Exercícios de Álgebra Vetorial e Cálculo Vetorial

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Lista de Exercícios 
 
 ÁLGEBRA VETORIAL 
 
1. Determine o vetor unitário ao longo da linha que une o 
ponto (2,4,4) ao ponto (-3,2,2). 
 
 
 
 
2. Se 
→
 
A = 5âx + 3ây + 2âz , 
→
 
B = ­âx + 4ây + 6âz 
→
 
e C = 8âx + 2ây , determine os 
 
→ → →
 
valores de � e β, tais que � A+ β B+ C seja paralelo ao eixo y. 
 
 
 
 
3. Dados os vetores 
→
 
T = 2âx ­ 6ây + 3âz 
→
 
e S = âx + 2ây + âz , determine: 
 
 
a. A projeção escalar de 
→ →
 
T sobre S . 
 
 
b. O vetor projeção de 
→ →
 
S sobre T . 
 
→ →
 
c. O menor ângulo entre T e S . 
 
 
 
 
4. Calcule os ângulos que o vetor 
 
eixos x, y e z. 
→
 
H = 3âx + 5ây ­ 8âz 
 
faz com os 
 
 
5. Os pontos P, Q e R estão localizados em (-1,4,8), (2,-1,3) e 
 
(-1,2,3), respectivamente. Determine: 
 
a. A distância entre P e Q. 
 
b. O vetor distância de P até R. 
c. O ângulo entre QP e QR. 
d. A área do triângulo PQR. 
e. O perímetro do triângulo PQR. 
 
 
 
 
2
 
 
6. Dado 
→
 
A = x 2
 
yâx ­ yzây + yz 
 
âz , determine: 
 
 
a. A magnitude de 
→
 
A no ponto T(2,-1,3). 
 
b. O vetor distância de T até S, caso S esteja a 5,6 
 
unidades de distância afastado de T e com a mesma 
 
 
orientação de 
→
 
A em T. 
 
c. O vetor posição de S. 
 
 
2
 
 SISTEMAS E TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS 
 
 
 
1. Se 
a. 
b. 
 
 
V = xz ­ xy + yz , expresse V em coordenadas cilíndricas. 
U = x 2 + 2 y 2 + 3z 2 , expresse U em coordenadas esféricas. 
 
 
 
2. Converta os seguintes vetores para os sistemas cilíndrico e 
 
esférico 
 
→
 
a. F = 
1 
x 
2 + y 2 + z 2 
(xâx + yây + 4âz ). 
 
→
 
b. G = 
x 2 + y 2
 
x 
2 + y 2 + z 2 
(xâx + yây + zâz ). 
 
 
 
 
 
3. Seja 
→ 
A = ρ cosθâ
ρ 
+ ρz
 
senφâz , 
 
 
a. Transforme 
→
 
A para coordenadas retangulares e 
 
determine sua magnitude no ponto (3,-4,0). 
 
 
b. Transforme 
→
 
A para coordenadas esféricas e determine 
 
sua magnitude no ponto (3,-4,0). 
 
 
 
4. Dados os vetores 
 
determine: 
→
 
A = 2âx + 4ây + 10âz 
→
 
e B = ­5â
ρ 
+ â
φ 
­ 3âz , 
 
→ →
 
a. A+ B
 
em P(0,2,-5). 
 
 
→
2
 
 
 
b. O ângulo entre 
→ →
 
A e B em P. 
 
 
c. A componente escalar de 
→
 
A ao longo de 
→
 
B em P. 
 
 
 
 
 
 
 
5. Seja A = ρ( z 2 ­1)â
ρ
 ­ ρz cosφâφ + �� 
 
z âz e 
→
 
B = r 2
 
cosφâr + 2rsenθâφ , 
 
calcule em T(-3,4,-1): 
 
→ →
 
a. A e B . 
 
 
b. A componente vetorial de 
 
coordenadas cilíndricas. 
→
 
A ao longo de 
→
 
B em T, em 
 
 
c. O vetor unitário perpendicular tanto a 
 
em T, em coordenadas esféricas. 
→ →
 
A quanto a B
 
 
 
 
6. Um campo vetorial em um “misto” de variáveis coordenadas é 
dado por 
 
 
�� � �. �	
Ф� �
� �
2��
�� �
� � �1 �
��
����
� 
 
Expresse �� de maneira completa em um sistema esférico
 
 
→
2 2
2 2
1
2 2
 CÁLCULO VETORIAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
→ → →
 
1. Dado que H = x
 
âx + y ây , calcule ∫ H ⋅ d l , considere L ao longo 
 
 
da curva 
L 
y = x 2 , de (0,0) a (1,1). 
 
 
 
2. A temperatura em um auditório é dada por T = x 2 + y 2 ­ z . Um 
 
mosquito localizado em (1,1,2), dentro do auditório, deseja 
voar em uma orientação tal que ele se aqueça o mais 
rápido possível. Em qual orientação ele deve voar? 
 
 
 
→  → 
 
3. Se U = xz ­ x 2 y 2 + y 2 z 2 , calcule ∇⋅  ∇U  . 
  
 
 
 
→ → →
 
4. Se F = x 2
 
âx + y ây + (z ­1)âz , encontre ∫ F ⋅ d S , onde S é definido 
 
 
Por 0 ≤ � ≤ 1,			0 ≤ � ≤ 1			0 ≤ � ≤ 2	 
 
 
 
 
 
5. Encontre o fluxo do rotacional do campo 
 
→ 
T = cosθâ + rsenθ cosφâ + cosθâ 
r 
2 r θ φ
 
 
através do hemisfério r = 4 e 
 
z ≤ 0 . 
 
 
 
 
6. Se o campo vetorial T = (αxy + βz 3 )âx + (3x ­ γz )ây + (3xz ­ y )âz é 
 
→ →
 
irrotacional, determine α, β e γ. Encontre ∇⋅T em (2,-1,0). 
 
 
 
 
+ z 

 
 
z
RESPOSTAS 
 
• ÁLGEBRA VETORIAL 
 
1. ± (-0,87; -0,35; -0,35). 
 
2. α=-3/2 e β=1/2. 
 
3. -2,86; (-0,29; 0,86; -0,43); 114,09o. 
 
4. 72,36 o; 59,66o; 143,91o. 
 
5. 7,68; (0, -2, -5); 42,57 o; 11,03; 17,30. 
 
6. 10,30; (-2,17; 1,63; -4,89); (-0,17; 0,63; -1,89). 
 
 
 
• SISTEMAS E TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS 
1. V = ρz cosφ − ρ 2 senφ cosφ + ρzsenφ ; U = r 2 [sen 2θ (cos 2 φ + 2sen 2φ )+ 3 cos 2 θ ]. 
 
 
 
 
 
 2 4 4  
2. 
 
 
 
ρ 2 + z 2 
,0, 
ρ 2 2  
;
 
 sen θ + cosθ 

 
, senθ cosθ − senθ 
r
 
,0  ; 
r 
 
 
 3 2 
 
,0, 

 
 
 ; (r 2 sen 2θ ,0,0). 
 ρ 
2 + z 2
 
ρ 2 + z 2  
 
 
3.  
 
 
 
xz 
x 
2 + y 2 
 
, 
+ z 2 
 
yz 
x 
2 + y 2 
 
, yz 
+ z 2 
 
2  ; 0; 
 
 
[rsenθ cosθ (senθ + r 2 cos 2 θsenφ ), rsenθ cosθ (cosθ − r 2 senθ cosθsenφ ),0]; 0. 
 
4. (1, -1, 7); 143,36o; -8,79. 
 
5. (0, 3, 25); (15,61; 0; -10); (5,58; -3,65; 2,46); ± (-0,53; 0,21; -0,82). 
 
senθ cos
3 φ + cosθ (1 + sen 2φ − cos 2 φ ), cosθ cos3 φ +
 
6.  
2 cos 2 θsen 2φ 
senθ 
 
− senθ (1 − cos 2 φ ), 
 
 

− 
senφ cos 2 φ + 
2 cosφsenφ cosθ  
senθ  
 
 
 
• CÁLCULO VETORIAL 
 
1. 0,67. 
 
2. (0,67; 0,67; -0,33). 
3. − 2(x 2 − z 2 ). 
 
4. 8. 
 
5. 0. 
 
6. 6; 1; 1; -6.