04 Centroide e centro de massa rev

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE PROCESSAMENTO DE ENERGIA ELÉTRICA
DPEE 1000 / DPEE 1022 / DPEE 1080
Centro de gravidade,
centro de massa e centroide
Macklini Dalla Nora
Santa Maria, RS
29 de março de 2018
Conceitos
Centro de gravidade (CG / baricentro):
• Ponto onde uma única força P (peso) pode ser 
aplicada para representar o efeito da atração 
gravitacional da terra sobre as inúmeras 
partículas que formam o corpo;
Centroide:
• Centro geométrico de uma figura plana ou linha;
2
Conceitos
Centro de massa (CM):
• Ponto onde toda a massa de um corpo pode ser 
dita concentrada;
• Seu cálculo depende da média ponderada das 
partículas que formam o corpo, ou corpos que 
formam um sistema;
• Uma força externa atuante nesse ponto não gera 
rotação no corpo, apenas translação;
3
CM de um conjunto de partículas
4
m1
x1, y1
x2, y2
x3, y3
X
Y
321
332211
mmm
xmxmxm
xCM



m2
m3xCM, yCM
321
332211
mmm
ymymym
yCM


Média ponderada!
Generalizações
Centro de gravidade (CG) 
= 
Centro de massa (CM) 
5
Apenas no caso de 
campo gravitacional 
uniforme.
Centro de massa (CM) 
= 
Centroide
Apenas no caso de 
placas homogêneas com 
espessura constante.
Simetria
Uma superfície que tenha um centro de simetria 
não tem, necessariamente, um eixo de simetria.
6
Beer, F.R.; et al. Estática e Mecânica dos Materiais, 1ª edição, 2013.
Se uma superfície tiver um eixo de simetria, seu centroide fica 
localizado sobre esse eixo!
Simetria
Se uma superfície ou curva possui dois eixos 
de simetria, seu centroide estará situado na 
interseção desses eixos.
7
CG de corpos bidimensionais
8







dPyPy
PyPy
PyPyPyPy
M
nn
x
.....
0
2211
P
ΔP 






dPxPx
PxPx
PxPxPxPx
M
nn
y
.....
0
2211
B
e
e
r,
 F
.R
.;
 J
o
h
n
s
to
n
 J
r,
 E
.R
. 
M
e
c
â
n
ic
a
 V
e
to
ri
a
l 
p
a
ra
 E
n
g
e
n
h
e
ir
o
s
 –
E
s
tá
ti
c
a
, 
9
ª 
e
d
iç
ã
o
, 
2
0
1
0
.
CG de corpos bidimensionais
9
Sabendo-se que o peso de uma placa é dado 
por:
Onde:
P: força peso (N)
V: volume (m³)
ρ: densidade (kg/m³)
g: aceleração gravitacional (m/s²)
t: espessura (m)
A: área (m²)
gtAPgVP  )(
CG de corpos bidimensionais
10
E assumindo-se que a placa seja homogênea, de 
espessura uniforme, e que o campo gravitacional 
seja também uniforme, tem-se:
Se a placa não for homogênea, as equações não 
podem ser usadas para determinar seu CG, mas ainda 
valem para determinar seu centroide.
 dPxPx 
 dPyPy
 dAxgtgtAx )()(   dAygtgtAy )()( 
 dAx
A
x
1
 dAyA
y
1
CG de corpos bidimensionais
11
yAdAy  xAdAx Onde as integrais são conhecidas por Momentos de 
primeira ordem de 
uma superfície (Q).
Beer, F.R.; Johnston Jr, E.R. Mecânica Vetorial para Engenheiros – Estática, 9ª edição, 2010.
yAQx  xAQy 
Centroide de superfícies usuais
12
𝑎 + 𝑏
3
𝑎
Triângulo
Um quarto 
de círculo e 
semicírculo 
Um quarto 
de elipse e 
semi-elipse
Beer, F.R.; Johnston Jr, E.R. Mecânica Vetorial para Engenheiros – Estática, 9ª edição, 2010.
Centroide de superfícies usuais
13
Beer, F.R.; Johnston Jr, E.R. Mecânica Vetorial para Engenheiros – Estática, 9ª edição, 2010.
Superfície 
sob arco 
parabólico
Superfície 
sob função 
potencial
Setor 
circular
Centroide de superfícies compostas
14
Uma superfície complexa pode ser dividida em 
retângulos, círculos, triângulos... 



ii
ii
AyAY
AxAX
Logo:



i
i
A
Ax
X



i
i
A
Ay
Y
B
e
e
r,
 F
.R
.;
 J
o
h
n
s
to
n
 J
r,
 E
.R
. 
M
e
c
â
n
ic
a
 V
e
to
ri
a
l 
p
a
ra
 E
n
g
e
n
h
e
ir
o
s
 –
E
s
tá
ti
c
a
, 
9
ª 
e
d
iç
ã
o
, 
2
0
1
0
.
Centroide de superfícies compostas
15



i
i
A
Ax
X



i
i
A
Ay
Y
X (m)
Y (m)
3
4
6
Forma 𝑨𝒊 (𝒎
𝟐) 𝒙 (𝒎) 𝒚 (𝒎) 𝒙𝑨𝒊 (𝒎
𝟑) 𝒚𝑨𝒊 (𝒎
𝟑)
Soma