EDO Slides 02 2017 1

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Prof. M.H. da Silva Bassani 
CEFET-RJ, 2o. Semestre 2014
1
2.2 Equações com Variáveis Separáveis
Nesta seção examinamos uma subclasse de equações de 
primeira ordem lineares e não-lineares. Seja a equação
Podemos reescrevê-la na forma
Por exemplo, com M(x,y) = - f (x,y) então N(x,y) = 1. Além 
disso, a equação acima pode ser escrita na forma diferencial: 
Se M é uma função apenas de x e N é uma função apenas de y, 
então 
Nesse caso, a equação é chamada separável. 
0),(),( 
dx
dyyxNyxM
0),(),(  dyyxNdxyxM
0)()(  dyyNdxxM
),( yxf
dx
dy 
Exemplo 1: Resolução de Equações com 
Variáveis Separáveis
Resolver a seguinte equação não-linear de 1a. ordem:
Separando variáveis, e usando Cálculo, obtemos 
A equação acima define a solução y implicitamente. Um 
gráfico mostrando o campo de direções e várias curvas 
integrais para a equação diferencial é dada acima. 
1
1
2
2


y
x
dx
dy
   
   
Cxxyy
Cxxyy
dxxdyy
dxxdyy





33
3
1
3
1
11
11
33
33
22
22
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Exemplo 2:
Soluções Implícitas e Explícitas (1 de 4)
Resolver a seguinte equação não-linear de primeira ordem:
Separando variáveis e usando o Cálculo, obtemos: 
A equação acima define a solução y implicitamente. Uma 
expressão explícita para a solução pode ser encontrada nesse 
caso:
 12
243 2


y
xx
dx
dy
   
   
Cxxxyy
dxxxdyy
dxxxdyy




222
24312
24312
232
2
2
   
Cxxxy
Cxxx
yCxxxyy


221
2
22442
0222
23
23
232
Exemplo 2: Problema de Valor Inicial (2 de 4)
Suponha que procuramos a solução que satisfaz y(0) = -1. 
Usando a expressão implícita de y :
obtemos:
Logo a equação implícita que define y é 
Usando a expressão explícita de y:
Segue que
411
221 23


CC
Cxxxy
3)1(2)1(
222
2
232


CC
Cxxxyy
3222 232  xxxyy
4221 23  xxxy
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Exemplo 2: Condição Inicial y(0) = 3 (3 de 4)
Observe que se a condição inicial é y(0) = 3, então escolhemos 
a opção com sinal positivo ao invés daquela com sinal 
negativo no termo envolvendo a raiz quadrada:
4221 23  xxxy
Exemplo 2: Domínio (4 de 4)
Logo, as soluções para o problema de valor inicial 
são dadas por
Da representação explícita de y, segue que
daí o domínio de y é (-2, ). Observar que x = -2 implica y = 1 
que torna o denominador de dy/dx zero (tangente é vertical). 
O domínio de y pode ser estimado localizando-se tangentes 
verticais no gráfico (útil se soluções definidas implicitamente). 
)(explícito 4221
)(implícito 3222
23
232


xxxy
xxxyy
      2212221 22  xxxxxy
  1)0(,12
243 2 
 y
y
xx
dx
dy
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Exemplo 3: Solução Implícita de Problemas 
de Valor Inicial (1 de 2)
Seja o seguinte problema de valor inicial:
Separando as variáveis e usando o Cálculo, obtém-se:
Usando a condição inicial, segue que:
1)0(,
31
cos
3  yy
xyy
Cxyy
xdxdyy
y
xdxdy
y
y




 


sinln
cos31
cos31
3
2
3
1sinln 3  xyy
Exemplo 3: Gráfico de Soluções (2 de 2)
Logo
O gráfico dessa solução (preto), juntamente com os gráficos 
do campo de direção e várias curvas integrais (azul) para essa 
equação diferencial, é dada abaixo. 
1sinln1)0(,
31
cos 3
3  xyyyy
xyy
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2.6 Equações Exatas e 
Fatores Integrantes
Seja a EDO de primeira ordem na forma
Assuma que existe uma função  tal que
e de tal modo que (x,y) = c define y = (x) implicitamente. 
Então
e daí a EDO original se torna 
Portanto (x,y) = c define uma solução implicitamente. 
Nesse caso, a EDO é dita exata. 
0),(),(  yyxNyxM
),(),(),,(),( yxNyxyxMyx yx  
 )(,),(),( xx
dx
d
dx
dy
yx
yyxNyxM  


  0)(, xx
dx
d 
Assuma que uma EDO possa ser escrita na forma
onde as funções M, N, My e Nx são todas contínuas 
na região retangular R: (x, y)  (,  ) x (,  ). 
Então a Eq. (1) é uma equação diferencial exata se 
Ou seja, existe uma função  que satisfaz as 
condições
se M e N satisfazem a Equação (2). 
)1(0),(),(  yyxNyxM
)2(),(),,(),( RyxyxNyxM xy 
)3(),(),(),,(),( yxNyxyxMyx yx  
Teorema 2.6.1
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Exemplo 1: Equação Exata (1 of 4)
Seja a EDO seguinte. 
Então 
e daí
Do Teorema 2.6.1, 
Portanto
0)4()4(
4
4 
 yyxyx
yx
yx
dx
dy
yxyxNyxyxM  4),(,4),(
exataéEDOa),(4),(  yxxNyxyM
yxyxyxyx yx  4),(,4),( 
  )(4
2
14),(),( 2 yCxyxdxyxdxyxyx x  
Exemplo 1: Solução (2 de 4)
Nós temos 
e 
Segue daí que
Portanto 
Pelo Teorema 2.6.1, a solução é dada implicitamente por 
yxyxyxyx yx  4),(,4),( 
  )(4
2
14),(),( 2 yCxyxdxyxdxyxyx x  
kyyCyyCyCxyxyxy  22
1)()()(44),(
kyxyxyx  22
2
14
2
1),(
cyxyx  22 8
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Exemplo 1: Campo de Direções 
e Curvas de Soluções (3 de 4)
Nossa equação diferencial e soluções são dadas por
Um gráfico de campo de direções para essa EDO, 
juntamente com várias curvas de solução, é dado abaixo. 
cyxyxyyxyx
yx
yx
dx
dy 
 22 80)4()4(
4
4
Exemplo 1: Solução Explícita e Gráficos (4 de 4)
As soluções são definidas implicitamente pela equação abaixo. 
Nesse caso, podemos resolver a equação explicitamente para y:
Curvas de solução para vários valores de c são dadas abaixo. 
cxxycxxyy  222 17408
cyxyx  22 8
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Exemplo 2: Equação Exata (1 de 3)
Seja a EDO seguinte: 
Então 
e daí
Do Teorema 2.6.1, 
Portanto
0)1(sin)2cos( 2  yexxxexy yy
1sin),(,2cos),( 2  yy exxyxNxexyyxM
exataéEDO),(2cos),(  yxxNyxexyxyM
1sin),(,2cos),( 2  yyyx exxNyxxexyMyx 
  )(sin2cos),(),( 2 yCexxydxxexydxyxyx yyx  
Exemplo 2: Solução (2 de 3)
Temos 
e 
Segue que
Portanto 
Pelo Teorema 2.6.1, a solução é dada implicitamente por 
1sin),(,2cos),( 2  yyyx exxNyxxexyMyx 
  )(sin2cos),(),( 2 yCexxydxxexydxyxyx yyx  
kyyCyC
yCexxexxyx yyy


)(1)(
)(sin1sin),( 22
kyexxyyx y  2sin),(
cyexxy y  2sin
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Exemplo 2: Campo de Direções 
e Curvas de Soluções (3 de 3)
A equação diferencial e soluções são dadas por
Um gráfico do campo de direções para essa EDO juntamente 
com várias curvas de soluções é dado abaixo. 
cyexxy
yexxxexy
y
yy


2
2
sin
,0)1(sin)2cos(
Exemplo 3: Equação Não-Exata (1 de 3)
Seja a seguinte equação diferencial. 
Então 
e daí
Para mostrar que essa EDO não pode ser resolvida por esse 
método, vamos procurar uma função  tal que 
Portanto
0)2()3( 32  yxxyyxy
32 2),(,3),( xxyyxNyxyyxM 
exataénãoEDO),(23223),(  yxxNxyyxyxyM
32 2),(,3),( xxyNyxyxyMyx yx  
  )(2/33),(),( 222 yCxyyxdxyxydxyxyx x  
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Exemplo 3: Equação Não-Exata (2 de 3)
Procuramos  tal que 
e 
Então
Portanto, não existe tal função . Entretanto, se nós 
(incorretamente) procedemos como antes, obtemos
definindo y implicitamente, e que não é uma solução da EDO.
32 2),(,3),( xxyNyxyxyMyx yx  
  )(2/33),(),( 222 yCxyyxdxyxydxyxyx x  
kyxyxyCxxyC
yCxyxxxyyxy


2/3)(2/3)(
)(22/32),(
23
??
23
?
23
cxyyx  23
Exemplo 3: Gráficos (3 de 3)
A equação diferencial e o y definido implicitamente são
Um gráfico do campo de direções para essa EDO, juntamente 
com várias curvas para y é dado abaixo.
Desses gráficos, vemos evidências adicionais que y de fato não 
satisfaz a equação diferencial. 
cxyyx
yxxyyxy


23
32 ,0)2()3(
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Gráficos
Algumas vezes é possível converter uma EDO que não é 
exata numa EDO exata multiplicando a equação por um fator 
integrante (x,y) adequado:
Para essa equação ser exata é necessário que
Essa equação diferencial parcial pode ser difícil de resolver. 
Se  é uma função apenas de x , então y = 0 e daí 
resolvemos
desde que o lado direito seja uma função apenas de x . De 
modo similar, se  é uma função apenas de y . Ver livro-
texto para mais detalhes.
Fatores Integrantes
0),(),(),(),(
0),(),(


yyxNyxyxMyx
yyxNyxM

      0  xyxyxy NMNMNM
,
N
NM
dx
d xy 
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Exemplo 4: Equação Não-Exata
Seja a EDO não-exata seguinte: 
Procurando um fator integrante, resolvemos a equação linear
Multiplicando a equação diferencial por , obtemos a equação 
exata
que tem soluções definidas implicitamente por
0)()3( 22  yxyxyxy
xx
xdx
d
N
NM
dx
d xy  )(
,0)()3( 2322  yyxxxyyx
cyxyx  223
2
1
Exemplo 5: Equação Não-Exata
Seja a EDO não-exata seguinte: 
Procurando um fator integrante, resolvemos a 
equação linear
Multiplicando a equação diferencial por  com 
c = 1 obtemos a equação exata
que tem soluções definidas implicitamente por
0 dyxdxy
2
)(2
x
cx
xdx
d
N
xNyM
dx
d  
01
2
 dy
x
dx
x
y
c
x
y 
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Exemplo 6: Equação Não-Exata
Seja a EDO não-exata seguinte: 
Procurando um fator integrante, resolvemos a 
equação linear
Multiplicando a equação diferencial por  com 
c = 1 obtemos a equação exata
que tem soluções definidas implicitamente por
0)21()2( 3
3
 dyyxdx
x
yxy
2
)(2
x
cx
xdx
d
N
xNyM
dx
d  
0)21()2(
3
3
3
 dy
x
yxdx
x
yxy
0;
2
2  xc
x
yyx
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Capítulo 2 Equações Diferenciais Ordinárias
de Primeira Ordem
2.1 Equações Lineares ; Fatores Integrantes
2.2 Equações com Variáveis Separáveis
2.3 Modelamento com Equações de 1ª.Ordem
2.4 Diferenças entre Equações Lineares e Não-Lineares
2.5 Equações Autônomas e Dinâmica Populacional
2.6 Equações Exatas e Fatores Integrantes
2.7 Aproximações Numéricas: Método de Euler
2.8 Teorema da Existência e Unicidade
2.9 Equações de Diferença de 1ª.Ordem
2.1 Equações Lineares e Fatores Integrantes
Uma EDO de primeira ordem tem a forma geral 
onde f é linear em y. Exemplos incluem equações com 
coeficientes constantes, tais como aquelas do Capítulo1
ou equações com coeficientes variáveis:
),( ytf
dt
dy 
)()( tgytp
dt
dy 
bayy 
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Caso 1: Coeficientes constantes
Para uma EDO linear de primeira ordem com coeficientes 
constantes,
lembrem-se que podemos usar métodos de Cálculo para 
obter sua solução:
Cat ekkeaby
Ctaaby
dta
aby
dy
a
aby
dtdy





,/
/ln
/
/
/
,bayy 
Caso 2: Coeficientes Variáveis
Método de Fatores Integrantes
A seguir consideramos a EDO de 1ª.ordem linear com 
coeficientes variáveis: 
O método de fatores integrantes envolve multiplicar essa 
equação por uma função (t), escolhida de tal modo que a 
equação resultante é facilmente integrada.
)()( tgytp
dt
dy 
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Exemplo 1: Fator Integrante (1 de 2)
Considere a seguinte equação:
Multiplicando ambos os lados por (t), obtemos
Escolheremos (t) de tal modo que o lado esquerdo seja a derivada 
de função conhecida. Para tal, lembre-se da regra do produto
Então, escolhemos (t) de tal modo que
2/2 teyy 
  y
dt
td
dt
dytyt
dt
d )()()(  
tettt 2)()(2)(  
)()(2)( 2/ teyt
dt
dyt t  
Exemplo 1: Solução Geral (2 de 2)
Com (t) = e2t, resolvemos a equação original como abaixo:
 
tt
tt
tt
ttt
t
t
Ceey
Ceye
eye
dt
d
eye
dt
dye
etyt
dt
dyt
eyy
22/
2/52
2/52
2/522
2/
2/
5
2
5
2
2
)()(2)(
2







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Método de Fatores Integrantes:
(i) Coeficiente constante e Não-Homogênea (lado 
direito variável)
Em geral, quando o coeficiente for constante, p(t)=a , e o 
lado direito g(t) for variável, a solução é como abaixo:
 
atatat
atat
atat
atatat
Cedttgeey
dttgeye
tgeye
dt
d
tgeyae
dt
dye
tgtyta
dt
dyt
tgayy
 







)(
)(
)(
)(
)()()()(
)(

Exemplo 2: Solução Geral (1 de 2)
Podemos resolver a equação seguinte
usando a fórmula desenvolvida no slide anterior:
Integrando por partes,
Portanto
tyy  5
5
1
5/5/5/ )5()( tttatatat CedtteeCedttgeey   
 
5/5/
5/5/5/
5/5/5/
550
5525
5)5(
tt
ttt
ttt
tee
dtetee
dttedtedtte





  5/5/5/5/5/ 550550 ttttt CetCeteeey  
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Exemplo 2: Gráficos das Soluções (2 de 2)
O gráfico à esquerda mostra o campo de direções juntamente 
com várias curvas integrais. 
O gráfico à direita mostra várias soluções, e uma solução 
particular (em vermelho) cuja curva contém o ponto (0, 50). 
particularSolução550)50,0(;5/550:geralSolução tytCety 
Exemplo 3: Solução Geral (1 de 2)
Podemos resolver a equação seguinte
usando a fórmula desenvolvida no slide anterior:
Integrando por partes,
Portanto
tyy  5
5
1
5/5/5/ )5()( tttatatat CedtteeCedttgeey   
 
5/
5/5/5/
5/5/5/
5
5525
5)5(
t
ttt
ttt
te
dtetee
dttedtedtte








  5/5/5/5/ 55 tttt CetCeteey  
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Exemplo 3: Gráficos de Soluções (2 de 2)
O gráfico à esquerda mostra campo de direções juntamente 
com várias curvas integrais. 
O gráfico à direita mostra várias curvas integrais, e uma 
solução particular (em vermelho) cujo ponto inicial no eixo-y 
separa soluções que crescem muito positivamente daquelas que 
crescem muito negativamente quando t .
tyCttCtCtCettCety 50'0;5/'05/';5/'55/5 
Método de Fatores Integrantes:
(ii) Equação Linear de 1ª.Ordem Geral
(Coeficiente variável e Não-Homogênea)
A seguir, consideramos a equação linear de 1ª.ordem geral
Multiplicandoambos os lados por (t), obtemos
Queremos (t) de tal modo que '(t) = p(t)(t), de onde segue 
que
)()( tgytpy 
  yttp
dt
dytyt
dt
d )()()()(  
)()()()()( ttgyttp
dt
dyt  
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Fator Integrante para a 
Equação Linear de Primeira Ordem Geral 
Portanto, escolhemos (t) de tal modo que '(t) = p(t)(t). 
Assumindo (t) > 0, segue-se que
Fazendo k = 0, teremos então
onde observa-se que (t) > 0, como desejado.
ktdtpttdtp
t
td   )()(ln)()( )( 
,)( )( tdtpet 
Solução Geral para a 
Equação Linear de Primeira Ordem Geral 
Logo, obtém-se o seguinte:
Portanto
tdtpettgtyttp
dt
dyt
tgytpy


)()( onde ),()()()()(
)()(

 
tdtpet
t
cdttgt
y
cdttgtyt
tgtyt
dt
d





)()( onde,
)(
)()(
)()()(
)()()(




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Exemplo 4: Solução Geral (1 de 3)
Para resolver o problema de valor inicial
primeiro coloque a equação na forma padrão:
Então
e daí 
  ,21,52 2  ytyyt
0 para,52  tty
t
y
222
2
2
ln551
51
)(
)()(
CtttCdt
t
t
t
Ctdt
t
t
Cdttgt
y 

 

  

2
1
1lnln2
2
)()(
2
t
tete
dt
tedttpet 




Exemplo 4: Solução Particular (2 de 3)
Usando a condição inicial y(1) = 2 e a solução geral 
segue-se que
ou, equivalentemente,
22 2ln52)1( tttyCy 
,ln5 22 Cttty 
 5/2ln5 2  tty
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Exemplo 4: Gráficos das Soluções (3 de 3)
Os gráficos abaixo mostram várias curvas integrais para a 
equação diferencial, e uma solução particular (em vermelho) 
cujo gráfico contém o ponto inicial (1,2).
 
22ln25 :Particular Solução
2ln25 :Geral Solução
21,252 :PVI
ttty
Cttty
ytyyt



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2.4 Diferenças entre Equações Lineares
e Não-Lineares
Lembre-se que uma EDO de 1ª.ordem tem a forma y' = f (t,y), e 
é linear se f é linear em y, e não-linear se f é não-linear em y. 
Exemplos: y' = ty - et, y' = ty2. 
Nesta seção, veremos que equações de 1ª.ordem lineares e não-
lineares se diferenciam de várias formas, que incluem: 
A teoria que define a existência e unicidade de soluções, e domínios 
correspondentes, são diferentes. 
Soluções para equações lineares podem ser resumidas em termos de 
uma solução geral, o que não é geralmente o caso para equações não-
lineares. 
Equações lineares têm soluções definidas explicitamente ao passo que 
equações não-lineares tipicamente não o são. Equações não-lineares 
podem ou não apresentar soluções definidas implicitamente.
Para ambos os tipos de equações, a construção numérica e 
gráfica de soluções são importantes.
Existência e Unicidade de Soluções
Teorema 2.4.1 Equações Lineares
Seja o problema de valor inicial (PVI) de primeira ordem:
Se as funções p e g são contínuas num intervalo aberto (, ) 
contendo o ponto (to, yo) , então existe uma única solução 
y =  (t) que satisfaz o PVI para cada t em (, ).
Demonstração: Usar discussão e resultados da Seção 2.1 :
o)o(),()( ytytgytpdt
dy 


  tt dsspet
t
ytt dttgty 00
)(
)( onde,
)(
0)()( 

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Existência e Unicidade de Soluções
Teorema 2.4.2 Equações Não-Lineares
Seja o problema de valor inicial (PVI) de 1ª.ordem não-linear:
Sejam também f e f/y funções contínuas em alguma região retangular 
aberta (t, y)  (,  ) x (,  ) que contém o ponto (t0, y0). Então, em algum 
intervalo t0 – h < t < t0 + h contido em (,  ) , existe uma única solução 
y = (t) que satisfaz o PVI.
Demonstração: Uma vez que não existe qualquer fórmula geral para a 
solução de PVIs de 1ª.Ordem Não-Lineares arbitrários, a demonstração 
deste teorema é difícil e está além do limite desta disciplina/curso. Uma 
discussão é dada na Seção 2.8 do livro-texto. 
Observa-se que as condições declaradas no Teorema 2.4.2 são suficientes 
mas não necessárias para garantir a existência de uma única solução; além 
disso, a continuidade de f garante a existência mas não a unicidade de 
(t).
0)0(),,( yyytfdt
dy 
Exemplo 1: PVI Linear
Lembre-se do PVI da Seção 2.1:
A solução deste PVI é definida para t > 0, o intervalo 
no qual p(t) = -2/t é contínua. 
Se a condição inicial é y(-1) = 2, então a solução é 
dada pela mesma expressão acima, mas é definida no 
intervalo t < 0.
Em qualquer dos casos, 
o teorema 2.4.1 garante que
a solução é única no 
intervalo correspondente.
  22ln2521,252 tttyytyyt 
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Example 2: PVI Não-Linear (1 of 2)
Seja o PVI da Seção 2.2:
As funções f e f/y são dadas por
e são contínuas exceto na reta y = 1.
Logo, podemos desenhar um retângulo aberto em torno de 
(0, -1) no qual f e f/y são contínuas, desde que ele não 
inclua a reta y = 1. 
Quão largo é o retângulo? Lembre-se da solução definida para 
t > -2, com
    ,12
243),(,
12
243),( 2
22





y
xxyx
y
f
y
xxyxf
  1)0(,12
243 2 
 y
y
xx
dx
dy
4221 23  xxxy
Example 2: Mude a Condição Inicial (2 de 2)
Nosso PVI é
com
que são contínuas, exceto na reta y = 1.
Se alteramos a condição inicial para y(0) = 1, então o 
Teorema 2.4.2 não é satisfeito. Resolvendo esse 
novo PVI, obtemos
Portanto, uma solução existe mas não é única.
    ,12
243),(,
12
243),( 2
22





y
xxyx
y
f
y
xxyxf
  1)0(,12
243 2 
 y
y
xx
dx
dy
0,221 23  xxxxy
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Exemplo 3: PVI Não-Linear (1 de 2)
Seja o problema de valor inicial não-linear
As funções f e f/y são dadas por
Portanto f é contínua para todo t , mas f/y não existe para y 
= 0, e daí o Teorema 2.4.2 não é satisfeito. Soluções existem 
mas não são únicas. Separando variáveis e resolvendo, obtemos
Se a condição inicial não está no eixo-t, então o Teorema 2.4.2
não garante existência e unicidade.
3/23/1
3
1),(,),( 
 yyt
y
fyytf
 00)0(,3/1  tyyy
0,
3
2
2
3 2/33/23/1 

 ttyctydtdyy
Exemplo 3: Gráfico (2 de 2)
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Exemplo 4: PVI Não-Linear (1 de 2)
Seja o problema de valor inicial não-linear
As funções f e f/y são dadas por
Portanto f e f/y são contínuas em t = 0, e o Teorema 2.4.2
garante que existe solução e ela é única.
Separando variáveis e resolvendo, obtemos
A solução y(t) está definida em (-, 1). Notar que a 
singularidade em t = 1 não é óbvia da declaração original do 
PVI. 
yyt
y
fyytf 2),(,),( 2 

1)0(,2  yyy
t
y
ct
yctydtdyy 
 
1
1112
Exemplo 4: Gráfico (2 de 2)
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Intervalo de Definição: Equações Lineares
Pelo Teorema 2.4.1, a solução de um PVI linear
existe através de todo e qualquer intervalo em torno de t = t0
em que p e g são funções contínuas. 
Assíntotas verticais ou outras descontinuidades da solução 
podem ocorrer apenas em pontos de descontinuidade das 
funções p ou g.
Entretanto,a solução pode ser diferenciável em pontos de 
descontinuidade de p ou g (Ver livro-texto, Seção 2.1, 
Exemplo 3).
Comparar esses comentários com aquele do Exemplo 1 e com 
equações lineares anteriores nos Capítulos 1 e 2 do livro-texto. 
0)0(),()( yytgytpy 
Intervalo de Definição: Equações Não-Lineares
No caso não-linear, o intervalo no qual uma solução existe 
pode ser difícil de se determinar. 
A solução y = (t) existe desde que (t,(t)) permaneça dentro 
da região retangular indicada pelo Teorema 2.4.2. Isso é o 
que determina o valor de h naquele teorema. Uma vez que (t)
comumente é desconhecida, essa região pode ser impossível 
de se determinar.
Em qualquer caso, o intervalo no qual uma solução existe 
pode não ter qualquer relação simples com a função f na 
equação diferencial não-linear y' = f (t, y), em contraste com o 
que se observa para equações lineares. 
Além disso, qualquer singularidade na solução pode depender 
tanto da condição inicial quanto da equação. 
Comparar esses comentários àqueles dos exemplos anteriores. 
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Soluções Gerais
Para uma equação linear de primeira ordem, é possível obter 
uma solução contendo uma constante arbitrária, da qual 
todas as soluções são obtidas pela especificação de valores 
para essa constante.
Para equações não-lineares, tais soluções gerais podem não 
existir. Ou seja, mesmo que uma solução contendo uma 
constante arbitrária possa ser descoberta, podem existir 
outras soluções que não podem ser obtidas pela 
especificação de valores para essa constante. 
Seja o Exemplo 4: A função y = 0 é uma solução da equação 
diferencial, mas ela não pode ser obtida pela especificação 
de um valor para c na solução descoberta usando separação 
de variáveis: 
ct
yy
dt
dy

 12
Soluções Explícitas: Equações Lineares
Pelo Teorema 2.4.1, uma solução do PVI linear
existe através de todo e qualquer intervalo em torno 
de t = t0 no qual p e g são funções contínuas, e essa 
solução é única.
A solução tem uma representação explícita,
e pode ser avaliada em qualquer valor apropriado de t, 
desde que as integrais necessárias possam ser 
calculadas. 
,
)(
)( onde,
)(
0)()(
00 

  tt dsspet
t
ytt dttgty 

0)0(),()( yytgytpy 
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Aproximação para Solução Explícita
Para EDOs lineares de primeira ordem, uma representação 
explícita para a solução pode ser obtida, desde que as 
integrais necessárias possam ser calculadas. 
Se as integrais não podem ser resolvidas, então métodos 
numéricos são frequentemente usados para aproximar as 
integrais. 







n
k
ktktgkt
t
t dttgt
dsspet
t
Ctt dttgty
t
t
1
)()()()(
)(
)( onde,
)(
)()(
0
00



Soluções Implícitas: Equações Não-Lineares
Para equações não-lineares, representações 
explícitas de soluções podem não existir. 
Como vimos, é possível a obtenção de uma equação 
que define implicitamente a solução. Se a equação 
é simples o suficiente, uma reperesentação explícita 
pode eventualmente ser obtida a partir desta. 
De outro modo, métodos numéricos são 
necessários para se determinar valores de y para um 
dado valor de t. Esses valores podem então ser 
usados para se traçar o gráfico da curva integral. 
Seja o exemplo a seguir, obtido da Seção 2.2 .
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Exemplo 5: Solução Implícita de PVI (1 de 2)
Seja o seguinte problema de valor inicial (PVI):
Separando variáveis e usando Cálculo, obtemos 
Usando a condição inicial, segue-se que
1)0(,
31
cos
3  yy
xyy
Cxyy
xdxdyy
y
xdxdy
y
y




 


sinln
cos31
cos31
3
2
3
1sinln 3  xyy
Exemplo 3: Gráficos (2 de 2)
1sinln1)0(,
31
cos 3
3  xyyyy
xyy
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Campo de Direções
Adicionalmente ao uso de métodos numéricos para o traçado 
da curva integral, a equação não-linear por si só pode fornecer 
informação suficiente para o traçado do campo de direções. 
O campo de direções pode frequentemente mostrar a forma 
qualitativa das soluções, e pode ajudar a identificar regiões no 
plano-ty onde as soluções exibem aspectos interessantes que 
merecem investigações analíticas ou numéricas. 
A Seção 2.7 e o Capítulo 8 focam em métodos numéricos.