Capítulo 01 - Tensão

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
- TENSÃO- 
MOSSORÓ/RN – 2014 – 
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS 
CURSO BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
Profª. MSc. CHRISTIANE MYLENA TAVARES DE 
MENEZES GAMELEIRA 
ESTRUTURA DA APRESENTAÇÃO 
 CAPÍTULO 1 – TENSÃO 
1.1 Introdução 
1.2 Equilíbrio de um corpo deformável 
1.3 Tensão 
1.4 Tensão normal média em uma barra com carga axial 
1.5 Tensão de cisalhamento média 
1.6 Tensão admissível 
1.7 Projeto de acoplamentos simples 
2 
Objetivos do capítulo 
 Faremos uma revisão dos princípios importantes da 
estática e mostraremos como eles são usados para 
determinar as cargas resultantes em um corpo. 
Depois, apresentaremos os conceitos de tensão 
normal e tensão de cisalhamento e aplicações da 
análise e do projeto de elementos sujeitos a carga 
axial ou a cisalhamento direto. 
3 
1.1 Introdução 
• A resistência dos materiais é um ramo da mecânica que estuda as 
relações entre as cargas externas aplicadas a um corpo 
deformável e a intensidade das cargas internas que agem no 
interior do corpo. 
 
• Esse assunto também envolve o cálculo das deformações do 
corpo e proporciona o estudo de sua estabilidade quando sujeito a 
forças externas. 
 
4 
1.1 Introdução 
• No projeto de qualquer estrutura ou máquina, em primeiro 
lugar, é necessário usar os princípios da estática para 
determinar as forças que agem sobre os vários 
elementos, bem como no seu interior. 
 
• O tamanho dos elementos, sua deflexão e estabilidade 
dependem não só das cargas internas, mas também do 
tipo de material de que são feitos. 
 
5 
1.1 Introdução 
• A determinação precisa e a compreensão fundamental do 
comportamento do material serão de vital importância para o 
desenvolvimento das equações necessárias usadas na resistência dos 
materiais. 
 
• Tenham em mente que muitas fórmulas e regras de projeto definidas 
em códigos de engenharia e utilizadas na prática são baseadas nos 
fundamentos da resistência dos materiais, e, por essa razão, é muito 
importante entender os princípios dessa matéria. 
 
6 
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
 Haja vista o importante papel desempenhado pela 
estática no desenvolvimento e na aplicação da 
resistência dos materiais, também é muito 
importante que seus fundamentos sejam bem 
compreendidos. 
 
 Por essa razão, revisaremos alguns dos princípios 
essenciais da estática que serão usados. 
7 
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
Cargas externas 
 Um corpo pode ser submetido a vários tipos de 
cargas externas; todavia, qualquer uma delas 
pode ser classificada como uma força de superfície 
ou uma força de corpo. 
8 
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
Cargas externas 
1. Forças de superfície: 
 Causadas pelo contato direto de um corpo com a superfície de outro. 
2. Força de corpo: 
Desenvolvida quando um corpo exerce uma força sobre outro, sem 
contato físico direto entre eles. 
9 
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
Cargas externas 
1. Forças de superfície: 
 As forças de superfície estão distribuídas pela área de 
 contato entre os corpos. 
 Se essa área for pequena em comparação com a área da superfície total do corpo, 
então a força de superfície pode ser idealizada como uma única força 
concentrada, aplicada a um ponto do corpo. 
 Exemplo de força concentrada: a força do solo sobre as rodas de uma bicicleta, 
quando estudamos a carga que age sobre a bicicleta. 
 
10 
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
Cargas externas 
1. Forças de superfície: 
 Se a carga de superfície for aplicada ao longo de uma área estreita, 
ela pode ser idealizada como uma carga distribuída linear, w(s). 
 A carga é medida como se tivesse uma intensidade de 
força/comprimento ao longo da área, e é representada graficamente por 
uma série de setas ao longo da linha s. 
 A força resultante FR de w(s) é equivalente à área sob a curva da 
carga distribuída, e essa resultante age no centroide C ou centro 
geométrico dessa área. 
11 
Exemplo de carga distribuída: Carga aplicada ao longo de uma viga 
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
Cargas externas 
2. Força de corpo: 
 Desenvolvida quando um corpo exerce uma força 
 sobre outro, sem contato físico direto entre eles. 
 Exemplos: efeitos causados pela gravitação da Terra ou seu campo 
eletromagnético. 
 Embora as forças de corpo afetem cada uma das partículas que compõem o 
corpo, elas normalmente são representadas por uma única força concentrada que 
age sobre ele. 
 No caso da gravidade, essa força é denominada peso do corpo e age no 
centro de gravidade deste. 
 
12 
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
 Reações do apoio 
As forças de superfície que se desenvolvem nos apoios ou pontos de 
contato entre corpos são denominadas reações. 
Para problemas bidimensionais, os apoios mais comuns são mostrados na 
tabela abaixo. 
13 
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
 Reações do apoio 
 
 Se o apoio impedir a translação em uma determinada 
direção, então uma força deve ser desenvolvida no elemento 
naquela direção. 
 Da mesma forma, se o apoio impedir a rotação, um 
momento deve ser exercido no elemento. 
 
 
14 
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
 Reações do apoio 
 
 Por exemplo, um apoio de rolete só pode impedir 
translação na direção do contato, perpendicular ou normal à 
superfície. Por consequência, o rolete exerce uma força normal 
F sobre o elemento no ponto de contato. Como o elemento 
pode girar livremente ao redor do rolete, não é possível 
desenvolver um momento sobre ele. 
15 
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
 Equações de equilíbrio 
 
 O equilíbrio de um corpo exige um equilíbrio de forças, 
para impedir a translação ou um movimento acelerado do 
corpo ao longo de uma trajetória reta ou curva, e um 
equilíbrio de momentos, para impedir que o corpo gire. 
 
 Essas equações podem ser expressas matematicamente 
pelas duas equações vetoriais. 
 
 
16 
0M 0F   O
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
 Equações de equilíbrio 
 
 Se estipularmos um sistema de coordenadas x, y, z com 
origem no ponto O, os vetores força e momento podem ser 
resolvidos em componentes ao longo dos eixos 
coordenados, e as duas equações apresentadas podem 
ser escritas como seis equações em forma escalar, ou 
seja: 
17 
0 , 0 , 0
0 , 0 , 0




zyx
zyx
MMM
FFF
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
 Equações de equilíbrio 
 
 Na prática da engenharia, muitas vezes a carga sobre um corpo 
pode ser representada como um sistema de forças coplanares. 
Se for esse o caso, e se as forças encontrarem-se no plano x-y, 
então as condições de equilíbrio do corpo podem ser 
especificadas por apenas três equações de equilíbrio escalares, 
isto é. 
 
 
 
 
 
 
18 0
 0
 0
0 





M
F
F
y
x
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
 Equações de equilíbrio 
 
 Neste caso, se o ponto O for a origem das coordenadas, então 
os momentos estarão sempre dirigidos ao longo do eixo z, 
perpendicular ao plano que contém as forças. 
 
 A melhor maneira de levar em conta essas forças é desenhar o 
diagrama de corpo livre do corpo. 
 
 
19 
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
 Cargas resultantesinternas 
 
 Uma das mais importantes aplicações da 
estática na análise de problemas de resistência dos 
materiais é poder determinar a força e o momento 
resultantes que agem no interior de um corpo quando 
submetido a cargas externas. 
20 
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
 Cargas resultantes internas 
 
 Como exemplo, considere um 
corpo mostrado na figura, mantido em 
equilíbrio pelas quatro forças externas. 
 Para obtenção das cargas 
internas que agem sobre uma região 
específica no interior de um corpo, é 
necessário usar o método das seções. 
21 
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
 Cargas resultantes internas 
 O método das seções exige que seja 
feita uma seção ou “corte” imaginário passando 
pela região onde as cargas internas deverão 
ser determinadas. 
 
 Então, as duas partes do corpo são 
separadas e o diagrama de corpo livre de uma 
das partes é desenhado (figura). 
 
22 
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
 Cargas resultantes internas 
 Podemos ver que há, na verdade, uma 
distribuição de força interna agindo sobre a 
área “exposta” da seção. 
 
 Essas forças representam os efeitos do 
material que está na parte superior do corpo 
agindo no material adjacente na parte inferior. 
23 
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
 Cargas resultantes internas 
 Embora a distribuição exata da carga 
interna seja desconhecida, podemos usar as 
equações de equilíbrio para relacionar as 
forças externas sobre o corpo com a força e o 
momento resultantes da distribuição, FR e MRO, 
em qualquer ponto especifico O na área 
secionada. 
 O objetivo do diagrama de corpo livre é 
determinar a força e o momento resultantes que 
agem no interior de um corpo. 
 
24 
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
 Três dimensões: Mais adiante, 
mostraremos como relacionar as cargas 
resultantes, FR e MRO, com a distribuição 
de forças na área secionada e, desse 
modo, desenvolver equações que 
possam ser usadas para análise e 
projeto. 
 
 Todavia, para isso devemos considerar 
as componentes de FR e MRO, que agem 
normal ou perpendicularmente à área 
secionada e no interior do plano da 
área (figura). 
25 
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
 Há quatro tipos diferentes de 
carga resultantes que podem ser definidos: 
a) Força normal, N 
b) Força de cisalhamento, V 
c) Momento de torção ou torque, T 
d) Momento fletor, M 
 
26 
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
 Força normal, N 
 Força que age perpendicularmente 
a área e se desenvolve sempre que 
as cargas externas tendem a 
empurrar ou puxar os dois 
segmentos do corpo. 
 Força de cisalhamento, V 
 Força que encontra-se no plano da 
área e é desenvolvida quando as 
cargas externas tendem a provocar 
o deslizamento de um dos 
segmentos do corpo sobre o outro. 
27 
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
 Momento de torção ou 
torque, T 
 Esse efeito é desenvolvido 
quando as cargas externas 
tendem a torcer um segmento do 
corpo com relação ao outro. 
 Momento fletor, M 
 É causado pelas cargas externas 
que tendem a fletir o corpo em 
torno de um eixo que se 
encontra no plano da área. 
28 
1.2 Equilíbrio de um corpo 
deformável 
 Cargas coplanares 
 Se o corpo for submetido a um sistema de forças 
coplanares (figura a), então haverá na seção apenas 
componentes da força normal, força de cisalhamento e 
momento fletor (figura b). 
29 
Exemplo 1.1 
 Determine as cargas internas resultantes que 
agem na seção transversal em C. 
 
30 
Solução: 
Diagrama de corpo livre 
mN180
9
270
6
 w
w
A intensidade da carga distribuída em C 
é determinada por proporção, 
O valor da resultante da carga distribuída é 
   N5406180
2
1 F
que age a de C.   m26
3
1 
Equações de equilíbrio 
 
(Resposta) mN 008.1 
02540 ;0 
(Resposta) 540 
0540 ;0
(Resposta) 0 
0 ;0









C
CC
C
Cy
C
Cx
M
MM
V
VF
N
NF
Aplicando as equações de equilíbrio, temos 
Exemplo 1.5 
 Determine as cargas internas resultantes que agem 
na seção transversal em B do cano. A massa do 
cano é de 2 kg/m e ele está sujeito a uma força 
vertical de 50 N e a um momento de 70 N·m em 
sua extremidade ao final de A. O tubo está preso 
a uma parede em C. 
 
33 
Diagrama corpo livre 
   
    N 525,2481,925,12
N 81,981,95,02


AD
BD
W
W
Calculando o peso de cada segmento do tubo, 
Aplicando as seis equações escalares de equilíbrio, 
 
 
 
  (Resposta) N 3,84 
 050525,2481,9 ;0
(Resposta) 0 ;0
(Resposta) 0 ;0







xB
zBz
yBy
xBx
F
FF
FF
FF
         
 
       
 
    (Resposta) 0 ;0
(Resposta) mN8,77 
025,150625,0525,24 ;0
(Resposta) mN3,30 
025,081,95,0525,245,05070 ;0








zBzB
yB
yByB
xB
xBxB
MM
M
MM
M
MM
Solução: 
1.3 Tensão 
 Dissemos que força e momento que agem em um corpo específico 
da área secionada de um corpo (figura c) representam os efeitos 
resultantes da distribuição de forças que agem sobre a área 
secionada (figura a). Obter essa distribuição da carga interna é 
de suma importância na resistência dos materiais. Para resolver 
esse problema, é necessário estabelecer o conceito de tensão. 
35 
1.3 Tensão 
 Considere que a área secionada está subdividida em 
pequenas áreas, como ΔA sombreada em tom mais escuro na 
figura a. 
 
 
 
 
 
 
 A medida que reduzimos ΔA a um tamanho cada vez menor, 
temos de adotar duas premissas em relação às propriedades 
do material. 
36 
1.3 Tensão 
 Consideramos que o material é 
contínuo: possui continuidade ou 
distribuição uniforme de matéria sem 
vazios, em vez de ser composto por um 
número finito de moléculas ou átomos 
distintos. 
 O material deve ser coeso: significa que 
todas as suas porções estão muito bem 
interligadas, sem trincas ou separações. 
 A tensão descreve a intensidade da 
força interna sobre um plano específico 
(área) que passa por um ponto. 
 
37 
1.3 Tensão 
 Uma força típica ΔF, porém muito pequena, agindo 
sobre a área ΔA a ela associada, é mostrada na figura 
a. 
 Essa força, como todas as outras , terá uma direção 
única, mas, em nossa discussão, nós a substituiremos por 
suas três componentes, a saber, ΔFx, ΔFy e ΔFz, 
tangentes e normais à área, respectivamente. 
 À medida que a área ΔA tende a zero, o mesmo ocorre 
com a força ΔF e suas componentes; porém, em geral, o 
quociente entre a força e a área tenderá a um limite 
finito. Esse quociente é denominado tensão e, como já 
observamos, descreve a intensidade da força interna 
sobre o plano (área) que passa por um ponto. 
38 
1.3 Tensão 
 Tensão normal (σ – sigma) 
 A intensidade da força, ou força por 
unidade de área, que age 
perpendicularmente à ΔA. 
 Visto que ΔFz é normal a área, então: 
 
 
 Se a força normal ou tensão tracionar oelemento de área ΔA, (figura), ela será 
denominada tensão de tração, ao passo 
que, se comprimir o elemento ΔA, ela será 
denominada tensão de compressão. 
 
 
39 
A
Fz
A
z



 0
lim
1.3 Tensão 
 Tensão de cisalhamento, (Ƭ - tau) 
 A intensidade da força, ou força por unidade de área, 
que age tangente a ΔA. 
 As componentes de tensão são: 
 
 
40 
A
F
A
F
y
A
zy
x
A
zx








0
0
lim
lim


1.3 Tensão 
 Tensão de cisalhamento, (Ƭ - tau) 
 
 
 
 Observe que a notação do índice z em 𝜎𝑧 é usada para indicar a 
direção da reta normal dirigida para fora, que especifica a 
orientação da área Δ𝐴. 
 São usados dois índices para as componentes da tensão de 
cisalhamento, Ƭzx e Ƭzy. O eixo z especifica a orientação da 
área e x e y referem-se às retas que indicam a direção das 
tensões de cisalhamento. 
 
 
 
41 
A
F
A
F
y
A
zy
x
A
zx








0
0
lim
lim


A
Fz
A
z



 0
lim
1.3 Tensão 
 Estado geral de tensão 
 Se o corpo for ainda mais secionado por planos paralelos ao plano x-z (figura b) 
e pelo plano y-z (figura c), então podemos “cortar” um elemento cúbico de 
volume de material que representa o estado de tensão que age em torno do 
ponto escolhido no corpo. 
 Assim, esse estado de tensão é caracterizado por três componentes que agem em 
cada face do elemento. 
42 
1.3 Tensão 
 Estado geral de tensão 
 Essas componentes de tensão descrevem o estado de tensão no 
ponto somente para o elemento orientado ao longo dos eixos x, y e 
z. Se o corpo fosse secionado em um cubo que tivesse alguma outra 
orientação, então o estado de tensão seria definido por um conjunto 
diferente de componentes de tensão. 
43 
1.3 Tensão 
 Estado geral de tensão 
 Unidades do Sistema Internacional (SI). (N/m²) = 1 
Pa 
 Unidade básica de tensão N/m² 
 1 pascal (1Pa =1 N/m²) 
 Kilo - k (10³) 
 Mega – M (106) 
 Giga – G (109) 
44 
1.4 Tensão normal média em uma 
barra com carga axial 
• Frequentemente, elementos estruturais ou mecânicos são comprimidos ou delgados. 
Além disso, estão sujeitos a cargas que normalmente são aplicadas às 
extremidades do elemento. Pendurais, parafusos e elementos de treliças são 
exemplos típicos. 
 
45 
• Determinaremos a distribuição de tensão média 
que age na seção transversal da barra com 
carga axial (como mostrado na figura). Esta 
seção define a área da seção transversal da 
barra e, como todas as outras seções transversais 
são iguais, a barra é denominada prismática. 
 
1.4 Tensão normal média em uma 
barra com carga axial 
46 
 Barra prismática é um membro reto com seção 
transversal uniforme 
 
 
 
Seções transversais típicas de barras prismáticas 
 
 
1.4 Tensão normal média em uma 
barra com carga axial 
47 
 Se desprezarmos o peso da barra e da seção 
conforme é indicado, então, o equilíbrio do segmento 
inferior (figura b), a força resultante interna que age 
na área da seção transversal deve ter valor igual, 
direção oposta e ser colinear à força externa que 
age na parte inferior da barra. 
1.4 Tensão normal média em uma 
barra com carga axial 
• Para determinação da distribuição de tensões 
média que age sobre a área da seção transversal 
da barra, é necessário a adoção de duas 
premissas simplificadores em relação à descrição 
do material e à aplicação específica da carga. 
48 
1.4 Tensão normal média em uma 
barra com carga axial 
1) É necessário que a barra permaneça reta antes e 
depois da aplicação da carga; além disso, a seção 
transversal deve permanecer achatada ou plana 
durante a deformação, isto é, durante o tempo em que 
ocorrer a mudança no volume a na forma da barra. 
 
49 
1.4 Tensão normal média em uma 
barra com carga axial 
2) Para que a barra sofra deformação uniforme é necessário que 
P seja aplicada ao longo do eixo do centroide da seção 
transversal e que o material seja homogêneo e isotrópico. 
 Materiais homogêneos têm as mesmas propriedades físicas e 
mecânicas em todo o seu volume. 
 Materiais isotrópicos têm as mesmas propriedades em todas 
as direções (muitos materiais de engenharia podem ser 
considerados homogêneos e isotrópicos por aproximação, 
como é feito no livro Hibbeler). 
 Materiais anisotrópicos têm propriedades diferentes em 
direções diferentes. 
 
50 
1.4 Tensão normal média em uma 
barra com carga axial 
 Distribuição de tensão normal média 
 Contanto que a barra esteja submetida a uma 
deformação uniforme e constante, essa 
deformação é o resultado de uma tensão normal 
constante σ. 
 
 O resultado é que cada área ΔA na seção 
transversal está submetida a uma força ΔF=σΔA, e 
a soma dessas forças que agem em toda a área 
da seção transversal deve ser equivalente à força 
resultante interna P na seção. 
51 
1.4 Tensão normal média em uma 
barra com carga axial 
 Distribuição de tensão normal média 
 Se fizermos ΔA dA e, portanto, ΔF dF, então 
reconhecendo que σ é constante, tem-se: 
 
 
52 A
P
AP
dAdF
A


 



 
 
σ = tensão normal média em qualquer ponto 
na área da seção transversal 
 
P = força normal interna resultante, que é 
aplicada no centroide da área da seção 
transversal. P é determinado pelo método das 
seções e pelas equações de equilíbrio. 
 
A = área da seção transversal da barra 
1.4 Tensão normal média em uma 
barra com carga axial 
 Equilíbrio 
 Deve ser evidente que existe somente uma 
tensão normal em qualquer elemento de 
volume de material localizado em cada ponto 
na seção transversal de uma barra com carga 
axial. Se considerarmos o equilíbrio vertical do 
elemento, então, aplicando a equação do 
equilíbrio de forças: 
 
 
 
 Em outras palavras, as duas componentes da 
tensão normal no elemento devem ter valores 
iguais, mas direções opostas, o que é 
denominado tensão uniaxial 
 
 
 
53 
1.4 Tensão normal média em uma 
barra com carga axial 
 Tensão normal média máxima 
 
 Em nossa análise, a força interna P e a área da seção transversal A 
eram constantes ao longo do eixo longitudinal da barra e, como 
resultado, a tensão normal σ=P/A também é constante em todo o 
comprimento da barra. 
 
 Entretanto, ocasionalmente, a barra pode estar sujeita a várias 
cargas externas ao longo de seu eixo ou pode ocorrer uma 
mudança em sua área da seção transversal. 
54 
1.4 Tensão normal média em uma 
barra com carga axial 
 Tensão normal média máxima 
 
 O resultado é que a tensão normal no interior da barra poderia ser 
diferente de uma seção para outra e, se quisermos determinar a 
tensão normal média máxima, torna-se importante determinar o 
lugar onde a razão P/A é um máximo. 
 
 Para isso, é necessário determinar a força interna P em várias 
seções ao longo da barra. Neste caso, pode ser útil mostrar essa 
variação por meio de um diagrama de força axial ou normal. 
55 
1.4 Tensão normal média em uma 
barra com carga axial 
 Tensão normal média máxima 
 
 Especificamente, esses diagrama é uma representação gráfica da 
força normal P em relação à posição x ao longo do comprimento 
da barra. 
 
 Como convenção de sinais, P será positiva se causar tração e 
negativa se causar compressão. 
 
56 
1.4 Tensão normal média em uma 
barra comcarga axial 
 Tensão normal média máxima 
 Uma vez conhecida a carga interna em toda a barra, então a razão P/A 
máxima pode ser identificada. 
 
 
57 
Exemplo 1.6 
 A barra tem largura constante de 35 mm e 
espessura de 10 mm. Determine a tensão 
normal média máxima na barra quando ela é 
submetida à carga mostrada. 
 
58 
Solução: 
Por inspeção, as forças internas axiais são constantes, mas têm valores 
diferentes. 
Graficamente, o diagrama da força normal é como mostrado abaixo: 
Por inspeção, a maior carga é na região 
BC, onde 
kN. 30BCP
Visto que a área da seção transversal da barra 
 é constante, a maior tensão normal média é 
 
  
(Resposta) MPa 7,85
01,0035,0
1030 3

A
PBC
BC
Exemplo 1.8 
 A peça fundida mostrada é feita de aço, cujo peso 
específico é . Determine a tensão 
de compressão média que age nos pontos A e B. 
 
61 
3
aço kN/m 80
Solução: 
Desenhando um diagrama de corpo livre do segmento superior, a força axial 
interna P nesta seção é 
    
kN 042,8 
02,08,080 
0 ;0
2
aço


 
P
P
WPFz

A tensão de compreensão média torna-se: 
 
(Resposta) kN/m 0,64
2,0
042,8 2
2
  A
P
1.5 Tensão de cisalhamento média 
 É a componente de tensão que age no plano da área 
secionada. 
 
 
 Para mostrar como essa tensão pode desenvolver-se, 
consideremos o efeito da aplicação de uma força F à barra 
na figura. 
 Se considerarmos apoios rígidos e F suficientemente grande, o 
material da barra irá deformar-se e falhar ao longo dos 
planos identificados por AB e CD. 
63 
1.5 Tensão de cisalhamento média 
 Um diagrama de corpo livre do segmento central não 
apoiado da barra (figura) indica que a força de cisalhamento 
V=F/2 deve ser aplicada a cada seção para manter o 
segmento em equilíbrio. 
 
 
 A tensão de cisalhamento média distribuída sobre cada área 
secionada que desenvolve essa força de cisalhamento é 
definida por: 
 
64 
A
V
méd
𝜏𝑚é𝑑= tensão de cisalhamento média 
 V = força de cisalhamento interna 
resultante 
 A = área na seção 
1.5 Tensão de cisalhamento média 
 A ação da distribuição da tensão de cisalhamento média 
sobre as seções é mostrada na figura. 
 
 
 
 
 
 Observe que 𝜏𝑚é𝑑 está na mesma direção de V, uma vez que 
a tensão de cisalhamento deve criar forças associadas e que 
todas elas contribuem para a força resultante interna V na 
seção analisada. 
65 
Caso de cisalhamento simples ou direto, visto que é causado 
pela ação direta da carga aplicada F 
1.5 Tensão de cisalhamento média 
 Dois tipos diferentes de cisalhamento: 
 
66 
a) Cisalhamento simples 
 As juntas de madeira mostradas são acoplamentos de 
cisalhamento simples normalmente denominadas de juntas sobrepostas. 
 
 Se fizermos um corte entre os elementos, obteremos os 
diagramas de corpo livre mostrados na figura. 
 
 Sendo os elementos finos, podemos desprezar o momento criado 
pela força F. Por consequência, por equilíbrio, a superfície de fixação entre 
os elementos da figura estão sujeitas somente a uma única força de 
cisalhamento simples V=F. 
 
1.5 Tensão de cisalhamento média 
 Dois tipos diferentes de cisalhamento: 
 
67 
b) Cisalhamento duplo 
 Quando uma junta é construída como mostra a figura, duas 
superfícies devem ser consideradas. 
 Esses tipos de acoplamentos são normalmente denominados juntas 
de dupla superposição. 
 Se fizermos um corte entre cada um dos elementos, os diagramas 
de corpo livre do elemento central serão como os mostrados nas figuras. 
 Temos aqui uma condição de cisalhamento duplo. 
 Por consequência, V= F/2 age sobre cada área secionada, e esse 
cisalhamento deve ser considerado quando aplicarmos 𝜏𝑚é𝑑 =
𝑉
𝐴
 
 
1.5 Tensão de cisalhamento média 
 Equilíbrio 
 O equilíbrio de forças e momentos exige que a tensão de 
cisalhamento que age sobe a face superior do elemento seja 
acompanhada por tensões de cisalhamento que agem sobre as 
três outras faces. 
 
68 
1.5 Tensão de cisalhamento média 
 Equilíbrio 
 
 Nesse caso, todas as quatro tensões de cisalhamento devem ter 
valores iguais e serem direcionadas no mesmo sentido ou em 
sentido oposto uma das outras nas bordas opostas do 
elemento. 
 Isso é denominado propriedade complementar do cisalhamento e, 
sob as condições mostradas na figura, o material está submetido 
a cisalhamento puro. 
 
69 
Exemplo 1.12 
 O elemento inclinado está submetido a uma força de 
compressão de 3.000 N. Determine a tensão de 
compressão média ao longo das áreas de contato 
lisas definidas por AB e BC e a tensão de 
cisalhamento média ao longo do plano horizontal 
definido por EDB. 
 
70 
Solução: 
As forças de compressão agindo nas áreas de contato são 
 
  N 400.20000.3 ;0
N 800.10000.3 ;0
5
4
5
3




BCBCy
ABABx
FFF
FFF
A força de cisalhamento agindo no plano horizontal secionado EDB é 
N 800.1 ;0   VFx
As tensões de compressão médias ao longo dos planos horizontal e vertical do 
elemento inclinado são 
  
  
(Resposta) N/mm 20,1
4050
400.2
(Resposta) N/mm 80,1
4025
800.1
2
2


BC
AB


  
(Resposta) N/mm 60,0
4075
800.1 2
méd 
A tensão de cisalhamento média que age no plano 
horizontal definido por BD é 
1.6 Tensão admissível 
 Um engenheiro responsável pelo projeto de um 
elemento estrutural ou mecânico deve restringir a 
tensão atuante no material a um nível seguro. 
 Além disso, uma estrutura ou máquina em uso 
contínuo deve ser analisada periodicamente para 
que se verifique quais cargas adicionais seus 
elementos ou partes podem suportar. 
 Portanto, vale repetir, é necessário fazer os cálculos 
usando-se uma tensão segura ou admissível. 
 
73 
1.6 Tensão admissível 
 Para se garantir a segurança, é preciso escolher 
uma tensão admissível que restrinja a carga 
aplicada a um valor menor do que a carga que o 
elemento pode suportar totalmente. 
 
 
74 
1.6 Tensão admissível 
 Razões: 
 A carga para o qual o elemento é projetado pode ser diferente 
das cargas realmente aplicadas. 
 As dimensões estipuladas no projeto de uma estrutura ou máquina 
podem não ser exatas, na realidade, por causa de erros de 
fabricação ou cometidos na montagem de seus componentes. 
 É possível ocorrer problemas com vibrações, impactos ou cargas 
acidentais desconhecidas, que não tenham sido contempladas no 
projeto. 
 Corrosão atmosférica, deterioração ou desgaste provocado por 
intempéries tendem a deteriorar os materiais em serviço. 
 Variabilidade das propriedades mecânicas de alguns materiais. 
 
 
75 
1.6 Tensão admissível 
• Muitos fatores desconhecidos que influenciam na tensão real de um 
elemento. 
• O fator de segurança (FS) é um método para especificação da carga 
admissível para o projeto ou análise de um elemento. 
• O fator de segurança (FS) é a razão entre a carga de ruptura e a carga 
admissível. 
 
76 
adm
rup
FS
F
F

Frup = carga de ruptura 
 
Fadm = carga admissível 
1.6 Tensão admissível 
 Se a carga aplicada ao elemento estiver linearmente relacionada 
com a tensão desenvolvida no interior do elemento, como no caso 
de 𝜎 =
𝑃
𝐴
 𝑒 𝜏𝑚é𝑑=
𝑉
𝐴
, então podemos expressar o fator de 
segurança como a razão entre a tensão de ruptura 
𝜎𝑟𝑢𝑝 𝑜𝑢 𝜏𝑟𝑢𝑝 𝑒 𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝑜𝑢 𝜏𝑎𝑑𝑚 ; 𝑖𝑠𝑡𝑜 é: 
 
𝐹𝑆 =
𝜎𝑟𝑢𝑝
𝜎𝑎𝑑𝑚
 𝐹𝑆 =
𝜏𝑟𝑢𝑝
𝜏𝑎𝑑𝑚
 
 
 Em qualquer dessas equações o fator de segurança escolhido é 
maior que 1, para evitar o potencial de falha. 
 
77 
1.7 Projeto de acoplamentos 
simples 
 Adotando-se as premissas simplificadoras em relação ao 
comportamento do material, as equações 𝜎 =
𝑃
𝐴
 e 𝜏𝑚é𝑑 =
𝑉
𝐴
 
geralmente podem ser usadas para projetar um acoplamento 
simples ou um elemento mecânico. 
 
𝐴 =
𝑃
𝜎𝑎𝑑𝑚
 𝐴 =
𝑉
𝜏𝑎𝑑𝑚
 
 
 A tensão admissível usada em cada uma dessas equações é 
determinada pela aplicação de um fator de segurança a uma 
tensão normal ou de cisalhamento especificada ou pela obtenção 
dessas tensões diretamente de uma norma de projeto adequada. 
78 
1.7 Projeto de acoplamentos 
simples 
 Quatro tipos comuns de problemas em cujo projeto as 
equações citadas podem ser usadas. 
 Área de seção transversal de um elemento de tração; 
 
 
 Área de seção transversal de um acoplamento submetido a 
cisalhamento; 
 
79 
1.7 Projeto de acoplamentos 
simples 
 Quatro tipos comuns de problemas em cujo projeto as 
equações citadas podem ser usadas. 
 Área exigida para resistir ao apoio; 
 
 
 
80 
1.7 Projeto de acoplamentos 
simples 
 Quatro tipos comuns de problemas em cujo projeto as 
equações citadas podem ser usadas. 
 Área exigida para resistir a cisalhamento provocado por 
carga axial. 
 
81 
Exemplo 1.14 
O braço de controle está submetido ao carregamento mostrado na figura abaixo. 
Determine, com aproximação de 5 mm, o diâmetro exigido para o pino de aço 
em C se a tensão de cisalhamento admissível para o aço for . 
Note na figura que o pino está sujeito a cisalhamento duplo. 
MPa 55adm 
Solução: 
Para equilíbrio, temos: 
      
 
  kN 3002515 ;0
kN 502515 ;0
kN 150125,025075,0152,0 ;0 
5
3
5
4
5
3






yyy
xxx
ABABC
CCF
CCF
FFM
O pino em C resiste à força resultante em C. Portanto, 
    kN 41,30305 22 CF
mm 8,18 
mm 45,246
2
 
m 1045,276
1055
205,15
2
26
3
adm
2









 
d
d
V
A


O pino está sujeito a cisalhamento duplo, uma força de cisalhamento de 15,205 kN 
age sobre sua área da seção transversal entre o braço e cada orelha de apoio do 
pino. 
A área exigida é 
Use um pino com um diâmetro d = 20 mm. (Resposta) 
Exemplo 1.17 
A barra rígida AB é sustentada por uma haste de aço AC com 20 mm de 
diâmetro e um bloco de alumínio com área de seção transversal de 1.800 mm2. 
Os pinos de 18 mm de diâmetro em A e C estão submetidos a cisalhamento 
simples. Se a tensão de ruptura do aço e do alumínio forem e 
 , respectivamente, e a tensão falha para cada pino for de 
 , determine a maior carga P que pode ser aplicada à barra. Aplique 
um fator de segurança FS = 2. 
  MPa 680
rupaço

  MPa 70
rupal

MPa 900rup 
Solução: 
As tenções admissíveis são:  
 
 
 
MPa 450
2
900
FS
MPa 35
2
70
FS
MPa 340
2
680
FS
rup
adm
rupal
admal
rupaço
admaço









Há três incógnitas e nós aplicaremos as equações de equilíbrio 
   
    (2) 075,02 ;0
(1) 0225,1 ;0




PFM
FPM
BA
ACB
Agora, determinaremos cada valor de P que crie a tensão admissível na haste, no 
bloco e nos pinos, respectivamente. 
A haste AC exige 
         kN 8,10601,010340 26
admaço
  ACAC AF
Usando a Equação 1, 
  
kN 171
25,1
28,106
P
Para bloco B, 
       kN 0,6310800.11035 66
admal
 BB AF 
Usando a Equação 2, 
  
kN 168
75,0
20,63
P
Para o pino A ou C,      kN 5,114009,010450 26adm   AFV AC
Usando a Equação 1,    kN 183
25,1
25,114
P
Quando P alcança seu menor valor (168 kN), desenvolve a tensão normal 
admissível no bloco de alumínio. Por consequência, 
(Resposta) kN 168P