Aula2 Cristal FG

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Simetria Interna 
• Motivo 
 
• Cela unitária 
 
• Translações 
 
• Arranjo e Retículo cristalino (1-D, 2-D e 3-D) 
 
Simetria Interna 
• Translações no retículo 
 
‐ Propriedade que envolve simetria de pontos em 
distâncias repetidas 
 
‐ Motivo se repete no espaço por movimentos de 
translação 
 
 
Simetria Interna 
• Translações no retículo 
 
‐ Translações 1-D = uma linha 
 
 
 
 
 
 
‐ Retículo unidimensional (linear) 
 
 
 
a 
Simetria Interna 
• Translações no retículo 
‐ Translações 2-D = uma rede 
 
 
 
 
 
 
 
 
‐ Retículo bidimensional (planar) 
 
 
 
a
b
Simetria Interna 
• Translações no retículo 
‐ Translações 2-D = uma rede 
 
 
 
 
 
 
 
 
‐ Cela unitária: unidade básica que, repetida por translação, gera 
o padrão completo 
 
 
 
a
b
Simetria Interna 
• Translações no retículo 
‐ Translações 2-D = uma rede 
 
‐ Existem 5 tipos de retículos planos, que são 
definidos através do arranjo ordenado da sua 
cela unitária 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a
b

Oblique Net
a b
 90o
p2 p2mm
Rectangular P Net
a b
 = 90o
b
a 
Rectangular 
C Net
a b
 = 90o
p2mm
b
a
Diamond Net
a =b
  90o, 120o, 60o
a1a2


Hexagonal Net
a1 = a2
 = 60o
p6mm
Square Net
a1 = a2
 = 90o

p4mm
a
a1
a2
Simetria Interna 
• Translações no retículo 
‐ Translações 2-D = uma rede 
 
‐ Cela unitária primitiva: P 
 
 
 
 
‐ Cela unitária centrada: C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a
b

Oblique Net
a b
 90o
p2 p2mm
Rectangular P Net
a b
 = 90o
b
a 
Rectangular 
C Net
a b
 = 90o
p2mm
b
a
Diamond Net
a =b
  90o, 120o, 60o
a1a2


Hexagonal Net
a1 = a2
 = 60o
p6mm
Square Net
a1 = a2
 = 90o

p4mm
a
a1
a2
a
b

Oblique Net
a b
 90o
p2 p2mm
Rectangular P Net
a b
 = 90o
b
a 
Rectangular 
C Net
a b
 = 90o
p2mm
b
a
Diamond Net
a =b
  90o, 120o, 60o
a1a2


Hexagonal Net
a1 = a2
 = 60o
p6mm
Square Net
a1 = a2
 = 90o

p4mm
a
a1
a2
Simetria Interna 
‐ Cela unitária: unidade básica que, repetida por 
translação, gera o padrão completo 
 
‐ Deve ser escolhida de uma maneira que melhor 
represente a simetria do cristal 
 
‐ Deve possuir o mair número de ângulos retos 
possíveis, ou arestas iguais, ou ângulos iguais 
 
‐ Deve possuir o menor volume possível 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Translações no retículo plano 
‐ Translações 2-D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
‐ Cela unitária: ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Translações no retículo plano 
‐ Translações 2-D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
‐ Cela unitária: ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Translações no retículo plano 
‐ Translações 2-D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
‐ Cela unitária: ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Translações no retículo plano 
‐ Translações 2-D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
‐ Cela unitária: ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Exercício de translação e cela unitária 
Translações 2-D: 
‐ O que é o motivo? Escolha um motivo e marque 
ele igualmente em toda a rede 
 
‐ Descubra quais as possíveis celas unitárias 
baseado nos motivos 
 
‐ Cela P ou C? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Simetria dos motivos planos (2-D) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existem apenas 10 
possibilidades de 
simetria de motivos 
planos 
Simetria Interna 
• Arranjos ordenados bidimensionais vão 
depender do tipo de retículo e do tipo de 
simetria do motivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Arranjos ordenados bidimensionais vão 
depender do tipo de retículo e do tipo de 
simetria do motivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Arranjos ordenados bidimensionais vão 
depender do tipo de retículo e do tipo de 
simetria do motivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Arranjos ordenados bidimensionais vão 
depender do tipo de retículo e do tipo de 
simetria do motivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Arranjos ordenados bidimensionais vão 
depender do tipo de retículo e do tipo de 
simetria do motivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Arranjos ordenados bidimensionais vão 
depender do tipo de retículo e do tipo de 
simetria do motivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Arranjos ordenados bidimensionais vão 
depender do tipo de retículo e do tipo de 
simetria do motivo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P2 C2mm 
Simetria Interna 
• Translação (t) 
 
 
• Reflexão (m) 
 
 
• Reflexão + Translação = Operação de deslizamento 
(g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Reflexão + Translação: 
‐ Operação de deslizamento em 2-D (g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Reflexão + Translação: 
‐ Operação de deslizamento em 2-D (g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Reflexão + Translação: 
‐ Plano de deslizamento em 2-D (g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Reflexão + Translação: 
‐ Plano de deslizamento em 2-D (g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pg P2mg 
Simetria Interna 
• Grupos planos bidimensionais: 
 
‐ Forma do retículo (retangular, hexagonal) 
 
‐ Cela unitária planar (p ou c) 
 
‐ Tipo de simetria do motivo (2, 3, m...) 
 
‐ Elementos de simetria do retículo (m, g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Grupos planos bidimensionais: 
 
‐ Forma do retículo (retangular, hexagonal) 
‐ Cela unitária planar (p ou c) 
‐ Tipo de simetria do motivo (2, 3, m...) 
‐ Elementos de simetria do retículo (m, g) 
 
 
17 grupos planos bidimensionais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Grupos planos bidimensionais: 
 
• 17 grupos planos bidimensionais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Quando os retículos planos variam 
também em uma terceira dimensão 
(direção x, y e Z), forma-se um arranjo 
tridimensional 
 
• Retículo tridimensional, ou espacial 
 
• Os conceitos para entender retículos em 3-
D, são os mesmos pra entender os retículos 
em 2-D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Retículos 2-D vão se repetir em uma 
terceira direção, formando os retículos 
3-D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
Simetria Interna 
• Celas unitárias em 3-D 
 
• Primitiva: P 
 
• Face Centrada: F 
 
• Corpo centrado: I 
 
• Base centrada: A, B ou C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Retículo tridimensional (3-D) 
 
‐ Bravais, (1848): descobriu através 
de experimentos que só existem 14 
tipos de retículos espaciais dentro 
dos 7 sistemas cristalinos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
Simetria Interna 
• Retículo tridimensional (3-D) 
 
‐ Exemplo sistema cúbico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Retículo tridimensional (3-D) 
 
‐ Exemplo sistema cúbico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Retículo tridimensional (3-D) 
 
‐ Exemplo sistema cúbico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Retículo tridimensional (3-D) 
 
‐ Exemplo sistema cúbicoSimetria Interna 
• Retículo tridimensional (3-D) 
 
‐ Exemplo sistema cúbico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Retículo tridimensional (3-D) 
 
‐ Exemplo sistema cúbico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Elementos de simetria tridimensional: 
 
 
• Eixos helicoidais 
 
 
• Planos de deslizamento (3-D) 
 
 
 
Simetria Interna 
• Elementos de simetria tridimensional: 
 
• Eixo helicoidal: Movimento de rotação + 
translação 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Elementos de simetria tridimensional: 
 
• Eixo helicoidal: Movimento de rotação + 
translação 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Elementos de simetria tridimensional: 
 
• Eixo helicoidal: Movimento de rotação + 
translação 
 
 
 
 
 
 
 
31 e 32: par enantiomorfos 
Quartzo trigonal -Figura do mindat 
Simetria Interna 
• Elementos de simetria tridimensional: 
 
• Eixo helicoidal: Movimento de rotação + 
translação 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Elementos de simetria tridimensional: 
 
• Eixo helicoidal: Movimento de rotação + 
translação 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Elementos de simetria tridimensional: 
 
• Eixo helicoidal: Movimento de rotação + 
translação 
 
• Notações: 21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64, 65 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Elementos de simetria tridimensional: 
 
• Planos de deslizamento: planos de reflexão + 
translação 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Elementos de simetria tridimensional: 
 
• Planos de deslizamento: planos de reflexão + 
translação 
 
 
 
 
 
 
 
Simetria Interna 
• Elementos de simetria tridimensional: 
 
• Planos de deslizamento: planos de reflexão + 
translação 
 
• Notações: a, b, c, n, d 
 
 
 
 
 
 
Grupos espaciais 
• Combinação dos 14 retículos de Bravais + 
grupos pontuais + operações simples de 
simetria + simetria interna composta (eixos 
helicoildais e planos deslizantes) 
 
• A variações de todos esses fatores permite 
classificar todos os padrões cristalográficos 
tridimensionais 
 
7 Sistemas Cristalinos 
14 Celas de Bravais 
32 Grupos pontuais 
Operações de Simetria 
230 Grupos Espaciais 
Grupos espaciais 
• Nomenclatura dos grupos espaciais: 
 
• O tipo de cela unitária P, I, F, C (ou A ou B); 
 
• A classe cristalina (grupos pontuais) 
 
• Os planos de deslizamento e eixos helicoidas 
 
 
Grupos espaciais 
• Nomenclatura dos grupos espaciais: 
 
• Exemplo Pmm2: 
 
 
Grupos espaciais 
• Nomenclatura dos grupos espaciais: 
 
• Exemplo Pmm2: Cela P + Grupo Pontual mm2 
 
 
Grupos espaciais 
• Nomenclatura dos grupos espaciais: 
 
 
• Exemplo Pmc21: 
Grupos espaciais 
• Nomenclatura dos grupos espaciais: 
 
 
• Exemplo Pmc21: Cela P + Grupo Pontual m, 
plano deslizante c, eixo helicoidal 21 
 
Avaliação 1 
• Entregar as respostas do exercício na aula 
do dia 23 de outubro. 
 
• Avaliação terá nota máxima 10. 
 
• Aluno que não entregar a avaliação na aula 
do dia 23 de outubro terá nota 0.