Respostas (Listas G1)

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MAT1157 – Ca´lculo a uma Varia´vel A - 2017.2 PUC-Rio
Algumas respostas dos exerc´ıcios das Listas 1 a 8
Lista 1:
1)(a) 29; (b) 20; (c) 1; (d) 36; (e) 86 ; (f) 40 ; (g) 36.
5)(a) 5x− x+ 2
3
=
15x− (x+ 2)
3
=
14x− 2
3
.
14) Walter tem 38 e Raul tem 2.
15) 4 x 5.
16) R$ 14000,00 e R$13000,00.
Lista 2:
5) Na˜o; 6) Na˜o; 17)(a)(b) e (c) F.
Lista 3:
1) (q) O mesmo que a reta de equac¸a˜o y = x.
(r) O mesmo que a reta de equac¸a˜o y = x/2.
(s) O mesmo que a reta de equac¸a˜o y = −x/2.
(t) O mesmo que o segmento PQ da reta de equac¸a˜o y = −x/2, onde P = (−2, 1) e
Q = (2,−1).
2) (a) distaˆncia=
√
17 , ponto me´dio =
(
3
2 , 0
)
(b) distaˆncia=
√
5 , ponto me´dio =
(
1
2 ,−1
)
(c) distaˆncia=
√
x2 + y2 , ponto me´dio =
(
x
2 ,
y
2
)
(d) distaˆncia=
√
(x− 1)2 + (y + 2)2 , ponto me´dio =
(
x+1
2 ,
y−2
2
)
(e) distaˆncia=
√
(x− 2)2 + (y + 2)2 , ponto me´dio =
(
x+2
2 ,
y−2
2
)
4) y = x2
5) (g) O mesmo que a para´bola de equac¸a˜o y = x2.
(h) O mesmo que a para´bola de equac¸a˜o y2 = x.
7) (c)
8) Dica: Para cada para´bola, determine a ordenada do ponto com abscissa 1. Em seguida,
desenhe os dois pontos na figura e compare com (1,6).
9) {(x, y) ∈ R2 |x2 − 3 < y < −x2 − 2x+ 8}
13) 14) e 15) Trabalhados em aula.
Lista 4 Retas:
4) y = −2 (x+ 1) + 3
5) y = pi (x− 1) + 3
6) 1
8) (b) Na˜o tem soluc¸a˜o (retas paralelas)
9) (b) (c) (x, y) = (−3,−7)
10) (c) y = −x/3
11) y = −x/a
12) Na˜o 13) Na˜o 14) Sim 15) Sim
16) y = 7x/2 + 1
Lista 4 Vetores:
7) (a) y = 2 (x− 2) + 7
(b) y = 1 (x− 2) + 0
(c) y = −1/2 (x− 2) + 7
(d) y = −(x− 2) + 0
8) Va´rias respostas. Apresenteremos aqui algumas respostas poss´ıveis:
(a) ~v = (1, 3) e Q = (0,−2)
(b) ~v = (1,−3) e Q = (0,−2)
(c) ~v = (2,−1) e Q = (0, pi)
9)
(a) (2, 7) = 2 (1, 0) + 7 (0, 1)
(b) (2, 7) = −2 (−1, 0) + 7 (0, 1)
(c) (2, 7) = 2/3 (3, 0) + 7/3 (0, 3)
(d) (2, 7) = 9/2 (1, 1) + 5/2 (−1, 1)
(e) (2, 7) = 1 (2, 0) + 1 (0, 7)
(f) Na˜o e´ poss´ıvel.
10) Uma poss´ıvel resposta: (1,−1)
11) Uma poss´ıvel resposta: (B,−A). Pode ser tambe´m (1,−A/B) se B 6= 0, ou seja, se a
reta e´ na˜o vertical.
12) V
Lista 5:
1) Dom(V ) = (0, 3); 2) Dom(S) = [0, 10]; 3) Dom(A) = (0, 80), se consideramos a base
paralela ao rio e Dom(A) = (0, 40), se consideramos a base ortogonal ao rio; 4) Dom(V ) =
(0, 15); 5) Dom(A) = (0, 6); 6) Dom(A) =
(
0, 182+pi
]
; 7) Pode ser Dom(d) = R ou
tambe´m Dom(d) = [0, 100].
Lista 6:
3) a = 1 e b = −1;
4) 1.9129
5) 13.462
Lista 7:
Va´rias respostas poss´ıveis para os exerc´ıcios desta lista. Apresentamos aqui algumas respostas
poss´ıveis.
1) Resposta 31, 622776601683793.
2) Resposta 6, 0685017607655440.
3) Resposta: raio=3.62783167859780958.
4) Resposta: raio=7.2836562039471938.
5) Resposta 25, 4033152721694857.
8) Resposta 2, 4494897427831780.
Lista 8:
4) >f:=x->x-1; g:=x->2*x+1; h:=x->3*x-1;
> plot([f(x),g(x),h(x)], x=-3..3);
> solve(f(x)=g(x));
> solve(f(x)=h(x));
> solve(h(x)=g(x));
> with(plots):
> F:=plot(f(x), x=-2..0):
> G:=plot(g(x), x=-2..2):
> H:=plot(h(x), x=0..2):
> display(F,G,H);
5)(c) Se percorremos menos que 200 quiloˆmetros ao dia, a primera empresa esta´ com o aluguel
mais barato. Se percorremos 200 quiloˆmetros ao dia, as duas empresa esta˜o com o mesmo
aluguel. Se percorremos mais que 200 quiloˆmetros ao dia, a segunda empresa esta´ com o
aluguel mais barato.
6) ◦F = ◦C × 1, 8 + 32. −40◦F = −40◦C.
18) [0, 1) ∪ (2, 7) ∪ (9, 3pi].
22) Um quadrado de lado medindo
√
107
4 m.
24) Os dois nu´meros sa˜o
√
6
2 .
25) Dom(A) =
(
0, 182+pi
)
, A(x) = −x8 (x (4 + pi)− 36), x = 184+pi m e a´rea ma´xima:
81
2 (4+pi) m
2.
26) Dom(S) = [0, 10], S(x) =
(
x
4
)2
+pi
(
10−x
2pi
)2
, a´rea mı´nima com x = 40pi+4m e a´rea ma´xima
com x = 0m.
30) Dom(f) =
[
3
2 −
√
3
pi ,
3
2 +
√
3
pi
]
, Im(f) =
[
−5−
√
3
pi ,−5
]
, e f(x) = −5−
√
3
pi2
− (x− 32)2.