Trabalho de Geometria Descritiva

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Resumo
Os planos são representados por letras gregas (, ß,λ,θ,) e podem ser definidos por: duas rectas paralelas; duas rectas concorrentes; três pontos não colineares; uma recta e um ponto fora dela. Representamos os planos tanto em épura quanto no diedro por porções finitas, porém, como no caso das rectas, todos os planos são infinitos assim como seus traços. Um plano pode ter diferentes posições: horizontal, vertical, de topo, frontal, de perfil, paralelo a linha de terra, que passa pela linha de terra e posição qualquer.
Palavras-chave: plano, épura, posições.
1.0. Introdução
Geometria descritiva é a ciência que estuda os métodos de representação de figuras do espaço sobre um plano, resolvendo os problemas em que são consideradas até três dimensões por meio de traçados, que permitem a real utilização nas artes e nas indústrias dos princípios geométricos. 
Neste trabalho referente a cadeira de Geometria Descritiva abordam-se os conceitos e demonstrações relacionados á traços de plano, posições particulares, intercessão de rectas e planos, pertinência de rectas e planos, perpendicularismo de rectas e planos e rebatimentos.
1.1.Objectivos
1.1.1.Geral
Compreender as demonstrações do plano no espaço;
1.1.2.Especificos
Identificar as posições particulares do plano no espaço;
Explicar a pertinência de rectas e planos;
Representar planos em épura.
1.2. Metodologias
Para a realização deste trabalho recorreu-se á consulta bibliográficas, que constam da última página.
2.0. Traços de Plano
O traço de um plano é a recta formada pela intersecção deste plano com outro. Na figura, o traço do plano () sobre o plano (ß) é a recta ß, ou seja, chama se traço de um plano á intercessão desse plano com o plano de projecção.
Geralmente, a expressão “traço de um plano” é utilizada para exprimir a intersecção de um dado plano com os planos de projecção. Assim o traço de um plano () sobre o plano horizontal de projecção é chamado de traço horizontal do plano () ou , enquanto o traço deste mesmo plano sobre o plano vertical de projecção é chamado de traço vertical do plano () ou ’.
Contudo, um plano possui dois traços. Sendo assim, quando for paralelo a um dos planos de projecção, não terá traço nesse plano. A configuração dos traços de um plano em épura dependerá da posição do plano no espaço.
3.0. Posições particulares do plano
3.1.Plano Horizontal
Plano horizontal é todo o plano paralelo ao plano horizontal de projecção e sempre perpendicular ao plano vertical de projecção, possuindo apenas traço vertical. Em épura o traço vertical de um plano horizontal apresenta-se paralelo à linha de terra. Todos os pontos situados num plano horizontal têm mesma cota.
3.2.Plano Frontal
O plano frontal é paralelo ao plano vertical de projecção e sua épura é caracterizada por só possuir um traço, que é horizontal, e paralelo a linha de terra. Todos os pontos situados num plano frontal têm mesmo afastamento.
3.3. Plano de Topo
Plano de topo é o plano perpendicular ao plano vertical de projecção e oblíquo ao plano horizontal de projecção, possui traço horizontal perpendicular à linha de terra e traço vertical oblíquo a essa mesma linha. A sua épura é caracterizada por possuir traço horizontal perpendicular á linha de terra e o vertical oblíquo a essa mesma linha. Todos os elementos de um plano de topo têm projecções verticais sobre seu traço vertical.
3.4. Plano Vertical
Plano vertical é o plano perpendicular ao plano horizontal de projecção e oblíquo ao plano vertical de projecção, possui traço horizontal oblíquo à linha de terra e traço vertical perpendicular a essa mesma linha. Sua épura é caracterizada por possuir o traço vertical perpendicular á linha de terra e o horizontal obliquo á mesma linha. Todos os elementos de um plano vertical têm projecções horizontais sobre seu traço horizontal.
3.5. Plano de Perfil
Plano de perfil é o plano perpendicular aos dois planos de projecção. Os traços do plano de perfil coincidem e são perpendiculares à linha de terra. Todos os pontos pertencentes a um determinado plano de perfil possuem a mesma abcissa. Sua épura é caracterizada por possuir traço horizontal perpendicular á linha de terra, e obliquo á essa mesma linha. As projecções dos elementos que pertencem a um plano de perfil sempre estarão sobre os traços de mesmo nome do plano.
3.6.Plano de Rampa ou Paralelo á Linha de Terra
O plano de rampa é o plano paralelo à linha de terra e oblíquo aos dois planos de projecção. A sua épura é caracterizada por ter dois traços paralelos à linha de terra. 
3.7. Pano que passa pela Linha de Terra
É um caso particular do plano de rampa, quando o plano é oblíquo aos dois planos de projecção e contém a linha de terra. Nesse caso, os dois traços coincidem com essa linha. Se a inclinação do plano que passa pela Linha de Terra não for conhecida, ele só ficará determinado se um outro elemento pertencente a ele (um ponto ou uma reta) for conhecido.
3.8. Plano Qualquer
Plano qualquer é todo plano oblíquo aos dois planos de projecção e à linha de terra. A sua épura é caracterizada por possuir dois traços oblíquos à linha de terra.
4.0. Intercessão de Rectas e Plano
4.1. Intercessão de planos
Dois planos podem ser paralelos ou secantes. Enquanto dois planos paralelos não se interceptam, dois planos secantes se interceptam e sua intersecção sempre gera uma recta. Os planos () e () são secantes e a sua intersecção é a recta (i). A recta será definida por dois pontos pertencentes aos planos dados.
4.1.1. Planos de Topo
A intersecção de dois planos de topo é uma recta de topo, que tem projecção horizontal paralela aos traços horizontais dos dois planos secantes. 
4.1.2.Planos Verticais
A intersecção de dois planos verticais é uma recta vertical, que tem projecção vertical paralela aos traços verticais dos dois planos secantes.
4.1.3. Plano Horizontal e Plano Frontal
A intersecção entre esses dois planos só pode ser uma recta fronto-horizontal, basta que as projecções desta recta sejam posicionadas de modo a coincidirem com os traços de mesmo nome dos planos.
4.1.4. Plano de Rampa e Plano Qualquer
A recta gerada pela essa intercessão pode ser qualquer ou de perfil dependendo da inclinação dos traços dos planos secantes, e a classificação da recta intersecção deverá ser feita após a sua determinação em épura.
4.2. Intercessão de uma Recta com o Plano.
A intersecção de uma recta com um plano sempre é um ponto. Esse ponto é o traço da recta sobre o plano. Para se determinar a intersecção de uma recta (r) com um plano (), traça-se, primeiramente, um plano auxiliar () que contenha a reta. Depois, determina-se a reta (s), intersecção dos dois planos. O ponto de concorrência (I) da recta intersecção da recta (s) com a recta (r) é o ponto onde esta fura o plano. a obtenção da intersecção da recta (r) com o plano () foi realizada com auxílio do plano vertical () que contém (r). Determinou-se a recta (s), intersecção de () com (), e obteve-se o ponto de concorrência entre as duas rectas. Este é o ponto onde a recta (r) fura o plano ().
5.0.Pertinencia de Rectas e Plano
Em épura, uma recta pertence a um plano quando ela tem seus traços sobre os traços de mesmo nome do plano.
 
5.1.Excessoes
1. Quando a recta passa pelo ponto onde os traços do plano se cruzam sobre a Linha de
Terra, não necessariamente a recta pertence ao plano.
2. Quando uma recta passa pela linha de terra, não necessariamente ela está contida em um plano que passa pela Linha de Terra.
6.0.Perpendicularismo de Rectas e Plano
6.1.Reta perpendicular ao plano
Se uma recta é perpendicular a um plano, então ela é ortogonal a todas as rectas desse plano. Pelo teorema projectivo do ângulo recto, sabemos que sempre que duas rectas forem perpendiculares ou ortogonais, e uma delas for paralelaa um dos planos de projecção, então a projecção que for paralela a (p) ou (p’), também terá 90°.
Assim, como os traços de um plano são rectas paralelas aos planos de projecção, podemos concluir que se uma recta é perpendicular a um plano, então, suas projecções em épura formaram 90° com os traços do plano.
6.2. Plano perpendicular a recta
Para que um plano seja perpendicular a uma recta, ele deve ter seus traços perpendiculares às projecções de mesmo nome da recta.
Quando temos que passar um plano () por um ponto (C) e que seja perpendicular a uma recta (r), temos que tomar o seguinte cuidado:
 Não podemos simplesmente traçar o plano sobre as projecções de (C), pois se fizermos isso, fugimos da regra de pertinência de ponto ao plano. Então, devemos passar por (C), uma recta frontal ou horizontal que seja perpendicular a (r) e depois, por essa recta traçar o plano (a) perpendicular à recta (r). 
6.3. Plano Perpendicular ao Plano
Um plano é perpendicular a outro plano quando contiver ao menos uma recta perpendicular ao outro plano.
Traçamos por (A) uma recta (s) que seja perpendicular a (). A partir disso, sabemos que qualquer plano que contiver essa recta (s) será perpendicular a (). Assim, temos infinitas soluções, entre elas um plano paralelo à linha de terra (d) um plano de topo (θ), um plano vertical (γ) e infinitos planos quaisquer, sendo um deles (ß).
6.4. Rectas Perpendiculares
Quando queremos duas rectas perpendiculares sendo que uma delas é paralela a um dos planos de projecção, podemos concluir, pelo teorema projectivo do ângulo recto, que em épura, as rectas terão 90° na projecção horizontal ou vertical.
Se uma recta é perpendicular a outra, existe um plano perpendicular a uma delas que contém a outra. Geralmente, a determinação, em épura, de uma recta perpendicular a outra é uma tarefa simples.
Isso acontece porque quando uma das rectas perpendiculares é paralela a um dos planos de projecção, o ângulo recto é projectado em verdadeira grandeza nesse plano. Quando duas rectas de perfil ou uma recta de topo e uma recta vertical são perpendiculares, o ângulo recto aparece em verdadeira grandeza após o rebatimento das duas rectas.
7.0. Rebatimentos
Rebatimento é um método descritivo que nos possibilita enxergar uma figura em verdadeira grandeza. Nesse método, giramos o plano que contém a figura em torno da intersecção com o plano de rebatimento até esse coincidir com o plano de rebatimento. Como sabemos que as figuras de planos paralelos aos planos de projecção são projectadas em V.G. O plano de rebatimento será sempre frontal ou horizontal.
7.1. Rebatimento Visto no Espaço
O rebatimento no espaço, segue os seguintes passos:
1. Rebatemos sempre o plano que contém a figura da qual queremos obter a V.G.
2. O rebatimento consiste numa rotação do plano a ser rebatido em torno de uma charneira, que significa dobradiça.
3. A charneira é a intersecção do plano da figura com o plano frontal ou horizontal sobre o qual iremos rebater.
4. Sempre rebatemos sobre um plano frontal ou horizontal, pois assim conseguimos ver a figura em V.G.
7.2. Rebatimento de um ponto (P) que pertence a um plano de topo
Nas figuras seguintes temos um plano de topo (), e vamos rebater o ponto (P) que pertence a () sobre o plano horizontal (p). Logo, a charneira é a intersecção de () com (), que é o próprio traço horizontal do plano (). Vejamos que o raio de rotação é a soma vectorial da distância h do ponto (P) até o plano de rebatimento com a distância d da projecção horizontal do ponto até a projecção horizontal da charneira (triângulo de rebatimento).
Em épura temos:
 
8.0. Conclusão
Após a realização deste trabalho, conclui-se que um plano é geralmente designado por seus traços que são representados por letras maiúsculas do alfabeto e na linha de terra uma letra grega (, ß,λ,θ,) e este pode ter várias posições no espaço. Uma recta pertence a um plano quando ela tem seus traços sobre os traços de mesmo nome do plano.
E ainda conclui-se que rebatimento é um método descritivo que nos possibilita enxergar uma figura em verdadeira grandeza.
9.0. Referências bibliográficas
MARTINS, L. Gonzana & DA SILVA, S. Cristina. Geometria Descritiva. ;
SIQUEIRA, Maria. Apostila de Geometria Descritiva. Campus Cascavel, 2000;