Lista de Exercícios Transformada de Laplace

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o
Volume 1 Capo 7 Transformada de Laplace 407
7.5 EXERCíCIOS
2.
lS
As respostas dos exercícios selecionados estão nas páginas 464 e 465.
Uma tabela das transformadas de algumas funções básicas aparece no Apêndice 11.
Nos Problemas 1-26, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às
condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
~a
O, 1. ~ - Y = I, y(O) = O 2. ~ + 2y = t, y(O) = - I
3. y' + 4y = e - 4', y(O) = 2
5. y" + 5y' + 4y = O, y(O)
= I, y'(O) = O
7. v"> 6y' + 9y = I, y(O)
= O, y'(O) = 1
9. v" - 4y' + 4y = 13 e 2', y(O)
4. v' - y = sen (, y(O) = O
6. v" - 6y' + 13y = O, y(O)
= O, y'(O) = - 3
8. v" - 4y' + 4y = (3, y(O)
= I, y'(O) = O
= O, y'(O) = O
10. y" - 2y' + 5y = 1 + t, y(O)
= O, y'(O) = 4
12. y" + 16y = 1, y(O) = 1, y'(O) = 211. v" + Y = sen t, y(O)
= 1, y'(O) = - I
13. y" - y' = e' cos I, y(O) 14. y" - 2y' = e' senh I, y(O)
= O, y'(O) = O = O, y'(O) = O
15. 2y'" + 3y" - 3y' - 2y = e - " y(O)
= O, y'(O) = O, y"(O) = 1
17. y(41_ Y = O, y(O) = I, y'(0)
= O, y"(O) = - I, y"'(O) = O
16. y'" + 2y" - y' - 2y = sen 3t, y(O)
= O, y'(O) = O, y"(O) = I
18. Y (4) - Y = t, y(O) = O, y'(O)
= O, y"(O) = O, y"'(O) = O
19. y' + Y = ft.t), em que ft.t) 20. y' + Y = ft.t), em que ft.t) =
= {O, O s t < y(O) = O = { 1, O s t < y(O) = O
5, t ~ 1 - 1, I ~ 1
21. y' + 2y = ft.t), em que ft.t) 22. y" + 4y = ft.t), em que ft.t)
= {~,
O s t < 1
y(O) = O = { 1, O s t < 1 y(O) = O, y'(O) = - 1• t ~ 1 . O, t ~ I
408 Equações Diferenciais Capo 7 Volume J
23. v" + 4y = sen I 'U(l - 2.7r), y(O)
= I, y'(O) = O
24. v" - 5y' + 6y = 'U(l - I), y(O)
= O, y'(O) = 1
1
0, O s I < n
25. v" + Y = ft..l), em que ft..l) = 1. n $ I < 2.7r y(O) = O,
O, I;:: 2.7r
26. v" + 4y' + 3y = 1 - 'U(l - 2) - 'U(I - 4) + 'U(I - 6);
y'(O) =
uu..z.) Uz.
"lU-'d=-"
u lt·,)~,
Nos Problemas 27 e 28, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às
condições de contorno indicadas.
y(O) = O, y'(O) = O
27. s" + 2y' + Y = O, y'(O)
= 2, y(l) = 2
28. v" - 9y' + 20y = I, y(O)
= O, y'(I) = O
Nos Problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação
íntegro-diferencial.
I
29. ft..l) + f (r - r)ft..r)dr = r
o
I
30. ft..r) = 21 - 4 f sen rft..1 - r)dr
o
I
31. ft..r) = re' + f rft..r - 't')d't'
O
I
32. ft..r) + 2 f J('t') cos(t - r) d r
O
= 4e -I + sen I
I
33. ft..l) + f ft..'t') d t = 1
O
I
34. ft..t) = cos t + f e - rJ(I - r) d r
O
I
36. 1- 2J(I) = f (eT - e-T}f{l - 't')d't'
O
37. y'(r) = 1 - sen I 38. ~ + 6y(l) +
-r y('t') d r, y(O) = O
o
I
. + 9 f y('t') d t = I, y(O) = O
o
39. Use a equação (3) para determinar a corrente i(l) em um circuito em série L-R-C quando
L = 0,005henry, R = 1 ohrn, C = O,02farad, E(l) = 100[1 - 'U(t - 1)] volts e i(O) = O.
40. Resolva o Problema 39 quando E(r) = 100 [t - (I - 1) au(t - 1)].-tlT
41. Lembre-se de que a equação diferencial para a carga q(t) em um capacitor em um circuito em série R - C é
da 1
R = + - q = E(t)dt C '
----------------------------------------------
Volume 1 Capo 7 Transformada de Laplace 409
em que E(t) é a voltagem impressa. Veja a Seção 3.2. Use a transformada de Laplace para determinar
a carga q(t) quando q(O) = Oe E(t) = Eoe - kt, k > O.Considere dois casos i I "* tlRC e k = tlRC.
42. Use a transformada de Laplace para determinar a carga no capacitor em um circuito em série R-C se
q(O) = qo' R = lO ohms, C = 0,1 farad e E(t) é a voltagem dada na Figura 7.43.
43. Use a transformada de Laplace para determinar a carga no capacitor em um circuito em série R-C se
q(O) = O, R = 2,5 ohms, C = 0,08 farad e E(t) é a voltagem dada na Figura 7.44.
30
30e'
E(t)
5 ~,,,,,,
i,
E(t)
1,5 3
Figura 7.43 Figura 7.44
;ão
44. Use a transformada de Laplace para determinar a carga q(t) no capacitor em um circuito em série R-C
quando q(O) = O,R = 50 ohms, C = 0,01 farad e E(t) é a voltagem dada na Figura 7.45.
45. Use a transformada para determinar a corrente i(t) em um circuito em série L-R quando i(O) = O,
L = 1 henry, R = 10 ohms e E(t) é a voltagem dada na Figura 7.46.
E(I)
E.
E(t)
1 sen t, O:;; t < 37t12
3
Figura 7.45
37t
T-1
Figura 7.46
46. Resolva a equação (6) sujeita a i(O) = O, em queE(t) é a voltagem dada na Figura 7.47. [Sugestão:
Veja o Problema 31, Exercício 7.4.]
47. Resolva a equação (6) sujeita a i(O) = O, em que E(t) é a voltagem dada na Figura 7.48. Especifique
a solução para O S t < 2. [Sugestão: Veja o Problema 33, Exercício 7.4]
E(t)
)
r--I, ,, ,, ,
r-,,,
E(t)
1
-1
1, 2,, ,, ,
'---'
3: 4: I, ,
'---'
Figura 7.47 Figura 7.48
7.6 EXERCic,OS
c na página 465. .' à
ostas dos exercícios selecionados es ao I a equaçãO diferencial dada sUjeita s
As resp d de Laplace para reso ver
I 12 use a transforma a
Nos Problemas - '.
condições iniciais indlcadas. 2. y' + Y ::: Ó (I - 1). y(O)::: 2
n ~m:::O ~
1. v'> 3y::: Ó(I - • y"+ 16y::: Ó(I - 2n). y
4.
.t "-) y(O)
3. y" + Y ::: u (I - '-" • y'(O) ::: O::: O.
::: O. y'(O)::: 1 .t( 2n) + Ó(I - 41t). y(O)
1t '\ 6. y" + y ::: U I -
5. v" + Y ::: Ó(I - "2 )
:::1. y'(O):::O
+ Ó( I _ 3
2
1tI. y(O)::: O. y'(0)::: O
~ ) 8.y"_2y':::1+Ó(r-2). y(O)
7. y" + 2y' ::: ó(r - 1). y(O) y'(O) ::: 1::: O.
::: O. y'(O)::: 1 y" + 2y' + Y ::: Ó(I - 1),
10.
9. y" + 4y' + Sy ::: Ó(I - 2n), y(O) ::: O, y'(0)::: O
y(O) ::: O. y'(0)::: O y'(O) ::: O
<'l(1 _ 1t) + <'l(r - 31t). y(O)::: 1.
11 )1" + 4V' ---=t-JÊ -
418 Equações Diferenciais Capo 7 Volume 1
12. y"- 7y' + 6y = e' + 6(1 - 2) + o(r - 4). y(O) = O. y'(0) = O
13. Uma viga uniforme de comprimento L está sujeita a uma carga concentrada wo no ponto x = L/2. A
viga está engastada no seu lado esquerdo e livre no extremo direito. Use a transformada de Laplace
para determinar a deflexão y(x) a partir da equação
em que
EI B = w06(X - ~ }
y(O) = O. y'(O) = O, y"(L) = O e y"'(L) = O.
14. Resolva a equação diferencial do Problema 13 sujeita a y(O) = O. y'(O) = O. y(L) = O. y'(L) = O.
Nesse caso. a viga está engastada em ambos os extremos. Veja a Figura 7.55.
15. Use (7) para obter (3).
16. Use (7) para calcular
17. Use a transformada de Laplace e (7) para resolver
y" + 2/ + 2y = cos ( Ô(r - 3n)
sujeita a y(O) = 1 e y'(O) = - 1.
18. Para enfatizar a natureza nãousual da função delta de Dirac, mostre que a ••solução" para o problema
de valor inicial y" + w2y = 6(r). y(O) = O.y'(O) = O não satisfaz a condição inicial y'(O) = O.
19. Resolva o problema de valor inicial
L ~!+ Ri = oCr). i(O) = O.
em que L e R são constantes. A solução satisfaz a condição em r = 07
W. Se ó'(r - ro) é a derivada da função delta de Dirac, então sabemos que 21{Ó'(1 - 10)} se-SIO•
Ia ~ O. Use esse resultado para resolver v' + 5y = 6'(1) sujeita a y(O) = O.
464 Equações Diferenciais Volume 1
465
37. I
s2 + I
EXERcíCIOS 7.5, p. 407-412
I. Y = - I + e'
3. y = le-4/ + 2e-41
5. Y = ~e-' - je-41
7. s= ~l + i -!Jelt + ~leJf
9. y = -lã,Se"
11. y;:: COS: I - isen I - i r cos I
13. r= t - te' cos I + ie' sen I
15. Y = - !e-t12 + 4e-ZI + fie' + te-t
17. Y = COS I
19. y = [5 - 5.-(' - I)) <!'t(1_ I)
21. Y = -; + I'+ ~e-" - ±-1I6(1 - I)
- f (t - I) '16(1 - I)
+ ;.-2('-I)'I't(1 _ I)
23. y = COS 21 - i sen 2(1 - 21r) <!'t(1 - 21r)
+ -l- sen(1 - 21r) 'I't(t - 2Jr)
25. Y = sen I + [I - COS(I - }fI 'l't(1 - 7C)
- [I - COS(I - 21r) <Pt(1- 21r)
27. Y = (e + 1)le-' + (e - l)e-'
29. f(1) = sen I
31. f(1) = - ie-r + ie' + tte' + ~/2e'
33. f(1) = «:
3 21 I - 21 I I
35. f(1) = iie +"8 e + 2 cos 21 + :; se" 2J
I37. y = sen I - 2" r sen I
39. i(r) = 20.000[te-100< - (r - I)e-I~' - I) 'I't(r - I»)
41. q(t) = ~ (e-"- e-'IHe):
I - kRC
q(r) = ~ re-'IRC
43. q(r) = ~ 'I't(t - 3) - ~e-S(' - l) <Pt(r - 3)
45. ') I -IOr I 10,(r = lõJe - lõJ cos r + lõJ sen r
_ ...!Q.. - 10(, - ~TI2) <Pt(I _ 3rr )
101 2
+ JQ cos (r _ 3;r) qt( I _ 3rr )
101 2 2
+ .i.+_3rr )'I'{ _3n)
101 2 2
47. i(l) = s. + -f:.r(.-RIIL_ I)
R R
I7wOL'. »'oL 4
384E1 • 8EI
wuL', wuL) "'O ,
57. y(x) = 16EI x - 12EI'" + 24EI .r
- 2::EI (x - t )-111( .•. - t)
59. y=},3+tcr2
EXERCíCIOS 7.6, p. 417-418
I. Y = ,3('-"-1It(r - 2)
3. y = sen r + sen r qt(r - 21r)
5. y=-cosr"'t(r-i)+cosl"'{-~)
7. y = f - I e -" + [I - I e - 2(, - I)] <Pt(r - I)
+ * L (e-R(I - .YL_ I) <Vt(r - n)
•• I
9. Y = e-2(' - 2,')sen r <Pt(r - m)
Para O S r < 2,
r, L(-RIIL_I) O';r<1,-+, e .
R R-
'r L (-R'IL I)i(l) = j li + Ri e -
, + J..(e-R(' - IYL_ I). I'; r < 2
l R'
11. Y = ,-2/COS 3r + ~.-" sen 31
+ -l- ,-2{, - n) sen 3(1 - }f) <Vt(r - ,,)
+ {e-2(, - ln) sen 3(r - 3,,) <Pt(r - 3,,)
49. q(r) = t,-IOr+ 61.-10,_ t cos 10r;
i(t) = - 60re -IOr + 6 sen 10r;
a corrente estacionária é 6 sen 101 j
!:!!.(!:.X2_.!.Xl)
EI 4 6 .
13. y(x) =
Poi. 2 I L
4Et(2"X-I2}
O,; x < U2
U2';x';L
E;" [e-"- cos(r/.JLC»)51. q(t) = (2 ~)
L k + LC
+ kE41.JC7L sen(t/{[C)
.' +~LC
15. De (7) com f[r) = e -", lemos
W{ó(r - ro) I= f~= e-"Ó(r - ro)dr = e-''''.
O
3 -,'" {J5 7{J5-'1'1 m
53. x(r) = "i" cos-2-r -Iile senT' 17. Y ~ e-' cos r + e-li - ln) sen r </t(1 - 3nl
II'O(L' , L 3 I ,)
55. y(x) = Ei 4" x - '6.r + 24''' ; 19. i(r) = .!. e-H'IL; não
L
Volume 1 Respostas dos exercícios selecionados
Capítulo 7
p.419-421
Exercícios de Revisão,
I. I 2_,---e
2 2
s s
3. falso
5. verdadeiro
7. I
s + 7
9. 2
s 2 + 4
11. 4s
(s2 + 4)2
13. ir'
15. IrSeS'
17. eSl cos 21 + % e51 sen 2,
19. cos n(r - I) <l't(r - I) + sen ,,(r - I) qt(r - I)
21. -5
23. e-j,F(s - a)
25. (a) f[r) = r - (r - I) <Pt(r - I) - <!'t(r - 4)
(b) ~(f[I) I = -'- - -'-e-' _ l.-"
2 2 s
(c) ~(.'f[I» J __ Is_ - __ 1-.-(' - I)
(s _ I) 2 (s _ I) 2
___ I_e-4(s - I)
(s _ 1)2
27. (a) f[r) = 2 + (r - 2) <!'t(r - 2)
(b) .W{fir)I = 3. +.!. .-h
s 2s
(c) ~(,'f[r) 1= _2_ + __ 1_.-2(' - I)
s - I (s _ I) 2
29. y = 5/e' + ~ I 2e t
31. y=5 "'t(r-1t)-5e'(,-n) cos .,ff(r -;r) qu'-Ir)
+ 5.,ff e'(' - x) sen .,ff (r - nl •••t(r - n)
33. y = - Th - f; ( - k t 2 + :;~e 51
-1-,3;s-H(r-I)-i<r-I)'