EXF MODELO EDO 2017 1

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CEFET-RJ 27/11/2015 
 
NOME: 
 
 
ASSINATURA: 
 
 
Exame Final (MODELO) 
GEXT 7303 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS, Prof. Bassani, 1o. Semestre 2017. 
(Duração: 120 minutos; Sem Consulta; Não é permitido o uso de calculadoras) 
 (100 pontos equivale a grau 10,0) 
 
1) (30 Pontos) 
a) Calcular soluções para a equação 2
22
x
yyxx
dx
dy  . 
b) Mostre que a equação 0cossen)2(  dyyxdxyx não é exata; determine então um 
fator de integração e calcule soluções para esta equação. 
c) Determinar a solução do problemas de valor inicial: tetyyy 233'2"  , 1)0( y , 
0)0(' y . 
d) Determinar a solução geral da equação definida por )21(/'2" tteyyy  . 
2) (30 Pontos) 
Usar a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo: 
a) 04  yy iv ; 1)0( y , 0)0( y , 2)0( y , 0)0( y . 
b) )(4
5 tgyyy  onde )2/( )()( 2/   ttuttg ; 0)0( y , 0)0( y . 
c) )2/(cos22   ttyyy ; 0)0( y , 0)0( y . 
3) (40 Pontos) 
a) Transforme a equação 0)25,0( 22  ututut em um sistema de equações de 
 primeira ordem. 
 b) Determinar a matriz fundamental ψ(t) do sistema de equações 
xx












103
020
002
. 
 Determine também a matriz fundamental Φ(t) que satisfaz Φ(0) = I. 
 c) Transforme se possível o sistema de equações do ítem (c) em um sistema desacoplado, 
 mediante uma transformação de similaridade, e calcule uma matriz fundamental deste. 
 d) Determinar a solução geral do sistema de equações 0,48
24
2
3









 

t
t
txx . 
OBS.: Tabela de Transformadas de Laplace, em anexo. 
304 Chapter 6. The Laplace Transform
TABLE 6.2.1 Elementary Laplace Transforms
f (t) = L−1{F(s)} F(s) = L{ f (t)} Notes
1. 1
1
s
, s > 0 Sec. 6.1; Ex. 4
2. eat
1
s − a , s > a Sec. 6.1; Ex. 5
3. tn; n = positive integer n!
sn+1
, s > 0 Sec. 6.1; Prob. 27
4. t p, p > −1 
(p + 1)
s p+1
, s > 0 Sec. 6.1; Prob. 27
5. sin at a
s2 + a2 , s > 0 Sec. 6.1; Ex. 6
6. cos at
s
s2 + a2 , s > 0 Sec. 6.1; Prob. 6
7. sinh at
a
s2 − a2 , s > |a| Sec. 6.1; Prob. 8
8. cosh at
s
s2 − a2 , s > |a| Sec. 6.1; Prob. 7
9. eat sin bt
b
(s − a)2 + b2 , s > a Sec. 6.1; Prob. 13
10. eat cos bt
s − a
(s − a)2 + b2 , s > a Sec. 6.1; Prob. 14
11. tneat , n = positive integer n!
(s − a)n+1 , s > a Sec. 6.1; Prob. 18
12. u
c
(t)
e−cs
s
, s > 0 Sec. 6.3
13. u
c
(t) f (t − c) e−cs F(s) Sec. 6.3
14. ect f (t) F(s − c) Sec. 6.3
15. f (ct) 1
c
F
( s
c
)
, c > 0 Sec. 6.3; Prob. 19
16.
∫ t
0
f (t − τ )g(τ ) dτ F(s)G(s) Sec. 6.6
17. δ(t − c) e−cs Sec. 6.5
18. f (n)(t) sn F(s)− sn−1 f (0)− · · · − f (n−1)(0) Sec. 6.2
19. (−t)n f (t) F (n)(s) Sec. 6.2; Prob. 28