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�PAGE � �PAGE �15� Objetivos Seqüências Numéricas Séries Numéricas Séries de Potências Séries de Fourier Aplicações Questões de Múltipla Escolha Questões Abertas Falso ou Verdadeiro Respostas e Sugestões Contato com o Autor Séries & Equações Diferenciais 1. Objetivos O objetivo deste Companion Website é apresentar em forma de questionário alguns conceitos e resultados que julgamos essenciais para o desenvolvimento da teoria sobre Seqüências, Séries e Equações Diferenciais. Informações completas sobre o assunto podem ser encontradas no livro “Series & Equações Diferenciais”, editado pela Pearson Education do Brasil. � Objetivos Seqüências Numéricas Séries Numéricas Séries de Potências Séries de Fourier Aplicações Questões de Múltipla Escolha Questões Abertas Falso ou Verdadeiro Respostas e Sugestões Contato com o Autor Séries & Equações Diferenciais 2. Seqüências Numéricas Enumere a segunda coluna de acordo com a primeira (1) seqüência limitada ( ) (2) seqüência crescente ( ) (3) seqüência decrescente ( ) (4) seqüência monótona crescente ( ) (5) seqüência monótona decrescente ( ) Qual das seguintes expressões representa o termo geral da seqüência A seqüência de termo geral pode ser classificada em: ( ) Decrescente e limitada ( ) Crescente e ilimitada ( ) Crescente e limitada ( ) Decrescente e ilimitada Qual das seqüências abaixo possui uma subseqüência constante? Qual das seqüências abaixo possui todos os seus termos, em valor absoluto, entre 3 e 4? O maior e o menor valor atingido pela seqüência de termo geral são respectivamente: O que você entende por “seqüência convergente”? Qual a diferença entre uma seqüência ser “limitada” e “ter limite”? Apenas duas das afirmações abaixo são verdadeiras. Quais? ( ) toda seqüência monótona é convergente ( ) toda seqüência convergente é limitada ( ) toda seqüência limitada é monótona ( ) toda seqüência monótona e limitada converge Verdadeiro ou Falso? ( ) a seqüência é não monótona e limitada ( ) a seqüência é monótona e convergente ( ) toda seqüência convergente é necessariamente monótona ( ) a soma de duas seqüências divergentes pode ser convergente ( ) toda seqüência decrescente e limitada converge para zero Segundo o Critério de Cauchy, para uma dada seqüência ser convergente é necessário e suficiente que seus termos, a partir de um determinado momento, estejam arbitrariamente próximos entre si. Use este critério e deduza que a seqüência não converge. Curiosidade. Numa calculadora insira o número 2 e pressione sucessivamente a tecla . Observe que a partir de um dado momento aparecerá o número 1, que corresponde a um valor aproximado da operação que você executou. Sabe por que isto acontece? A resposta é simples: ao pressionar sucessivamente a tecla você gera a seqüência , cujo limite é 1. Qual seria a seqüência gerada caso você pressionasse a tecla ? � Objetivos Seqüências Numéricas Séries Numéricas Séries de Potências Séries de Fourier Aplicações Questões de Múltipla Escolha Questões Abertas Falso ou Verdadeiro Respostas e Sugestões Contato com o Autor Séries & Equações Diferenciais 3. Séries Numéricas O valor numérico da soma infinita é ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1/2 ( ) 2/3 O termo convergente é usado para indicar que a série (ou soma infinita) é, efetivamente, um número real. Dentre as séries convergentes destacamos as séries geométricas, com razão entre , as séries de encaixe (telescópicas) e as p-séries, . Assinale a série divergente, isto é, aquela que não convergente. ( ) ( ) ( ) ( ) Classifique as séries abaixo em: p-série (p), geométrica (g), de encaixe (e) e harmônica (h). ( ) ( ) ( ) ( ) Enuncie os seguintes critérios de convergência para séries: Teste do n-ésimo termo e o Teste da Razão. Em cada caso dê um exemplo para a aplicação do teste. Em qual das séries abaixo o Teste do n-ésimo termo pode ser aplicado com sucesso? ( ) ( ) ( ) ( ) Em qual das séries do exercício precedente você teria sucesso ao aplicar o Teste da Razão? Uma das propriedades da adição de números reais, denominada propriedade associativa, estabelece a seguinte relação , sejam quais forem os números reais . Esta propriedade é válida para somas infinitas? Justifique. Verdadeiro ou Falso? ( ) se , então a série é convergente ( ) se é convergente então também converge ( ) se e for convergente, então também converge ( ) se e são convergentes, então é convergente. � Objetivos Seqüências Numéricas Séries Numéricas Séries de Potências Séries de Fourier Aplicações Questões de Múltipla Escolha Questões Abertas Falso ou Verdadeiro Respostas e Sugestões Contato com o Autor Séries & Equações Diferenciais 4. Séries de Potências Os intervalos de convergência das séries são respectivamente Usando a expansão , deduz-se que a soma da série Usando a expansão e as operações de derivação e integração pode-se obter desenvolvimento de outras funções elementares do cálculo. As séries que representam as funções e são respectivamente Desenvolva em séries de potências de as funções e determine onde as representações são válidas. � Objetivos Seqüências Numéricas Séries Numéricas Séries de Potências Séries de Fourier Aplicações Questões de Múltipla Escolha Questões Abertas Falso ou Verdadeiro Respostas e Sugestões Contato com o Autor Séries & Equações Diferenciais Séries de Fourier Os fundamentos teóricos sobre séries de potências estabelecem que para uma função ser representada em séries de potências de é necessário que ela possua derivadas de todas as ordens em torno de . A função dada por , não atende esta exigência e portanto sua representação em série de potências torna-se inviável. Entretanto, pode-se apresentá-la em série trigonométrica do tipo , denominada série de Fourier, em homenagem ao físico francês Jean Baptiste Fourier (1768-1830). Seus coeficientes são calculados por meio das relações Para a função dada acima, sua série de Fourier é: Determine a série de Fourier da função definida no intervalo por . Usando o resultado comprove que Uma função é tal que . Considerando que sua série de Fourier é dada por , pode-se afirmar que o valor da soma da série é O gráfico de uma função é mostrado na figura abaixo. A série de Fourier de em vale ( ) 3/4 ( ) –3/4 ( ) 1/2 ( ) –1/2 � Objetivos Seqüências Numéricas Séries Numéricas Séries de Potências Séries de Fourier Aplicações Questões de Múltipla Escolha Questões Abertas Falso ou Verdadeiro Respostas e Sugestões Contato com o Autor Séries & Equações Diferenciais 6. Aplicações A função representada pela série de potências satisfaz ao problema de primeira ordem Qual dos problemas da questão precedente é atendido pela função ? Considerando que cada um daqueles problemas tem uma única solução, qual a relação entre aquela série e esta função? Considerando que a função é a única solução do problema de equações diferenciais então é representada pela série A função representada pela série de potências . Satisfaz a equação diferencial e a condição inicial Uma função de duas variáveis do tipo onde f e g são funções suaves, é solução da equaçãodiferencial � Objetivos Seqüências Numéricas Séries Numéricas Séries de Potências Séries de Fourier Aplicações Questões de Múltipla Escolha Questões Abertas Falso ou Verdadeiro Respostas e Sugestões Contato com o Autor Séries & Equações Diferenciais 7. Respostas e Sugestões Seqüências Numéricas A numeração da segunda coluna é 4,2,5,1 e 3. Crescente e limitada Para uma seqüência possuir uma subseqüência constante, é necessário e suficiente que este valor constante se repita uma infinidade de vezes. Assim, das seqüências apresentadas apenas a seqüência possui subseqüência constante. –3-1/2n A seqüência de termo geral atinge seu valor máximo igual a 2, quando n for par, e seu valor mínimo 0, quando n for ímpar. Uma seqüência ( ) é dita convergente quando seus termos se aproximam arbitrariamente de um número fixo L, denominado limite da seqüência, à medida que o índice n aumenta. Em símbolos isto significa que a cada corresponde um índice a partir do qual se tem Uma seqüência ( ) ter limite significa convergir para um determinado valor enquanto que ser limitada significa ter majorantes superior e inferior. Em símbolos, ( ) ser limitada significa que existe uma constante C tal que A seqüência é limitada, mas não tem limite. As afirmações verdadeiras são a segunda e a quarta. V, V, F, V, F. A distância entre quaisquer dois termos consecutivos da seqüência ( ) é sempre 2 e isto mostra que ela não pode ser convergente. Séries Numéricas A soma da série é igual a 2. Trata-se de uma série geométrica de razão . Das séries apresentadas, a única que não converge é a série harmônica . h, p, g, e. Teste do n-ésimo Termo. Se uma série é convergente, então Teste da Razão: Se , então, a série converge absolutamente quando e diverge quando De todas as séries apresentadas, a única onde é . Apenas para esta série o teste se aplica com sucesso. A única série da questão Nº 5 onde não é igual a 1 é a série geométrica . Apenas para esta o Teste da Razão se aplica com sucesso. Para somas infinitas (séries) um reagrupamento de seus termos pode alterar não só o valor da soma, mas também a convergência. Por exemplo, a série é divergente, no entanto a soma infinita , obtida por um reagrupamento, vale zero. F, F, V, F. Séries de Potências Considerando na série que representa , obtemos Letra (d) Na série que representa trocamos e obtemos . De modo análogo escrevemos Séries de Fourier Letra (a) Sendo f uma função par, os coeficientes são todos nulos e portanto a série de Fourier de f é uma série de co-senos. Um cálculo direto dos demais coeficientes nos dá Assim a série de Fourier de f é e considerando encontramos Letra (b) Letra (a) Aplicações Letra (b) A unicidade de solução do problema nos leva a concluir que . Letra (a) Método da Série de Taylor. Admite-se uma solução da forma , onde são conhecidos os valores y(1)=0, y'(1)=1. Usando a equação determinamos os demais valores para as derivadas . Com isto deduzimos que a função y(x) satisfaz a equação diferencial Letra (c). � Objetivos Seqüências Numéricas Séries Numéricas Séries de Potências Séries de Fourier Aplicações Questões de Múltipla Escolha Questões Abertas Falso ou Verdadeiro Respostas e Sugestões Contato com o Autor Séries & Equações Diferenciais 8. Contato com o Autor Caso você esteja interessado numa ampla seleção de problemas de cálculo, visite o portal www.mat.ufpb.br. Para os assuntos abordados neste site, recomendamos o livro “Séries e Equações Diferenciais” editado pela MakronBooks do Brasil. Entre em contato com o autor Prof. Marivaldo P. Matos para esclarecimentos sobre estas e outras questões de Cálculo através dos endereços matos@mat.ufpb.br e mpmatos@uol.com.br “O conhecimento matemático não deve ser apenas noticiado e sim profundamente investigado e divulgado”. _1060085893.unknown _1060158871.unknown _1060160151.unknown _1060160981.unknown _1060230560.unknown _1060245336.unknown _1068100530.unknown _1060245672.unknown _1068038295.unknown _1060245883.unknown _1060245408.unknown _1060245272.unknown _1060230955.unknown _1060161206.unknown _1060168565.unknown _1060169613.unknown _1060169939.unknown _1060170331.unknown _1060170736.unknown _1060170149.unknown _1060169654.unknown _1060169285.unknown _1060169583.unknown _1060169169.unknown _1060167354.unknown _1060168014.unknown _1060168188.unknown _1060168530.unknown _1060167869.unknown _1060167986.unknown _1060161696.unknown _1060167312.unknown _1060161119.unknown _1060161138.unknown _1060160812.unknown _1060160844.unknown _1060160663.unknown _1060160582.unknown _1060159840.unknown _1060159885.unknown _1060159918.unknown _1060159452.unknown _1060159521.unknown _1060159696.unknown _1060159110.unknown _1060087184.unknown _1060088430.unknown _1060088797.unknown _1060158788.unknown _1060088774.unknown _1060087796.unknown _1060088329.unknown _1060087473.unknown _1060087360.unknown _1060086518.unknown _1060086769.unknown _1060086894.unknown _1060086721.unknown _1060086395.unknown _1060086440.unknown _1060086270.unknown _1060071637.unknown _1060071956.unknown _1060072259.unknown _1060072440.unknown _1060072594.unknown _1060072773.unknown _1060074262.unknown _1060080577.unknown _1060081132.unknown _1060072774.unknown _1060072611.unknown _1060072698.unknown _1060072771.unknown _1060072595.unknown _1060072474.unknown _1060072486.unknown _1060072593.unknown _1060072456.unknown _1060072406.unknown _1060072420.unknown _1060072322.unknown _1060072405.unknown _1060072064.unknown _1060072101.unknown _1060072173.unknown _1060072080.unknown _1060071989.unknown _1060072047.unknown _1060071970.unknown _1060071837.unknown _1060071866.unknown _1060071921.unknown _1060071941.unknown _1060071887.unknown _1060071902.unknown _1060071852.unknown _1060071797.unknown _1060071814.unknown _1060071638.unknown _1060071250.unknown _1060071483.unknown _1060071520.unknown _1060071636.unknown _1060071552.unknown _1060071501.unknown _1060071423.unknown _1060071468.unknown _1060071259.unknown _1060071153.unknown _1060071174.unknown _1060071195.unknown _1060071166.unknown _1060071081.unknown _1060071145.unknown _1059632238.unknown _1059709736.unknown _1060071080.unknown _1059800072.unknown _1059708664.unknown _1059452804.unknown _1059631147.unknown
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