Mecanica Clássica I EaD UAPI Francisco F B Filho

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MECÂNICA CLÁSSICA I ‐ EaD  1
CAPA 
   
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
CONTRACAPA 
   
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
 
 
 
Este  texto  é  destinado  aos  estudantes  que  participam  do  programa  de  Educação  à 
Distância  da  Universidade  Aberta  do  Piauí  (UAPI)  vinculada  ao  consórcio  formado  pela 
Universidade Federal do Piauí (UFPI), Universidade Estadual do Piauí (UESPI) e Centro Federal 
de Educação Tecnológica (CEFET – PI), com apoio do Governo do Estado do Piauí, através da 
Secretaria de Educação. 
  O  texto  é  composto  de  quatro  unidades,  contendo  itens  e  subitens,  que  discorrem 
sobre: Vetores e análise vetorial, Mecânica Newtoniana de uma partícula, Oscilações lineares, 
forças  centrais,  Dinâmica  de  um  sistema  de  partículas  e  Movimento  em  um  sistema  de 
referencia  não  inercial.  Enfatizamos  que  a  abordagem  destes  tópicos,  diferente  do  que  foi 
visto  nos  cursos  de  física  básica,  faz  uso  de  formalismos  matemáticos  mais  poderosos, 
direcionando  o  estudante  para  fazer  uso  de  raciocínios  mais  abstratos  na  resolução  de 
problemas.  
Na Unidade 1 faremos uma revisão dos conceitos de vetores e os teoremas decorrentes 
da análise vetorial. Também trataremos com a leis de Newton do movimento. 
Na  Unidade  2  trataremos  das  oscilações  lineares,  discutindo  os  vários  de  tipos  de 
oscilações, bem como fenômenos associados, como é o caso da freqüência de ressonância. 
  Na Unidade 3 discutiremos o movimento de uma partícula sob a ação de uma  força 
central.  Este  tipo  de  interação  é  encontrada  nos  sistemas  planetários,  eletromagnéticos  e 
nucleares. Constitui assim um tema de grande importância para a física. 
  Na Unidade 4 estudaremos a dinâmica de um sistema de partícula e as equações de 
movimento  em  referenciais  não  inerciais.  No  primeiro  item  desta  unidade  estamos 
preocupados  com  a  validade  dos  teoremas  de  conservação  quando  tratamos  com  sistemas 
formados  por  mais  de  uma  partícula.  No  segundo  momento  nos  interessa  ver  as 
conseqüências da aplicação das leis de Newton quando utilizamos um referencial não inercial, 
caso quando estudamos algum sistema  físico considerando um referencial preso a superfície 
da Terra. 
  A  bibliografia  para  leitura  complementar  é  indicada  ao  final  de  cada  unidade,  bem 
como  exercícios  resolvidos  e  exercícios  visando  avaliar  o  entendimento  do  leitor  serão 
apresentados ao longo do texto de cada unidade. 
   
Apresentação
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
Sumário 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE I   
1 Revisão: Vetores e Cálculo Vetorial   
1.1. Introdução   
1.2. Ângulos de direção e cossenos diretores   
1.3. Álgebra vetorial   
1.4. Mudança do sistema de coordenadas   
1.5. Diferenciação de um vetor com relação a um escalar   
1.6. Operador gradiente   
1.7. Problemas   
   
2 Mecânica Newtoniana de Uma Partícula   
   
2.1. Introdução   
2.2. Leis de Newton   
2.3. Sistemas de referências   
2.4. Equação de movimento para uma partícula   
2.5. Teoremas de conservação   
2.6. Energia   
2.7. Problemas   
   
UNIDADE II   
3 Oscilações Lineares   
3.1. Introdução   
3.2. O Oscilador Harmônico Simples   
3.3. Oscilações Amortecidas   
3.4. Oscilações Amortecidas Forçadas   
3.5. Princípio da Superposição   
3.6. Considerações Finais   
3.7. Problemas   
   
UNIDADE III   
4 Movimento de Uma Partícula Sob a Ação de Uma Força Central   
4.1. Introdução   
4.2. Problema de dois corpos   
4.3. Equações de movimento   
4.4. Órbitas em um campo de força central   
4.5. Potenciais efetivos   
4.6. Forças inversamente proporcionais ao quadrado da distancia   
4.7. Movimento planetário – Leis de Kepler   
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
4.8. Problemas   
   
   
UNIDADE IV   
5 Dinâmica de Um Sistema de Partículas   
5.1. Introdução   
5.2. Centro de massa. Conservação do momento linear   
5.3. Conservação do momento angular   
5.4. Conservação da energia   
5.5. Problemas sobre colisões   
5.6. Acoplamento de dois osciladores harmonicos   
5.7. Problemas   
   
6 Movimento em um sistema de referencia não inercial   
6.1. Introdução   
6.2. Sistemas de coordenadas com aceleração translacional   
6.3. Sistemas de coordenadas girantes   
6.4. Forças centrífugas e forças de Coriolis   
6.5. Movimento relativo próximo a superfície da Terra   
6.6. Problemas   
 
   
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
UNIDADE I 
 
Vetores e Leis Newton 
 
RESUMO 
 
  Nesta  unidade  apresentaremos,  no  capítulo  1,  conceitos  de  vetores  e  técnicas  de 
cálculo vetorial necessários para a abordagem dos conteúdos de mecânica em um nível mais 
abstrato. No segundo capítulo apresentamos conceitos e princípios que viabilizam a solução de 
problemas  de  física  usando  diretamente  as  leis  de  Newton..  Os  conceitos,  são  os  de 
deslocamento,  tempo  e  massa  e  os  princípios  são  os  de  conservação  do  momento,  do 
momento angular e de energia, todos consequências das leis de Newton. 
 
   
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
 
 
 
 
UNIDADE I   
1 Revisão: Vetores e Cálculo Vetorial   
1.1. Introdução   
1.2. Ângulos de direção e cossenos diretores   
1.3. Álgebra vetorial   
1.4. Mudança do sistema de coordenadas   
1.5. Diferenciação de um vetor com relação a um escalar   
1.6. Operador gradiente   
1.7. Problemas   
   
2 Mecânica Newtoniana de Uma Partícula   
   
2.1. Introdução   
2.2. Leis de Newton   
2.3. Sistemas de referências   
2.4. Equação de movimento para uma partícula   
2.5. Teoremas de conservação   
2.6. Energia   
2.7. Problemas   
   
 
   
SUMÁRIO DE UNIDADE 
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
Capítulo 1. Revisão – Vetores e Análise Vetorial 
 
1.1 Introdução 
Métodos  vetoriais  tornaram‐se  ferramentas  padrões  para  os  físicos,  uma  vez  que 
compõem uma linguagem e a linguagem é um ingrediente essencial do pensamento abstrato. 
Por apresentar  símbolos e palavras apropriadas  torna  fácil e  claro nosso pensamento  sobre 
conceitos sofisticados e abstratos na física. 
Quantidades físicas que são completamente especificadas, em unidades apropriadas por 
um único número (chamado a sua magnitude), tais como o volume, a massa, e a temperatura 
são  chamadas  de  quantidades  escalares.  Tais  quantidades  escalares  são  tratadas  como 
números  reais  ordinários.  Elas  obedecem  todas  as  regras  regulares  de  adição,  subtração, 
multiplicação e divisão algébricas, e assim por diante. 
Existem também quantidades físicas que exigem uma magnitude e uma direção para sua 
completa  especificação.  Estas  são  chamadas  grandezas  vetoriais  se  sua  combinação  umas 
outras  é  comutativa  (isto  é,  a  ordem  de  adição  pode  ser  alterada  sem  afetar  o  resultado). 
Assim nem  todas as quantidades possuindo magnitude e direção são vetores. Deslocamento 
angular, por exemplo, pode ser caracterizado por magnitude e direção, mas não é um vetor, 
pois a adição de dois ou mais deslocamentos angulares não é, em geral, comutativa. 
Em  impressos, denotamos vetores por  letras em negrito  (tal como ۯ) e usamos  letras 
itálicas  comuns  (tal  como ܣ) para  as magnitudes;  em manuscritos,  vetores  são usualmente 
representados por uma letra com uma seta acima dela tal como ܣԦ. Adotaremos aqui a segunda 
convenção. Um dado vetor ܣԦ pode ser escrito como 
ܣԦ ൌ ܣܣመ,                                                                                ሺ1.1ሻ 
onde ܣ é a magnitude do vetor ܣԦ e assim possui unidade e dimensão, e ܣመ é um vetor unitárioadimensional com uma magnitude unitária tendo a direção de ܣԦ. Assim 
ܣመ ൌ
ܣԦ
ܣ
.                                                                                 ሺ1.2ሻ 
Uma  quantidade  vetorial  pode  ser  representada  graficamente  (representação 
geométrica)  por  um  segmento  de  reta  orientado.  O  comprimento  da  seta  representa  a 
magnitude do  vetor,  e  a  direção da  seta  é  aquela do  vetor,  como mostrado na  Figura  1.1. 
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
 
Figura 1.1. Representação gráfica (geométrica) do vetor ܣԦ. 
 
Figura 1.2. O vetor ܣԦ em coordenadas cartesianas. 
Alternativamente, um vetor pode ser especificado por suas componentes (projeções ao longo 
de eixos coordenados) e os vetores unitários ao longo dos eixos coordenados (veja Figura 1.2): 
ܣԦ ൌ ܣଵ݁̂ଵ ൅ ܣଶ݁̂ଶ ൅ ܣଷ݁̂ଷ ൌ ∑ ܣ௜݁̂௜
ଷ
௜ୀଵ                                    ሺ1.3ሻ 
onde ݁̂௜ ሺ݅ ൌ 1, 2, 3ሻ são os vetores unitários ao longo dos eixos retangulares ݔ௜ ሺݔଵ ൌ ݔ, ݔଶ ൌ
ݕ, ݔଷ ൌ ݖሻ. Eles são normalmente escritos como ଓ̂, ଔ̂ e  ෠݇  nos livros textos de física geral. O trio 
de  componentes  (ܣଵ, ܣଶ, ܣଷ)  é  também  usado  como  uma  representação  alternativa 
(representação algébrica) para o vetor ܣԦ: 
ܣԦ ൌ ሺܣଵ, ܣଶ, ܣଷሻ                                            ሺ1.4ሻ 
Esta notação algébrica de um vetor pode ser estendida (ou generalizada) para espaços 
de  dimensões  maiores  que  três,  onde  uma  ݊‐upla  de  números  reais,  ሺܣଵ, ܣଶ,ڮ , ܣ௡ሻ, 
representa um vetor. Mesmo que não possamos construir vetores físicos para ݊ ൐ 3, podemos 
reter a linguagem geométrica para estas generalizações ݊‐dimensionais.  
 
 
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Figura 1.3. Ângulos de direção do vetor ܣԦ 
1.2 Ângulos de direção e cossenos diretores 
Podemos expressar o vetor unitário ܣመ em termos dos vetores coordenados unitários ݁̂௜. 
Da Equação (1.3),  
ܣԦ ൌ ܣ ൬
ܣଵ
ܣ
݁̂ଵ ൅
ܣଶ
ܣ
݁̂ଶ ൅
ܣଷ
ܣ
݁̂ଷ൰ ൌ ܣܣመ                                       ሺ1.5ሻ 
Agora ܣଵ/ܣ ൌ cos ߙ, ܣଶ/ܣ ൌ cos ߚ e ܣଷ/ܣ ൌ cos ߛ são os cossenos diretores do vetor 
ܣԦ e ߙ, ߚ, e ߛ são os ângulos de direção (veja Figura 1.3). Assim podemos escrever 
ܣԦ ൌ ܣሺcos ߙ ݁̂ଵ ൅ cos ߚ ݁̂ଶ ൅ cos ߛ ݁̂ଷሻ ൌ ܣܣመ                                    ሺ1.6ሻ 
de onde segue que 
ܣመ ൌ ሺcos ߙ ݁̂ଵ ൅ cos ߚ ݁̂ଶ ൅ cos ߛ ݁̂ଷሻ ൌ ሺcos ߙ , cos ߚ , cos ߛሻ                       ሺ1.7ሻ 
1.3. Álgebra Vetorial 
Igualdade de vetores 
Dois vetores, digamos ܣԦ e ܤሬԦ são iguais se, e somente se, suas respectivas componentes 
são iguais: 
ܣԦ ൌ ܤሬԦ        ou       ሺܣଵ, ܣଶ, ܣଷሻ ൌ ሺܤଵ, ܤଶ, ܤଷሻ                           ሺ1.8ሻ 
é equivalente a três equações 
ܣଵ ൌ ܤଵ,    ܣଶ ൌ ܤଶ, ܣଷ ൌ ܤଷ                                    ሺ1.9ሻ 
 
 
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Figura 1.4. Adição de dois vetores. 
Geometricamente, vetores  iguais  são paralelos e possuem o mesmo comprimento, mas não 
tem necessariamente a mesma posição. 
 
Adição de vetores 
A adição de dois vetores é definida pela equação 
ܣԦ ൅ ܤሬԦ ൌ ሺܣଵ, ܣଶ, ܣଷሻ ൅ ሺܤଵ, ܤଶ, ܤଷሻ ൌ ሺܣଵ ൅ ܤଵ, ܣଶ ൅ ܤଶ, ܣଷ ൅ ܤଷሻ       ሺ1.10ሻ 
Isto é, a soma de dois vetores é um vetor cujas componentes são as somas das componentes 
dos dois vetores dados. 
Podemos adicionar dois vetores não paralelos pelo método gráfico mostrado na Figura 
1.4. Para  adicionar o  vetor ܤሬԦ  ao  vetor ܣԦ, deslocamos ܤሬԦ paralelo  a  ele próprio  até que  sua 
extremidade  inferior  (cauda)  esteja  na  extremidade  posterior  (cabeça)  de ܣԦ. O  vetor  soma 
ܣԦ ൅ ܤሬԦ é o vetor ܥԦ desenhado da cauda de ܣԦ para a cabeça de ܤሬԦ. A ordem na qual os vetores 
são adicionados não afeta o resultado. 
 
Multiplicação por um escalar 
Se ܿ é um escalar 
ܿܣԦ ൌ ሺܿܣଵ, ܿܣଶ, ܿܣଷሻ                                                  ሺ1.11ሻ 
Geometricamente, o vetor ܿܣԦ é paralelo a ܣԦ e é ܿ vezes o comprimento de ܣԦ. Quando ܿ ൌ െ1, 
o  vetor  െܣԦ  é  aquele  cujo  direção  é  o  reverso  daquela  de  ܣԦ,  mas  ambas  tem  o  mesmo 
comprimento. Assim, a subtração do vetor ܤሬԦ de ܣԦ é equivalente a adicionar –ܤሬԦ a ܣԦ: 
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
 
Figura 1.5. O produto escalar de dois vetores 
ܣԦ െ ܤሬԦ ൌ ܣԦ ൅ ൫െܤሬԦ൯                                                        ሺ1.12ሻ 
Vemos que a adição vetorial tem as seguintes propriedades: 
(a) ܣԦ ൅ ܤሬԦ ൌ ܤሬԦ ൅ ܣԦ       (comutatividade) 
(b) ሺܣԦ ൅ ܤሬԦሻ ൅ ܥԦ ൌ ܣԦ ൅ ሺܤሬԦ ൅ ܥԦሻ    (associatividade) 
(c) ܣԦ ൅ 0ሬԦ ൌ 0ሬԦ ൅ ܣԦ ൌ ܣԦ 
(d) ܣԦ ൅ ሺെܣԦሻ ൌ 0ሬԦ 
Vamos agora considerar a multiplicação de vetores. Observe que divisão por um vetor 
não está definido. Por exemplo, expressões como ݇/ܣԦ ou ܤሬԦ/ܣԦ são sem significado. 
Existem varias modos de multiplicar dois vetores, cada um com um significado especial. 
 
O produto escalar 
O produto escalar (ponto ou interno) de dois vetores ܣԦ ou ܤሬԦ é um numero real definido 
como o produto das suas magnitudes e o cosseno do ângulo (o menor) entre eles (veja a Figura 
1.5): 
ܣԦ · ܤሬԦ ؠ ܣܤ ܿ݋ݏ ߠ ሺ0 ൑ ߠ ൑ ߨሻ.                                ሺ1.13ሻ 
Está claro da definição (1.13) que o produto escalar é comutativa, isto é, 
ܣԦ · ܤሬԦ ൌ ܤሬԦ · ܣԦ,                                                        ሺ1.14ሻ 
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
e o produto de um vetor por ele mesmo fornece o quadrado do produto interno do vetor, isto 
é, 
ܣԦ · ܣԦ ൌ ܣଶ                                                       ሺ1.15ሻ   
Se ܣԦ · ܤሬԦ ൌ 0 e nenhum dos vetores, ܣԦ ou ܤሬԦ, é um vetor nulo (zero), então ܣԦ é perpendicular a 
ܤሬԦ. 
Da Figura 1.5 podemos conseguir a  interpretação geométrica do produto, observando 
que ሺܤ ܿ݋ݏ ߠሻܣ é a projeção de ܤሬԦ sobre ܣԦ multiplicado pelo modulo de ܣԦ ou que ሺܣ ܿ݋ݏ ߠሻܤ é 
a projeção de ܣԦ na direção de ܤሬԦ multiplicado pelo modulo de ܤሬԦ. 
Se apenas as componentes de ܣԦ e ܤሬԦ  são conhecidas, então não  seria pratico calcular 
ܣԦ · ܤሬԦ  da  definição  (1.13).  Mas  neste  caso,  podemos  calcular  ܣԦ · ܤሬԦ  em  termos  das 
componentes, da seguinte forma 
ܣԦ · ܤሬԦ ൌ ሺܣଵ݁̂ଵ ൅ ܣଶ݁̂ଶ ൅ ܣଷ݁̂ଷሻ · ሺܤଵ݁̂ଵ ൅ ܤଶ݁̂ଶ ൅ ܤଷ݁̂ଷሻ 
ൌ ܣଵܤଵ݁̂ଵ · ݁̂ଵ ൅ ܣଵܤଶ݁̂ଵ · ݁̂ଶ ൅ ܣଵܤଷ݁̂ଵ · ݁̂ଷ 
  ൅ܣଶܤଵ݁̂ଶ · ݁̂ଵ ൅ ܣଶܤଶ݁̂ଶ · ݁̂ଶ ൅ ܣଶܤଷ݁̂ଶ · ݁̂ଷ 
  ൅ܣଷܤଵ݁̂ଷ · ݁̂ଵ ൅ ܣଷܤଶ݁̂ଷ · ݁̂ଶ ൅ ܣଷܤଷ݁̂ଷ · ݁̂ଷ                                   ሺ1.16ሻ 
onde obtemos nove  termos,  todos envolvendo o produto  interno entre vetores unitários da 
forma݁̂௜ · ݁̂௝. Os vetores unitários ݁̂ଵ, ݁̂ଶ e ݁̂ଷ formam um conjunto de vetores ortogonais entre 
si, de forma que o produto interno entre vetores com índices diferentes é nulo enquanto entre 
vetores de mesmo índice é igual a unidade, isto é, 
݁̂௜ · ݁̂௝ ൌ ߜ௜௝           ݅, ݆ ൌ 1, 2, 3                                       ሺ1.17ሻ 
onde 
ߜ௜௝ ൌ ൝
0,                ݏ݁  ݅ ് ݆
1,                ݏ݁  ݅ ൌ ݆
                                          ሺ1.18ሻ 
Assim, usando (1.17), a expressão em (1.16) torna‐se apenas 
ܣԦ · ܤሬԦ ൌ ܣଵܤଵ ൅ ܣଶܤଶ ൅ ܣଷܤଷ                                    ሺ1.19ሻ 
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
 
Figura 1.6 Lei dos cossenos 
Uma aplicação que usa a definição de produto  interno ou produto escalar é a  lei dos 
cossenos para triângulos planos. Considere o vetor ܥԦ resultante da soma dos vetores ܣԦ e ܤሬԦ, 
que são os lados do triangulo, 
ܥԦ ൌ ܣԦ ൅ ܤሬԦ                                                        ሺ1.20ሻ 
Tomando o produto de ܥԦ por ele mesmo obtemos 
 
ܥଶ ൌ ܥԦ · ܥԦ ൌ ൫ܣԦ ൅ ܤሬԦ൯ · ൫ܣԦ ൅ ܤሬԦ൯                                                                    
ൌ ܣଶ ൅ ܤଶ ൅ 2ܣԦ · ܤሬԦ ൌ ܣଶ ൅ ܤଶ ൅ 2ܣܤ ܿ݋ݏ ߠ .                      ሺ1.21ሻ 
A relação (1.21) é alei dos cossenos. 
O produto vetorial (ou produto cruz ou externo) 
O produto vetorial de dois vetores ܣԦ e ܤሬԦ é um vetor ܥԦ, escrito como 
ܥԦ ൌ ܣԦ ൈ ܤሬԦ,ሺ1.22ሻ 
perpendicular ao plano definido pelos vetores ܣԦ e ܤሬԦ e direção escolhida ao  longo do polegar 
da mão direita quando os dedos giram de ܣԦ para ܤሬԦ (ângulos de rotação menor que 180଴). Veja 
a  Figura 1.7 para entender  a  geometria do problema. O módulo de ܥԦ é dado pela  área do 
paralelogramo formado pelos vetores ܣԦ e ܤሬԦ. Assim podemos escrever 
ܥԦ ൌ ܣԦ ൈ ܤሬԦ ൌ ܣܤ ݏ݅݊ ߠ ݁̂஼      ሺ0 ൑ ߠ ൑ ߨሻ                               ሺ1.23ሻ 
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
 
Figura 1.7. Produto vetorial entre os vetores ܣԦ e ܤሬԦ e a regra da mão direita. 
Da definição do produto vetorial e da regra da mão direita segue imediatamente que 
ܣԦ ൈ ܤሬԦ ൌ െܤሬԦ ൈ ܣԦ,                                                             ሺ1.24ሻ 
ou seja, o produto vetorial não é comutativo. Se ܣԦ e ܤሬԦ são paralelos, então segue de  (1.23) 
que 
ܣԦ ൈ ܤሬԦ ൌ 0.                                                             ሺ1.25ሻ 
Em termos de componentes, temos 
ܣԦ ൈ ܤሬԦ ൌ ሺܣଵ݁̂ଵ ൅ ܣଶ݁̂ଶ ൅ ܣଷ݁̂ଷሻ ൈ ሺܤଵ݁̂ଵ ൅ ܤଶ݁̂ଶ ൅ ܤଷ݁̂ଷሻ                                  
ൌ ܣଵܤଵሺ݁̂ଵ ൈ ݁̂ଵሻ ൅ ܣଵܤଶሺ݁̂ଵ ൈ ݁̂ଶሻ ൅ ܣଵܤଷሺ݁̂ଵ ൈ ݁̂ଷሻ                               
  ൅ܣଶܤଵሺ݁̂ଶ ൈ ݁̂ଵሻ ൅ ܣଶܤଶሺ݁̂ଶ ൈ ݁̂ଶሻ ൅ ܣଶܤଷሺ݁̂ଶ ൈ ݁̂ଷሻ                          
  ൅ܣଷܤଵሺ݁̂ଷ ൈ ݁̂ଵሻ ൅ ܣଷܤଶሺ݁̂ଷ ൈ ݁̂ଶሻ ൅ ܣଷܤଷሺ݁̂ଷ ൈ ݁̂ଷሻ             ሺ1.26ሻ 
Considerando as definições (1.22), (1.23) e (1.24) e o fato dos vetores unitários formarem um 
conjunto de vetores mutuamente ortogonais, segue que 
݁̂ଵ ൈ ݁̂ଶ ൌ ݁̂ଷ,      ݁̂ଶ ൈ ݁̂ଵ ൌ െ݁̂ଷ                                  ሺ1.27ሻ 
݁̂ଵ ൈ ݁̂ଷ ൌ െ݁̂ଶ,      ݁̂ଷ ൈ ݁̂ଵ ൌ ݁̂ଶ                                   ሺ1.28ሻ 
݁̂ଶ ൈ ݁̂ଷ ൌ ݁̂ଵ,      ݁̂ଷ ൈ ݁̂ଶ ൌ െ݁̂ଵ                                   ሺ1.29ሻ 
݁̂ଵ ൈ ݁̂ଵ ൌ ݁̂ଶ ൈ ݁̂ଶ ൌ ݁̂ଷ ൈ ݁̂ଷ ൌ 0                                   ሺ1.30ሻ 
 
 
16
Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
De (1.27) – (1.30) segue que 
ܣԦ ൈ ܤሬԦ ൌ ܣଵܤଵሺ0ሻ ൅ ܣଵܤଶሺ݁̂ଷሻ ൅ ܣଵܤଷሺെ݁̂ଶሻ                                         
  ൅ܣଶܤଵሺെ݁̂ଷሻ ൅ ܣଶܤଶሺ0ሻ ൅ ܣଶܤଷሺ݁̂ଵሻ                                        
  ൅ܣଷܤଵሺ݁̂ଶሻ ൅ ܣଷܤଶሺെ݁̂ଵሻ ൅ ܣଷܤଷሺ0ሻ                         ሺ1.31ሻ 
ou ainda 
ܣԦ ൈ ܤሬԦ ൌ ሺܣଶܤଷ െ ܣଷܤଶሻ݁̂ଵ ൅ ሺܣଷܤଵ െ ܣଵܤଷሻ݁̂ଶ  ൅ ሺܣଵܤଶ െ ܣଶܤଵሻ݁̂ଷ                ሺ1.32ሻ 
O resultado (1.32) pode ser colocado na forma de determinante, para ser lembrado mais 
facilmente: 
ܣԦ ൈ ܤሬԦ ൌ อ
݁̂ଵ ݁̂ଶ ݁̂ଷ
ܣଵ ܣଶ ܣଷ
ܤଵ ܤଶ ܤଷ
อ                                                  ሺ1.33ሻ 
As Equações (1.27) – (1.30) podem ser escrita de forma compacta em termos do símbolo 
de permutação ߝ௜௝௞: 
݁̂௜ ൈ ݁̂௝ ൌ  ෍ ߝ௜௝௞݁̂௞
ଷ
௞ୀଵ
                                                ሺ1.34ሻ 
ondeߝ௜௝௞  é definido por 
ߝ௜௝௞ ൌ ቐ
൅1       ݏ݁ ሺ݅, ݆, ݇ሻé ݑ݉ ݌݁ݎ݉ݑݐܽçã݋ ݌ܽݎ ݀݁ ሺ1,2,3ሻ     
െ1       ݏ݁ ሺ݅, ݆, ݇ሻé ݑ݉ ݌݁ݎ݉ݑݐܽçã݋ í݉݌ܽݎ ݀݁ ሺ1,2,3ሻ
0               ݏ݁ ݀݋݅ݏ ݋ݑ ݉ܽ݅ݏ í݊݀݅ܿ݁ݏ ݏã݋ ݅݃ݑܽ݅ݏ       
              ሺ1.35ሻ 
Usando o resultado (1.34) e a definição (1.35) seguem imediatamente os resultados (1‐
27) – (1.30). 
Assim,  com  o  uso  do  símbolo  de  permutações  podemos  escrever  o  produto  vetorial 
como 
ܣԦ ൈ ܤሬԦ ൌ ൭෍ܣ௜݁̂௜
ଷ
௜ୀଵ
൱ ൈ ቌ෍ܤ௝݁̂௝
ଷ
௝ୀଵ
ቍ ൌ ෍ ܣ௜ܤ௝൫݁̂௜ ൈ ݁̂௝൯
ଷ
௜,௝ୀଵ
                            
ൌ ෍ ൫ܣ௜ܤ௝ߝ௜௝௞൯݁̂௞ ൈ ݁̂௝
ଷ
௜,௝,௞ୀଵ
                                                         ሺ1.36ሻ 
 
 
17
Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
 
Figura 1.8 O produto escalar triplo de três vetores ܣԦ, ܤሬԦ, ܥԦ. 
De (1.36) segue que a ݇‐ésima componente de ܣԦ ൈ ܤሬԦ é 
൫ܣԦ ൈ ܤሬԦ൯
௞
ൌ ෍ ߝ௞௜௝ܣ௜ܤ௝
ଷ
௜,௝ୀଵ
                                               ሺ1.37ሻ  
Se ݇ ൌ 1, obtemos 
൫ܣԦ ൈ ܤሬԦ൯
ଵ
ൌ ෍ ߝଵ௜௝ܣ௜ܤ௝
ଷ
௜,௝ୀଵ
ൌ ߝଵଶଷܣଶܤଷ ൅ ߝଵଷଶܣଷܤଶ                                   
ൌ ܣଶܤଷ െ ܣଷܤଶ.                                                                   ሺ1.38ሻ 
 
O produto escalar triplo ܣԦ · ൫ܤሬԦ ൈ ܥԦ൯ 
O produto escalar  triplo  representa o  volume do paralelepípedo  formado pelos  lados 
coincidentes ܣԦ, ܤሬԦ e ܥԦ, uma vez que 
ܣԦ · ൫ܤሬԦ ൈ ܥԦ൯ ൌ ܣܤܥ ݏ݅݊ ߠ ܿ݋ݏ ߙ ൌ ݄ܵ ൌ ݒ݋݈ݑ݉݁                                 ሺ1.39ሻ 
Conforme mostra  a  Figura 1.8, ܵ é  área do paralelogramo de  lados ܤሬԦ e ܥԦ, e ݄  a  altura do 
paralelepípedo. Usando (1.33) podemos escrever (1.39) como 
ܣԦ · ൫ܤሬԦ ൈ ܥԦ൯ ൌ ሺܣଵ݁̂ଵ ൅ ܣଶ݁̂ଶ ൅ ܣଷ݁̂ଷሻ · อ
݁̂ଵ ݁̂ଶ ݁̂ଷ
ܤଵ ܤଶ ܤଷ
ܥଵ ܥଶ ܥଷ
อ                        ሺ1.40ሻ 
Desenvolvendo o determinante, (1.40) toma a forma 
 
 
18
Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
ܣԦ · ൫ܤሬԦ ൈ ܥԦ൯ ൌ อ
ܣଵ ܣଶ ܣଷ
ܤଵ ܤଶ ܤଷ
ܥଵ ܥଶ ܥଷ
อ                                         ሺ1.41ሻ 
Do  resultado  (1.41)  fica  fácil  mostrar  que  um  número  par  de  permutações  entre  os 
vetores não altera o resultado, enquanto um número impar de permutações introduz um sinal 
menos no  resultado.  Isto  segue das propriedades de determinantes que diz que  a  troca de 
quaisquer duas colunas ou duas linhas entre si troca o sinal do determinante. No nosso caso a 
troca de  linha no determinante  leva a uma  troca na ordem em que os vetores aparecem no 
produto escalar triplo. Assim temos 
ܣԦ · ൫ܤሬԦ ൈ ܥԦ൯ ൌ െܥԦ · ൫ܤሬԦ ൈ ܣԦ൯ 
ൌ ܥԦ · ൫ܣԦ ൈ ܤሬԦ൯                                                     ሺ1.42ሻ 
Não temos mudança de sinal quando efetuamos a troca do ponto com a cruz 
ܣԦ · ൫ܤሬԦ ൈ ܥԦ൯ ൌ ൫ܣԦ ൈ ܤሬԦ൯ · ܥԦ                                              ሺ1.43ሻ 
O resultado (1.43) é idêntico ao resultado da ultima igualdade em (1.42). 
Também a permuta dos  vetores de  forma que apareçam em ordem  cíclica, ܣԦ ՜ ܤሬԦ ՜
ܥԦ ՜ ܣԦ não altera o sinal do produto escalar triplo. 
 
O produto vetorial triplo 
O  produto  vetorial  triplo  ܣԦ ൈ ൫ܤሬԦ ൈ ܥԦ൯  é  um  vetor  porque  é  o  produto  vetorial  dos 
vetores ܣԦ e ܤሬԦ ൈ ܥԦ. Este vetor é perpendicular a ܤሬԦ ൈ ܥԦ e assim está no plano que contem os 
vetores ܤሬԦ e ܥԦ.  Se ܤሬԦ não é paralelo a ܥԦ, podemos escrevê‐lo  como uma  combinação  linear 
entre ܤሬԦ e ܥԦ, isto é, 
ܣԦ ൈ ൫ܤሬԦ ൈ ܥԦ൯ ൌ ݔܤሬԦ ൅ ݕܥԦ                                               ሺ1.44ሻ 
Como ܣԦ ൈ ൫ܤሬԦ ൈ ܥԦ൯ · ܣԦ ൌ 0, segue  
ݔܤሬԦ · ܣԦ ൅ ݕܥԦ · ܣԦ ൌ 0                                                 ሺ1.45ሻ 
ou 
 
 
19
Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
ݔ
ܥԦ · ܣԦ
ൌ െ
ݕ
ܤሬԦ · ܣԦ
ؠ ߛ                                            ሺ1.45ሻ 
comߛ sendo um escalar. Assim podemos escrever (1.44) como 
ܣԦ ൈ ൫ܤሬԦ ൈ ܥԦ൯ ൌ ߛൣܤሬԦ൫ܣԦ · ܥԦ൯ ൅ ܥԦ൫ܣԦ · ܤሬԦ൯൧                                               ሺ1.44ሻ 
 
Exercício proposto 
Mostre que em (1.14), 
ߛ ൌ 1.                                                                     ሺ1.45ሻ 
 
Assim, usando ሺ1.45ሻ em ሺ1.44ሻ ficamos com 
ܣԦ ൈ ൫ܤሬԦ ൈ ܥԦ൯ ൌ ܤሬԦ൫ܣԦ · ܥԦ൯ ൅ ܥԦ൫ܣԦ · ܤሬԦ൯                                           ሺ1.44ሻ 
que é uma identidade muito usada em várias situações de resolução de problemas em Física. 
 
Exercício proposto 
Demonstre as seguintes identidades vetoriais 
(a) ܣԦ · ൫ܤሬԦ ൈ ܥԦ൯ ൌ ܤሬԦ · ൫ܥԦ ൈ ܣԦ൯ ൌ ܥԦ · ൫ܣԦ ൈ ܤሬԦ൯ ൌ ܣԦܤሬԦܥԦ 
(b) ܣԦ ൈ ൫ܤሬԦ ൈ ܥԦ൯ ൌ ൫ܣԦ · ܥԦ൯ܤሬԦ െ ൫ܣԦ · ܤሬԦ൯ܥԦ 
(c)
൫ܣԦ ൈ ܤሬԦ൯ · ൫ܥԦ ൈ ܦሬሬԦ൯ ൌ ܣ · ሾܤ ൈ ሺܥ ൈ ܦሻሿ
                              ൌ ܣ · ൣ൫ܤሬԦ · ܦሬሬԦ൯ܥԦ െ ൫ܤሬԦ · ܥԦ൯ܦሬሬԦ൧
                                        ൌ ൫ܣԦ · ܥԦ൯൫ܤሬԦ · ܦሬሬԦ൯ െ ൫ܤሬԦ · ܥԦ൯൫ܣԦ · ܦሬሬԦ൯
 
(d)           
൫ܣԦ ൈ ܤሬԦ൯ ൈ ൫ܥԦ ൈ ܦሬሬԦ൯ ൌ ൣ൫ܣԦ ൈ ܤሬԦ൯ · ܦሬሬԦ൧ܥԦ െ ൣ൫ܣԦ ൈ ܤሬԦ൯ · ܥԦ൧ܦሬሬԦ
                ൌ ൫ܣԦܤሬԦܦሬሬԦ൯ܥԦ െ ൫ܣԦܤሬԦܥԦ൯ܦሬሬԦ ൌ ൫ܣԦܥԦܦሬሬԦ൯ܦሬሬԦ െ ൫ܤሬԦܥԦܦሬሬԦ൯ܣԦ
 
 
1.4. Mudança do sistema de coordenadas 
Equações vetoriais são independentes do sistema de coordenadas que escolhido, mas as 
componentes  de  uma  quantidade  vetorial  são  diferentes  em  sistemas  de  coordenadas 
 
 
20
Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
diferentes.  Considere  dois  sistemas  de  coordenadas  ݔଵ
ᇱݔଶ
ᇱ ݔଶ
ᇱ   (vetores  unitários  ݁ଵ
ᇱ ,  ݁ଶ
ᇱ , 
݁ଷ
ᇱ )eݔଵݔଶݔଷ (vetores unitários ݁ଵ, ݁ଶ, ݁ଷ) com as origenscoincidentes e o primeiro girado em 
relação ao segundo de um ângulo ߛ em torno de um eixo qualquer que passe pela origem.  
O  vetor  ܣԦ  terá  as  seguintes  representações  em  termos  de  coordenadas  nos  dois 
sistemas de coordenadas: 
ܣԦ ൌ ܣଵ݁̂ଵ ൅ ܣଶ݁̂ଶ ൅ ܣଷ݁̂ଷ ൌ෍ܣ௜݁̂௜
ଷ
௜ୀଵ
                               ሺ1.45ሻ 
e 
ܣԦ ൌ ܣଵ
ᇱ ݁̂ଵ
ᇱ ൅ ܣଶ
ᇱ ݁̂ଶ
ᇱ ൅ ܣଷ
ᇱ ݁̂ଷ
ᇱ ൌ ෍ܣ௜
ᇱ݁௜
ᇱ
ଷ
௜ୀଵ
                               ሺ1.46ሻ 
Como as coordenadas do sistema girado ݔଵ
ᇱݔଶ
ᇱ ݔଶ
ᇱ  estão relacionadas com as do sistema 
original ݔଵݔଶݔଷ? Observando que o produto interno ܣԦ · ݁̂௜
ᇱ é igual a ܣ௜
ᇱ, a projeção de ܣԦ com a 
direção de ݁̂௜
ᇱ. Assim podemos escrever 
ܣଵ
ᇱ ൌ ሺ݁̂ଵ · ݁̂ଵ
ᇱሻܣଵ ൅ ሺ݁̂ଶ · ݁̂ଵ
ᇱሻܣଶ ൅ ሺ݁̂ଷ · ݁̂ଵ
ᇱሻܣଷ                                      ሺ1.47ሻ 
ܣଶ
ᇱ ൌ ሺ݁̂ଵ · ݁̂ଶ
ᇱ ሻܣଵ ൅ ሺ݁̂ଶ · ݁̂ଶ
ᇱ ሻܣଶ ൅ ሺ݁̂ଷ · ݁̂ଶ
ᇱ ሻܣଷ                                      ሺ1.48ሻ 
ܣଷ
ᇱ ൌ ሺ݁̂ଵ · ݁̂ଷ
ᇱ ሻܣଵ ൅ ሺ݁̂ଶ · ݁̂ଷ
ᇱ ሻܣଶ ൅ ሺ݁̂ଷ · ݁̂ଷ
ᇱ ሻܣଷ                                      ሺ1.49ሻ 
Os produtos  internos em  (1.47) –  (1.49)  são os  cossenos diretores dos eixos do novo 
sistema de coordenadas relativo ao sistema antigo: 
ߣ௜௝ ൌ ݁௜
ᇱ · ௝݁ ൌ ܿ݋ݏ൫ݔ௜
ᇱ, ݔ௝൯                                             ሺ1.50ሻ 
As Equações  (1.47) –  (1.49) podem ser colocadas na forma matricial e com a definição 
(1.50) podem ser escritas como 
ቌ
ܣଵ
ᇱ
ܣଶ
ᇱ
ܣଷ
ᇱ
ቍ ൌ ൭
ߣଵଵ ߣଵଶ ߣଵଶ
ߣଶଵ ߣଶଶ ߣଶଷ
ߣଷଵ ߣଷଶ ߣଷଷ
൱൭
ܣଵ
ܣଶ
ܣଷ
൱                                    ሺ1.51ሻ 
A  matriz  dos  coeficientes  ߣ௜௝  é  a  matriz  que  efetua  a  rotação  do  sistema  de 
coordenadas.  É  uma  matriz  ortogonal:  seu  determinante  é  igual  a േ1.  Os  seus  elementos 
satisfazem a seguinte relação 
 
 
21
Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
෍ߣ௜௝ߣ௜௞
ଷ
௜
ൌ ߜ௝௞           ሺ݆, ݇ ൌ 1, 2, 3ሻ                        ሺ1.52ሻ 
Assim as  coordenadas da quantidade  vetorial ܣԦ no  sistema girado estão  relacionadas 
com as coordenadas da mesma quantidade no sistema antigo através da relação 
ܣ௜
ᇱ ൌ෍ߣ௜௝ܣ௝
ଷ
௝ୀଵ
                                                 ሺ1.53ሻ 
Qualquer quantidade que se transforme de acordo com a Equação (1.53) é dita ser uma 
quantidade vetorial. 
Quantidades tensoriais ሺܣሻ௜௝que representam quantidades físicas tais como o tensor de 
inercia, em problemas de  rotação de  corpos  rígidos, ou o  tensor das  tensões, no estudo de 
deformações de sólidos, ou o tensor permissividade elétrica ou o tensor dielétrico, em cristais 
dielétricos, são quantidades que se transformam como 
ܣ௜௝
ᇱ ൌ ෍ ߣ௜௞ߣ௜௟ܣ௞௟
ଷ
௞,௟ୀଵ
                                                  ሺ1.54ሻ 
frente a transformação das coordenadas do sistema por uma rotação. 
 
1.5. Diferenciação de um vetor com relação a um escalar 
Um vetor pode ser  função de um ou mais escalares e vetores. O conceito de campo é 
usado em física para representar uma quantidade física que é função da posição em uma dada 
região. A temperatura é um campo escalar, porque seu valor depende da  localização: a cada 
ponto  ሺݔ, ݕ, ݖሻ  está  associada uma  temperatura ܶሺݔ, ݕ, ݖሻ. A  função ܶሺݔ, ݕ, ݖሻ  é um  campo 
esclar,  cujo  valor  é  um  numero  real  dependendo  apenas  do  ponto  no  espaço mas  não  da 
escolha particular do sistema de coordenadas. Um campo vetorial, por outro  lado, associa a 
cada ponto um vetor, tal como a velocidade do vento ou a  intensidade do campo elétrico ou 
magnético. Quando  descrito  em  um  sistema  girado,  por  exemplo,  as  três  componentes  do 
vetor associado com o ponto mudarão numericamente. Conceitos  importantes  fisicamente e 
geometricamente  relacionados  com  campos  escalares  e  vetoriais  são  o  gradiente,  a 
divergência, o rotacional, e os correspondentes teoremas integrais. 
 
 
22
Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
Os  conceitos  de  cálculo  tais  como  a  continuidade  e  diferenciabilidade,  podem  ser 
naturalmente generalizados para o cálculo vetorial. Considere um vetor ܣԦ cujas componentes 
são  funções de uma única variável ݑ. Se o vetor ܣԦ  representa a posição ou velocidade, por 
exemplo, então o parâmetro ݑ é usualmente o  tempo ݐ, mas pode ser qualquer quantidade 
que determine as  componentes de ܣԦ. Em um  sistema de  coordenadas  cartesianas a  função 
vetorial ܣԦሺݑሻ pode ser escrita como 
ܣԦሺݑሻ ൌ ܣଵሺݑሻ݁̂ଵ ൅ ܣଶሺݑሻ݁̂ଶ ൅ ܣଷሺݑሻ݁̂ଷ.                                   ሺ1.55ሻ 
A  função  vetorialܣԦሺݑሻ  é dita  contínua  se  em ݑ ൌ ݑ଴  se  ela  está definida  em  alguma 
vizinhança de ݑ଴ e 
݈݅݉
௨՜௨బ
ܣԦ ሺݑሻ ൌ ܣԦሺݑ଴ሻ                                                ሺ1.56ሻ 
A função vetorial ܣԦሺݑሻ é dita diferenciável em um ponto ݑ se o limite 
݀ܣԦሺݑሻ
݀ݑ
ൌ ݈݅݉
∆௨՜଴
ܣԦሺݑ ൅ ∆ݑሻ െ ܣԦሺݑሻ
∆ݑ
                              ሺ1.57ሻ 
existe. O vetor 
ܣԦᇱሺݑሻ ൌ
݀ܣԦሺݑሻ
݀ݑ
ൌ ܣଵ
ᇱ ሺݑሻ݁̂ଵ ൅ ܣଶ
ᇱ ሺݑሻ݁̂ଶ ൅ ܣଷ
ᇱ ሺݑሻ݁̂ଷ.                    ሺ1.58ሻ 
é  chamado  a  derivada  de  ܣԦሺݑሻ.  Estamos  supondo  que  os  vetores  são  fixos  no  espaço. 
Derivadas de ordens mais altas para ܣԦሺݑሻ podem ser definidas de forma semelhante. 
Se um vetor ܣԦ é função de mais de uma variável, por exemplo, das variáveis ݑ e ݒ, isto 
é, ܣԦ ൌ ܣԦሺݑ, ݒሻ, então 
݀ܣԦ ൌ
߲ܣԦ
߲ݑ
݀ݑ ൅
߲ܣԦ
߲ݒ
݀ݒ                                               ሺ1.59ሻ 
é o diferencial de ܣԦ e  
߲ܣԦ
߲ݑ
ൌ ݈݅݉
∆௨՜଴
ܣԦሺݑ ൅ ∆ݑ, ݒሻ െ ܣԦሺݑ, ݒሻ
∆ݑ
                              ሺ1.60ሻ 
e de forma semelhante para ߲ܣԦ/߲ݒ. 
 
 
23
Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
 
Figura 1.9. Vetor posição ݎԦ e ݎԦ ൅ ∆ݎԦ em dois instantes de tempo diferentes, diferindo um do outro 
por uma quantidade finita ∆ݐ. 
Derivadas  de  produtos  obedecem  a  regras  semelhantes  aquelas  para  as  funções 
escalares.  Contudo,  quando  produto  vetorial  está  envolvido  a  ordem  dos  fatores  deve  ser 
considerada. 
Como uma aplicação de diferenciação vetorial podemos considerar a variação no tempo 
do vetor posição ݎԦሺݑሻ do ponto ܲሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ como mostrado na Figura (1.9), então 
ݎԦሺݑሻ ൌ ݔଵሺݑሻ݁̂ଵ ൅ ݔଶሺݑሻ݁̂ଶ ൅ ݔଷሺݑሻ݁̂ଷ.                                    ሺ1.61ሻ 
Quando o parâmetro ݑ muda, o ponto P da extremidade de ݎԦ descreve uma curva ܥ no 
espaço. A Equação (1.55) é uma representação paramétrica da curva, e ݑ é o parâmetro desta 
representação. Então 
∆ݎԦ
∆ݑ
ൌ
ݎԦሺݑ ൅ ∆ݑሻ െ ݎԦሺݑሻ
∆ݑ
                                        ሺ1.62ሻ 
é um vetor na direção de ∆ݎԦ e que no limite de ∆ݑ ՜ 0 (se existir o limite) ݀ݎԦ/݀ݑ é um vetor 
na direção da tangente à curva em ሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ.  
Se  em mecânica,  o  parâmetro  ݑ  é  o  tempo  ݐ  então,   ݀ݎԦ/݀ݐ  ൌ ݒԦ  é  a  velovidade  da 
partícula  que  é  tangente  a  curva  no  ponto  especificado.  Similarmente,  Ԧܽ ൌ ݀ݒԦ/݀ݐ  é  a 
aceleração da partícula. 
ݒ ؠ
݀ݎԦ
݀ݐ
ൌ ݎԦሶ                                                                ሺ1.63ሻ 
Ԧܽ ؠ
݀ݒԦ
݀ݐ
ൌ
݀ଶݎԦ
݀ݐଶ
ൌ ݎԦሷ                                                   ሺ1.64ሻ 
 
 
24
Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
Em coordenadas retangulares, as expressões para ݎԦ, ݒԦ, e  Ԧܽsão 
ݎԦ ൌ ݔଵ݁̂ଵ ൅ ݔଶ݁̂ଶ ൅ ݔଷ݁̂ଷ ൌ෍ݔ௜݁̂௜
௜
Posição
ݒԦ ൌ ݎԦሶ ൌ ෍ݔሶ௜݁̂௜
௜
ൌ ෍
݀ݔ௜
݀ݐ
݁̂௜
௜
Velocidade
Ԧܽ ൌ ݒԦሶ ൌ ݎԦሷ ൌ ෍ݔሷ௜݁̂௜
௜
ൌ ෍
݀ଶݔ௜
݀ݐଶ
݁̂௜
௜
Aceleração
ۙ
ۖ
ۖ
ۖ
ۘ
ۖ
ۖ
ۖ
ۗ
                         ሺ1.65ሻ 
Calcular  estas  quantidades  em  coordenadas  retangulares  é  direto  uma  vez  que  os  vetores 
unitários ݁̂௜ são constantes no tempo. Em sistemas de coordenadas não retangulares, contudo, 
os  vetores  unitários  no  vetor  posição  da  partícula  quando  ela  se move  no  espaço  não  são 
constantes no tempo, e as componentes das derivadas temporais de ݎԦ não são mais relações 
simples. Por exemplo, em coordenadas polares planas (ݎ, ߠ) o vetorposição é dado por 
ݎԦ ൌ ݎ݁̂௥                                                         ሺ1.66ሻ 
onde  ݁̂௥ ൌ ݁̂௥ሺߠሻ é o vetor unitário na direção de crescimento de ݎ.  ݁̂ఏ é o vetor unitário na 
direção de crescimento de ߠ com ݁̂ఏ ൌ ݁̂ఏሺߠሻ. 
A velocidade é a primeira derivada de ݎԦ em relação ao tempo, isto é, 
ݒԦ ൌ
݀ݎԦ
݀ݐ
ൌ
݀
݀ݐ
ሺݎ݁̂௥ሻ 
ൌ ݎሶ݁̂௥ ൅ ݎߠሶ ݁̂ఏ                                                                ሺ1.67ሻ 
Uma segunda diferenciação de ݎԦ produz a aceleração: 
Ԧܽ ൌ ൫ݎሷ െ ݎߠሶ ଶ൯݁̂௥ ൅ ൫ݎߠሷ ൅ 2ݎሶߠሶ൯݁̂ఏ                                         ሺ1.68ሻ 
 
Exercício proposto 
Deduza as expressões (1.67) e (1.68) 
 
Exercício resolvido 1.1 
Determine as componentes do vetor aceleração  Ԧܽ em coordenadas cilíndricas. 
 
 
25
Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
 
FIGURA 1‐10 O sistema de coordenadas cilíndricas ሺݎ, ߶, ݖሻ são mostradas com respeito ao sistema 
de coordenadas Cartesianas ሺݔ, ݕ, ݖሻ. 
Solução. O vetor posição em coordenadas cilíndricas é dado por 
ݎԦ ൌ ߩߩොሺߠሻ ൅ ݖ݁̂ଷ. 
A velocidade é dada por 
ݒԦ ൌ
݀ݎԦ
݀ݐ
ൌ ߩሶߩො ൅ ߩ
݀ߩො
݀ݐ
൅ ݖሶ݁̂ଷ 
A aceleração é determinada tomando a derivada temporal de ݒԦ. 
Ԧܽ ൌ
݀
݀ݐ
ݒԦ ൌ
݀
݀ݐ
൫ݎሶ݁̂௥ ൅ ݎ߶ሶ ݁̂థ ൅ ݖሶ݁̂௭൯ 
   ൌ ݎሷ݁̂௥ ൅ ݎሶ݁̂ሶ௥ ൅ ݎሶ߶ሶ ݁̂థ ൅ ݖሷ݁̂௭ ൅ ݖሶ݁̂ሶ௭ 
Precisamos  determinar  a  derivada  temporal  dos  vetores  unitário  ݁̂௥,  ݁̂థ,  e  ݁̂௭.  O 
sistema de coordenadas cilíndricas é mostrado na Figura 1‐10, e em termos das componentes 
ሺݔ, ݕ, ݖሻ os vetores unitários ݁̂௥, ݁̂థ, e ݁̂௭são 
݁̂௥ ൌ ሺcos߶ , sen߶ , 0ሻ 
݁̂థ ൌ ሺെsen߶ , cos ߶ , 0ሻ 
݁̂௭ ൌ ሺ0, 0, 1ሻ 
 
 
26
Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
As  derivadas  temporais  dos  vetores  unitários  são  determinadas  tomando  as  derivadas  das 
componentes. 
݁̂ሶ௥ ൌ ൫െ߶ሶ sen߶ , ߶ሶ cos߶ , 0൯ ൌ െ߶ሶ ݁̂థ 
݁̂ሶథ ൌ ൫െ߶ሶ cos߶ ,െ߶ሶ sin߶ , 0൯ ൌ െ߶ሶ ݁̂௥ 
݁̂ሶ௭ ൌ 0                                                         
Substituímos as derivadas temporais do vetor unitário na expressão acima para  Ԧܽ, obtendo 
Ԧܽ ൌ ݎሷ݁̂௥ ൅ ݎሶ߶ሶ ݁̂థ ൅ ݎሶ߶ሶ ݁̂థ ൅ ݎ߶ሷ ݁̂థ െ ݎ߶ሶ ଶ݁̂௥ ൅ ݖሷ݁̂௭                               
ൌ ൫ݎሷ െ ݎ߶ሶ ଶ൯݁̂௥ ൅ ൫ݎ߶ሷ ൅ 2ݎሶ߶ሶ ൯݁̂థ ൅ ݖሷ݁̂௭                                            
 
1.6. Operador Gradiente 
Agora  voltamos  ao membro mais  importante de  uma  classe  chamada de  operadores 
vetoriais diferenciais – o operador gradiente. 
Considere um escalar ߶ que é uma função explicita das coordenadas ݔ௜  e, além disso, 
é uma  função contínua, unívoca destas coordenadas através de uma dada região do espaço. 
Sob a  transformação de  coordenadas que  leva os ݔ௜, nos ݔ௜
ᇱ, ߶ᇱሺݔଵ
ᇱ , ݔଶ
ᇱ , ݔଷ
ᇱ ሻ= ߶ሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ, e 
pela regra da cadeia da diferenciação, podemos escrever. 
߲߶ᇱ
߲ݔଵ
ᇱ ൌ෍
߲߶
߲ݔ௝
߲ݔ௝
߲ݔଵ
ᇱ
௝
                                                 ሺ1.69ሻ 
O caso é similar para ߲߶ᇱ/ ߲ݔଶ
ᇱ  e ߲߶ᇱ/ ߲ݔଷ
ᇱ , assim em geral temos 
߲߶ᇱ
߲ݔ௜
ᇱ ൌ ෍
߲߶
߲ݔ௝
߲ݔ௝
߲ݔ௝
ᇱ
௝
                                                 ሺ1.70ሻ 
A transformação de coordenada inversa é 
ݔ௝ ൌ෍ߣ௞௝ݔ௞
ᇱ
௞
                                                           ሺ1.71ሻ 
Diferenciando, 
 
 
27
Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
߲ݔ௝
߲ݔ௜
ᇱ ൌ
߲
߲ݔ௜
ᇱ ൭෍ߣ௞௝ݔ௞
ᇱ
௞
൱ ൌ෍ߣ௞௝ ቆ
߲ݔ௞
ᇱ
߲ݔ௜
ᇱቇ
௞
                              ሺ1.72ሻ 
Mas o termo no ultimo parêntese é justamente ߜ௜௞, assim 
߲ݔ௝
߲ݔ௜
ᇱ ൌ ෍ߣ௞௝ߜ௜௞
௞
ൌ ߣ௜௝                                              ሺ1.73ሻ 
Substituindo a Equação 1.73 na Equação 1.70, obtemos 
߲߶ᇱ
߲ݔ௜
ᇱ ൌ ෍ߣ௜௝
߲߶
߲ݔ௝௝
                                                       ሺ1.74ሻ 
Como  isto  segue  corretamente  a equação de  transformação de um  vetor  (Equação 1.44),  a 
função ߲߶/߲ݔ௝  é a  ݆ െ éݏ݅݉ܽ componente de um vetor chamado o gradiente da  função ߶. 
Observe que mesmo ߶ sendo um escalar, o gradiente de ߶ é um vetor. O gradiente de ߶ é 
escrito ou como ݃ݎܽ݀ ߶ ou como ׏ሬሬԦ߶ (“Del” ߶). 
Como a  função ߶ é uma  função escalar arbitrária, é conveniente definir o operador 
diferencial descrito anteriormente em termos do operador gradiente: 
൫gradሬሬሬሬሬሬሬሬԦ൯
௜
ൌ ׏ሬሬԦ୧ൌ
∂
∂ݔ௜
                                                        ሺ1.75ሻ 
Podemos expressar o operador vetor gradiente completo como 
݃ݎܽ݀ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ൌ ׏ሬሬԦൌ෍݁̂௜
߲
߲ݔ௜௜
Gradiente                       ሺ1.76ሻ 
O operador gradiente pode  (a) operar diretamente sobre uma  função escalar, como em ׏ሬሬԦ߶; 
(b) ser usado em um produto escalar com uma função vetorial, como em ׏ሬሬԦ · ܣԦ (a divergência 
(div) de ܣԦ); ou (c) ser usado em produto vetorial com uma função vetorial, como em ׏ሬሬԦ ൈ ܣԦ (o 
rotacional de ܣԦ). Apresentamos o grad, divergência, e rotacional: 
݃ݎܽ݀ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ߶ ൌ ׏ሬሬԦ߶ ൌ෍݁̂௜
߲߶
߲ݔ௜௜
                                                    ሺ1.77aሻ 
݀݅ݒ ܣԦ ൌ ׏ሬሬԦ · ܣԦ ൌ෍
∂ܣ௜
∂ݔ௜௜
                                                     ሺ1.77bሻ 
 
 
28
Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
ݎ݋ݐ ܣԦ ൌ ׏ሬሬԦ ൈ ܣԦ ൌ ෍ ߝ௜௝௞
∂ܣ௞
∂ݔ௝௜,௝,௞
݁̂௜                                        ሺ1.77bሻ 
Para ver a interpretação física do gradiente de uma função escalar, considere o mapa 
tridimensional  e  o  mapa  topográfico  da  Figura  1‐11.  As  curvas  fechadas  da  parte  b 
representam  linhas  de  altura  constante.  Denotemos  por  ߶  a  altura  em  algum  ponto 
߶ ൌ ߶ሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ. Então 
݀߶ ൌ෍
߲߶
߲ݔ௜
݀ݔ௜
௜
ൌ ෍൫׏ሬሬԦ߶൯
௜
݀ݔ௜
௜
 
As componentes do vetor deslocamento ݀ݏԦ são os incrementos nos deslocamentos na direção 
dos três eixos ortogonais: 
݀ݏԦ ൌ ሺ݀ݔଵ, ݀ݔଶ, ݀ݔଷሻ                                                      ሺ1.78ሻ 
Portanto 
݀߶ ൌ ൫׏ሬሬԦ߶൯ · ݀ݏԦ                                                            ሺ1.79ሻ 
Seja  ݀ݏԦ  tangencialmente  direcionado  ao  longo  das  linhas  de  isolatitude  (isto  é,  ao 
longo  da  linha  para  a  qual  ߶ ൌ ܿ݋݊ݏݐܽ݊ݐ݁),  como  indicado  na  Figura  1‐11.  Como  ߶ ൌ
ܿ݋݊ݏݐܽ݊ݐ݁ é uma constante para este caso, ݀߶ ൌ 0. Mas, como nem ׏ሬሬԦ߶ nem ݀ݏԦ, em geral, 
não  são nulos, eles devem, portanto  ser mutuamente perpendiculares entre  si. Assim ׏ሬሬԦ߶ é 
normal à linha (ou em três dimensões, à superfície) para a qual ߶ ൌ ܿ݋݊ݏݐܽ݊ݐ݁. 
O valor máximo de ݀߶ resulta quando ׏ሬሬԦ߶ e ݀ݏԦ estão na mesma direção; então, 
ሺ݀߶ሻ௠௔௫ ൌ ห׏ሬሬԦ߶ห݀ݏ,      ݌ܽݎܽ ׏ሬሬԦ߶ צ ݀ݏԦ 
ou 
ห׏ሬሬԦ߶ห ൌ ൬
݀߶
݀ݏ
൰
௠௔௫
                                                     ሺ1.80ሻ 
Portanto, ׏ሬሬԦ߶ está na direção da maior variação em ߶. 
Podemos resumir estes resultados como segue: 
 
 
29
Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
 
FIGURA 1‐11  (a) O mapa do  contorno  tridimensional pode  ser  representado por  (b) um mapa 
topográfico  de  linha  ߶  representando  a  altura  constante.  O  gradiente  ׏ሬሬԦ߶ 
representa a direção perpendicular as linhas ߶ constantes. 
1. O vetor ׏ሬሬԦ߶ e, em qualquer ponto, normal às  linhas ou superfícies para as quais 
߶ ൌ ܿ݋݊ݏݐܽ݊ݐ݁. 
2. O vetor ׏ሬሬԦ߶ aponta na direção da máxima variação em ߶. 
 
 
30
Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
3. Como  qualquer  direção  no  espaço  pode  ser  especificada  em  termos  do  vetor 
unitário  ො݊ naquela direção, a taxa de mudança de ߶ na direção de  ො݊ (a derivada 
direcional de ߶) pode ser determinada de  ො݊ · ׏ሬሬԦ߶ ؠ ߲߶/߲݊. 
A sucessiva operação do operador gradiente produz 
׏ሬሬԦ · ׏ሬሬԦൌ෍
∂
∂ݔ௜
∂
∂ݔ୧୧
ൌ෍
∂ଶ
∂ݔ௜
ଶ
୧
                                       ሺ1.81ሻ 
Este importante produto de operadores, chamado o Laplaciano, é também escrito como 
׏ሬሬԦଶൌ෍
∂ଶ
∂ݔ௜
ଶ
௜
ሺ1.82ሻ 
Quando o Laplaciano opera sobre um escalar, temos, por exemplo. 
׏ሬሬԦଶψ ൌ෍
∂ଶψ
∂ݔ௜
ଶ
௜
                                                      ሺ1.83ሻ 
1.7 Integração de Vetores 
O vetor resultante da  integração de volume de uma função vetorialܣԦ ൌ ܣԦሺݔ௜ሻ através 
do volume ܸ é dado por 
න ܣԦ݀ݒ
௏
ൌ ቆන ܣଵ݀ݒ
௏
,න ܣଶ݀ݒ
௏
,න ܣଷ݀ݒ
௏
ቇ                           ሺ1.84ሻ 
Assim,  integramos  o  vetor  ܣԦ  através  de  ܸ  simplesmente  executando  três  integrações 
ordinárias, separadas. 
A  integral  sobre  a  superfície  ܵ  da  projeção  da  função ܣԦ ൌ ܣԦሺݔ௜ሻ  sobre  a  normal  à 
superfície é definida como 
න ܣԦ · ݀ Ԧܽ
ௌ
 
onde  ݀ Ԧܽ  é  um  elemento  de  área  da  superfície  (Figura  1‐12).  Escrevemos  ݀ Ԧܽcomo  uma 
quantidade vetorial porque podemos atribuir a ela não apenas um módulo ݀ܽ, mas também 
uma direção correspondente a normal a superfície no ponto em questão. Se o vetor unitário 
normal é  ො݊, então 
݀ Ԧܽ ൌ ො݊݀ܽ                                                             ሺ1.85ሻ 
 
 
31
Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
 
FIGURA  1‐12  O  diferencial  ݀ Ԧܽ  é  um  elemento  de  área  da  superfície.  Sua  direção  é  normal  à 
superfície. 
Assim, as componentes de ݀ Ԧܽ são as projeções do elemento de área sobre três planos 
mutuamente perpendiculares definidos pelos três eixos retangulares: 
݀ܽଵ ൌ ݀ݔଶ݀ݔଷ,    etc.                                                        ሺ1.86ሻ 
Portanto, teremos 
න ܣԦ · ݀ Ԧܽ
ௌ
ൌ න ܣԦ · ො݊݀ܽ
ௌ
                                                    ሺ1.87ሻ 
ou 
න ܣԦ · ݀ Ԧܽ
ௌ
ൌ න ෍ܣ௜݀ܽ௜
௜ௌ
                                                 ሺ1.88ሻ 
A Equação 1.87 afirma que a  integral de ܣԦ  sobre a  superfície ܵ é a  integral da componente 
normal de ܣ sobre a superfície. 
A  normal  a  superfície  pode  ser  considerada  como  estando  em  qualquer  de  duas 
direções possíveis (“para cima” ou “para baixo”); assim o sinal de  ො݊ é ambíguo. Se a superfície 
é fechada, nós adotamos a convenção que a normal para fora é positiva. 
A  integral de  linha de uma  função vetorial ܣԦ ൌ ܣԦሺݔ௜ሻ ao  longo de um dado caminho 
estendendo‐se do ponto ܤ ao ponto ܥ é dado pela integral da componente de ܣԦ ao longo do 
caminho 
 
 
32
Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
 
FIGURA 1‐13 O elemento ݀ݏԦ é um elemento de comprimento ao longo do caminho dado de ܤ para ܥ. 
Sua direção está ao longo do caminho em um dado ponto. 
׬ ܣԦ · ݀ݏԦ஻஼ ൌ ׬ ∑ ܣ௜݀ݔ௜௜஻஼                                                  ሺ1.89ሻ 
A quantidade ݀ݏԦ é um elemento de comprimento ao longo do caminho dado (Figura 1‐13). A 
direção de ݀ݏԦ é tomada como positiva ao longo da direção em que o caminho é percorrido. Na 
Figura  1‐13  no  ponto ܲ,  o  ângulo  entre ݀ݏԦ  e ܣԦ  é menor  que ߨ/2,  de  forma  que ܣԦ · ݀ݏԦ  é 
positiva neste ponto. No ponto Q, o ângulo é maior que ߨ/2, e a contribuição para a integral 
neste ponto é negativa. 
Frequentemente  é  útil  relacionar  certas  integrais  de  superfície  ou  com  integrais  de 
volume  (teorema  de  Gauss)  ou  com    integrais  de  linha  (teorema  de  Stokes).  Considere  a 
Figura 1‐14, que mostra um volume fechado ܸ englobado pela superfície ܵ. Seja o vetor ܣԦ e 
suas primeiras derivadas contínuas através de todo o volume. O teorema de Gauss afirma que 
a  integral  de  superfície  de ܣԦ  sobre  a  superfície  fechada  ܵ  é  igual  a  integral  de  volume  da 
divergência de ܣ  (׏ሬሬԦ · ܣԦ)  através do  volume ܸ  englobado pela  superfície ܵ.  Escrevemos  isto 
matematicamente como 
න ܣԦ
ௌ
· ݀ Ԧܽ ൌ න ׏ሬሬԦ
௏
· ܣԦ݀ݒ                                                 ሺ1.90ሻ 
O teorema de Gauss é algumas vezes também chamado de teorema da divergência. O 
teorema é particularmente útil para tratar com a mecânica de meios contínuos. 
 
 
33
Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
 
FIGURA 1‐14 O diferencial ݀ Ԧܽ é um elemento de área sobre a superfície ܵ que rodeia o volume 
fechado ܸ. 
 
FIGURA  1‐15  Um  contorno  ܥ  define  uma  superfície  aberta  ܵ.  A  integral  de  linha  em  torno  do 
caminho ܥ e a integral de superfície sobre a superfície ܵ são exigidas para o teorema de 
Stokes. 
Veja a Figura 1‐15 para a descrição física necessária para o teorema de Stokes, que se 
aplica  a  uma  superfície  aberta  ܵ  e  ao  contorno  de  caminho  ܥ  que  define  a  superfície.  O 
rotacional do vetor ܣԦ  (׏ሬሬԦ ൈ AሬሬԦ) deve existir e  ser  integrável  sobre a  superfície  inteira de ܵ. O 
teorema de Stokes afirma que a integral de linha do vetor ܣԦ em torno do contorno do caminho 
ܥ  é  igual  à  integral  de  superfície  do  rotacional  de  ܣԦ  sobre  a  superfície  definida  por  ܥ. 
Escrevemo‐lo matematicamente como 
න ܣԦ
஼
· ݀ݏԦ ൌ න ൫׏ሬሬԦ ൈ ܣԦ൯݀ Ԧܽ
ௌ
                                                 ሺ1.91ሻ 
onde a integral de linha é em torno do contorno do caminho fechado ܥ. O teorema de Stokes 
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
é  particularmente  útil  para  reduzir  certas  integrais  de  superfície  (bidimensionais)  a  uma 
integral de linha mais simples, espera‐se! Ambos, os teoremas de Gauss e de Stokes possuem 
ampla aplicação em calculo vetorial. Além da mecânica, eles são também úteis em aplicações 
eletromagnéticas e em teoria do potencial. 
 
1.8. Problemas 
1.1. Dado o vetor ܣԦ ൌ ሺ2, 2, െ1ሻ e ܤሬԦ ൌ ሺ6,െ3, 2ሻ. Determine (a) 6ܣԦ െ 3ܤሬԦ, (b) ܣଶ ൅ ܤଶ, (c) 
ܣԦ · ܤሬԦ, (d) O ângulo entre ܣԦ e ܤሬԦ, (e) Os cossenos diretores de ܣԦ, (f) A componente de ܤሬԦ na 
direção de A. 
1.2.Determine um vetor unitário perpendicular ao plano de ܣԦ ൌ ሺെ2,െ6,െ3ሻ e ܤሬԦ ൌ
ሺ4, 3, െ1ሻ. 
1.3. Dado dois vetores ܣԦ ൌ ሺ2, 1, െ1ሻ e ܤሬԦ ൌ ሺ1,െ1, 2ሻ. Determine (a) ܣԦ ൈ ܤሬԦ, e (b) um vetor 
unitário perpendicular ao plano contendo os vetores ܣԦ e ܤሬԦ. 
1.4. (a) Prove que uma condição necessária e suficiente para os vetores ܣԦ, ܤሬԦ e ܥԦ serem co‐
planares é que ܣԦ · ൫ܤሬԦ ൈ ܥԦ൯ ൌ 0  
(b) Determine a equação para o plano determinado pelos três pontos  ଵܲሺ2, െ1, 1ሻ, 
ଶܲሺ3, 2, െ1ሻ e  ଷܲሺെ1, 3, 2ሻ. 
1.5.(a) Determine a matriz de transformação para uma rotação de um novo sistema de 
coordenadas através de um ângulo ߶ em torno do eixo ݔଷ (ݖ). 
(b) Expresse o vetor ܣԦ ൌ 3݁̂ଵ ൅ 2݁̂ଶ ൅ ݁̂ଷ em termos da tríade ݁̂ଵ
ᇱ ݁̂ଶ
ᇱ ݁̂ଷ
ᇱ  onde os eixos ݔଵ
ᇱݔଶ
ᇱ  estão 
girados de 45ை em torno do eixo ݔଷ (os eixos ݔଷ e ݔଷ
ᇱ  são coincidentes). 
1.6. Considere a transformação linear  
ܣ௜
ᇱ ൌ෍݁̂௜
ᇱ · ݁̂௝ܣ௝
ଷ
௝ୀଵ
ൌ෍ߣ௜௝ܣ௝
ଷ
௝ୀଵ
. 
Mostre, usando o fato que o modulo do vetor é o mesmo em ambos os sistemas, que 
෍ߣ௜௝ߣ௜௞
ଷ
௜ୀଵ
ൌ ߜ௝௞            ሺ݆, ݇ ൌ 1,2,3ሻ. 
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
1.7. Considere um cubo unitário com um canto na origem e três lados adjacentes estando ao 
longo dos três eixos de um sistema de coordenadas retangulares. Determine os vetores 
descrevendo as diagonais do cubo. Qual é o ângulo entre qualquer par de diagonais? 
1.8. Uma partícula move‐se em uma orbita elíptica plana descrita pelo vetor posição 
ݎԦ ൌ 2ܾ sen߱ݐ ଓ̂ ൅ ܾ cos߱ݐ ଔ̂ 
(a) Determine ݒԦ,  Ԧܽ e o módulo da velocidade. 
(b) Qual é o ângulo entre ݒԦ e  Ԧܽ no tempo ݐ ൌ ߨ/2߱? 
 
1.9. Deduza as seguintes expressões usando álgebra vetorial: 
(a) cosሺߙ െ ߚሻ ൌ cos ߙ cos ߚ ൅ senߙ senߚ 
(b) sinሺߙ െ ߚሻ ൌ senߙ cos ߚ െ cos ߙ senߚ 
1.10. Seja ܣԦ um vetor arbitrário, e seja ݁̂ um vetor unitário em alguma direção fixa. Mostre que 
ܣԦ ൌ ݁̂൫ܣԦ · ݁̂൯ ൅ ݁̂ ൈ ൫ܣԦ ൈ ݁̂൯ 
Qual é o significado geométrico de cada dos dois termos da expansão? 
1.11. Determine as componentes do vetor aceleração  Ԧܽ em coordenadas esféricas. 
1.12. Uma partícula move‐se  com ݒԦ ൌ constante  ao  longo da  curva  ݎ ൌ ݇ሺ1 ൅ cos ߠሻ  (uma 
cardióide). Determine ݎԦሷ · ݁̂௥ ൌ Ԧܽ · ݁̂௥, | Ԧܽ|, e ߠሶ . 
1.13. Se ݎԦ e ݎԦሶ ൌ ݒԦ são ambas funções explícitas do tempo, mostre que 
݀
݀ݐ
ሾݎԦ ൈ ሺݒԦ ൈ ݎԦሻሿ ൌ ݎଶ Ԧܽ ൅ ሺݎԦ · ݒԦሻݒԦ െ ሺݒଶ ൅ ݎԦ · ԦܽሻݎԦ 
1.14. Calcule a integral 
නܣԦ ൈ ܣԦሷ݀ݐ 
1.15. A altura de uma colina em metros é dada por ݖ ൌ 2ݔݕ െ 3ݔଶ െ 4ݕଶ െ 18ݔ ൅ 28ݕ൅ 12, 
onde ݔ é a distância leste e ݕ é a distância norte da origem. (a) Onde está o topo da colina 
e quão alto ele é? (b) Quão íngreme é a colina em ݔ ൌ ݕ ൌ 1, isto é, qual é o ângulo entre 
um  vetor  perpendicular  à  colina  e  o  eixo  ݖ?  (c)  Em  que  direção  da  bussola  está  a 
inclinação x=y=1 mais íngrime? 
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
1.16.  Para  que  valores  de  ܽ  são  os  vetores  ܣԦ ൌ 2ܽଓ̂ െ 2ଔ̂ ൅ ܽ ෠݇e  ܤሬԦ ൌ ܽଓ̂ ൅ 2ܽଔ̂ ൅ 2 ෠݇  
perpendiculares. 
   
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
CAPÍTULO 2 – MECÂNICA NEWTONIANA DE UMA PARTÍCULA 
 
 
2.1. Introdução 
As leis físicas devem ser baseadas sobre fatos experimentais. Não podemos esperar a 
priori que a atração gravitacional entre dois corpos deve variar exatamente como o inverso do 
quadrado da distancia entre eles. Mas experimentos  indicam que  isto é assim. Uma vez que 
um  conjunto de dados experimentais  tenha  sido  correlacionado e um postulado  tenha  sido 
formulado  considerando  o  fenômeno  para  o  qual  os  dados  se  referem,  então  várias 
implicações  podem  ser  trabalhadas.  Se  estas  implicações  são  todas  verificadas  pelo 
experimento, podemos acreditar que o postulado é geralmente verdadeiro. O postulado então 
assume o status de uma  lei  física. Se alguns experimentos discordam das previsões da  lei, a 
teoria deve ser modificada para tornar‐se consistente com os fatos.  Isto foi o que aconteceu 
com as teorias clássicas (mecânica newtoniana e eletromagnetismo de Maxwell) na virada do 
século dezenove, surgindo novas teorias como a teoria da relatividade e a teoria quântica. 
Newton nos proporcionou as leis fundamentais da mecânica. Anunciaremos aqui estas 
leis em termos modernos, discutiremos seus significados, e então deduziremos as implicações 
das leis em várias situações.  
 
2.2. Leis  de  Newton 
Iniciamos simplesmente afirmando de forma convencional as leis de Newton da Mecanica: 
I. Um corpo permanece em  repouso ou em movimento uniforme a menos que esteja sob a 
ação de uma força. 
II. Um  corpo  sob  a  ação  de  uma  força  move‐se  de  tal  maneira  que  a  taxa  de  variação 
temporal do momento é igual a esta força. 
III. Se  dois  corpos  exercem  forças  um  sobre  o  outro;  estas  forças  são  iguais  em  módulo  e 
opostas em direção. 
Observe  que  a  primeira  Lei  é  sem  significado  sem  o  conceito  de  “força”.  De  fato, 
sozinha, a Primeira Lei transmite significado preciso apenas para força nula;  isto é, um corpo 
permanece em repouso ou em movimento uniforme  (isto é, não acelerado, retilíneo) se não 
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
está sujeito as forças nenhuma de forma. Um corpo movendo‐se desta maneira é chamado um 
corpo livre (ou partícula livre). 
A  Segunda  Lei  fornece  uma  declaração  explicita:  Força  está  relacionada  à  taxa  de 
mudança do momento com o tempo. Newton adequadamente definiu momento (embora ele 
tenha usado o termo quantidade de movimento) como o produto de massa e velocidade, tal 
que 
݌Ԧ ؠ ݉ݒԦ                                                                                   ሺ2.1ሻ 
Portanto, a Segunda Lei de Newton pode ser expressa como 
ܨԦ ൌ
݀݌Ԧ
݀ݐ
ൌ
݀
݀ݐ
ሺ݉ݒԦሻ                                                                     ሺ2.2ሻ 
A definição de força torna‐se completa e precisa apenas quando “massa” é definida. Assim a 
Primeira  Lei e a  Segunda  Lei não  são  “leis” no  sentido usual; em  vez disso, elas podem  ser 
consideradas definições. Como comprimento,  tempo, e massa são conceitos normalmente  já 
entendidos, usamos a Primeira Lei e a Segunda Lei de Newton como a definição operacional de 
força. A Terceira  Lei de Newton,  contudo, é de  fato uma  lei. É uma afirmativa  referente ao 
mundo físico real e contém toda a física presente nas leis de movimento de Newton. 
A Terceira Lei não é uma lei geral da natureza. A lei se aplica quando a força exercida 
por um objeto (ponto) sobre outro objeto (ponto) está dirigida ao  longo da  linha conectando 
os objetos. Tais forças são chamadas forças centrais. Aplica‐se a Terceira Lei se a força central 
é atrativa ou repulsiva. Força gravitacional e  força eletrostática são  forças centrais, de modo 
que as leis de Newton podem ser usadas em problemas envolvendo estes tipos de forças. Dois 
objetos pontuais conectados por uma mola elástica estão  sujeitos a  forças que obedecem a 
Terceira Lei de Newton.  
Qualquer força que depende das velocidades dos corpos interagindo é não central, e a 
Terceira Lei não se aplica. Forças dependentes da velocidade são características de interações 
que se propagam com velocidade  finita. Assim a  força entre cargas elétricas em movimento 
não obedecem a Terceira Lei de Newton, porque a força propaga‐se com a velocidade da luz. 
Mesmo a força gravitacional entre corpos em movimento é dependente da velocidade, mas o 
efeito é pequeno e difícil de detectar.  
Para  demonstrar  o  significado  da  Terceira  Lei  de  Newton,  vamos  parafraseá‐lo  do 
seguinte modo, incorporando a definição apropriada de massa: 
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
III’: Se dois corpos constituem um  sistema  ideal,  isolado, então as acelerações destes corpos 
estão sempre em direções opostas, e a razão dos módulos das acelerações é constante. 
Esta razão constante é o inverso da razão entre as massas dos corpos. 
Com  esta  afirmativa,  podemos  dar  uma  definição  pratica  de  massa  e,  portanto 
fornecemos um significado preciso às equações resumindo a dinâmica Newtoniana. Para dois 
corpos isolados, 1 e 2, a Terceira Lei afirma que 
ܨԦଵ ൌ െܨԦଶ                                                                            ሺ2.3ሻ 
Usando a definição de força como dada pela Segunda Lei de Newton, temos 
݀݌Ԧଵ
݀ݐ
ൌ െ
݀݌Ԧଶ
݀ݐ
                                                                      ሺ2.4ܽሻ 
ou, com massas constantes, 
݉ଵ
݀ݒԦଵ
݀ݐ
ൌ െ݉ଶ
݀ݒԦଶ
݀ݐ
                                                                 ሺ2.4ܾሻ 
e, porque a aceleração é a derivada temporal da velocidade, 
݉ଵሺ Ԧܽଵሻ ൌ ݉ଶሺെ Ԧܽଶሻ                                                                  ሺ2.4ܿሻ 
Daí, 
݉ଶ
݉ଵ
ൌ െ
ܽଵ
ܽଶ
                                                                           ሺ2.5ሻ 
onde  o  sinal  negativo  indica  apenas  que  os  dois  vetores  aceleração  são  direcionados 
opostamente. Massa é considerada uma quantidade positiva. 
Podemos sempre selecionar, digamos ݉ଵ como a massa unitária. Então, comparando 
a  razão  entre  as  acelerações  quando ݉ଵ  é  permitido  interagir  com  qualquer  outro  corpo, 
podemos determinara massa do outro corpo. Para medir as acelerações, devemos ter relógios 
e bastões de medidas apropriados;  também, devemos escolher sistemas de coordenadas ou 
referenciais adequados. A questão de um “sistema de referencia adequado” será discutida na 
próxima seção. 
Um dos métodos mais comuns para determinar a massa de um objeto é através da 
pesagem – por exemplo, comparando seu peso aquele de um padrão por meio de uma balança 
de braços. Este procedimento faz uso do fato que em um campo gravitacional o peso de um 
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
corpo é  justamente a força gravitacional agindo sobre o corpo;  isto é, a equação de Newton 
ܨԦ ൌ ݉ Ԧܽ torna‐se ܹ ൌ ݉ Ԧ݃, onde  Ԧ݃ é a aceleração devido a gravidade. A validade de uso deste 
procedimento  apóia‐se  sobre  a  suposição  fundamental:  que  a  massa  ݉  que  aparece  na 
equação de Newton e definida de acordo com a definição III’ é igual à massa ݉ que aparece na 
equação  da  força  gravitacional.  Estas  duas  massas  são  chamadas  massa  inercial  e  massa 
gravitacional,respectivamente. Massa Inercial é aquela massa determinando a aceleração de 
um corpo sob a ação de uma dada força e Massa Gravitacional é aquela massa determinando 
as forças gravitacionais entre um corpo e outros corpos. 
Galileu  foi o primeiro a  testar a equivalência da massa  inercial e massa gravitacional 
em  seu experimento  (talvez  apócrifo)  com pesos  caindo da Torre de Pisa. Newton  também 
considerou o problema e mediu os períodos de pêndulos de comprimentos  iguais, mas com 
peso  de  pendulo  de materiais  diferentes. Nem Newton  nem Galileu  encontraram  qualquer 
diferença, mas os métodos eram completamente grosseiros. Em 1890 Eötvös desenvolveu um 
método  engenhoso  para  testar  a  equivalência  de  massa  inercial  e  massa  gravitacional. 
Experimentos mais  recentes melhoraram  a precisão,  e  sabemos  agora que massa  inercial  e 
massa  gravitacional  são  idênticas  dentro  de  algumas  partes  em  10ଵଶ.  Este  resultado  é 
consideravelmente  importante  na  teoria  da  relatividade.  A  asserção  da  igualdade  exata  de 
massa inercial e massa gravitacional é chamada o princípio de equivalência. 
A Terceira Lei de Newton é afirmada em  termos de dois corpos que constituem um 
sistema  isolado. É  impossível atingir tal condição  ideal, todo corpo no universo  interage com 
algum outro corpo, embora a força de interação seja tão fraca para ser de alguma importância 
prática quando grandes distancias estão envolvidas.  
Outra  interpretação da Terceira Lei de Newton é baseada no conceito de momento. 
Rearranjando a Equação 2.4a obtém‐se 
݀
݀ݐ
ሺ݌Ԧଵ ൅ ݌Ԧଶሻ ൌ 0 
ou 
݌Ԧଵ ൅ ݌Ԧଶ ൌ ܿ݋݊ݏݐܽ݊ݐ݁                                                          ሺ2.6ሻ 
A afirmativa que momento é  conservado na  interação  isolada de duas partículas é um  caso 
especial daquele mais geral, a  conservação do momento  linear. Físicos  tratam  com  carinho 
leis gerais, e a conservação do momento linear é acreditada sempre ser obedecida.  
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
 
2.3. Sistemas  de  Referência 
Newton observou que,  apara  as  leis de movimento  ter  significado, o movimento dos 
corpos  deveriam  ser  medidos  relativos  a  algum  sistema  de  referencia.  Um  sistema  de 
referencia é chamado um referencial inercial se as leis de Newton são de fato válidas naquele 
sistema;  isto  é,  se  um  corpo  sujeito  a  nenhuma  força  externa move‐se  em  linha  reta  com 
velocidade  constante  (ou  permanece  em  repouso),  então  o  sistema  de  coordenadas  que 
confirma este fato é um sistema de referência inercial. Esta é uma definição operacional nítida 
e que também segue da teoria geral da relatividade. 
Se as  leis de Newton  são válidas em um  sistema de  referencia, então elas  são válidas 
também em qualquer sistema de referencia em movimento uniforme  (isto é, não acelerado) 
com  respeito  ao  primeiro  sistema.  Este  é  um  resultado  decorrente  do  fato  que  a  equação 
ܨԦ ൌ ݉ݎԦሷ   envolve  a  segunda  derivada  temporal  de  ݎԦ:  Uma  mudança  de  coordenadas 
envolvendo uma velocidade constante não influencia a equação. Este resultado é chamado de 
invariância Galileana ou o princípio da relatividade de Newton. 
A  teoria da  relatividade  tem nos mostrado que os  conceitos de  repouso  absoluto  e 
sistema  de  referencia  inercial  absoluto  são  sem  significado.  Portanto,  mesmo  que 
convencionalmente  adotemos  um  sistema  de  referência  descrito  com  respeito  às  estrelas 
“fixas” –e, de fato, em tal referencial as equações newtonianas são válidas com alto grau de 
precisão  –  tais  referenciais  não  são,  de  fato,  um  referencial  inercial  absoluto.  Podemos, 
contudo, considerar as “estrelas fixas” para definir um sistema de referência que se aproxima 
do  referencial  inercial  “absoluto”  em  um  grau  completamente  suficiente  para  nossos 
propósitos presentes. 
Embora o sistema de referência das estrelas fixas seja um sistema convenientemente 
definível e adequável para muitos propósitos, devemos enfatizar que a definição fundamental 
de um referencial  inercial não  faz menção às estrelas,  fixas ou outras. Se um corpo sujeito a 
nenhuma  força move‐se  com  velocidade  constante em um  sistema de  coordenadas, aquele 
sistema  é,  por  definição,  um  referencial  inercial.  Porque  precisamente  descrevendo  o 
movimento de um objeto  físico  real no mundo  físico  real é normalmente difícil, usualmente 
recorremos  a  idealizações  e  aproximações  de  graus  variáveis;  isto  é,  ordinariamente 
desprezamos as forças menores sobre um corpo se estas forças não afetam significativamente 
o movimento do corpo. 
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
 
FIGURA 2‐1 Nós escolhemos descrever o caminho de uma partícula  livre movendo‐se ao  longo do 
caminho AC em um sistema de coordenadas retangulares cuja origem sem move em um 
círculo. Tal sistema não é um sistema de referência inercial. 
Se  desejarmos  descrever  o  movimento  de,  digamos  uma  partícula  livre  e  se 
escolhermos para este propósito algum  sistema de  coordenadas em um  referencial  inercial, 
então exigiremos que a equação de movimento  (vetorial) da partícula será  independente da 
posição da origem do sistema de coordenadas e  independente de sua orientação no espaço. 
Exigimos, além disso, que o  tempo  seja homogêneo;  isto é, uma partícula  livre movendo‐se 
com uma dada velocidade constante no sistema de coordenadas durante um dado intervalo de 
tempo  não  deve,  duranteum  intervalo  de  tempo  posterior,  ser  encontrado  em movimento 
com uma velocidade diferente. 
Podemos  ilustrar  a  importância  destas  propriedades  seguindo  exemplos.  Considere, 
como na Figura 2‐1, uma partícula  livre movendo‐se ao  longo de um dado caminho ܣܥ. Para 
descrever o movimento da partícula escolhemos um sistema de coordenadas retangular cuja 
origem move‐se em um círculo, como mostra a Figura 2‐1. Por simplicidade, seja a orientação 
dos  eixos  fixa no  espaço. A partícula move‐se  com  velocidade ݒԦ௣  relativo  a um  sistema  de 
referencia inercial. Se o sistema de coordenadas move‐se com velocidade linear ݒԦ௖ quando no 
ponto B, e se ݒԦ௖ ൌ ݒԦ௣, então para um observador no sistema de coordenadas em movimento a 
partícula  (em  ܣ)  parecerá  está  em  repouso.  Em  algum  tempo  depois,  contudo,  quando  a 
 
 
43
Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
partícula está em ܥ e o sistema de coordenadas está em ܦ, a partícula parecerá acelerar com 
respeito ao observador. Devemos, portanto,  concluir que o  sistema de  coordenadas girante 
não se qualifica como um sistema de referencia inercial. 
Estas  observações  não  são  suficientes  para  decidir  se  o  tempo  é  homogêneo.  Para 
chegar a tal conclusão, repetidas medidas devem ser feitas em situações  idênticas em vários 
tempos; resultados idênticos indicariam a homogeneidade do tempo. 
As  equações  de  Newton  não  descrevem  o  movimento  de  corpos  em  sistemas  não 
inerciais. Podemos imaginar um método para descrever o movimento de uma partícula por um 
sistema de coordenadas girante, mas, as equações resultantes contêm vários termos que não 
aparecem na equação de movimento simples ܨԦ ൌ ݉ Ԧܽ. Para o momento, então, restringiremos 
nossa atenção a sistema de referencia inercial para descrever a dinâmica das partículas. 
2.4. Equação  de  Movimento  para  uma  Partícula 
A equação de Newton ܨԦ ൌ ݀݌Ԧ/݀ݐ pode ser expressa alternativamente como 
ܨԦ ൌ
݀
݀ݐ
ሺ݉ݒԦሻ ൌ ݉
݀ݒԦ
݀ݐ
ൌ ݉ݎԦሷ                                                         ሺ2.7ሻ 
se fizermos a suposição que a massa ݉ não varia com o tempo. Esta é uma equação diferencial 
de  segunda  ordem  que  pode  ser  integrada  para  determinar  ݎԦൌ ݎԦሺݐሻ  se  a  função  ܨԦ  é 
conhecida. Especificando os valores  iniciais de ݎԦ e ݎԦሶ ൌ ݒԦ então nos permite calcular as duas 
constantes arbitrárias de  integração. Então determinamos o movimento de uma partícula em 
função da força ܨԦ e dos valores iniciais da posição ݎԦ e velocidade ݒԦ. 
A  força  ܨԦ  pode  ser  uma  função  de  qualquer  combinação  de  posição,  velocidade,  e 
tempo  e  é  geralmente  denotada  como  ܨԦሺݎԦ, ݒԦ, ݐሻ.  Para  um  dado  sistema  dinâmico, 
normalmente  desejamos  conhecer  ݎԦ  e  ݒԦ  como  função  do  tempo.  Resolver  a  Equação  2.7 
ajuda‐nos a fazer isto resolvendo para ݎԦሷ. A aplicação da Equação 2.7 a situações físicas é uma 
parte importante da mecânica. 
Neste capítulo, examinaremos vários exemplos  importantes nos quais a função força é 
conhecida. Iniciamos olhando em funções forças simples (ou constante ou dependente apenas 
de  ݎԦ,  ݒԦ,  e  t)  apenas  em  uma  dimensão  espacial  como  uma  revisão  de  cursos  de  física 
anteriores. É importante para formar bons hábitos em resolver problemas. Aqui estão algumas 
técnicas úteis para resolver problemas. 
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
 
1. Faça um esboço do problema, indicando forças, velocidades, e assim por diante. 
2. Escreva abaixo as quantidades dadas. 
3. Escreva abaixo as equações úteis e o que deve ser determinado. 
4. Que estratégias e princípios de física devem ser usados para manipular as equações 
para determinar as quantidades procuradas. Manipulações algébricas bem como a 
diferenciações  ou  integrações  são  usualmente  exigidas.  Algumas  vezes  cálculos 
numéricos usando um computador são os métodos de solução mais fáceis, se não o 
único. 
5. Finalmente,  coloque nos valores  reais para os nomes de variáveis assumidas para 
determinar a quantidade procurada. 
Primeiro consideremos o problema de um bloco deslizando sobre um plano inclinado. O 
ângulo do plano  inclinado é ߠ e a massa do bloco é 10 ݃. O esboço do problema é mostrado 
na Figura 2‐2a. 
 
 
Exercício resolvido 2.1. 
Se um bloco desliza sem atrito para baixo de um plano inclinado fixo, fazendo 30଴ com a 
horizontal, que é a aceleração do bloco? 
Solução. 
As duas forças sobre o bloco (veja Figura 2‐2a): a força gravitacional ܨԦ௚ e a força normal 
ao plano  ሬܰሬԦ empurrando o bloco para cima (sem atrito neste exemplo). O bloco está vinculado 
a permanecer sobre o plano, e a única direção que o bloco pode se mover é na direção ݔ, para 
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
cima e para baixo no plano. Tomaremos a direção ൅ݔ apontando para baixo no plano. A força 
total ܨԦ௧௢௧௔௟ é constante; a Equação 2.7 torna‐se 
ܨԦ௧௢௧௔௟ ൌ ܨԦ௚ ൅ ሬܰሬԦ 
e porque ܨԦ௧௢௧௔௟ é a força resultante agindo sobre o bloco, 
ܨԦ௧௢௧௔௟ ൌ ݉ݎԦሷ  
ou 
ܨԦ௚ ൅ ሬܰሬԦ ൌ ݉ݎԦሷ                                                                          ሺ2.8ሻ 
Este  vetor  deve  ser  aplicado  em  duas  direções:  ݔ  e  ݕ  (perpendicular  a  ݔ).  A 
componente de força na direção ݕ é zero, porque nenhuma aceleração ocorre nesta direção. A 
força ܨԦ௚ está dividida vetorialmente em suas componentes ݔ e ݕ (linhas tracejadas na Figura 2‐
2a). A Equação 2‐8 torna‐se 
direçãoݕ 
െܨ௚ cos ߠ ൅ ܰ ൌ 0                                                               ሺ2.9ሻ 
direçãoݔ 
ܨ௚ sen ߠ ൌ ݉ݔሷ                                                           ሺ2.10ሻ 
com o resultado exigido 
ݔሷ ൌ
ܨ௚
݉
sen ߠ ൌ
݉݃ sen ߠ
݉
ൌ ݃ sen ߠ 
ݔሷ ൌ ݃ sen 30଴ ൌ
݃
2
ൌ 4,9 ݉ݏଶ                                                          ሺ2.11ሻ 
Portanto a aceleração do bloco é uma constante. 
Podemos determinar a velocidade do bloco após ele mover‐se do  repouso por uma 
distancia ݔ଴ para baixo do plano multiplicando a Equação 2.11 por 2ݔሶ  e integrando 
2ݔሶݔሷ ൌ 2ݔሶ݃ sen ߠ 
݀
݀ݔ
ሺݔሶ ଶሻ ൌ 2݃ sen ߠ
݀ݔ
݀ݐ
 
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
න ݀ሺݔሶ ଶሻ
௩బ
మ
௢
ൌ 2݃ sen ߠන ݀ݔ
௫బ
଴
 
Em ݐ ൌ 0, ambos ݔ ൌ ݔሶ ൌ 0, e, em ݐ ൌ ݐ௙௜௡௔௟, ݔ ൌ ݔ଴, e a velocidade ݔሶ ൌ ݒ଴. 
ݒ଴
ଶ ൌ 2݃ sen ߠ ݔ଴ 
ݒ଴ ൌ ඥ2݃ sen ߠ ݔ଴ 
 
Exercício Resolvido 2.2. 
Se  o  coeficiente  de  atrito  estático  entre  o  bloco  e  o  plano  no  exemplo  anterior  é 
ߤ௦ ൌ 0,4, a partir de que ângulo ߠ o bloco começa a deslizar se ele  inicialmente encontra‐se 
em repouso? 
Solução. 
Necessitamos de um novo esboço para indicar a força de atrito adicional݂ (veja a Figura 
2‐2b). A força de atrito estático possui o valor máximo aproximado 
௠݂௔௫ ൌ ߤ௦ܰ                                                                   ሺ2.12ሻ 
e a Equação 2‐7 torna‐se, em forma de componentes, 
direçãoݕ 
െܨ௚ cos ߠ ൅ ܰ ൌ 0                                                               ሺ2.13ሻ 
direçãoݔ 
௦݂ െ ܨ௚ sen ߠ ൌ ݉ݔሷ                                                             ሺ2.14ሻ 
A  força de atrito estático  ௦݂  será algum valor  ௦݂ ൑ ௠݂௔௫  exigido para manter ݔሷ ൌ 0 –  isto é, 
para  manter  o  bloco  em  repouso.  Contudo,  quando  o  ângulo  ߠ  do  plano  aumenta, 
eventualmente a força de atrito estático será incapaz de manter o bloco em repouso. Quando 
atinge este ângulo ߠᇱ,  ௦݂, torna‐se 
௦݂ሺߠ ൌ ߠԢሻ ൌ ௠݂௔௫ ൌ ߤ௦ܰ ൌ ߤ௦ܨ௚ cos ߠ 
e 
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
݉ݔሷ ൌ ܨ௚ sen ߠ െ ௠݂௔௫
݉ݔሷ ൌ ܨ௚ sen ߠ െ ߤ௦ܨ௚ cos ߠ
ݔሷ ൌ ݃ሺsen ߠ െ ߤ௦ cos ߠሻ
                                                  ሺ2.15ሻ 
Exatamente antes que o bloco comece a deslizar a aceleração ݔሷ ൌ 0, forma que 
sen ߠ െ ߤ௦ cos ߠ ൌ 0 
tan ߠ ൌ ߤ௦ ൌ 0,4          ฺ       ߠ ൌ tanିଵሺ0,4ሻ ൌ 22଴ 
 
Exercício Resolvido 2.3. 
Após o bloco, do exemplo anterior, começar a deslizar, o coeficiente de atrito cinético 
(deslizamento) torna‐se ߤ௞ ൌ 0,3. Determine a aceleração para o ângulo ߠ ൌ 30଴. 
Solução. 
Similarmente ao Exemplo 2.2, o atrito cinético torna‐se (aproximadamente) 
௞݂ ൌ ߤ௞ܰ ൌ ߤ௞ܨ௚ cos ߠ                                                        ሺ2.16ሻ 
e 
݉ݔሷ ൌ ܨ௚ sen ߠ െ ௞݂ ൌ ݉݃ሺsen ߠ െ ߤ௞ cos ߠሻ                                      ሺ2.17ሻ 
ݔሷ ൌ ݃ሺsen ߠ െ ߤ௞ cos ߠሻ ൌ 0,24݃                                                       ሺ2.18ሻ 
Geralmente,  a  força  de  atrito  estático  ( ௠݂௔௫ ൌ ߤ௦ܰ)  é  maior  que  aquela  de  atrito 
cinético  ( ௞݂ ൌ ߤ௞ܰ).  Isto pode  ser observado em um experimento  simples. Se abaixarmos o 
ângulo  ߠ  além  de  16,7଴,  determinamos  que  ݔሷ ൏ 0,  e  o  bloco  eventualmente  para.  Se 
levantarmos o bloco de volta até acima de 16,7଴, observaremos que o bloco não começa a 
deslizar  novamente  até  que  ߠ ൒ 22଴  (Exercício  resolvido  2.2).  O  atrito  estático  determina 
quando ele inicia novamente o movimento. Não existe uma aceleração descontinua quando o 
bloco começa a se movimentar, devido a diferença entre ߤ௦ e ߤ௞. Para baixas velocidades, o 
coeficiente de atrito muda mais ou menos rapidamente de ߤ௦ para ߤ௞. 
O  tema  referente  a  atrito  é  ainda  uma  área  de  pesquisa  interessante  e  importante. 
Existem  ainda  surpresas.  Por  exemplo, mesmo  que  se  calcule  o  valor  absoluto  da  força  de 
atrito  como  ݂ ൌ ߤܰ,  pesquisas  têm  mostrado  que  a  força  de  atrito  é  diretamente 
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
proporcional, não a carga, mas à área microscópica de contato entre os dois objetos  (como 
oposto a área de contato aparente). Usaremos ߤܰ como uma aproximação porque, quando ܰ 
aumenta, assim faz a área de contato real em nível microscópico. Por centenas de anos antes 
de 1940,  foi aceito que  a  carga – e não  a  área – era diretamente  responsável. Também  se 
acreditava que a força de atrito estático é maior que aquela de atrito cinético porque a ligação 
entre  os  átomos  dos  dois  objetos  não  possuem  o  mesmo  tempo  para  desenvolver‐se  no 
movimento cinético. 
Efeito de Forçasde Resistência 
Devemos enfatizar que a força ܨԦ na Equação 2.7 não é necessariamente uma constante, 
e de fato, ela pode consistir de varias partes distintas, como visto nos exemplos anteriores. Por 
exemplo,  se  a  partícula  cai  em  um  campo  gravitacional  constante,  a  força  gravitacional  é 
ܨԦ௚ ൌ ݉ Ԧ݃,  onde  Ԧ݃  é  a  aceleração  da  gravidade.  Se,  além  disso,  uma  força  de  resistênciaܨԦ௥  
existe e é alguma função da velocidade instantânea, então a força total é 
ܨԦ ൌ ܨԦ௚ ൅ ܨԦ௥ 
ൌ ݉ Ԧ݃ ൅ ܨԦ௥ሺݒሻ                                                              ሺ2.19ሻ 
Com  frequência  é  suficiente  considerar  que  ܨԦ௥ሺݒሻ  é  simplesmente  proporcional  a  alguma 
potência do módulo da  velocidade. Em  geral,  forças de  arraste  reais  são mais  complicadas, 
mas  a  aproximação  de  lei  de  potência  é  útil  em  muitos  exemplos  em  que  o  módulo  da 
velocidade não varia muito. Para enfatizar ainda mais este ponto, se ܨ ן ݒ௡, então a equação 
de  movimento  pode  usualmente  ser  integrada  diretamente,  enquanto,  se  a  dependência 
verdadeira  com  a  velocidade  fosse  usada,  provavelmente  seria  necessária  integração 
numérica. Com a aproximação de lei de potência, podemos então escrever 
ܨԦ ൌ ݉ Ԧ݃ െ ݉݇ݒ௡
ݒԦ
ݒ
                                                       ሺ2.20ሻ 
onde݇ é uma constante positiva que especifica a intensidade da força de arraste e onde ݒԦ/ݒ é 
um vetor unitário na direção de ݒԦ. Experimentalmente, determinamos que, para um objeto 
relativamente  pequeno  movendo‐se  no  ar,  ݊ ؆ 1  para  velocidades  menores  que 
aproximadamente  24 ݉/ݏ  (~80 ݂ݐ/ݏ).  Para  velocidades  mais  altas,  porém  abaixo  da 
velocidade  do  som  (~300 ݉/ݏ  ou  1.100 ݂ݐ/ݏ),  a  força  de  arraste  é  aproximadamente 
proporcional ao quadrado da  velocidade. Por  simplicidade, a dependência ݒଶ é usualmente 
tomada para velocidades até a velocidade do som. 
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
 
FIGURA 2‐3 (a) Forças aerodinâmicas atuando sobre projétil.  ሬܹሬሬԦ é o arraste (força de resistência do 
ar) e é oposto a velocidade do projétil ݒԦ. Observe que ݒԦ pode  fazer um ângulo ߙ com o 
eixo  de  simetria  do  projétil.  A  componente  de  força  agindo  perpendicular  ao  arraste  é 
chamada a força de sustentação ܮሬԦ௔. O ponto ܦ é o centro de pressão. Finalmente, a força 
gravitacional ܨԦ௚ age para baixo. Se o centro de pressão não está no centro de massa do 
projétil,  existe  também  um  torque  em  torno  do  centro  de massa.  (b) O  coeficiente  de 
arraste ܿௐ, da lei de resistência de Rheinmetall (Rh82), é representado em gráfico versus o 
número March ܯ. Observe a grande variação próxima à velocidade do som, onde ܯ ൌ 1. 
(c) A força de resistência do ar ܹ (arraste) é mostrada como função da velocidade para um 
projétil de diâmetro igual a 10 ܿ݉. Observe à inflexão próxima a velocidade do som. (d) O 
mesmo que em (c) para velocidades mais altas. 
O  efeito  da  resistência  do  ar  é  importante  para  uma  bola  de  ping‐pong  golpeada 
violentamente  para  um  oponente,  uma  bola  de  beisebol  voando  alto  quando  golpeada 
fortemente para fora do campo, o arremesso da bola de golfe, granadas de morteiro lançadas 
contra o  inimigo. Tabulações extensivas foram feitas para balísticas militares de projeteis, de 
vários tipos, para a velocidade como função do tempo de voo. Existem várias forças sobre um 
projétil  real  em  voo.  A  força  de  resistência  do  ar  é  chamada  o  arraste  ሬܹሬሬԦ  e  é  oposta  a 
velocidade do projétil como mostrado na Figura 2‐3a. A velocidade ݒԦ normalmente não está ao 
longo do eixo de simetria da casca do projétil. A componente de força agindo perpendicular ao 
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
arraste é chamada a força de sustentação ܮሬԦ௔. Pode existir também várias outras forças devido 
à  rotação  e  oscilação  do  projétil,  e  o  calculo  da  trajetória  balística  do  projétil  é  muito 
complexo. A expressão de Prandtl para a resistência do ar é 
ܹ ൌ
1
2
ܿௐߩܣݒଶ                                                                ሺ2.21ሻ 
ondeܿௐ é o coeficiente de arraste adimensional, ߩ é a densidade do ar, ݒ é a velocidade, e ܣ é 
a área da secção reta do objeto (projétil) medida perpendicular à velocidade. Na Figura 2‐3b, 
traçamos o gráfico de ܿௐ para alguns valores típicos da velocidade, e nas Figuras 2‐3c e d são 
apresentados os gráficos da  resistência do ar ܹ, calculada usando a Equação 2.21 para um 
projétil de diâmetro  igual a 10 ܿ݉ e usando os valores de ܿௐ mostrados. A resistência do ar 
aumenta  dramaticamente  próxima  a  velocidade  do  som  (numero  Mach  ܯ ൌ ݒ݈݁݋ܿ݅݀ܽ݀݁/
ݒ݈݁݋ܿ݅݀ܽ݀݁ ݀݋ ݏ݋݉). Para velocidades menores que 400 ݉/ݏestá evidente que é necessário 
uma equação, no mínimo, do segundo grau para descrever a força de resistência do ar. Para 
velocidades mais altas, a  força de  resistência varia aproximadamente de  forma  linear com a 
velocidade. 
A seguir vamos discutir alguns exemplos envolvendo a presença de forças de resistência 
. Em algumas situações há a necessidade do desenvolvimento de cálculos numéricos. 
Exercício Resolvido 2.4. 
Como  o  exemplo  mais  simples  do  movimento  de  uma  partícula  com  resistência, 
encontramos o deslocamento e velocidade do movimento horizontal em um meio no qual a 
força de oposição ao movimento é proporcional ao modulo da velocidade. 
Solução. 
Um esboço do problema é mostrado na Figura 2‐4. A equação Newtoniana ܨ ൌ ݉ܽ nos 
dá a equação de movimento: 
direção x 
݉ܽ ൌ ݉
݀ݒ
݀ݐ
ൌ െ݇݉ݒ                                                            ሺ2.22ሻ 
onde݇݉ݒ  é o modulo da  força de  resistência  (݇ ൌ ܿ݋݊ݏݐܽ݊ݐ݁). Não  estamos  inferindo por 
esta forma que a forças de resistência depende da massa ݉; esta forma simplesmente torna a 
matemática mais fácil. Então 
 
 
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Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
FIGURA 2‐4 Exercício resolvido 2.4 
න
݀ݒ
ݒ
ൌ െ݇න݀ݐ
ln ݒ ൌ െ݇ݐ ൅ ܥଵ
                                                               ሺ2.23ሻ 
A constante de integração na Equação 2.23 pode ser calculada se atribuímos a condição inicial 
ݒሺݐ ൌ 0ሻ ؠ ݒ଴. Segue que ܥଵ ൌ ln ݒ଴, e 
ݒ ൌ ݒ଴݁ି௞௧                                                                    ሺ2.24ሻ 
Podemos integrar esta equação para obter o deslocamento ݔ como função do tempo: 
ݒ ൌ
݀ݔ
݀ݐ
ൌ ݒ଴݁ି௞௧
ݔ ൌ ݒ଴ න݁ି௞௧݀ݐ ൌ െ
ݒ଴
݇
݁ି௞௧ ൅ ܥଶ
                                              ሺ2.25ܽሻ 
A condição inicial ݔሺݐ ൌ 0ሻ ؠ 0 implica que ܥଶ ൌ ݒ଴/݇. Portanto 
ݔ ൌ
ݒ଴
݇
൫1 െ ݁ି௞௧൯                                                              ሺ2.25ܾሻ 
Este resultado mostra que ݔ aproxima‐se assintoticamente do valor ݒ଴/݇ quando ݐ ՜ ∞. 
Podemos também obter a velocidade como função de deslocamento escrevendo 
݀ݒ
݀ݔ
ൌ
݀ݒ
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52
Mecânica Clássica – EaD ‐ UAPI 
 
FIGURA 2‐5 Exemplo 2‐5 
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de onde determinamos, usando as mesmas condições iniciais, 
ݒ ൌ ݒ଴ െ ݇ݔ                                                                ሺ2.26ሻ 
Portanto, a velocidade diminui linearmente com o deslocamento. 
 
Exercício resolvido 2.5. 
Determine o deslocamento e velocidade de uma partícula sofrendo movimento vertical 
em um meio tendo forças de resistência proporcional à velocidade. 
Solução. 
Consideremos que a partícula está caindo apontando para baixo com uma velocidade 
inicial ݒ଴ de uma altura ݄ em um campo gravitacional constante  (Figura 2‐5). A equação de 
movimento é 
direção z 
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ൌ െ݉݃ െ ݇݉ݒ                                                        ሺ2.27ሻ 
onde  –  ݇݉ݒ  representa  uma  força  positiva  apontando  para  cima  desde  que  tomamos