran Aragão 10 Considere os conjuntos: A={0,3,5,7,9} C={0,2,3,6,8,9} B={1,3,4,7, 8, 9} D={0, 3, 8,10} a) (A B) d) (A B) C f) A (B D) b) (A B) C c) (A B) e) (B D) Estácio de Sá – Prof Iran Aragão Considere os conjuntos: A={0,3,5,7,9} C={0,2,3,6,8,9} B={1,3,4,7, 8, 9} D={0, 3, 8,10} a) (A B) {0,3,5,7,9} {1,3,4,7,8,9} = {3,7,9} d) (A B) C {0,1,3,4,5,7,8,9} {0,2,3,6,8,9} = {0,3,8,9} f) A (B D) {0,3,5,7,9} {3,8} ={0,3,5,7,8,9} b) (A B) C {3,7,9} {0,2,3,6,8,9} = {3,9} c) (A B) {0,3,5,7,9} {1,3,4,7,8,9} = {0,1,3,4,5,7,8,9} e) (B D) {1,3,4,7,8,9} {0,3,8,10} ={3,8} Estácio de Sá – Prof Iran Aragão 11 Sendo A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {0, 1, 7, 10}, então: • A B = • A B = Estácio de Sá – Prof Iran Aragão Sendo A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {0, 1, 7, 10}, então: • A B = {0, 10}. • A B = {0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10}. Estácio de Sá – Prof Iran Aragão 12 Em uma cidade, são consumidas 3 tipos de comidas: Italiana, Japonesa e Mineira. Feita uma pesquisa sobre o consumo dessas comidas, foram colhidos os seguintes resultados: a) Quantas pessoas foram consultadas? b) Quantas pessoas consomem apenas 2 tipos de comida? c) Quantas pessoas consomem apenas comida Mineira? d)Quantas pessoas não consomem a comida Japonesa? Min Ital Jap Em uma cidade, são consumidas 3 tipos de comidas: Italiana, Japonesa e Mineira. Feita uma pesquisa sobre o consumo dessas comidas, foram colhidos os seguintes resultados: a) Quantas pessoas foram consultadas? b) Quantas pessoas consomem apenas 2 tipos de comida? c) Quantas pessoas consomem apenas comida Mineira? d)Quantas pessoas não consomem a comida Japonesa? 100 150 130 20 20 40 10 30 Min Ital Jap 13 Em uma cidade, são consumidas 3 tipos de comidas: Italiana, Japonesa e Mineira. Feita uma pesquisa sobre o consumo dessas comidas, foram colhidos os seguintes resultados: a) Quantas pessoas foram consultadas? b) Quantas pessoas consomem apenas 2 tipos de comida? c) Quantas pessoas consomem apenas comida Mineira? d)Quantas pessoas não consomem a comida Japonesa? 100 150 130 20 20 40 10 30 Min Ital JapRespostas: a) 40+10+100+20+20+30+130+150= 500 Em uma cidade, são consumidas 3 tipos de comidas: Italiana, Japonesa e Mineira. Feita uma pesquisa sobre o consumo dessas comidas, foram colhidos os seguintes resultados: a) Quantas pessoas foram consultadas? b) Quantas pessoas consomem apenas 2 tipos de comida? c) Quantas pessoas consomem apenas comida Mineira? d)Quantas pessoas não consomem a comida Japonesa? 100 150 130 20 20 40 10 30 Min Ital JapRespostas: a) 40+10+100+20+20+30+130+150=500 b) 30+10+20= 60 14 Em uma cidade, são consumidas 3 tipos de comidas: Italiana, Japonesa e Mineira. Feita uma pesquisa sobre o consumo dessas comidas, foram colhidos os seguintes resultados: a) Quantas pessoas foram consultadas? b) Quantas pessoas consomem apenas 2 tipos de comida? c) Quantas pessoas consomem apenas comida Mineira? d)Quantas pessoas não consomem a comida Japonesa? 100 150 130 20 20 40 10 30 Min Ital JapRespostas: a) 40+10+100+20+20+30+130+150=500 b) 30+10+20=60 c) 130 Em uma cidade, são consumidas 3 tipos de comidas: Italiana, Japonesa e Mineira. Feita uma pesquisa sobre o consumo dessas comidas, foram colhidos os seguintes resultados: a) Quantas pessoas foram consultadas? b) Quantas pessoas consomem apenas 2 tipos de comida? c) Quantas pessoas consomem apenas comida Mineira? d)Quantas pessoas não consomem a comida Japonesa? 100 150 130 20 20 40 10 30 Min Ital JapRespostas: a) 40+10+100+20+20+30+130+150=500 b) 30+10+20=60 c) 130 d) 40+30+130+150= 350 15 Resumo dos símbolos da linguagem dos conjuntos. a A a pertence a A a A a não pertence a A A B A está contido em B A B A não está contido em B A B A contém B A B A não contém B Conjunto vazio A B A interseção B A B A união B A – B A menos B FIM
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