Lista2 Integrais Improprias

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro - UFRRJ
Instituto de Ciências Exatas - ICE
Departamento de Matemática - DEMAT
Professor: Renan Teixeira
Cálculo II - Lista 2 - Integrais Impróprias
1. Calcule as Integrais
a)
∫ +∞
1
1
x3
dx
b)
∫ 2
0
1
t3
dt
c)
∫ +∞
1
1
xk
dx, para k ∈ IR
d)
∫ 0
−∞
eydy
e)
∫ +∞
−∞
e−ydy
f)
∫ 1
−4
1
3
√
x+ 2
dx
g)
∫ 1
0
[lnx]2 dx
h)
∫ +∞
0
lnx√
x5
dx
2. Sejam α e s, s > 0, reais dados. Verifique que:
a)
∫ +∞
0
e−stsen (αt) dt =
α
s2 + α2
com α 6= 0
b)
∫ +∞
0
e−st cos(αt) dt =
α
s2 + α2
c)
∫ +∞
0
e−steαt dt =
α
s− α com s > α
d)
∫ +∞
0
e−st dt =
1
s
3. Esboce o gráfico de F (x) =
∫ x
−∞ f(t) dt onde
a) f(t) =
2, se |t| ≤ 10, se |t| > 1
b) f(t) =

1
t
, se |t| ≥ 1
0, se |t| < 1
c) f(t) =
0, se |t| > 11− t2, se |t| ≤ 1
d) f(t) =
0, se t ≤ 0e−t, se t > 0
4. Calcule
a)
∫ 1
0
1√
1− x2 dx
b)
∫ 2
0
1√
2− x dx
c)
∫ 2
−1
1
4− x2 dx
d)
∫ 1
0
x√
1− x2 dx
1