Teoria das Estruturas Mecânicas

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Teoria das Estruturas Mecaˆnicas
Prof. Dr. Alessandro Alberto de Lima, Engenharia Mecaˆnica - Notas de Aula - UNIP
Itu, 19 de fevereiro de 2018
I
nicialmente, vamos revisar alguns pontos
importantes na teoria de resisteˆncia dos
materiais para, assim, podermos relacio-
nar os esforc¸os aos quais o modelo estrutural
e´ submetido aos deslocamentos e tenso˜es so-
fridos pelo modelo.
Expressa˜o exata da curvatura
Podemos representar o momento de uma forc¸a (ou
torque) como sendo a tendeˆncia de giro causada pela
forc¸a em relac¸a˜o a um ponto espec´ıfico. O valor do
momento e´ dado pelo produto da magnitude da forc¸a
pela menor distaˆncia entre a linha de ac¸a˜o da forc¸a
e o ponto considerado.
(a)
(b)
Figura 1: Deflexa˜o de uma viga engatada.
• o plano xy e´ o plano de simetria e, tambe´m, o
plano de deflexa˜o.
• deflexa˜o e´ o deslocamento de um dado ponto da
viga em relac¸a˜o a` sua posic¸a˜o original, medida
na direc¸a˜o do eixo y.
(a)
(b)
Figura 2: Deformac¸a˜o da curva da viga.
• m1 e m2 sa˜o escolhidos arbitrariamente ao longo
da viga.
• O′ e´ o centro de curvatura do arco ds. Nor-
malmente as curvas de deflexa˜o sa˜o caracteriza-
das por pequenas deformac¸o˜es e O′ se localiza
”muito distante” da viga.
• ρ e´ o raio de curvatura. κ define a curvatura.
• a partir da geometria de O′m1m2 podemos defi-
nir ρdθ = ds
κ =
1
ρ
=
dθ
ds
Pa´gina 1 de 8
Convenc¸a˜o de sinais para a curvatura:
(a)
(b)
Figura 3: Deflexa˜o de uma viga engatada.
Analisando a curvatura, temos
κ =
1
ρ
=
dθ
ds
=
d(arctan ν ′)
dx
dx
ds
. (1)
Da Fig 2b, vemos que
ds2 = dx2 + dν2 ou
ds =
[
dx2 + dν2
]1/2
. (2)
Dividindo os dois lados da Eq 2 por dx, temos
ds
dx
=
[
1 +
(
dν
dx
)2]1/2
=
[
1 +
(
ν ′
)2]1/2
ou
dx
ds
=
1[
1 + (ν ′)2
]1/2 . (3)
Da derivada da func¸a˜o arco tangente de uma
func¸a˜o qualquer u = u(x), temos que
d
dx
(arctan u) =
1
1 + u2
du
dx
,
portanto, para o nosso caso,
d
dx
(arctan ν ′) =
ν ′′
1 + (ν ′)2
. (4)
(a) antes da deformac¸a˜o
(b) depois da deformac¸a˜o
Figura 4: Deformac¸a˜o da viga sob flexa˜o pura.
Substituindo as equac¸o˜es 3 e 4 na Eq. 1, teremos
κ =
1
ρ
=
ν ′′[
1 + (ν ′)2
]3/2 . (5)
A Eq. 5 e´ a equac¸a˜o exata da curvatura.
Para pequenas deformac¸o˜es, (ν ′)2 e´ considerado
desprez´ıvel em relac¸a˜o a` unidade e a curvatura as-
sume sua forma mais comum:
κ =
1
ρ
=
dθ
dx
= ν ′′ (6)
Tenso˜es normal em vigas
A flexa˜o pura refere-se a` flexa˜o na viga submetida,
exclusivamente, a um momento fletor constante.
• na Fig. 4 podemos observar que, acima da linda
s as linhas sa˜o diminu´ıdas.
• ss e´ a linha neutra.
ρdθ = dx
• as outras linhas da viga sofrem uma deformac¸a˜o
de mo´dulo �x.
Na Fig. 4a, antes da deformac¸a˜o, podemos ob-
servar que o comprimento da linha ef e´ dx. Depois
da deformac¸a˜o (Fig. 4b), podemos representar o
Pa´gina 2 de 8
(a) tenso˜es normais
(b) sec¸a˜o transversal
Figura 5: Tenso˜es normais em viga de material linear
ela´stico.
comprimento da linha ef por L1 que e´ calculado
como
L1 = (ρ− y) dθ = dx− y
ρ
dx,
em que
dθ =
dx
ρ
.
As deformac¸o˜es das linhas da viga podem ser cal-
culadas como
�x =
∆L
L
=
L1 − dx
dx
=
−y dxρ
dx
= −y
ρ
= −κy,
em que L representa o comprimento inicial da linha
e ∆L a variac¸a˜o de seu comprimento.
Uma viga sujeita a` flexa˜o pura e´ solicitada apenas
por forc¸as normais. A Fig. 5 ilustra o mecanismo
de ac¸a˜o das tenso˜es normais em uma viga de sec¸a˜o
transversal trapezoidal.
Podemos determinar as tenso˜es a partir das de-
formac¸o˜es por meio da curva tensa˜o deformac¸a˜o do
material. Um material linear ela´stico obedece a lei
de Hooke para tenso˜es uniaxiais (σ = E�).
σx = E�x = −Ey
ρ
= −Eκy (7)
A tensa˜o normal varia linearmente com a distaˆncia
y da linha neutra. Quando a curvatura e´ positiva,
σx e´ negativo (compressa˜o) acima da linha neutra.
Para usar a Eq. 7 temos que posicionar o sistema
de coordenadas de forma que a distaˆncia y possa ser
determinada em relac¸a˜o a` linha neutra.
Localizac¸a˜o da linha neutra
A forc¸a agindo no elemento de a´rea dA (Fig. 5b) e´
σxdA. Dado que a forc¸a resultante na sec¸a˜o trans-
versal e´ nula, temos∫
A
σxdA = −
∫
A
EκydA = 0,
∫
A
ydA = 0 (8)
uma vez que E e κ sa˜o constantes na sec¸a˜o analisada.
A linha neutra passa pelo centro´ide da a´rea da sec¸a˜o
transversal quando o material segue a lei de Hooke e
na˜o existem forc¸as axiais agindo na sec¸a˜o transversal.
Relac¸a˜o momento curvatura
Analisando o momento que atua na sec¸a˜o transversal,
temos
dM = −σxydA, M = −
∫
A
σxydA, e
M =
∫
A
κEy2dA = κE
∫
A
y2dA.
Dado que
I =
∫
A
y2dA
e´ o momento de ine´rcia da sec¸a˜o transversal, podemos
escrever o momento fletor como sendo
M = κEI ou κ =
1
ρ
=
M
EI
. (9)
Substituindo a Eq. 9 na Eq. 7 obtemos a fo´rmula
da flexa˜o que e´ dada por
σx = −M
I
y (10)
Deflexo˜es em vigas
Tratando do modelo de viga na condic¸a˜o deformada
como apresentado nas figuras 1 e 2 e lembrando que
κ =
1
ρ
=
dθ
ds
,
a inclinac¸a˜o da curva e´ dada pela primeira derivada
da func¸a˜o ν = ν(x). Observando a Fig. 2b, podemos
escrever as seguintes relac¸o˜es matema´ticas:
dν
dx
= tgθ =⇒ θ = arctangdν
dx
Pa´gina 3 de 8
cosθ =
dx
ds
sin =
dν
ds
Para pequenas deformac¸o˜es, temos
ds ≈ dx =⇒ κ = 1
ρ
=
dθ
dx
e
dν
dx
= tgθ ≈ θ =⇒ dθ
dx
=
d2ν
dx2
=⇒ κ = 1
ρ
=
d2ν
dx2
.
Para vigas constitu´ıdas de material linear ela´stico,
podemos escrever
d2ν
dx2
=
M
EI
.
Lembrando que
dV
dx
= −q e dM
dx
= V,
Para vigas que possuem rigidez flexional (EI)
varia´vel em func¸a˜o de x (vigas na˜o prisma´ticas),
valem as seguintes relac¸o˜es:
EIx
d2ν
dx2
= M,
d
dx
(
EIx
d2ν
dx2
)
= V e
d2
dx2
(
EIx
d2ν
dx2
)
= −q.
No caso de vigas prisma´ticas (EI =constante), as
equac¸o˜es passam a ser escritas como:
EI
d2ν
dx2
= M, EI
d3ν
dx3
= V e
EI
d4ν
dx4
= −q.
Para facilitar a notac¸a˜o, usaremos
dν
dx
≡ ν ′, d
2ν
dx2
≡ ν ′′, d
3ν
dx3
≡ ν ′′′, · · ·
e, sendo assim, podemos reescrever as equac¸o˜es para
vigas prisma´ticas da seguinte forma:
EIν ′′ = M, EIν ′′′ = V e EIν ′′′′ = −q.
Tensa˜o de cisalhamento em vigas
Quando a viga esta´ sujeita a momentos fletores e
forc¸as cortantes (flexa˜o na˜o uniforme) a viga apre-
senta tenso˜es normais e tenso˜es de cisalhamento. A
Fig. 6 ilustra o mecanismo ac¸a˜o da tensa˜o de cisa-
lhamento em uma viga de sec¸a˜o retangular.
(a)
(b)
(c)
Figura 6: Tensa˜o de cisalhamento em viga de sec¸a˜o re-
tangular.
Pa´gina 4 de 8
No modelo ilustrado na Fig. 7, mostramos o que
aconteceria se na˜o houvesse uma tensa˜o de cisalha-
mento atuando entre as duas vigas sobrepostas.
(a)
(b)
Figura 7: Flexa˜o de duas vigas separadas.
Observando a Fig. 6c, constru´ıda a partir da
condic¸a˜o de equil´ıbrio esta´tico na qual a estrutura se
encontra, conclu´ımos que as tenso˜es de cisalhamento
horizontais e verticais possuem a mesma intensidade
para o elemento mn analisado.
A ana´lise da Fig. 8b nos permite escrever as se-
guintes relac¸o˜es:
σ1 = −M
I
y e σ2 = −(M + dM)
I
y.
Podemos afirmar que a tensa˜o de cisalhamento τ
sera´ nula se os momentos fletores nas sec¸o˜es mn e
m1n1 forem iguais.
Analisaremos o equil´ıbrio de forc¸as horizontais no
elemento da Fig. 8e que e´ resultado da integrac¸a˜o
das tenso˜es normais e de cisalhamento no elemento
da Fig. 8c. Podemos afirmar que
F1 =
∫
σ1dA =
∫
M
I
ydA e
F2 =
∫
σ2dA =
∫
(M + dM)
I
ydA;
F3 = F2 − F1ou
F3 =
∫
(M + dM)
I
ydA−
∫
M
I
ydA =
∫
dM
I
ydA.
As grandezas dM e I sa˜o constantes na sec¸a˜o de
integrac¸a˜o, sendo assim:
F3 =
dM
I
∫
ydA. (11)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 8: Ana´lise da tensa˜o de cisalhamento em viga de
sec¸a˜o retangular.
Pa´gina 5 de 8
Se a tensa˜o de cisalhamento τ for uniformemente
distribu´ıda ao longo da largura b da viga, a forc¸a F3
tambe´m pode ser avaliada como
F3 = τbdx, (12)
em que bdx e´ a a´rea abaixo do elemento analisado.
Combinando as equac¸o˜es 11 e 12, teremos
τ =
dM
dx
(
1
Ib
)∫
ydA (13)
As integrais sa˜o avaliadas no intervalo y1 ≤ y ≤
h/2, dado que h e´ a altura da viga (Fig. 8d).
Podemos reescrever a equac¸a˜o da tensa˜o de cisa-
lhamento como
τ =
V Q
Ib
em que Q e´ o primeiro momento da a´rea que foi
considerada para ca´lculo das forc¸as normais.
Distribuic¸a˜o das tenso˜es de cisalhamento
em uma viga retangular
A grandeza Q e´ obtida multiplicando a a´rea som-
breada (Fig. 9b) pela distaˆncia entre o centroide da
pro´pria a´rea e a linha neutra.
(a)
(b)
Figura 9: Distribuic¸a˜o das tenso˜es de cisalhamento em
viga de sec¸a˜o retangular: (9a) sec¸a˜o transver-
sal da viga, e (9b) distribuic¸a˜o de tenso˜es ao
longo da altura.
Q = b
(
h
2
− y1
)(
y1 +
1
2
(
h
2
− y1
))
=
b
2
(
h2
4
− y21
)
Utilizando a integral, encontramos o mesmo resul-
tado:
Q =
∫
ydA =
∫ h/2
y1
ybdy =
b
2
(
h2
4
− y21
)
.
Fluxo do cisalhamento
O fluxo do cisalhamento e´ a forc¸a por unidade de
comprimento que atua entre as camadas da viga.
Forc¸a distribu´ıda horizontalmente como ilustrado
no elemento em equil´ıbrio da Figura 8e. Dada a
Equac¸a˜o 11, o fluxo de cisalhamento f e´ dado como
f =
F3
dx
=
dM
dx
1
I
∫
ydA.
A Equac¸a˜o 14 representa o fluxo de cisalhamento.
f =
V Q
I
(14)
Pa´gina 6 de 8
(a) (b)
(c)
Figura 10: Vigas constru´ıdas: a´reas utilizadas para
ca´lculo do Q.
O ca´lculo do momento de a´rea Q vai depender da
geometria da sec¸a˜o tranversal. A Figura 10 apresenta
treˆs tipos de sec¸a˜o transversal e indica as a´reas a
serem utilizadas para ca´lculo do Q. Na Figura 10a,
a forc¸a distribu´ıda ao longo do plano a − a deve
ser resistida por uma solda. Na Figura 10b, a forc¸a
distribu´ıda ao longo do plano b− b deve ser resistida
por parafusos e, na Figura 10c, as forc¸as se distribuem
ao longo dos planos c− c e d− d.
Exercı´cios
1
(a) Esboce o gra´fico de forc¸a cortante e momento
fletor para o modelo de viga ilustrado na figura
abaixo;
(b) Determine as tenso˜es de trac¸a˜o σt e compressa˜o
σc ma´ximas. Indique em que ponto da viga tais
tenso˜es ocorrem.
q = 20, 0kN/m; L = 5, 0m b = 0, 1m
2
Nos itens abaixo, utilize q = 20, 0kN/m, L = 6, 0m,
b = 200mm e h = 400mm.
(a) Esboce os gra´ficos de forc¸a cortante e momento
fletor para o modelo de viga de acordo com a
figura abaixo;
(b) Determine as ma´ximas tenso˜es de trac¸a˜o (σt) e
compressa˜o (σc). Indique em qual ponto da viga
essas tenso˜es ocorrem.
3
Nos itens abaixo, utilize P = 175kN , L = 1500mm,
a = 500mm, b = 300mm e h = 250mm. O Carrega-
mento q e´ admitido de forma a manter o equil´ıbrio
esta´tico do modelo.
(a) Esboce os gra´ficos de forc¸a cortante e momento
fletor para o modelo de viga de acordo com a
figura abaixo;
(b) Determine as ma´ximas tenso˜es de trac¸a˜o (σt) e
compressa˜o (σc). Indique em qual ponto da viga
essas tenso˜es ocorrem.
4
Nos itens abaixo, utilize P = 6.2kN , L = 3.2m,
d = 1.25m, b = 80mm, t = 25mm, h = 120mm e
h1 = 90mm.
(a) Esboce os gra´ficos de forc¸a cortante e momento
fletor para o modelo de viga de acordo com a
figura abaixo;
(b) Determine as ma´ximas tenso˜es de trac¸a˜o (σt) e
compressa˜o (σc). Indique em qual ponto da viga
essas tenso˜es ocorrem.
Pa´gina 7 de 8
5
Considere as duas condic¸o˜es de v´ınculo.
(a) Esboce os gra´ficos de forc¸a cortante e momento
fletor para os modelos de viga de acordo com a
figura abaixo;
(b) Determine as ma´ximas tenso˜es normais (σMax) e
de cisalhamento (τMax). Indique em qual ponto
da viga essas tenso˜es ocorrem.
6
(a) Esboce os gra´ficos de forc¸a cortante e momento
fletor para o modelo de viga de acordo com a
figura abaixo;
(b) Determine as ma´ximas tenso˜es normais (σMax) e
de cisalhamento (τMax). Indique em qual ponto
da viga essas tenso˜es ocorrem.
Refereˆncias
[1] J. M. Gere. Mecaˆnica dos Materiais. LTC ( Livros
Te´cnicos e Cient´ıficos Editora S/A), 7 edition,
2009.
[2] R. C. Hibbeler. Resisteˆncia dos Materiais. Pear-
son Education do Brasil, 7 edition, 2010.
[3] B. . Johnston. Mecaˆnica vetorial para engenhei-
ros: Esta´tica. Mc Graw Hill, 1996.
[4] B. . Johnston. Resisteˆncia dos Materiais. Mc
Graw Hill, 1996.
Pa´gina 8 de 8