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	Objetivos
Seqüências Numéricas
Séries Numéricas
Séries de Potências
Séries de Fourier
Aplicações
Questões de Múltipla Escolha
Questões Abertas
Falso ou Verdadeiro
Respostas e Sugestões
Contato com o Autor
	Séries & Equações Diferenciais
1. Objetivos
O objetivo deste Companion Website é apresentar em forma de questionário alguns conceitos e resultados que julgamos essenciais para o desenvolvimento da teoria sobre Seqüências, Séries e Equações Diferenciais. Informações completas sobre o assunto podem ser encontradas no livro “Series & Equações Diferenciais”, editado pela Pearson Education do Brasil.
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	Objetivos
Seqüências Numéricas
Séries Numéricas
Séries de Potências
Séries de Fourier
Aplicações
Questões de Múltipla Escolha
Questões Abertas
Falso ou Verdadeiro
Respostas e Sugestões
Contato com o Autor
	Séries & Equações Diferenciais
2. Seqüências Numéricas
Enumere a segunda coluna de acordo com a primeira
(1) seqüência limitada
( ) 
(2) seqüência crescente
( ) 
 
(3) seqüência decrescente
( ) 
(4) seqüência monótona crescente
( ) 
(5) seqüência monótona decrescente
( ) 
Qual das seguintes expressões representa o termo geral da seqüência 
 
A seqüência de termo geral 
 pode ser classificada em:
( ) Decrescente e limitada
( ) Crescente e ilimitada
( ) Crescente e limitada
( ) Decrescente e ilimitada
Qual das seqüências abaixo possui uma subseqüência constante?
 
Qual das seqüências abaixo possui todos os seus termos, em valor absoluto, entre 3 e 4?
O maior e o menor valor atingido pela seqüência de termo geral 
 são respectivamente:
O que você entende por “seqüência convergente”?
Qual a diferença entre uma seqüência ser “limitada” e “ter limite”?
Apenas duas das afirmações abaixo são verdadeiras. Quais?
( ) toda seqüência monótona é convergente
( ) toda seqüência convergente é limitada
( ) toda seqüência limitada é monótona
( ) toda seqüência monótona e limitada converge
Verdadeiro ou Falso?
( ) a seqüência 
 é não monótona e limitada
( ) a seqüência 
 é monótona e convergente
( ) toda seqüência convergente é necessariamente monótona
( ) a soma de duas seqüências divergentes pode ser convergente
( ) toda seqüência decrescente e limitada converge para zero
Segundo o Critério de Cauchy, para uma dada seqüência ser convergente é necessário e suficiente que seus termos, a partir de um determinado momento, estejam arbitrariamente próximos entre si. Use este critério e deduza que a seqüência 
 não converge.
Curiosidade. Numa calculadora insira o número 2 e pressione sucessivamente a tecla 
 . Observe que a partir de um dado momento aparecerá o número 1, que corresponde a um valor aproximado da operação que você executou. Sabe por que isto acontece? A resposta é simples: ao pressionar sucessivamente a tecla 
 você gera a seqüência 
, cujo limite é 1. Qual seria a seqüência gerada caso você pressionasse a tecla 
 ?
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	Objetivos
Seqüências Numéricas
Séries Numéricas
Séries de Potências
Séries de Fourier
Aplicações
Questões de Múltipla Escolha
Questões Abertas
Falso ou Verdadeiro
Respostas e Sugestões
Contato com o Autor
	Séries & Equações Diferenciais
3. Séries Numéricas
 
O valor numérico da soma infinita 
 é
( ) 1
( ) 2
( ) 1/2
( ) 2/3
O termo convergente é usado para indicar que a série (ou soma infinita) 
é, efetivamente, um número real. Dentre as séries convergentes destacamos as séries geométricas, com razão entre 
, as séries de encaixe (telescópicas) e as p-séries, 
. Assinale a série divergente, isto é, aquela que não convergente.
( ) 
( ) 
 
( ) 
( ) 
Classifique as séries abaixo em: p-série (p), geométrica (g), de encaixe (e) e harmônica (h).
( ) 
( ) 
 
( ) 
( ) 
Enuncie os seguintes critérios de convergência para séries: Teste do n-ésimo termo e o Teste da Razão. Em cada caso dê um exemplo para a aplicação do teste.
Em qual das séries abaixo o Teste do n-ésimo termo pode ser aplicado com sucesso?
( ) 
( ) 
 
( ) 
( ) 
Em qual das séries do exercício precedente você teria sucesso ao aplicar o Teste da Razão?
Uma das propriedades da adição de números reais, denominada propriedade associativa, estabelece a seguinte relação 
, sejam quais forem os números reais 
. Esta propriedade é válida para somas infinitas? Justifique.
Verdadeiro ou Falso?
( ) se 
, então a série 
é convergente
( ) se 
 é convergente então 
também converge
( ) se 
e 
for convergente, então 
 		 também converge
( ) se 
 e 
 são convergentes, então 
é 		convergente.
�
	Objetivos
Seqüências Numéricas
Séries Numéricas
Séries de Potências
Séries de Fourier
Aplicações
Questões de Múltipla Escolha
Questões Abertas
Falso ou Verdadeiro
Respostas e Sugestões
Contato com o Autor
	Séries & Equações Diferenciais
4. Séries de Potências
Os intervalos de convergência das séries
 
são respectivamente
Usando a expansão 
, deduz-se que a soma da série 
Usando a expansão 
 e as operações de derivação e integração pode-se obter desenvolvimento de outras funções elementares do cálculo. As séries que representam as funções 
e 
 são respectivamente
Desenvolva em séries de potências de 
 as funções 
 e determine onde as representações são válidas.
�
	Objetivos
Seqüências Numéricas
Séries Numéricas
Séries de Potências
Séries de Fourier
Aplicações
Questões de Múltipla Escolha
Questões Abertas
Falso ou Verdadeiro
Respostas e Sugestões
Contato com o Autor
	Séries & Equações Diferenciais
Séries de Fourier
Os fundamentos teóricos sobre séries de potências estabelecem que para uma função ser representada em séries de potências de 
 é necessário que ela possua derivadas de todas as ordens em torno de 
. A função 
 dada por 
, não atende esta exigência e portanto sua representação em série de potências torna-se inviável. Entretanto, pode-se apresentá-la em série trigonométrica do tipo
,
denominada série de Fourier, em homenagem ao físico francês Jean Baptiste Fourier (1768-1830). Seus coeficientes são calculados por meio das relações
Para a função dada acima, sua série de Fourier é:
Determine a série de Fourier da função definida no intervalo 
 por 
. Usando o resultado comprove que
Uma função 
é tal que 
. Considerando que sua série de Fourier é dada por 
, pode-se afirmar que o valor da soma da série 
 é
O gráfico de uma função 
é mostrado na figura abaixo.
A série de Fourier de 
em 
 vale
( ) 3/4
( ) –3/4
( ) 1/2
( ) –1/2
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	Objetivos
Seqüências Numéricas
Séries Numéricas
Séries de Potências
Séries de Fourier
Aplicações
Questões de Múltipla Escolha
Questões Abertas
Falso ou Verdadeiro
Respostas e Sugestões
Contato com o Autor
	Séries & Equações Diferenciais
6. Aplicações
A função 
 representada pela série de potências satisfaz ao problema de primeira ordem
Qual dos problemas da questão precedente é atendido pela função 
? Considerando que cada um daqueles problemas tem uma única solução, qual a relação entre aquela série e esta função?
Considerando que a função 
 é a única solução do problema de equações diferenciais
então 
 é representada pela série
A função 
representada pela série de potências
.
Satisfaz a equação diferencial
e a condição inicial
Uma função de duas variáveis 
do tipo
onde f e g são funções suaves, é solução da equaçãodiferencial
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Seqüências Numéricas
Séries Numéricas
Séries de Potências
Séries de Fourier
Aplicações
Questões de Múltipla Escolha
Questões Abertas
Falso ou Verdadeiro
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Contato com o Autor
	Séries & Equações Diferenciais
7. Respostas e Sugestões
Seqüências Numéricas
A numeração da segunda coluna é 4,2,5,1 e 3.
Crescente e limitada
Para uma seqüência possuir uma subseqüência constante, é necessário e suficiente que este valor constante se repita uma infinidade de vezes. Assim, das seqüências apresentadas apenas a seqüência 
 possui subseqüência constante.
–3-1/2n
A seqüência de termo geral 
atinge seu valor máximo igual a 2, quando n for par, e seu valor mínimo 0, quando n for ímpar.
Uma seqüência (
) é dita convergente quando seus termos se aproximam arbitrariamente de um número fixo L, denominado limite da seqüência, à medida que o índice n aumenta. Em símbolos isto significa que a cada 
 corresponde um índice 
 a partir do qual se tem 
Uma seqüência (
) ter limite significa convergir para um determinado valor enquanto que ser limitada significa ter majorantes superior e inferior. Em símbolos, (
) ser limitada significa que existe uma constante C tal que 
 A seqüência 
 é limitada, mas não tem limite.
As afirmações verdadeiras são a segunda e a quarta.
V, V, F, V, F.
A distância entre quaisquer dois termos consecutivos da seqüência (
) é sempre 2 e isto mostra que ela não pode ser convergente.
Séries Numéricas
A soma da série é igual a 2. Trata-se de uma série geométrica de razão 
. 
Das séries apresentadas, a única que não converge é a série harmônica 
.
h, p, g, e.
Teste do n-ésimo Termo. Se uma série 
é convergente, então 
 Teste da Razão: Se 
, então, a série 
converge absolutamente quando 
 e diverge quando 
De todas as séries apresentadas, a única onde 
 é 
. Apenas para esta série o teste se aplica com sucesso.
A única série da questão Nº 5 onde 
 não é igual a 1 é a série geométrica 
. Apenas para esta o Teste da Razão se aplica com sucesso.
Para somas infinitas (séries) um reagrupamento de seus termos pode alterar não só o valor da soma, mas também a convergência. Por exemplo, a série 
é divergente, no entanto a soma infinita 
, obtida por um reagrupamento, vale zero.
F, F, V, F.
Séries de Potências
Considerando 
 na série que representa 
, obtemos 
 
Letra (d)
Na série que representa 
trocamos 
 e obtemos 
. De modo análogo escrevemos 
 
Séries de Fourier
Letra (a)
Sendo f uma função par, os coeficientes 
 são todos nulos e portanto a série de Fourier de f é uma série de co-senos. Um cálculo direto dos demais coeficientes nos dá 
Assim a série de Fourier de f é 
 e considerando 
 encontramos 
Letra (b)
Letra (a)
Aplicações
Letra (b)
A unicidade de solução do problema nos leva a concluir que 
.
Letra (a)
Método da Série de Taylor. Admite-se uma solução da forma 
, onde são conhecidos os valores y(1)=0,  y'(1)=1. Usando a equação determinamos os demais valores para as derivadas 
. Com isto deduzimos que a função y(x) satisfaz a equação diferencial 
Letra (c). 
�
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Séries Numéricas
Séries de Potências
Séries de Fourier
Aplicações
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Contato com o Autor
	Séries & Equações Diferenciais
8. Contato com o Autor
Caso você esteja interessado numa ampla seleção de problemas de cálculo, visite o portal www.mat.ufpb.br. Para os assuntos abordados neste site, recomendamos o livro “Séries e Equações Diferenciais” editado pela MakronBooks do Brasil.
Entre em contato com o autor Prof. Marivaldo P. Matos para esclarecimentos sobre estas e outras questões de Cálculo através dos endereços matos@mat.ufpb.br e mpmatos@uol.com.br 
	
	
	“O conhecimento matemático não deve ser apenas noticiado e sim profundamente investigado e divulgado”.
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