CARAÇA Conceitos fundamentais da Matemática

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TIPOGRAFIA MáTtMÁTlCA, l.D"-
RUI Alm\fanle B.rrelo, 20, r}1:
LISBOA
BENTO DE JESUS CARAÇA
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
DA
,
MATEMATlCA
LISBOA
1 95 I
I PARTE
1" ediçõo Junho de 1941
2." ediçio Agoslo de 1941
3." edição Janeiro de 1942
4" ediçiio Junho de 1944
5." edição Selembro de 1946
II PARTE
1." edição Junho de 1942
2." edição Julho de 1944
I, II e 111 PARTES
1.' ediÇiío Dezembro de 1951
Conceitos Fundamentais da. !fatemática compõe-se de três
Partes, lttl'ldo as duas primeiras <:orrespondentes ao 1.0 e 2.0 volu-
mes, respectivamente, da obra com o mesmo título, publicada na
II..BibUoteca Cosmos, -fundada pelo Autor e por ele dlh'gúla até
Junho de 1.948-13 a3." Parte, inédita e desUnada a um 3.0 t'olume.
Profundo agradecimento fica expresso aqui ao EX,ma Sr.
Prof. Dr. António Ferreira de Macedo, pela leitura da 3.0 Parte,
aos EJ::.m<JS 8rs. Drs. j}{anuel Zaluar Nunes~ Alfredo da Costa
Miranda e Augusto de Macedo Sá da Cosia, pela leitura do ori-
ginal, sua prepara~il0 tipográfica e revisão das provas, e à Ex.-
Sr. a Ellg." D. Guula Lami Matias que desenhou a$ figuras do
texto. A todos se dcre o ter sido let;ada a bom termo a pubUcat;ão
da nova edição desta obra.
No conjunto das obras do Autor, esta reedl'ção é a que em
primet'ro lugar se publica depois de 25 de Junho de 1948. Queira
o Ea:.mo Sr. Prof. Doutor Francisco Pulído Valente considerá-la
como puyca da maior gratidão.
Lisboa, Dezembro de 1951.
CÂNDIDA CARAÇA
VII
PROFESSOR BENTO DE JESUS CARACA
18-4-1901 - 25·6·]948
Nasceu em Vila Viço8a, em 18 de Abril de 1901, filho de
Jodo Aniónio Caralia cde D. Domingas da Conceiçáo Espadinha,
trabalhadorclJ rurais.
Terminou os estudos primários em 1.911 e o curso liceal em
1.918. Frequentou o Instituto Superior de Ciências EC011ómicWJ e
Financeiras (1. S. C. E. F~) de 1.918 a 1!J23, alio em que se ficencioll.
}foi nomeado 2.Q assistente do 1.0 grllpo de cadeiras do 1. S.
C. E. F. em 1 de Novembro de iMO, 1." assistente em 13 de Dezem-
bro de 1924, projclJ80r fxtraordi1Hírio em 14 de O!Ltubro de 1927
e prof8ssor catedrático da 1.a Cadeira (Alatemáticas Superiores-
Algebra Superior. Principws de Análise infinitesimal. GeomfJtria
Analítica) em 28 de Dezembro de 192.9.
Regeu no UM lectivo 1924-25 a 2." Cadeira (Matemáticas
Superiores - Análise lrJ.ftnítesímal. Cálculo das Probabilidades e
S/UJ8 Apli~at;õe8) e rk 1926 a 1946 a 1.'" Cadeira.
Em 7 de Outubro de 1946 foi demitido do cargo de profes801'
catedrático, mediante processo disciplinar de cuja decisão reCOl7'8U.
Foi eleito Presi'dente da Direcção da Sociedade Portuguesa
de Matemática pa1'U o biênio 1943-44 e DelegaM da Sociedade
aos CangrelJsos da As.~ociação LUl!o~Espallhola para o Progresso
da8 Ciincias de 1942 a 1944 e de 1946 a 1.948.
Em 1938 propOs, C01U os profcssortJ8 A. de Mira Fernandes
e C. M. Beirdo d<J, Ve{ga, ao Conselho Escolar do 1. S. C. E. F.
a furuJaçi10 do Centro de Estudos de Matemáticas Aplicadas à
Economia de que foi Director até Outubro de 1946.
Em 1940 fundou, i:om os profelJ8ores Antánio Montei/·o, Hugo
Ribeiro, J08é da Sl1va Paulo e Manuel ZaluaI', a flGazeta de
Jfatemátlca».
IX
. Em 1941 fundou a «Biblioteca Cosmos}) de que foi o único
dtrector.
Foi Pre8ident~ da Direcçilo da Universidade Popular Portu~
guesQ., durante mmtos alias consecutivos.
BIBliOGRAfiA
, Sobre a inter.venção do prinCipio de substituição de intinité·
slmos no estabeleCImento de algumas fórmulas do Cálculo Díferen-
ciál. Revista do Instituto Superior de Comércio. Lisboa, 1929.
Sobre a aplicação de nm grupo de fórmulas do Cálculo dM
Probabilidades na teoria dos seguros de vida. RlJvista do In8tí~
tuto Superior de Comercío. Lisboa, 1930.
Sobre o espaço de capitalização. RiJvista de Economia,
Lisboa, 1948.
IIl;terpolação.8 integração numérica. Lisboa, 1033.
. Lições de Algebra e Análise. - Volume I, 2.a edição,
Lisboa, 1945; Volume n, Lisboa, 1940.
Cálculo Vectorial. Lisboa, 1937.
Conceitos Fundamentais da Uatemática. _ Volume r 5 a
edição, Lisboa, 1946: Volume n, 2." edição 1944. ,.
A "ida e a obra de Enlrtsto Galoig (COIiferênda). Lisboa
1932. '
A cultura integral do indivíduo, problema central do nosso
tempo (Co1lferérwt'a). 3.a edição, Lisboa, 1941.
x
Galileo Galilei, valor cientifico e moral da sua obra (Confe-
r~nda). 2." edição, Lisboa, 1940.
A arte e a. cultura popular (Colifer~nda).Lisboa, 1936.
Rabindranath Tagore (Confer@ncia). Lisboa, 1939.
Algumas reflexões sobre a Arte (C011jerência).Lisboa.1943.
Abel ~ Galois. Gazeta de Matemática N.~ 2 - Abril, 1940.
Ao lattor. Ga;;ela de Matemática N.o 5-Janeiro 19-11
O cinema no ensino. Gazeta dlJ Matemática N.o 10~..Abril
1942. '
Galileo e Newton. Gazeta de ,Matemática N.o ll-Julho,
1942.
Nota (Pedagogia). Ga~eta de Matemálica N.\l lI-Julho,
1942.
Resposta às considerações anteriores (Pedagogia). Gazeta
de Matemática N.\l 12-0ntnbro, 1942.
Algumas reflexões sobre 08 exames de aptidão. Gazeta de
Matemática N.o 17 _ Novembro, 11M3.
Nota (Pedagogia). Gazeta de Mafemdtica K.o i9-Maio~4. .
O número 7.. Gazeta de .Matemática N.\l22-Mar~0, 1044.
Em guisa da continuação dum debate (Pedagogia). Gaze!a
de .illatemática N.o 23 Fe\'ereiro, 1945.
Colaborou ainda nas revistas Técnt'ca, Sean! Nova e Vértice
no quinzenário O Globo e nos semanários O Diabo e A L{ber~
Jade.
XI
Prefácio
-Duas atitudes em face da Ciência
A Ciência pude $Im' entarada sob doi.s aspectos dijf!Tentes.
Ou se olha para ela tal como vem e:epo8~a nos liL'ros de ensúw,
como coisa criada, e o (tspecto ti" o de um todo harmotlioso, onde
os capitu{os se encadeiam em ordem, sem contradiçDes. Ou se
pl'ocura acompanhá-la no seu desenvolvimento progressú;o, assis-
tir à maneira como foi sendo elaborada, e o aspecto etotalmenle
diferente - descobrem-se hesitações, dúvidas, contradições, que só
um longo trabalho de refle::cão e apuramento eOWJIJgu/J elimtllar,
para que (ogo su-r;jam outras hesitações, outras dúvidas, outras
contradi90es.
Descobre-se ainda qualquer coisa mais impartante e mai.~
inf&rcssante:_no primeiro aspecto, a Ciência parece bastar-se
a si própria, a formação dos conceitos e das teorias parece obe-
decer só a necelw'dades interiores; no segundo, pelo contrário,
vil-se toda a influtnda que o ambiente da vúú:J. 80dat eoeerce sobre
a criação da Ciência.
A Cü:neia, encQ1'ada assim, aparece-nos como um organismo
vivo, impregnado de condição humana, com as I1UaS forças e as
suas fraquezas .e subordinado às grandes necessidades do homem
1Ul sua luta pero entendimento e pela libertação; apar-ece-nos,
enfim, como um grande eapUldo da 1'& humana social,
A atitude que será aqui adoptado
Será ei,fa a atúude que tomaremos aqui, A .Ll1atemátiea é
geralmente coWJiderada como uma ciência à parte, desligada da
realidade, vivendo na penumbra do gabinete, um gabinetefeeluldo,
XIII
onde nilo entram os ruidos do mundo B:<:ter-iQr, nem o sol, nem os
clamores dOIJ homens. Isto, só em parte é 't'erdadeiro.
Sem dúvida, a Matemática possui problemas próprios, que
não têm ligaçdo imediata com 011 outros problemarr da vida social.
JJ/as ndoká dúvida também de que os seus jundo.mmd08 mergu·
lham tnnto como os de outro qualquer famo da Ciência, na vida
real; uns e outros entroncam na mesma madre.
Mesmo quanto aos 8CIM problemas próprios, raramente acon~
tece, se eles sito de facto daqueles grandes proMema8 que põem
em jogo a sua essênâa e o seu desenvolvimento, que eles nt'lo
interessem também~ e profnndamente, a /'orrenle geral das ideias.
O leitor Bneontrará ajustificaçi'1o delJtes pontos de visia nos
capitulos que se segu,em..Ne8te primeiro volume PJ esiiio agru-
gados aqueles conceitos básicol/ que dizem reI/peito à noçào de
quantidade; nos seguintes rJ serão estudados os que têm por
tema as noções de lei, de evolução e de classificação.
Lisboa, Junho de 19'1.
[IJ Rifere-se à L" Parte desta obra, então pulieada isoladamente.
['] Rifere-:re ir, 2_" e a" Partes desta obra, prOJcctadas en!il-o eomo lJolu-
mes, dOi. quais se publierrn o Te/a{iw à 2." Parte.
XIV
íN D I C E
1.' PARTE, NÚMEROS
Capitulo I
O problema da contagem:
1.0 Números natunus
2.° Operações.
Capitulo Il
O problema da medida. . .
1.0 Construção do campo racionttl
2.0 Propriedades do campo racional
Capitulo III
Crltica do problema da medida.
1.0 Critica.
2.° Constrllção
Capítulo IV
Um pouco de história.
Capitulo V
o campo real.
Oapitulo VI
Números relativos
xv
1
•a
3
16
29
29
38
48
48
53
64
83
95
2,' PARTE, FUNÇOE8,
Capttulo 1
Estudo matemático das leis natura.is
l.~ Ciência e lei natural
2.G Conceito de função.
Capítulo II
Pequena digresllão técnica
1.0 Observações preliminares.
2.° Algumas funções importantes
Capitulo 111
Equações algébricas e números complexos
1.0 Equações algébricas
2." Números complexos
3." Interaeção.
Capitul,o IV
Excursão his tórica e filosófii:a
3,' PARTE, CONTINUIDADE
Capitulo I
O método dos limites
1." Conceito de infinitésimo
2.° Conceito de limite .
Capitulo 11
Um novo instrumento matemático - as séries
Capitulo 111
O problema da continuidade
~OTA I
NOTA II
ERRATA
X VI
105
107
107
125
140
140
142
153
153
lGl
170
179
211
213
213
227
288
313
317
319
1 • PARTE, NÚMEROS
Capítulo I. O problema da contagem.
1.0 - Números natureis.
I. A contageml opereção elementar da vida individual e
sociel.
Toda a gente sabe como as necessidades da vida corrente
exigem que, a cada momento, se façam contagens - o pastor
para saber se não perdeu alguma cabeça do seu rebanho, o
operário para saber se recebeu todo o sarário que lhe é devido, a
dona de casa ao regular as gnas despesas pelo dinheiro de que
dispõe, o homem de laboratório ao determinar o número exacto de
segundos que deve durar uma experiência - a todos se impõe
constantemente, uns mais variadas circunstâncias, a realização
de contagens.
Se o homem vivesse isolado, sem vida de relação com 08
ontros homens, a necessidade da contagem diminuiria, mas
não desapareceria de todo; a sucessão dOB dias, a determinação
aproximada das quantidades de alimento~ com que se sustentar
e aos seus, pôr-lhe-iam problemas que exigiriam contageM mais
011 menos rudimentares.
Mas, à medida que a vida social vai aumentando de
intensidade, isto é, que se tornam mais desenvolvidas as relações
dos homens uns com 08 outros, a contagem impõe-se como uma
necessidade cada vet mais importante e mais urgente. Como
POdA, por exemplo, supor-se a realização de uma tIaMac~ão
comercial sem qne um não saiba contar os gélleros que compra,
douglas
Highlight
4 BE~TO DE JESUS CARAÇA
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA
o outro o dinheiro que recebe? Como pode, com mais forte
razão, pens!t~-se num mercado, numa feira onde ninguém sou-
besse contar?
Sempre que lIOS }lO~~ns se põe ~Ol problema do qual
depende a sua vida, mdtVldual ou socLal, eles acabam por
resolvê-lo, melhor ou pior.
Pergunta-se portanto: - Como resolveram os homens o
problema da necessidade da contagem?
2. Números naturais.
A resposta a esta pergunta é a seguinte: - pela criação dos
números ?laturllÜ
1) 1,2,3,4,b,6,.··.
Por quantos séculos se arrastou a criação destes números?
É impossivel dizê-lo' mas pode afirmar-se ~om segurança que
o homem primitivo d~ há 20.000 ou mais anos não tinha destes
númerOs o mesmo conhecimento que temos hoje.
"intimamente têm sido estudados com cuidado certos
agrupamentos d~ povos existentes na África e na Austrália.
Esses povos, em estado muito atrasado de dvilj~ç~~, permi-
tem-nos fazer uma ideiu da maneira como os prullltJ\·oS que
viveram há alguns milhares de anos se achavam. em relação
a 8sta questão. Os resultados gerais desse estudo podem resu-
mir-se da segllinte maneira:
l.~-A ideia de número natural não é um produto purG
do pensamento, independentemente da experiên.cia; os home~s
não adquiriram primeiro os n~meros natur~ls para dep,Ols
contarem' pelo contrário, os numeros naturaIS fornm-86 for·
mando le~tamente pela prática diária de contagens. A imagem
do homem criando duma maneíra completa a ideia de número,
para depoi~ a aplicar à prática da contagem, é cómoda mas falsu.
2.° - Esta afirmação é comprovad,+ pelo que se pas:m
ainda 110je em alguns pO\'os, Há tribos da Áf:ica Central q~e
não conhecem os números nJém de Ó on 6(1); ha outras que yao
(1) Estão assün próltÍmas das erianylls nos primeiros allOS de vida;
para elas tudo 'quanto' passe alêm de 3 é - muitoE.
até 10.000. Ora, facto essencLaI-a maior ou menor callhecime~to
dos números está- ligado com l.t8 condições da vida eeonóm~ca
deslJes pavos; quanto mais intensa é a vida de, ~elação, qnanto
mais frequentes e actívas são as trocas comerCULlS dentro e fora
da tribo, maior é o conhecimento dos números.
3. f8ctores humanos.
Não são apenas as condições da vida social que influem no
conhecimento dos mimeros naturais; actuam neles também
condições humanas individuais.
Em primeiro lugar, a maneira como a contagem se faz;
para pequenas colecções de objectos, é habitual contar-se pelos
dedos e este facto teve grande influência no aparecimento dosmim~os; nao é verdade que o nome dígito, que designa os
números naturais de 1 a 9, vem do latim digitus que significa
dedo? Mas há mais: - a base do nosso sistema de numeração é
10, número de dedos das duas mãos(l). Nos povos primitivos
de hoje, eSsa influência é tão grande que, em .certos nomes de
números, figuram partes do corpo humano - alguns dizem duas
ml1~ em vez de 10, um homem rompleto em vez de 20 (signi.
ficando que, depois de esgotar 08 dedos das mãos, se conta
com os dos pés), etc. Noutros, ainda, nem sequer existem
nomes de números - quando se quer exprimir uma quantidade,
fazem-se. gestos com as mãos.
4. Põe 8 vida primitiva outros problemas t
Os povos primitivos mais atrasados que hoje se conheeem
têm uma vida social tão panca desenvolvida que, para os pro-
blemas que se lhes põem, bastam os números naturais.
É só quando o nível da civilização se vai elenndo e, em
particular, quando o regime de propriedade se vai estabelecendo,
que aparecem novos problemas - determinações de comprimen-
(1) Têm sido usada.s out!'(l.S bases, mas) qnase sempre, números múlti-
plos de lO, J1~, no entanto, a base ideal sena 12, porque se presta melhor
que 1.0 li subdivisões; 10 tem apenas dois divisores diferentes dele (além
da unldade): 2 e 5; 12 tem quatrD: 2, 3, 4, 6.
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6 BE:iTO DE JESUS OAllAÇA COYCEITOS FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA 1
(I) J. Pelseneer, Esq«isse du progri:s de la pensée ntalltématique.
5. O símbolo zero.
tos, áreas, etc., - os quais exigem a introdução de novos
números. Trataremos disso no capitulo seguinte.
o homem civilizado de hoje, m.esmo com conhecimentos
matemáticos que não viio além da instrução primaria, começuL.'\
a sucessão 1) (pág. 4) não pelo um mas por zero, e escrevê-
-Ia-ia assim:
7. Classificação das correspondências.
A ideia de correspondência é tão importante que nos vamos
demorar um pouco no seu estudo; ele fncilitar·nos-á enorme·
mente a compreensão de certas questões qne aparecerão adiante,
como seja a questão dos irracionais, o conceito de função, etc.
Numa sala encontram-se seis pessoas - três Antónios, dois
Josés, um João. É claro que o pensar em cada uma dessas
pessoas desperta-nos imediatamente o pensar no seu nome pró-
prio; temos, por consequência, aqui uma correspondência:
homem (antecedente) ->- Mme-pr6pl'io (consequente).
Por outro lado, o pensar num determinado nome-próprío
desperta o pensar na pessoa ou pessoas com esse nome, e temos
a correspondência;
nome-p1'óprio (antecedente) ->- homem (consequente).
Aponta para um dos objectos e diz: ttm; apont~ outro e
diz: doü, 6 vai procedendo assim at~ ero;gotar. 08 ~bJectos da
colecção; se o 1Ütt"mo número pronuncIado for otto, dizemos que
a. colecção tem oito objectos O O O O O O O O
(fig, 1), I I I I j j j j
Por outras palavras, I ? ] 4 5 tl 7 8
Podemos dizer que a conta- F' tI, , d .g,gem ae rea lza J azen o cor·
responder JlUCe5i5Ú;amenfe, a cada oqjecto da colecçao, um número
da lJuce88ilo natural 1). Encontramo-nos assim em fac~ da ~pe:a·
ç/lo de «fazer corresponderD} uma das operações mentais maIS Im-
portantes e que na vida da todos os dias utilizamos co~stantem~nt~.
Esta operação de «fazer corresponder» baSeia-se na.ídeia
de correspondência que é, sem dúvida, uma das ideias baSilares
da Matemática.
A corre~ondência ou associGA;ào mental de dois ent~s - no
exemplo dado, os objectos a os mímaras (fi~. 1) -eXJge que
haja um antecedente (no noSSO exemplo, o obJecto) e um con-
sequente (no nosso exemplo, o numero); a maneira pela qual
o peDEmr no antecedente deaperta o pensar no consequente
chama-se lei da correspondência.
0,1,2,3,4, ....2)
Ao primitivo, de hoje ou dos tempos pré-históricos, nãu
ocorre, porém, o considerar o zero como um númeroj por isw,
não chamaremos ao zero um número natural e à sucessiio 2)
chamaremos sucessão dos números inteiros.
A criação de um símbolo para representar o nada constituio
(rum dos actos mais audazes do pensamento, uma das maiores
aventuras da razão»(!). Essa criação é relativamente recente
(talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às
exigências da numeração escrita. Todos conhecem o princípio
em (jue essa numeração se baseia e qual é o papel que nela
desempenha o simbolo Ul'O. Uma coisa em que nem toda a gente
repara ó que essa numeração constitui uma autêntica maravilha
que permita, não só escrever muito simplesmente os números,
como efectuar as operações - o leitor já experimentou, por
exemplo, fazer lIma multiplicação, ou uma divillão, em numeração
romana? E, no entanto, já antes dos romanos tinha florescido
<lo civilização grega, onde viveram alguns dos espiritos matemá-
ticos mais penetrantes de todos os tempos j e a nossa actual
numeração é muito posterior a todos eles.
6. A ideia de correspondência.
Suponhamos que uma pessoa, de posse do conbecimento dos
nlÍmeros naturais, quere contar uma colecçll.o de objectos: como
procede?
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8 BBNTO DI!: JESUS CARAÇA. CONCEITOS I<TINDAMENTAIS DA MATEUÁTICA 9
8. As correspondências biunívocas; equivalência.
Em que diferem estas duas correspondências? Em terem
trocado os papeis de antecedeIlte e consequente; sempre que
duas correspondências estão nestas condições, dizem-se rBC'í·
praca, uma da outra.
Consideremos a correspondência homem ---.. nome-próprio;
todo o antecedente tem. consequente (a não seI' que na sala se
encontrasse alguma criança ainda não registada); urna cor-
respondência em q!la isto B6 di5 chama-se completa.
Quantos consequentes correspondem li. cada antecedente?
Um só; toda a correspondência completa nestas MndiçÕ0s diz-se
univoca ou um-a-um.
Consideremo8 agora a correspondência reciproca n01M-pró.
prio ...... homem. Esta correspondência é completa (se considerar-
mQ3 a mesma. colecção acima menciemada) mas não é uniuoca
- há antecedentes (António, José) aos quais correl!ponde mais
de um consequente; toda. a. correspondência. eompleta em que
isto se dê chama-se um·a-vários.
9. Prêvalência.
Suponhamos ag{)ro. que se dava o caBO representado na fig, 3.
Não há equivalência entre as colecções A) e B)j a corres·
pondência A) -+ B) não é completa- o número de objectos de A)
é maior que o de B).
Por outro lado, verifica.- 1 2 J 4 :; 6 1
mos que B) se pode pôr em f 1 f f f f t
cotIespondêneia hiunivoca A) O O O O O O O
com umapartedeA),istoé: I! 1 ! 1 1 J
B) é equivalente a. uma. parte B) O O O O
de A), sem que A) seja equi- ~ J L l
valente a nenhuma parte de 1 Z 1 '"
B)j a colecçào A), neste F' 3
caao, diz-oo prêvalente 8. B). lU,
Assim enquanto a equivalência se traduz pela igualdade, a
prevalência traduz-se pela desigun.ldade - o número de objectos
de A) é maior que o de B) - e este estudo pode resumir-se
assim: o todo ndo é equit:alente à parte, o todo é prevalente à
pa1'te,. 011. linguagem yulgar, estas afirmações euunciam-se assim:
o todo é maior que a parte; mas, devido n. raz.ões que só adiante
podemos esclarecer, é melhor conservar o primeiro enunciado,
mos estabelecer entre elas uma correspondência. Se elas se encon-
tram no caso representado na figo 2, há equiva1ência~e isso quere
dhoor que, se se tivesse feito separadamente a contagem de cada
uma delas, se obtinha o mesmo número. Isto é - a equivalência
de duas coucções de olv'eclos ;;ígnffita igtwldadi3 de quantidade,
melhor, igualdade ck número de ob)ectolJ.
la, Princípio de extensão.
ViU-fie atrás como a operação da contagem, repeti lIa por
muitos milhares de anos, acabOll por levar à criação dos números
naturais, e viu-5e que a extonsão do seu conhecimento depende
do grau de civilização e da intensidade da vida social do homem,
Assim, a ideia que tem do número natural o homem civi-
lizado de hoje é mais complet1., mais geral, do que aquela
que tem o homem primitivo j é mesmo diferente da que tinha
5
1
O
1
O
l
5
4
i
O
I
O
i
.(o
3
i
O
1
O
l
3
Fig.2
2
i
O
1
O
l
2
1
i
A) O
!
B) O
~
1
Pode acontecer que uma correspondência. s~ja unívoca e a
8Ua. reciproca também; se isso se der, a correspondência cha-
ma·se biunívoca. Exemplo:
numa saia. encontram·S8
seis homens com as res-
pectivas esposas; fi. cor-
reRpondêncía marido _ es-
posa é completa e unívoca,
a correspondência reci~
proca. esposa +-- marido é
tllmbém completa e uni-
voca - a correspondência
é biu{iivoca.
Sempre que dUa8 CQ-
lecções de entidades se po-
dem pôr em correspon-
dência biuníroca, elaa dizem-se equú;alentes,
Vejamos como a ertuivalência intervem directamente na con-
tagem. Suponhamos duas colecções de objectos A) e B) e procure-
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10 BE~Q DE JESUS CARAÇA COriCEITOS }<'U~DAMENTAlS DA MATEMÁTICA 11
11. O primeiro contado com a noção de infinito.
Voltemos à sucessão dos números inteiros
o que querem dizer, nesta sucessão, os três pontos colo-
cados depois da última virgula? Esses três pontos - sinal de
retw~Jlcia matemática - querem dizer que não estão lá escritos
todos os nu.meror; inteiros; faltam numeras inteiros. Quantos?
o filósofo da Grécia antiga, a mais elevada e bela civilização da
Antiguidade, separada de nós por pouco mais de 20 íléculos.
Para o primitivo, e mesmo para o filósofo antigo, Os núme-
ros estavam impregnados de Natureza - a Natureza em cuja la-
buta o homem adquiriu todos os seul:l conhecimentos-os núme-
ros estavam ligados às coisas de que eles se serviam para contar.
Para o homem civilizado de hoje o número natural é um
ser puramente aritmético, desligado das coisas reais e inde-
pendente delas - é uma pura conquista do seu pensamento. Com
esta atitude, o homem de hoje, esquecido da humilde ori~em
histórica do número, e elevando-se
(ou julgando elevar-se) aCIma
da realidade imediata, concentra-ge nas guas possibilidades de
pensamento e procura tirar delas o maior rendimento. Não é
aqui o lugar de discutir o fundamento filosófico de tal atitude.
Verifiquemos, no entanto, como um dado real que não pode
ser posto de lado, que o homem tem tendêneia a generalizar e
estender todas as aquisições do seu pensamento, sl'Ja qual 101' o
caminho pelo qual €SIiJWJ aquisú;ões se obtêm, e a procurar o maior
rendimento posmvel dessa/! generalizações, pela e:eplO1'uçao metó-
dica de todas as sua..., ronsequiJnclas.
Todo o trabalho intelectual do homem, é, no fuudo, orien-
tado por certas normas, certos principios. Aquele princípio em
vIrtude do qual se manifesta a tendência que acabamos de men-
cionar, daremos o nome de principio de ezte1tlJão.
No estudo que nos está ocupando, encontraremos outros
princípios: por agora, vamos ver já uma aplicação importantis-
siroa do prinCípio de extensão a uma das questões mais discutidas
de toda a história da Ciência.
PÔr esta pergunta é o mesmo que pôr esta: onde acaba a
SUC8$são dos números inteiros'~ ou ainda: qual é o maior número
inteiro, o número inteiro além do qual não pode pensar-se que
exista mais algum?
A resposta depende, evidentemente, da pessoa a quem for
feita a pergunta. Se for a uma criança de tres anos, ou a um
primitivo dos mais atrasados que hoje existem, o maior número
não irá além de ó ou ti; se for a um primitivo dos menos atra-
Ilados, já andará por uns milhares. E se for a um homem & ...i-
lizadOJ a um representante da cultura média de hoje? Eis como
esse homem, afastado da origem histórica do número, pensará:
.naquela sucessão, eu passo dum número para o seguínte jun-
tando-Ibe uma unidade; pOI' meio desta operação mental elemen-
tar - Juntar uma unidruie - eu passo do 1 para o 2, do 2 pam
o 3 e vou tão longe quanto quiser; se me derem um número ri,
por maior que seja, eu posso sempre efectuar sobre ele a mesma
operação mental e obter um nÚIDpro maior - n+ 1 -logo, para
mim, não há um número inteiro maior que todos os Qutros. Impor-
ta-me pouco que a certa altura esteja já construindo, com fi
minba operação IPontal elementar, nlÍmeros tão grandes quo não
tenha possibilidade prática de considerar colecções que esses
nameros sirvam para contar; importa-me pouco; eu, da reali-
dade prática, tirei a ideia dos primeiros números e a da opera-
ção elementar de passagem de um ao seguinte; agora, vou tírar
todas as consequências dessa ideia e dessa operação; o meu
pensamento não vê barreira para aplicaçliO da. operação ele-
mentar j por outras palanas, aceita, não pode deixar de aceitar,
a possibilidade de repetição ilimitada do acto mental- Juntar
uma unidade".
Eis como raciocina o homem do hoje; para ele, de posse do
conceito gerai de número inteiro, nlio há número maior qne os
outros. Este facto exprime-se por qualquer dos seguintes enun-
ciados, equivalentes: 3) a lfllcessào dos números inteiros é
ilimitada,. b) dado um número inteiro, por maior que seja, eX{8te
6empre outra maior,. c) liá uma b!finidade de llU11Ie1'os ll/teiros.
Para dar bem a ídeia d.e que a sucessão dos números inteiros é
ilimitada, ela escrever-s8-á daqui por diante assim:
0,1,2,3, .. ·n, ....B}
0,1,2,3,4,· ...2)
douglas
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12 BENTO DE JESUS CABAQA CO:'o<CEITOS FUXDáMENTAHI DA MATEMÁTICA 13
Fig.5
A"-----Ã-,--Ã;-Ã;::à
Estamos à porta do dominio do infinito,. preparemo-nos
para o 8altO no desconhecido.
12. DefiniçãO de conrunto.
A palavra conjunto bá-de ser empregada viritlEl \-ezes nesta
exposição e vamos, por isso, dar, desde já, o seu significado.
Num certo momento olbamos para uma sala, por exemplo, uma
sala de espectnculo, oode está um agrupamento de pessoas; é
claro que essas pessoas são, uma a uma, entidades determinadas
e gozam em comum da propriedade de, no momento de que
falamos, estarem nessa sala,. qualquer pp,ssoa que nesse momento
passe na rua, não goza dessa propriedade. '
Portanto, se falarmos no conJunlo ih pessoas que estda delltm
da sala, referimo-nos a qualquer coisa de bem determinado e
tal que, dada uma pessoa qualquer, podemos averiguar com
rigor se ela pertence ou não ao conjunto de que se falou.
Definlção. Em geral, dizemos que é dado 'Um conJunto de
certos elementos quando: a) eleiôl são, de si, entidades determi-
nadas; b) al~m disso, há a possibilidade de averiguar se um
elemento qualquer, dado ao acaso, pertence ou não ao conjunto.
Por exemplo: temos o direito de falar no conjunto dos
númeroll inteiros e, pelo que vimoiôl acima, esse conjunto é infinito
ou, por outras palavras, tem 'Uma lnfinidade ih elementos.
13. Existem outros conjuntos infinitos"
Em face da definição que acabamos de dar de conjunto terá
existência a entidade conjunto de pontos de 'Uma recia r
Seja (fig. 4) no plano P a
~~ ~ recta definida pelos dois pontos/ ' ~- A e B. Sabe-se que a geometria~ li: considera a "eeta como figuraA só com uma dimeusilO-compri.
Fig.4 mel1to-e o ponto como nito tendo
ea:tensão, portanto com dimen.
sões nulas; sabe-se ainda mais, que dois pontos A e B deter-
minam lIma redu e só uma - qualquer outro ponto da recta
está alinhado com os dois pontos A e B.
Pois hem; admitindo tudo isto, tem significado real o
falar-se no conjunto dos pontos da recta, "isto que, dado um
ponto qualquer, podemos averiguar sempre se ele está ou não
alinbado com A e B - se estiver, pertence ao conjunto: fi o caso
do ponto N da figo 4; se não 88ti\'81', não pertence: é o caso do
ponto M.
I'onhamos agora a seguinte questão - quantos pontos tem
a recta? Consideremos dois pontos A e D, quaisquer, que deter-
minam sobre a recta um segmento AR (fig. 5); dividamos esse
segmento ao meio - obtem se o ponto Ai ; dividamos AI Jj ao
meio - obtem·!I8 .iÍ2 j dividamos A~ B ao meio - obtem-se A J etc.,
até onde? onde pártt a possi-
bilidade de prosseguir na dL-
dsão ao meio? Se el1carar~
mos a questão do ponto de
vista.. prático, a divisão pára
na o.ltura em que obtemos segmentos tão pequenos que já não
há instrumentos com preciEllio suficiente para a levar mais looge.
Mas ponhamos a questão do ponto de vista teórico, à luz do
princípio de ea:tensão; só é possh'el uma de duas coisas - ou o
ponto geométrico é um pequeno corpúsculo com dimensões, em-
bora muito peqnenasJ e a operação de divisão ao meio ter-
mina quando se obtiver um segmento de comprimento igual ao
comprimento do corpúsculo; ou o ponto geométrico tem compri-
mento Ze:J'O e então, por mais pequeno que seja o segmento
Ã:J1 obtido numa divisão ao meio, é sempre possível pensar
uma nova divisão ao meio. Neste caso, o acto mental de divisão
ao meio pode repetir-se ilimitadamente, e teremos sobre o se-
gmento AB uma infinidade de pontos ~, At ,··· A,,, ... - tere-
mos 'Um novo conjunto infinito.
Qual das duas coisas devemos aceitar? Por agora, não
r.0demos dar. as r~lz1Jes que nos levam a uma escolha, mas oeitor pode ficar sabendo desde já que a primeira hipótese se
choca com dificuldades de tnl ordem que tem que ser abando-
nada (1); resta a segunda-o conJunto dos pontos da rectaé infinito.
(1) Ver a justifieaç'ão no capitulo oi.o; (parágrafo 13 e seguintes). Lã
será vista a grande importância filosótíca e lustóriea que esta questão tem,
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14 BESTO DE JESUS CARAÇA CQ)TCEITOS FUNDAME},""fAIS DA MATEMÁTICA 15
Verificamos, portanto, e isto tem a maior importância, que
a simples aceitação da possibilidade de repetição ilimitada
de um
acto mental-base do conceito de infinito~exige o abandono de
n ••.
t'
2n••••
3 ...
f
~.'"
M ·1.
!
p} 2.
Fil].7
M
\
\
\
A
8
2." Ea:emplo: - Seja (fig. 7) o triângulo rectângnlo BAC e
tiremos a meio de AB uma paralela A'e' a A 0,- sabe-se, da
geometria, que o segmento A' G tem comprimento igual a metade
do do segmento A C.
Pois, apesar disso, o conjunto, infinito, de pontos de A'C'
é equivalente ao conjunto, infinito, de pontos de A G. Para o
verificar, basta estabelecer, entre
esses dois conjuntos, uma corres·
pondência biunivoca, do modo se-
guinte: a cada ponto P de A'e'
faz-se corresponder u ponto ~ll (úni-
co) de AO em que AC é eIlcon~
trado pela recta B P j a cada ponto
N de AO faz-se corresponder o
ponto Q (único) em que A'C' é
encontrado pela recta Nil.
N - C Os dois: conjuntos são, portan-
to, equivalentes; mas A' O' tem
comprimento igual a metade do de
AG - o todo pode ser equ{!)alente à parte.
6, ... 2n, . ' .. São ambos conjuntos infinitos, e entre eles pode
estabelecer-se uma correspondência biunívoca, como mostra a
figo 6 - a cada número de N) corresponde um de P) e nm
só - o seu dobro j a cada
número de P) corresponde
um número de N), e um só
- a sua metade.
Quer isto dizer que P)
e N) silo equivalentes: mas
P) é uma parte de N) logo,
em conjuntos infinitos o todo e a parte podem ser equivalenteiJ}
o que não se dava no finito (pág. 9).
Mais; se olharmos para a figo 5 verificamos que, sobre
o segmento Ali, alem da infinidade de pontos AI' A z"" An,o. o
!ui mais úifin{dades de pontos - entre A e Ai podemos fazer o
mesmo raciocinio que fizemos entre A e B; entre AI e A~ o
mesmo, etc. Encontramo-nos, por cOllsequência, em face de um
infinito de natureza diferente do infinito da sucessão 3) (pág. 11).
Será possivel comparar estes diferentes tipos de infinito? A
questão é delicada, mas podemos ver alguma coisa dela; vamol!
dar os primeiros passos no dominio encantado do infinito.
15. Primeiras consequências do salto no desconhecido.
As definições que acabamos de dar são as mais naturais pos-
sivel porque são as que saíram directamente de coisa tão simples
e tão ligada à vida real diária do homem como a operação da
contagem. Vamos ver, no entanto, que, no dorninio do infinito,
elas nos vão trazer surpresas.
1.Q Ereemplo:~ Consideremos o conjunto dos nlÍmeros naturais
..I..V) 1, 2, ... n, ... e o conjunto dos números pares P) 2, 4,
14. Correspondência no infinito.
A nossa operação da contagem vai ainda fornecer~nos o
modelo (mas agora só o modelo) do que há a fazer para com-
parar 08 vários tipos de infinito. Vimos que se realiza uma con-
tagem fazendo corresponder objectos a números; 'Vejamos 58
será possivel estender a ideia de correspondência aos conjuntos
infinitos. Nada mais fácil; pela correspondência, a cada elemento
vem associado antro pelo pensamento; nào há mais que supor
qlIe esta operação ~ fazer corresponder a - se pode repetir inde·
finidamente. Ora, se já aceitámos, duas vezes, a possibidade de
repetição ilimitada dum aeto mental porque nlio a admitir agora '}
Assentemos, portanto, em que se estende a conjuntos infi-
nitos a noção de correspondência e vamos transpor-tar para eles,
tanto quanto possivel, as coisas já adquiridas, em especial a
noção de equivalênda, tão importante, corno vimos, na contagem
das colecções finitas - se, entre os elementos de dois conjuntos
inJinitos, puder estabelecer-se uma correspondlJncía biunivoca, esses
dois c01!}'untos dizem-se equiraunús.
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16 B:Elil'IO DE JESUS CARAÇA. CO~CEIT08 FU~DAMENTAIS DA. MATEMÁTICA 17
certas verdades fundamentais cuja evidência a vida de todos os
dias impõe.
Que o homem, deslumbrado pelas possibilidades do seu pen-
samento, se afaste dã realidade imediata, acei.ta-se; que ele pre-
tenda fazer jogar, em cheio, o prt"ncípio de extensàQ, óptimo;
mas que esteja sempre atento às consequ~ncias,às vez~g al', mais
surpreendentes e chocantes, que esses VÔOS trazem consigo. E
tudo é de aceitar, de braços abertos, se conduzir, como é o caso
aqui (será "isto isso mais tarde), a uma melhor compreensão da
realidade.
16. Pode fazer~5e uma anatomia do infinito ~
Voltemos à questão posta atrá.s - a comparação dos vários
tipos de infinito, em especial o tipo do conjunto dos número:'!
inteiros, a que chamaremos tipo do numerável, e o do conjunto
dos pontos da recta, a 'lue chamaremos tipo do continuo.
A questão, posta em termos de rigor, será naturulmente
esta. :-os dois tipos serilo realmente distintos do ponto de vistll
da equivalência, ou não? Por outras palavras, existirá, ou não,
uma correspondência hiuntvoca entre os dois conjnntos? Se
existir, o tipo do contínuo será equivalente ao tipo do nume~
rável; se n'ão e:1istir, tratar·~e-ú, de fneto, de dois tipos dis-
tintos de infinito.
Antes de mais, a questão pode, de facto, resolver~R6? é
possivel fazer uma anatomia do infinito 11 Até aqui fizemos com·
parações dentro de cada um dos dois tipos, mas ainda não entre
um tipo e outro, e será naturalmente este o objectivo mais im~
portante de tal anatomia. A. esta questão prévia responde-se-
pode-e o instrumento é·ainda 11 mesma noçã() de correspondência.
Mas, quanto aos resultado!!, deixamos agora a questão em
aberto; no cap. 5." diremos mais alguma coisa sobre ela.
2.0 -Operações.
17. As operações da Aritmétice.
'fodos conhecem, desde os elemeIltos de Aritmética estu·
dados na instrução primária, aS quatro operações, chamadas Qpe-
ra~Oe8 jtln~ament(J.is: adição, subtracção, multiplicação, divisão.
A estas ~a que Junt~r mais três que se lhes ligam imediata~
mente; SitO a potenClação, a radiciação e a logaritmação.
E~tas sete ~perações podem agrupar-se no seguinte quadro,
que adIante sera explicado;
GRAUS DIRECTAS INVERSAS
1." Adiç1io Subtraeção
2." :Multiplieação Divisllo
3." Potenciação
Radicia~,ão
L"garitmação
18. A operação da adição.
É a ope!aç.ào mais simples e da qual todas as outrasdepen~em. -!:- Idela, de adicionar ou somar está já incluída na
rópl'la noçao de numer? natural- o que é a operação elementar
e passagem d~ um numero ao seguinte, senão a operação de
!!~mar uma uUidade a um número? Pois bem, somar a um
numero a, dado,. outro nÚIDero b, é efectuar a partir de a, b
passagens suceSSIvas pela operação elementar.
Non~Il~.-Ao número? dá-se o ~olUe de adwümando,. a b,
o de adwwnador,. aos dOIS, em cOllJunto, o de parcelas.
Símbolo.-A soma de a com b representa-se por a+b.
!apéÍll.----:~~a soma, o adicionando representa nm papel
pa8InVO; o adlcIOnador, um papel actito.
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18 HEXTO DFJ JESUS CARAÇA CONCErtOS FUNDAM~NT.!IS DA MATEMÁTICA 19
(I) A colocaçã-Q do pa.rêntesis significa que se c()usidera a soma efec-
taada.
19. A operação da multipliceção.
Simbolo _ axb ou a· b.
Define-se soma de illtUS do duas parcelas, assim:
a+'J+c=(a+b)+c
a + b + c + d = (a + b + c) + d
6 anàlogamente para qualquer número n de parcelas.
No caso em que b=1 põe-se, por definição, a·1 = a.
NOlMS. - Ao número a, parcela que se repete, chama-se
muUiplicando,. ao número b>1, número de vezes que a aparece
como parcela, cllama-se 1ntdtiplicadoT j aos dois, em conjunto,
dá-se o nome de jactores,. ao resultado, o de produto.
Papéis. - O mnltiplicando desempenha um papel pa88'tVO;
o multiplicador, um papel activo.
a= b,n = 111 _ a" = b'"
{n >m, a > 1 -.. a" > uma>b -+a">b"
1n =l,Ú"=O.
a = a' J b =b' a· b = a' . b'
b>ll a·b>a·b'
O, a=Üj recIprocamente, se °produ-
to é nulo, deye anular-se,
pelo menos, um dosfaetorel'!.
a· 1 = a; a· b = a -.. b = 1
e*O,a.e=b·e -a=b.
3."- ." .
Propriedades.
1." grupo:
1.a - unicMade .
2.lI.- monot6nica
3.a - anulamento
(n)
4. a - moáular ..
5.~-redução ..
2.Q gruPQ:
6. a -comutativa. a· b = b· a
7. 8 -associativa. a. (b. c) = (a. b). c
8.a -distrwutil'a a· (b + c)=a. b + a. C (1).
Define-se, como no caso da soma, produto de mais de dois
factares.
20. A operação de potenciação.
Símbolo -.. dI<.
Definição. - A potência a" define·se como nm produto de
factores iguais:
õ)
(I) Sobre (J papel dos par~nte~is, vid& a Dota do fundo da pág. 18.
a"=a·a···a, al=a.
1!0mes. - Ao ~úmero a, faetor que se repete, chama·se base;
ao numero ri, numero de yezes que a figura como factor
ebama-se 8i1!poente j ao resultado chama-se potência. '
Papm. ---: A base desempenha um papel passivo, o expoente
um papel actwo.
Propriedades.
1.0 .grupo:
1.a - unicidade ..
2. a _ monotóníca.
define-se como uma soma de
(b)
a+b=b+a
a + (b + c) ~ (a + b) + c (').
a = a' ,b = b', ...... a + b = ai + b'
b>b' --+a+b>a +b'
a+O=a
a+c=b+c-+a=b.
Q.b=a+a+· .. +a.
Proprieáades.
1.° grupo.'
La _ unicidade.
2.8 _ monot6nica
3." - modulai' ..
4. a _ redução . .•
2.Q grupo:
5. a _ comulativa.
6." - aS$oeiatit:a.
4)
D([/inição - A multiplicação
parcelas iguais
20 BESTO DE JESUR CARAÇA. CONCEITOS FUNDAMENTAlS DA MATEMÁTICA 21
Aquela inversa pela qual, dada a potência e o expoente, se
determina a base chama-se radiciaçao j aquela pela qual, dada
a potência e LI. base. se determina o expoente chama-se lQgarit-
macao.
21. As operações inversas.
Em relação a cada uma das operações anteriores, pode
pôr-s8 o seguinte problema: - dado o 1'elTUltadQ da operação
e um dos dados, determinar o outro dado.
Pôr este problema é pôr o problema da inversão das ope-
rações e aquelas novas operações que resolvem o problema,
para dada caso, chamam-Se operações inversas das primeiras.
VRmos ver o que se passa com cada uma delas.
Adi9do. - A inversiLo consiste em - dada a soma e uma das
parcelas, determúlar a outra. Deveria haver duas operações
iuyersas, conforme ae pedisse o adicionando ou o adicionado,.,
mas, em virtude da propriedwle comutativa J~ adição~ ,os papéis
das duas parcelas podem trocar-se, e as duns Im-erSRa fundem-se
numa só, que se chama suótracçt1o.
l.lulUpUcaçào. - A inversão consiste em - dado o produto
e um dos (actores, determinar Q outro. Deveria também haver
duas inversas, mns que se fundem nUIDa só - divisêio - em vir-
tude da propriedade comutativa do produto.
Potenciaçao. - A inversão consiste em - dada a pot~ncia
e um. dos dado.~, base ou e;cpoente~ determinar o outro. Agora há,
de facto, duas inversas, porque nno existe comutatividade Da
potenciação i por exemplo:
5~=5·5=2ó
2~ = 2·2·2·2·2 =32.
A justificação de cada uma destas propriedades está na
definição dada. de subtracção e nas propriedades da. adição j ma!
22. A operação da sublracçâo.
Símbolo ...... a - b •
DefinUj1o. - Em virtude d~.definição dada acima, a llubtrac-
ção é a operação pela qual se determina um nlÍmero c que, somado
com b, dá a:
a+(b-c)~(a+b)-c
a-(b + c) = (a- b)-o
a-(b-c)~(a+c)-b
(a + c) - (b + c) ~ a - b
(a-c)-(b-c) ~a -b.
a= a',b = b!--->- a- b = a'-b'
{ a>a
l
--->-a-b>a'-b
b>br --->-a-b<a-b'
a-O= ai a-h = a ...... b = O.
a-b=c..- c+b=a.
Proprledades.
1.° grupo:
1.a - unicidade.
2.a - monotónica
3.a - modular , •
2.° grupo:
4. li- _ •••••••••
Õ. a _ •••••••••
6.lI- _ •.••.....
7. a _ .
8.a _ ...•..•..
Vamos estudar ràpidamente cada. uma das inversas.
6)
Nome8. - Ao número a dá-se o nome de dt'minuendo ou adi-
tivo,. a b o de dim-inuidQ'f' ou 8uhtrac#vo j a o o de Te8to ou
diferença.
P0881'bttidade. - Para que a operação seja possiveI, é nece.-
Bário que o aditivo seja maior que o 8ubtraotivo ou, pelo
menos, igual a ele: a~ b .
a"'· a" =am+"
(a. b)" =a"· b"
(am)" = a"'''.
2." grupo:
4.a _ rnultiplicativa
5.a _ distn'butiva••
6.a _ •••••••••••
22 BE~TO DE JESUS CARAÇA CO~CEITOS FUNDA}IENTAIS DA )lATE)IÃTICA 23
23. A operação da divisão.
b-c
h-c
a
Fig. ti
Símbolo ...... a: b ou
c
a
b
a· (b- c) = a· b -a· c.
P,·opriedades.
1.° grupo:
l.a _ unicidade.
2." - motwtóJtü,a
3." - mod!dal' .
4,"~· , ... , .
2.° UI'UPO:
Õ. a - di,st1ihutira
o.a _ .
7. a - •.••••••
8. a _ •••.• , •••
a = a'Jb = b' ....... (l",:b = a' :b'
ja>a' --->a:b>a':b
1b> b' ---> a: b < a: b'
a:l=a
b*O_O,b~O,
{ (a + b): c = a: c + b: c(a-b):c=a:c.~b:c
(
(a'h)' o ~ a,(boc) ~ (00 b), a
(a,h)" ~ a,(I>· 01 ~ (a ocl'"
{ (a'h)~(a")'(b")(a, b) ~ (a oc), (b ,,)
(a' o),(b, d) ~ (a,o), (ood),
A definição exige que seja b=FOj caso contrário, qualquer
que seja c, ter-se·à sempre b· c=ü (mult. prop. 3. a) e a igual-
dade de condição não é satisfeita.
Nomes. - Ao número a chama-se dividendo; ao número b,
divisor; ao nlÍmero c, eoeiente,. a divisão é, portanto, a ope-
ração pela qual, dados o dividendo e o divisor, se determina
um terceiro número, codente, que multiplicado pelo divisor dá
o dividendo.
POfjfjibilidade. - Para que a operação seja passivel, deve o
dividendo ser mrUt1'plo do divisor; caso coutl."ário, não existe
númel."o inteiro c que satisfaça a c· b=a; é o caso, por exem-
plo, de 7: 3 - não há inteil."o cujo produto por 3 dê 7.
Neste caso, existe então um quarto número r < b - Testo
-tal que é verificada a igualdade
8) a=b.c+r
(no exemplo dado, é T=1_7=2. 3+1).
24. A operação de radiciaçio.
NIYffU!I!, - Ao número a chama-se radicando; ao sinal r
chama-se sinal de radical,. ao número n chama-se indice do ra-
dical; ao número b chama-se raiz.
Todas estas divisões se supõem possiveis no sentido da
àefinição 7).
Com a introdução da operação de divisão, completam·se
agora as propriedades da potenciação, juntando:
à propriedade 4. a am: a" = a"H'
à propriedade !~V .. ,........ Ca: b)n = 0," : bn .
(determinação da base).a = b" --;. b = lia9)
"Simbolo ...... Va (que se lê: rai~ de iJl(lice 11 de a).
Definirjio, -Pela definição dada em 21, tem-se que a
radiciação é a operação púla qual, dado um número a e um
"
número 'li, se determina um novo número b = Va, tal que
sejaa=bn ;
Dfjini;;ào - Pela definição dada em 21, tem-se
a:b=c +-- b·c=a.7)
24 BENTO DE JESUS CÁRAÇA CO~CRITOg FUNDA!l1E"S"TAIS DA MA'1'EMÁTlCA
Possi1n7idade. - A operação só é possível quando a seja
uma -potência. de expoente n de GutN númerQ. Por exemplo,
é posrdvel v'4 mas não V5. Reparando em quais são aqueles
números que são quatirados- 1, 4, 9, 16, 2õ, ... - aqoele~
que são cubos - 1, 8, 27, 64, ... - quartas potências, etc.,
vê-se que o caso mais geral ti o da imposswiUdade da radt'ciaçao.
25. A operação de logaritmação.
Simbolo ---+ 10gb a (que se lê loga)'itmo de a. na base b).
Defl'1lU)do. - Pelo que se disse em 21, ti.- logaritmação 6 a.
operação por meio da qual, dado nm número a e um número
b>l, se determina um terceiro número n=logba tal que
fJeja a=b".
.. ...g ..rq
vav = Vap.q = VaP'g
v-I' ".,.Va ~va.
...... 10gb a = log.'.' a'
- 10gb a > logó a'
a,=a', b=b'
a>o'"
log"a=l.
10gb (a . c) = logótl + 10gb C
10gb (a : c) = 10gb a -logbc
logb(a") =n.logha.
2.Q grupo:
4."_
5. a _
6.a _
Propriedades.
1.Q grupo:
La _ v/lticidade .
2/ - manotón.ica
3. a _ •••••••••
26. Propriedades formais.
Em todas as operações, as propriedades que classificAmos
no 2.° grupo desempenham. um papel muito diferente das do
1.° grupo. Enquanto estas dizem respeito à maneira como 05
resultados variam quando os dadOI:! variam, as do 2.° grupo
mostl'am as "'árias formas pelas quais os dados podem ser
combinados sem alterar os resultados. Por isso, às proprie-
dades do 2.° grupo ge chama propriedadeR jormaú.
No cálculo aritmético e algébrico elas são duma aplicação
constante e quem as conhecer bem, principalmente as da soma
e produto, tem a chave do cálculo algébrico . .Por exemplo, em
obediência
à propriedade distributiva da multiplicação, escreve~
~se ti.- igualdade 2 (~~+y~-4,'r+ 1)=2~~+2lf-8;r+2 .
Duma maneira geral, pode afirmar·se que as propriedades
formais das sete operações constituem o conjunto das leis ope~
ratáriaB do cálculo.
lO)
(determinar;ão do expoellte,. comparar com 9).
PO!l8w'ilidade. - A operação só é possível'quando a é umn.
potência de base b; por exemplo, é POSSi;'Elllog149, visto que
49 = 72 1 mas nào logd 20; o caso mais geral é o da impo88ibi..
lidade.
" "
-Va>Vb
" m
-va<Va
"VO~O."VI ~I,
" m
a = b, n = m _ Va """ fi
[a> b
\ n>>n
[" ""va:b ~Vav'b" ""~~Va,Vb
(")' "Va = VaP
3.a _.,". o ••••••
2/' grupo:
~. a _ 'lIIonotónica.•
7.S _. 0.0 •••••••
4. a - dil!tributiva.•
6.8 _ •••••••••••
5. 8 _ •••••••• -,.
PI'opriedadcs.
1.0 grupo:
1.n _ unicidade . ••
26 BE:S-TO DE JESUS CARAÇA CO~CEITOS FU~DAME~T.AHI DA )[A'l'E~[ÁTICA 2.
29. Duas aplicações do princípio de economia.
Vamos ver, à lu;'. do que acabamos de dizer, que definições
devemos dar de a·O e aO.
Comecemos por a'O. Sabemos, por um lado, que a ope-
ração da multiplicação é comutativo. e, por outro lado, que
O.a=O; logo, S8 queremos conservar esta lei lormal- comuta-
tividade - a definição a dar deve ser tal que a·O=O.a=O;
tomamos, portanto, como nova definição
Vejamos agora t\ potência aO. Stl.bemos que a potenciação
goza da propriedade multiplicativa aM • (~"=a"'+"; S(l qu.eremos
manter esta lei formal, a entidade a definir, X=ao, deve vtr a Sei'
tal que o produto X"a" se efectue segundo ela; isto é, de\'e vir
a ser tal que aO . a"=ao+ll ; mas O+n =n, logo det'e ser aO" a"=a"
e esta igualdade exige iH!, prop. 4. a] que seja aO=l. A manu-
tenção da lei ex(ge, portanto, que seja
12) aO=1
e é estu a definição que tomamos.
menor dispêndio possivel de tmergia mental, niío só no dar da
definiçiio, como nas: suas: consequências.
Esta directriz corresponde a um princípio geral de e~OJ!Omia
do pellsamenlo que nos leva, seja nos aetos elementares da labuta
diária, seja nas construções mentaill mais elevadas, a preferir
sempre; de dois caminhos que levam ao mesmo fim, o mais
simple~ e mais curto.
No caso que nos está ocupando, o que é que devemos e~o­
)lom1;;ar? Nós possuímos um conjunto de leis opaatól'ias, formado
pelas propriedades formais dtls operações - Ó Il generalidade
da aplicação desse coujunto que devemos conservar. Quer
dizer, convém qne ali 'ilOViM dfjiltiçoe,q sejam dad{u de modo tal
que a,i leis formaú das operações !he~ s'V"am ainda aplicáreis.
~ste principio é conhecido pelo norn~ de prillcipto da p~r­
mal/hlcia das leis formais. ou princípio de Hankel, e não é maIS,
como vimos, que a aplicação particulnr, na ~fatemática, do
princípio geral de ecolwmia do pensamcnlo"
27. O zero como dado operatório.
A introdução do zero como dado}JfO\"OCa por vezes pertur·
bnçôes nas operaçíJes, tais como atrás foram dofinidas e estu-
dadas. Essas perturbur:ões podem ser de duas llatllrezaS~ou,
em face da dpfiniçtio, a colocaçiio do zero num dos dados con-
duz ti. uma impossibilidade; ou então está-se em face duma ope-
ração possível, maS que n Jellnição dada não abrange.
Está no primeiro caso, por exemplo, a didsão a:O-ll([
l:lJ1possibifidaile, visto que o cociente, se existlsse, seria um
número c tal 'Iue c . O=a; ora c . 0=0 J como se sabe [19 prop.
:3.a, pág. 19J.
Está no segundo caso o produto a· O; efecti\'amente)
(c)
~-~
sabemos que U· a=ü+u+ .. · +U; mas que significado tem,
em face da defini(.'ão de Vro<luto [19,4)], uma multiplicação em
que zero seja multipliclldor, isto ó uma soma de zero parcelas,
cada uma delas igual a a? Nenhum!
Eneontra-se no mesmo caso a potência aO ; em face da defi-
nição [20,0), pág. 10J aO não tem significado - não há produtos
com nenhum factor.
No entanto, reparemos bem, não são caSOii de impossibili-
dade; são apenas caSOB que as definições dadas não abrangem.
Convirá deix{L-Ios assim e não atribuir significado a a·O e a aO?
De modo nenhum - o priudpio de extensão leva-nos a procurar
uma definição; no decorrer dum cálculo algébrico pode anular-se
um expoente, pode anular-se um ftlctor multiplicador; como
será incómodo ter de renunchl.r a continuar o cálculo para se
não e::Jtrtr li operar esterilmente sobre simbolos sem signifi-
cndo t Mas, como dar as definições nm"as ?
28. Princípio de economia.
}~ claro que as novas definições, uma \'ez que nito estamos
obrigados pelas antigas (que não são aplicíLVeis), podem ser
dadas como qutsermos. Mas não ó menos claro que conúm que
essas novas definições saiam) o menos possirel, dos moldes das
antigas, para que a introdução delas no cálculo se faça com o
11) a·O=O.
28 BENTO DE lEBUS CARAÇA
Fig.9
o leitor verifica fàcilmente qne, com as definições 11) e
12), são mantidas as restantell leif'l form~is da multiplicação e da
potenciação.
30. As operações inversBs e o princípio de extensão.
Vimos que todas as operações iuy{'rSafl apresentam casos
de impossibilidade, por vezes mesmo mais frequentes que 08 de
possibilidade.
Aplicações sucessivas do princípio de e:rte1tsào levarão a
reduzir todas essas ilnpossibilidlldes; pam isso 6 preciso criar
novos campos numéricos; é o que faremos nos capitulos seguin·
tes, pondo em evidência as necessidades de ordem prática ou
teórica qDe, de cada vez, obrigaram a uma nova extensão.
Capítulo 1/. O problema da medida.
L" - Construção do Campo Racional.
lo A operação da medição.
Medir e contai' são as operações cuja realização a vida de
todos os dias exige com maior frequência.
A doua de casa ao fazer as suas provisões de roupa, o
engenheiro ao fllzer o projecto duma ponte, o operário ao ajustar
um instrumento de precisão, o agricultor ao calcular a quanti6
dade de semente a lançar à terra de que dispi'le, toda a gente,
nas mais variadas circunstâncias~ qualquer que seja a sua pro-
fissão, tem necessidade de 'medito. }'Ias o que é - 'medir 'J Todos
sabem em que consiste o compara)' duas grandezas da mesma
espécie - dois comprimentos, dois pesos, dois volumes, etc.
Para comparar, por exemplo. os comprimentos dos seg-
mentos de recta AB e CD (fig. 9),
aplicam,s6 um sobre o outro, fazendo A. ·----'t~--~.B
coincidir dois extremos-no caso da C'~·-----iD
figura, os extremos A e C; feita essa
operação, vê-se que o ponto D cai
entre A e B e o resultado da compa-
ração exprime-se dizendo que o comprúnento de lrB é maior que
o de CD ou qne o comprimento de CD é 1n.enor que o de AB .
~ste simples resultado - comprimento mal'or ou menor que-
não chega, porém, na maioria dos casos. Pede-se, em geral,
30 BE::'lTO DE JESUS CABAÇA COYCEITOS FUXDAME~TAIS DA MATE;\IÁTICA 31
niDJl. resposta a e!',ta pergllnta - quantas vezes cabe um compri-
mento noutro? Mas isto não é tudo ninda; se não houver um
termo de comparação único para todas as grandezas de uma
mesmn espécie, tornam-se, se não impossíveis, pelo menos
extremamente complicadas as operações de troca que a vida
social de hoje exige.
É, portanto, necessário:
VI - EstaLelecer um estaldo UUlCO da comparação para todas
as grandezas da mesma 611pécie; esse estalüo chama-se
unídade de medida da grande7.a de qna se trata - é, por
exemplo, o centímetro para os comprimentos, o grama-peso
para os pesos, o segundo para os tempos, etc.
2.0 - Responder à pergunta - quantas vezes? _ acima posta, o
que se faz dando um número que exprima o resultado da
comparação com a unidade.
:!teta mimara chama·lle a medida da grandeza em relação a
essa unidade.
Por exemplo, na figo 10, o resultado da comparação expri-
O me-se dizendG que no segmento CDç•.-,--.--- --- cabe tr~8 v"ezes a unidade AB, ou
A'·-~~'8 que a medida de CD tomando AB
Fig. 10 como unidade, ti três.
o Há, portanto, no problema da
medIda, três fases e três aspectos distintos - escolha da unidade'
comparaçao com a uni.dade; ezpresllào do re!>ultado dessa
com~
paracão por um número.
2. 1nterdependência dos aspectos.
o primeiro e o terceiro aspectos do problema estão intima-
mente ligados e cada um deles condiciona o outro. Easll. inter-
dependência é bem visivel se os considerarmos pela ordem
acima posta - escolha ----.. expressão numérica; mas ela joO'a tam-
bém na ordem inversa. I'>
A escolha dt\. unidade faz-se sempre em obediência a con-
siderações de carácter prático, de comodidade, de economia.
Serio. tão incómodo tomar como unidade de comprimento
de tecidos para vestuário a légua, como tomar para a unidade
de distâncias geográficas o milímetro, E como se traduz essa
exigência de comodidade? nisto - que a expressão numérica da
medição não dê números maus de enunciar e dos quais se não
faça, portanto, uma ideia clara (1).
Podemos, portanto, afirmar:
1.0 _ Em princípio. a unidade pode escolher-se como se quiser,
mas, na prática, o número que há de vir a obter.se como
resultado da mediçiLO condiciona n escolha da unidade.
Isso depende da n,ltureza das medições que hajam de
fazer·se. Para medições de dimensões nas cólulas tomlHle
o mícron - milésima parte do miliIlletro; para as necessi·
dadas correntes da vida toma-se o metro; para as distân-
cias entre os astros toma-se o ano-luz ou seja 365x24x
x3.GOOx300.000 quUómetros, etc., etc.
2. ~ - Uma mesma grandeza tem, portanto, tantaS medidas quan·
tas as unidades com que -a mediç.ão se faça. Se, com a uni-
dade u, uma grandeza tem medida m, coro outra unidade
u r=u: k a mesma grandeza tem medida m} =1n' k .
3. A operação da medição, a propriedade privada
e o Estado.
..\. primeira vista pode parecer que o aspecto de que estamos
tratando--o número que se obtém como resultado da medição-é
de Somenos importância. Mas é um grande êrro supÔ-lo. Um
homem possue um bocado de terra; vejamos a quantidade de
circull..~tâncias em que esse aspecto intervém:
a) Em todas as relações, de base económica, existentes
entre o possuidor e a terra~para calcular a quantidade de se-
mente a semear, o tempo que a terra let,-Ta a lavrar, etc., ó
necessário saber a sua área.
. (i) Está-se vendo, por exemplo, o que seria uma pessoa pedir numa
lOJa a décima milésima parte de oma légua de fazenda?
32 B~NTO DE JESUS CARAÇA OONGEIT08 FUNDAMEYTÁIS DA MATEMÁTICA
b) Em relac;;ões de indivíduo para individuo, com base na
terra p08suida~todo o contra~o de venda de q?e ~ te~ra seja
objecto exige, entre outras cOisas, uma determmaçao tao apro-
ximada quanto pOflsí'{el da sua área.
c) Em relações d~ indivíduo para com o Estado, com ~ase
na terra possuida-o Imposto depende, ·como se sabe. da arca
da propriedade, além de outros elementos.
Em todas estas relações, que abrangem, por assim dizer~ toda
a actividade econômica do possuidor da terra, é necessária a
determinação cuidadosa de áreas, as quais dependem" segundo
regras que a Geometria ensina, da medida de certas dImensões.
4. E ossim nasceu a Geometria .•.
Heródoto - o pai da Ilistória-historiador grego que viveu
no século V antes de Cristo, ao fazer a história dos Egipcios
\10 livro II (Euterpe) das suas Húl6rias, refere-s8 deste modo às
origens da Geometria:
Disseram-me que este 'l"ei (Se~óstris) tinha repartido todo o
Egipto entre os egipcios, e que tinha dado a cada um uma porção
igual e rectallgular de trrn'ay com a obrigação de pagar par ano
llm certo tributo. Que $e a porç{Jo de algum .fosse diminuida pelo
t'io (Nilo), ele fosge p1'Ocurar o rei e lhe expusesse o .que tiuh,!
acontecido à sua terra. Que ao mesmo tempo o rei BIlVUlva medt-
dores ao local e fazia medir a terra, (j .fbn de saber de quanto ela
estata diminuída e de só fazel' pagar o tributo C{mJorme O que
tivesse .ficado de terra. Eu creio qlre foi daí que nasceu a Geo-
metria e que depois ela passou aos gregos».
Como se vê, as relações do indivíduo para com o Estudo,
com base na propriedade, impuseram cedo (Sesóstris viveu pro-
vàv8lmente há perto de 4,000 anos) a necessidade da expressão
numérica da medição ...
5. Subdivisão da unidade.
Há, por vezes, vantagem em subdividir a unidade de medida
num certo número de partes iguais; vejamos O que acontece
à expressão numérica da medição.
Suponhamos o caso da fig. 11. O segmento AB, medido
com a unidade CD = u, mede 4. Se dividirmos a unidade CD
em 3---.l...artes iguais e tomarmos para nova unidade o segmento
u' =o CE, temos a considerar 08
seguintes dois aspectos do problema: .01'-_._._.---._-.........- ....."
l."-A medida de .AB tomando c......r-D
como unidade u' = DE é 12, o que Fig. 11
está de acordo com o que dissemos
no final do parágrafo :2 deste capitlllo (pág. 31).
~." - Quanto à. medida de AR com a unidade u = cn-, tanto
monta dizer que AB vale quatro unidades u, como dizer que
Ali vale 12 das terças partes til = G'E de u. Portanto, o resu]·
tado da medição com a unidadeu tanto pode ser expresso pelo
número 4 como pela razão (I) dos dois números 12 e 3, isto é.
12
pelo cociente 12: 3, ou "3 .
Em geral, se uma grandeza, medida com ao unidade u,
mede m, e subdi.vidirmos u em n partes iguais, a medida da
mesma grandeza, caIU a mesma unidade u, exprime·se pela
razão dos dois números Meu, onde M m.u é o número
de vezes que a nova unidade cabe na grandeza a medir. Aritme-
ticamente, este facto traduz-se pela igualdade
m·»
1n=(m'1l):1i ou llt=--·
•
6. Um coso, frequente, em que é necessário o subdivisio.
Só por acasO a unidade se contém um número inteiro de
vezes na grandeza a medir. O caso da figo 11 é um caso de
excepção; o mais frequente é o caso da fig. 12 - aplicada a
unidade sobre AB J sobeja uma porção, PlJ, de segmento, infe-
rior à unidade. Como fazer para ewprimir ainda numiJricamfflte
a med~o de ATI com a mesma unidade CD "!
(i) Bazà,o de dois nu.meras tomar-se-á aqui sempre eomo ~inóllimo de
qtwdente desses dois Ilúmeros.
,
BENTO DE JESUS CARAÇà
CONCEITOS nrNDAJlEfiAIS DA _UATEMÁl'ICA 35
Flg. 12
dessas partes caiba m vezes na grandeza a medir, a dificuldade
surge sempre que, e s6 quando, m não seja divislvel por n
isto é, no caso da impossibilidade da divist/,o (cap. l.0, 23, pág. 22):
Se queremos resolver a dificuldade, devemos criar um lIQVO
campo numérico, de modo a reduzir essa impossibilidade.
Fig. lfJ
C'ç'"-__·_lL_-,D
,
- ",-AB~-.CD
n
10. O novo campo numérico.
Satisfaz-se ti. estes requesitos dando a seguinte definir;à'o.
Sejam, fig. 13, os dois segmentos dá recta AB e CD em
cada um dos quais se contém um j
n6mero inteiro de vezes o seg_ {Q ~
04,c::, '-' 8
mento u - AB contém m vezes
e (Ijj contém n vazes o segmen·
to ti. Diz-se, P01' d~finiçito, qne a
medida do segmento AB, to·
- "'mando CD como unidade, é o lIúmero - e escreve·se
n'
9. Os moldes da criação do novo campo numérico.
. Pod~mos resumir, do modo seguinte, as considerações
aCima feItas:
1.0_ O principio de e:rlelUJão leva-nos a criar novos núme-
ros 'Por meio dos qll&.is se pOssa exprimir a medida dos segmentos
nos casos da figo 12.
.2.0-~. ~náliae da q~e~tão mostra que a dificuldade reside
na lmpossl~I!ldade d~ dlVls~o. (exacta) em números inteiros,
quando o dLVIdendo nao é multI pIo do divisor.
A ostes dois pontos juntemos o
3.0 -- Se queremos obedecer ao principio de economia)
devemos fazer a constrnção de modo tal que:
a) com os novos números sejam abrangidas todas as hipó.
teses de medição, que.r estejam nos c8sosda fig.ll, quer dafig.12;
b) os novos numeros se reduzam aos números inteiros
sempre que o caso da medição a fazer seja análogo ao da figo 11.
1)
Estamos em face de um dilema. Uma de dnas :
a) Ou renunciamos a exprimir numericamente a medição
de AR com a unidade CD, o qne, além de incómodo, levanta
novas questões - se podemos exprimir a medida em relação à
nova unidade e não em relação à antiga, será porque aquela
terá algum pri'i'ilégio especial? Qual? Porquê?
b) Ou desejamos poder exprimir sempre
a medida por um
número - principio de ~tenslJo - e então temos qne reconhecer
que o instrumento numérico até aqui conhecido - o conjunto
dos números inteíros - á insuficiente para tal e há que com-
pletá-lo, aperfeiçoá-lo nesse sentido. Como?
8. O aspecto aritmético de dificuldade.
Uma vez que se trata de nÚ(Ileros e de relações entre
números, vejamos onde reside ti. dificuldade, do ponto de vista
aritmético. Examinando os casos da figo 11 e da figo 12, verifi-
CI\.-8e imediatamente que ti. dificuldade está apenas, em que no
segnndo, o número 11 não é divisivel por 3 - existia a razão
12 11
12: 3 ou "3 e não existe a razão 11 : 3 ou "3. Em geral, sem-
pre que, feita ti. subdivisão da unidade em n partes iguais, uma
7. O dilema.
Dividamos oiJ num número de partes iguais suficiente para
ql1.e cada uma delas caiba um número inteiro de vezes em AB - no
p caso da figura, dividimos CD em três
..---,-·_·-.....::,8 partes iguais e a nO\'8 unidade couoo
(-'.""""'""() onze vezes em AB. Então:
l.°_A medida de AS em l'dação
(t 'J1QVa unidade é 11.
2.0 _ Que pode dizer-se da medida de AR em ,.ela~o i),
antiga unidade CD t Se quisermos seguir o caminho anterior
~ principw de eco-riomia - dizemos que eltM medida é dada pela
razl10 dos dois números 11 e 3. Mas essa razão não eXl&te em
números inteiros, visto que 11 não é diviJJivel por 3.
douglas
Highlight
douglas
Highlight
douglas
Highlight
douglas
Highlight
douglas
Highlight
36 HE'S'l'O D~: JESI!8 CARAt)A CONCEITOS F(JNDAM";~'""TAI5 DA )IATEMÁTICA 37
quaisquer que sejam os números inteiros m e 'I! (n não nulo);
"'se m fôr divisivel por 1l (caso da figo 11), o número n coincide
com o número inteiro que é cociente da divisão; se m não fór
"'divisível por Jl (caso da figo 12), o número n diz-se fracciol1árl·o.
o , m;,~ I h" 'Inumero - UJz-se, em qua quer 'potese, I'QCW'Ila -ao
"número 111 chama-se numerador e ao número n denominador. Em
particular, da igualdade 1) resulta que
m e n pode agora
número racional!!!:
"
2) "-=Jt1
- ----- -- II --~
se AB = it • Cf), ~ também AB = - • CD,
1
e que
dada em õ partes iguais, cabem 2 dessas partes na grande2la a
d' d' d'd" 2me Ir, lz-se que a me 1 a e o numero "'5'
2.3. _ A dh,isão de números inteiros
~elllpre exprimir-se simbOlicamente pelo
>,
- o cociente de 2 por á é o número racional ti'accionáriD ~, o
, f,'
'tdIO '" 'I' ,10 >COc'aen e e por <) t" o numero 1'aClOna, 111iclro - = :. .
5
As propriedades deste novo campo nomérico serão vistas
nos parágrafos seguintes. Por agora, insistamos em que ele
constitui uma ge1161'alizaçflo do conJunto dDs números inteiros.
Vejamos qual é a operaçào mental por meio da qual eS~:l
generalização foi conseguida.
11. O campo r~cion~t
Antes de passar adiante, detenhamo-nos om pouco a reflectir
sobre a natureza dos novos números e sobre a operação mental
qoe levou à sua definição.
Encontramo-noEl com um novo conjunto numérico-o con-
junto dos números racionais) ou campo raeio'nal- que com-
preende o conjunto dos números inteir08 e mais o formado
pelos números jralXionários; estes são, de facto, os números
novos.
As vantagens obtidas pela soa criação aparecem desde já.
como seodo as seguintes:
1.a _ É possival exprimir sempre a medida dum segmento
tomando outro como unidade; se, por exemplo, dividida a uni·
3)
porque as igualdades AR = AB e
lentes.
- 11 -,-AB~-,AB
"
siio equiva-
12. A neg~ção d~ negação.
Fixemos a nossa atenção sobre o ll.6pecto aritmético que
esta questão nos apresentou desde o inIcio.
Temos dois números inteiros til e n (n::,bO)j estes dois
números estilo entre si na seguinte relação aritmética - 00 m e
divisivel por n, 00 não é; exprimiremos este facto dizendo que
entre m e TI e~iste a qualidnde de fi seI' D1l ndo divisive! por n.
a) Se a quaMlade é de m ser divisivel por n, os dois
números definem, por meio da operação de divisão, um terceiro
número - o seu cociente.
b) Se o. qualidade é de ln não ser divisIvel por 11,) a operaçàQ
da divisão, combina.da com ela, nega a existência do número
cadente. .
Pois muito bem; a essência da nossa definição (parágrafo
10. ver I) consiste precisamente em negar essa negaçi10 e, desse
modo, construir o novo numero - o número fraccionário - que
veio constituir a parte nova do campo generalizado.
Encontramo-nos, assim, de pOSse duma operação mental
-- negaçllo da ne.qaf)ao - criadora de generalizações. Havemos
de encontrar mais \'ezes ti. aplicação desta poderosa operação
douglas
Highlight
douglas
Highlight
douglas
Highlight
douglas
Highlight
douglas
Highlight
douglas
Highlight
douglas
Highlight
douglas
Highlight
douglas
Highlight
38 BENTO DE lESUS CARAÇA CONCEITOS FUNDAMENTAl8 DA MATEMÁTICA 39
15. Igualdade.
D'fin."ifo. Dois números racionais l' = m e 8=.!.. dizem-ae
. ~ n q
ignaiB quando exprimem a medida do mesmo segmento, com a
mesma unidade inicial.
14. Ordeneçio.
.A. otdenação do campo racional estabelece-ae dandQ as
definições de igua1iúule e desigualdade.
O primeiro critério do parágrafo 13 dá imediatamente as
definiçl'les necessárias.
wd.o o nkmero racional s = g ande p = m . k, q=D • k (kin-
q
teira qualqueJ' 1ll1o nula), é igual ar.
Façamos os produtos mq e pnj tem·se mq=mnk e pn=mnk,
donde mq = pn; a definição de igualdade pode pôr-se, por-
tanto, assim :
numerador e denominador que l' = ~, visto que cada uma daI!
n
10 partes iguais em que a unidade é dividida (v. figo 13, pág. 35)
pode, por sua vez, ser subdividida em k partes, sendo k qualquer.
Feita. essa nova subdivisã.o, CD e AB ficarão contendo respec-
tivamente n· k em· k das no\ras partes, de modo que a medida
, I' '1 m·k , d dsera expressa pe o numero racIona --k- que, em vlrtu e a
" .
m
r= -
fi '
não ter os mesmos
p
s = - podeq
1Jl P
-=_ ...... -4 1JI.q=p.n
" q
CORsequendas. O número
definição, deve ser considerado como igual a 'IJl •
n
Conclui-se daqui que - dado um. númem racional
4)
2.° - Propriedades do campo racional.
mental. Como agora, o caminho da generalização compreendeil~
sempre 11.8 seguintes etapas:
1. a - reconhecimento da existência duma dificuldade;
2.& - determinação do ponto nevrálgico onde essa dificnld.1de
reside - uma negação j
3.& - negação dessa negação.
Uma generalização passa sempre, por conseqnência, pelo
ponto fra~o duma construção, e o modo de passagem é a. nega·
çdo da negaçilo j tudo está em determinar e isolar, com cuidado,
esse ponto fraco.
O campo desta operação não S6 limita. às ciências mate·
máticas j ele abrange não só as denominadas ciências da natureza
como as ciências sociológicas; duma maneira geral, pode
dizer-se que - onde há evolt~do para um. estwro superior, é rea-
lizada a negação duma negação.
13. O método de estudo.
À definição de número racional, dada n08 parágrafos ante-
cedentes, segue-se o estudo das srras propriedade!! - igualdade,
desigualdade, operações i só depois dislio ficará completo o
conhecimento do campa racional.
Para dar as definições necessárias, eeremOIi guiados por
dois .fias condutores de raciocínio, dois critérios.
1.0 _ A /}I"igem concreta dos números racionais, isto é,
o seu significado como expressão numérica de medição de
segmentos.
2.Q - O principia de economia [ca.p. 1.0, pág. 261 que se
traduz em dois aBpeetos-analogía de definições com as dadaB em
números inteiro!!; manutençao das leis formrUS das operações.
Os dois critérios completam-se, recorrendo-se ao segundo
quando o primeiro forneça um caminho demasiado longo ou não
forneça caminho nenhum para a definição a dar.
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BENTO DF. JESGS CARAÇA CONceITOS FUNDAME~'TAIS
DA MA'l'~J\(ÁTlCA 41
devendo entender-se com o sinal ......_ que as relações de depen-
dência entre as duas igualdades se devem considerar 0,08 dois
m p
sentidos; isto é, a igualdade m, q=p' n arrasta - = -, e rec\-
n q
(1) Na prática, efectu&-sl: a .redução ao menOl' denominador COm.UlJI
que é o menor múltiplo comum dos dois deuomioadores. Isso fai: parte da
Mcnica ope'1'&:íl.mal cujo estudo não é o objectivo deste livl'o.
1;) Estão aqui dois enunciados - um com as palavras mGio!', maJor,
outro com as palavras menor, menor.
(1) A'lUl estão também .lois enunciados - um com as palavras malorJ
menm-, outro com as palavras menor, maior_
Figo U
/I • P
11=-----
n·q
•A-,---,_o_'C---'-'-D
(-'----------'0
m-q > )l.p.
m p m+p
--~"-=--.
11 'n n
111' q
1'=--,
n·q
p
> --qn
)11
m+p
ti medido pelo número --, logo
"
segmento ~oifD
tem-se
m p
mo denominador, r ,~'" --, s = -, mostra a figo 14 que o
" "
donde
6)
»>
r=-,
n·
17_ A adição,
Definíçrto. A definição é dada ainda segundo o primeiro
critério do parágrafo 13 - dados dois números racionais r e s
medindo, com a m68ma unidade, dois segmentos, chama-se soma
r + s ao nÚ1'IUlro racwnal que mede, ainda com a mesma unidade,
o segmento soma dos dois.
Para esta definição ficar completa, tem qne definir-se soma
de dois segmentos. Sejam
Jig. 14) os dois segmentos de
recta AB e CD; chama-se
soma deles ao segmento AD
que se obtém transportando
GD para a recta sobre a qual
existe AB J e fazendo lá
coincidir a origem C de CD com a extremidade B de Ali.
GcmsequtJneias. La _ Re os dois números dados têm o mes-
õ)
3.:1 _ Se os dois números não têm Dem o mesmo numera-
dor, Dem O mesmo denominador, reduzem-se ao mesmo deno-
minador e comparam·se em seguida: dados
podemos esere,'el'
p
e s=-q ,
p-n
.,-. - (').q .'11
in' q
1'=--
li ''1
"' pprocamenteJ - = -- arrasta 1Il • q = P 71.
n q
Este facto pode traduzir·se ainda pelo seguinte enuociado
- não se altera um número raeional quando se multiplica (011
divide) o seu numerador e o seu denominada/" pelo mesmo número
natural_
Reduçilo ao mesmo denominadol". Esta propriedade permite
efectuar sempre a redução de dois números racionais ao mesmo
"'denominador_Dados l' 0= _
n
16. Desigu.ld.de.
DejiuU;üo. - De dois números racionais r e s, diz.se ma.iol'
aquele qne, com o mesmo sefl"lJJnto unidade, mede um segmento
maior.
Conlleqttencias. La - Se 08 dois números têm o mesmo
denol'/u'naMr, é maior (menor) o que tiver maior (menor) nume·
rador(S).
2.a - Se 08 dois números têm o mesmo numerador, é maior
(menor) o que tiver menor (maior) denominadoreS}.
O leitor verifica fàcilmente esta.s duas propriedades, fazendo
as figuras convenientes, com base na figo 13 da pág. 35.
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BENTO DE JESUS CA..RAÇA CONCEITOS ~'U!'lDA)fENTA[S DA MATEMÁTICA 43
2.8 - Se os dois números não têm o mesmo denominador,
podem reduzir-se pràviamente ao mesmo denominador (pará'-
grafo 15); tem-se então, dados
crittírio do pará-
[cap, 1.0, parág. 23, 7) pág. 22].
p ,.
~._=-~~--.
p p p·n
n·-=-·r!=--.
q q q
c) Caso geral-extensão de 10):
J' p. 1-
p.-, ,
9)
p n·p
-·n=--·q q
b) .Mltltiplicad01' j'raceirmário, multiplicando inteiro - 58-
gundo critério de 13: manutengdo da comutatividade do produto:
2,"'~Verificam-se todas as propriedades da subtracção dI}
números inteiros [ca.p. 1.0, pa.rágrafo 22, pág, 21].
3.a_ A operação, como em números inteiros, tem 11m caso
de impossibilidade - aquele em que o aditiyo é menor que ().
8ubtractivo.
11)
10)
20. A di"isio,
D{/i1Ii~tlo. a) DivisorillteiJ'O - segundo
grafo 13 - analo,gia:
p p
12) -:n=x +- n·x=-
q IJ.
..!!.- ·1l =.!!.. +.!..+ ... -I-.!-. [cap_ 1,~, parágrafo 19, 4)J, donde,q q q q
por 17, 6), pág. 41.
q s q ~
ConsequéllCÜ18. Mantêm-se todas as propriedades da ope-
ração em números inteiros [capo 1.0, parág, 19, págs. 18 e 19].
19. A multiplicação.
Dl[/inigf1o. a) JfuUiplicadOl' inteiro - segundo critério do
parágrafo 13 ~ analogia:
(o)
,
p
S=~,q
1l'p
,=--
n.q'
>n
r--~ n'
m'q
r~~-,
n·q
m p m'q-ll.'p
-_._-=
n q 1/.. q
1JI· q-n·p p
tem-se d+s= +-=
n, q q
m·g-n.p 'Jt·p 1n'q~n'p+'»'p m·g
~ + -- _ ~ -- = 1'.
"'-q n'l) n·q l1·q
Pode, portanto, escrever~se
donde
que
logo
7) 1n p 111 • q+lt .P
-;+q= n·q .
3."'- Verifica·se que se mantêm todas as propriedades da.
adição de números inteiros [capo V', parág. 18].
18. A subtracçeo.
Definigdo. Dá~se conforme o segundo critério de 13 (pág. 38)
~analogia. Dados dois números racwnais r = m, s=k, chama-se
u q
diferença r ~ s dêles a um tereeí,'o número racional d tal que
s+d=r.
OOllseql!lncias. l.a - Satisfaz à definição o número
l/l,·q-n.p
d = ; efeetivamenoo, em virtllde de 17,6) e de pro-
n·q
priedades já conhecidas,
8)
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bENTO DE JESUS CARAÇA CO'SCEJTOS I'U'NDAMEN'l'.-\lS DA MA'fEMÁ'fICA
donde
P r p. r15) _.--~-q ti q ·8
igualdade qlle se traduz habitualmente dizendo que se e.fectua o
produto de dois nÚ.mer08 racionais faundo, termo a termo, o
prodltto dos m"meradorelf e denominadores.
b) Divuor fraccionário-- segundo critério do parágrafo
13 - ana/o.gia ~ •
excluindo apenas b = O, pois nesse caso a operação de divisão
não tem significado. Em vista disto, consideraremos, daqui em
diante, comoequivalentas os sinais de divisão (:) e de frllCção(-I.
Destas considerações resulta imediata.mente que o sogundo
membro de 11) (pág. 43) pode escrever_se
p. l'
ti P·l' p·r
--~--:q=--q 8 q • ti
[capo 1.°,20,5), pág. 19).p
q
•
(!..)"~ .!:.- .q q"
20)
22. A radiciação.
Dejini~tlo. _ Segundo critério do parágrafo 13 - analogia ..
n. fi -=3: ..- 3:11.= ~ [capo 1.0 24, 9)pág. 23J.V-q q
19)
À igualdade de condição satisfaz °número z = P Il, vistoq'1'
2.a _ Mantêm-se todas as propriedades da potenciação em
números inteiros [cap. 1.0, 20, e final de 23J.
21. A potenciação de expoente inteiro.
D4ínü;.{io - segundo critério do parágrafo 13 -allalogia ..
C0118equênciaB. l.a _ Da definição e de 20, 15) (pág. 44}
resulta imediatamente
18)
li)
p·s t· p·s-r p
que -- - ~ --- = - e tal número é único, em virtude
q'1' s q·r·8 q
da unicidade do produto j tem-se portanto
p r p.g p s
-;-= .~~-~_._.
q li (j'1' q r
Consequências. La _ A operação da divisão é sempre pos,
sivel, excluindo, como sempre, o ~aso do divi~o~ 116r nulo.
2. lt -Mantêm-lIetodas 8.11 proprl8dades da dIVISão de números
inteiros [capo 1.0, parágrafo 23J.
e este número é
satisfaz o nú.mero
r p
L_ ,r._=_.
, q
p ,
-;-=iCq ,16)
p
À igualdade de condição, Ii-. ót' = fi '
p p p·n p
"'-- visto que(9)J -·n=-~-q·ft q.n q·n lf
imico, pela unicidade do produto.
Tem-se portanto
p p
13) -:n=-~q q·n
logo para dividir tt1n numero racional paI' um inteiro (1ldo nulo 1)
multiplica-se o denominador por cslle inteiro.
De 13) conclue-se, em particular, que, dados os inteiros a
a a
e b, se tem a: b = T :b = b- I portanto tem \'alor, em toda a
sua generalidade, a igualdade
14) a:b='::"
b
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46 BENTO DE JESUS CARAÇA COXCEI'.rOS Jo'U:s'DAllE'STAIS nA MA'l.'EMÁTlCA 47
" m
que de n > 11< resulta Vr < Vr-, mas se 1'< 1 passa-se o con~
trário; por exemplo, tem-se
"
"- ",- vique, quando existem Vp e V q , é J:l = ,,-'
Vq
2, Q - C! caso n;tais .geral é o da impossibilidade da operação,
como em numeras mteIros.
3,*-Mantêm-se ainda as propriedlldes [capo 1.0, 24, pág.