Equações Diferenciais na Cinemática dos Fluidos

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5 – Cinemática – Equações Básicas 
na forma diferencial 
 No capítulo anterior, foram apresentadas as 
equações básicas na forma integral para um volume de 
controle. Essas equações são úteis quando estamos 
interessados no comportamento genérico de um campo de 
escoamento. 
 
 Neste capítulo, diferente do capítulo anterior, 
estamos interessados em obter as equações dos 
movimentos fluidos na forma diferencial. – Análise 
pontual. 
 5.1 – A conservação da massa. 
5.1.1 – Sistema de coordenadas retangulares. 
 Em coordenadas retangulares, o volume de 
controle escolhido é um cubo infinitesimal com lados de 
comprimento dx, dy, dz. 
 A fim de avaliar as propriedades de cada uma das 6 
faces da superfície de controle, usaremos uma expansão 
em série de Taylor em relação ao ponto O. Por exemplo, 
na face direita. 
 Os termos correspondentes na face esquerda são: 
 A tabela 5.1 do livro (Fox & McDonald – 
Introdução a Mecânica dos Fluidos) mostra as equações 
para cada uma das faces do volume de controle. Logo 
poderemos obter a equação para o volume de controle. 
 
 O enunciado da conservação da massa é: 
 
(taxa líquida de fluxo de massa para fora da superfície de 
controle) + (taxa de variação da massa dentro do volume 
de controle) = 0 
 
Sendo assim, o primeiro e o segundo termo do enunciado 
são: 
 Logo, em coordenadas retangulares, a equação 
diferencial para conservação da massa é então, também 
conhecida como equação da continuidade. 
Para escoamento incompressível: não tem variação da 
massa específica em função das coordenadas espaciais 
nem em função do tempo. 
Para escoamento permanente: não tem variação de 
nenhuma propriedade em função do tempo. 
Equação diferencial da continuidade para regime não-permanente. 
Um amortecedor a gás na suspensão de um automóvel comporta-se como um dispositivo 
pistão-cilindro. Num instante em que o pistão está L=0,15 m afastado da extremidade 
fechada do cilindro, a massa específica do gás é uniforme ρ=18 kg/m³ e o pistão começa a 
mover-se, afastando-se da extremidade fechada do cilindro, com V = 12 m/s. O 
movimento do gás é unidimensional e proporcional à distância em relação à extremidade 
fechada; varia linearmente de zero, na extremidade, a u = V no pistão. Avalie a taxa de 
variação da massa específica do gás nesse instante. Obtenha uma expressão para a massa 
específica média como uma função do tempo. 
Exercício 
Fenômenos de Transporte 
Prof. RAFAEL DIAZ 
 
Email: rafaelsadiaz@yahoo.com.br 
 
Aulas: Terças e Quintas – 18:10 às 20:10 
 
5.2 – Função de corrente. – NÃO SERÁ COBRADO 
5.3 – Movimento de um elemento fluido - Cinemática 
 5.3.1 – Translação de fluido: Aceleração de uma 
partícula fluida num campo de velocidade. 
Essa é a expressão para a aceleração de uma partícula em 
qualquer local de um campo de escoamento; esse é o 
método Euleriano de descrição. No método Lagrangiano 
de descrição, o movimento (posição, velocidade e 
aceleração) da partícula é descrito como uma função do 
tempo. 
 5.3.2 – Rotação de fluido. 
Um exemplo de um escoamento rotacional são os 
escoamentos viscosos. 
 5.3.3 – Deformação de fluido 
a) Deformação Angular 
Visto que durante o intervalo de tempo ߡt: 
A taxa de deformação angular é dada por: 
b) Deformação Linear 
Não há mudança entre os ângulos retos. Ocorrerá 
variação de um comprimento se a derivada da sua 
velocidade em função da posição for diferente de zero. 
A taxa local, instantânea, de dilatação volumétrica é 
dada por: 
Para escoamento incompressível a taxa de dilatação 
volumétrica é igual a zero. 
5.4 – A equação da quantidade de movimento. 
 
Para deduzir a forma diferencial da equação da 
quantidade de movimento, aplicaremos a segunda lei de 
Newton a uma partícula fluida infinitesimal de massa dm. 
 
 
Como equação vetorial: 
 
5.4.1 – Forças atuando sobre uma partícula fluida 
 
 
 
5.4.1 – Forças atuando sobre uma partícula fluida 
 
 
 
De forma análoga tem-se: 
 
 
 
Fenômenos de Transporte 
Prof. RAFAEL DIAZ 
 
Email: rafaelsadiaz@yahoo.com.br 
 
Aulas: Terças e Quintas – 18:10 às 20:10 
 
5.4.2 – Equação diferencial da quantidade de 
movimento. 
 
 Formulamos expressões para as componentes, dFx, 
dFy e dFz, da força dF, atuante sobre o elemento de massa 
dm. Se substituirmos essas expressões nas componentes 
x, y e z da equação vetorial geral para força (mostrada na 
antes da seção 5.4.1): 
 
 
 Para componente y: 
 
 
 
 Para componente z: 
 
 
 
 obteremos as equações diferenciais do movimento. 
 Para componente x: 
5.4.3 – Fluidos Newtonianos: Equações de Naviers-
Stokes. 
 
 Para um fluido newtoniano, a tensão viscosa é 
proporcional à taxa de deformação por cisalhamento 
(taxa de deformação angular). As tensões podem ser 
expressas em termos dos gradientes de velocidades e 
das propriedades dos fluidos, em coordenadas 
retangulares, como segue: 
 
 
 
Onde p é a pressão termodinâmica local, que é 
relacionada com a densidade e a temperatura. 
 
 
 
Introduzindo essas expressões nas equações diferenciais 
do movimento (seção 5.4.2), obteremos 
 
 
 
NAVIER STOKES 
 
 
 
As equações de Navier-Stokes são em muito simplificadas quando 
aplicadas ao escoamento incompressível com viscosidade 
constante. Nestas condições, elas reduzem-se a: 
 
 
 
Para o caso do escoamento sem atrito (viscosidade = 0), as 
equações do movimento reduzem-se a eq. Euler. Essas equações 
serão consideradas no cap. 6. 
 
 
 
Análise de um escoamento laminar completamente desenvolvido na descendente 
sobre uma superfície inclinada. 
Um líquido escoa numa película de espessura h em regime permanente, laminar 
e completamente desenvolvido, para baixo, sobre uma superfície inclinada. 
Simplifique as equações de Navier-Stokes para modelar esse campo de 
escoamento. Obtenha expressões para o perfil de velocidade do líquido, a 
distribuição de tensões de cisalhamento, a vazão voluntária e a velocidade 
média. Relacione a espessura da película com a vazão volumétrica por unidade 
de profundidade de superfície normal ao escoamento. Calcule a vazão 
volumétrica numa película de água de 1 mm de espessura sobre uma superfície 
de 1 m de largura, inclinada de 15° em relação à horizontal. 
 
 
Exercício 
 
 
 
Dados: Escoamento de líquido descendo sobre um plano inclinado em regime 
permanente, em um filme laminar de espessura h, completamente desenvolvido. 
Determinar: 
(a) Equações simplificadas da continuidade e de Navier-Stokes para modelar esse 
campo de escoamento; 
(b) O perfil de velocidades; 
(c)Adistribuição das tensões de cisalhamento; 
(d) A vazão volumétrica por unidade de profundidade na superfície normal ao 
diagrama; 
(e)Avelocidade média do escoamento; 
(f) A espessura do filme em termos da vazão volumétrica por unidade de 
profundidade na superfície normal ao diagrama; 
(g) A vazão volumétrica em um filme de água de 1 mm de espessura em uma 
superfície com 1 m de largura, inclinada de 15° com relação à horizontal. 
 
 
As equações finais simplificadas são: 
 
 
 
C.C: u = 0 em y = 0 
Logo, c2 = 0 
 
 
 
A distribuição da tensão de 
cisalhamento é: 
 
 
 A vazão volumétrica é: 
 
 
 
Perfil de 
velocidade 
 
 
 
C.C: du/dy = 0 em y = h 
 
 
 
 
A velocidademédia do 
escoamento 
 
 
 
A espessura da película