AULA 05 COMBINAÇÃO SIMPLES

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ANÁLISE COMBINÁTORIA
AULA 05 - COMBINAÇÃO SIMPLES
OBJETIVOS: 1- Identificar as combinações simples; 2- Reconhecer uma combinação; 3- Relacionar combinações simples com outros tipos de agrupamentos.
INTRODUÇÃO Nesta aula, apresentaremos o conceito de Combinação Simples e a fórmula que permite calcular o número de combinações. Utilizaremos uma linguagem dialógica articulando teoria e prática. Ao final você terá uma visão bem clara das combinações simples e de suas aplicações.
Premissa Prezado aluno, chegamos à metade do nosso curso de Análise Combinatória. Temos a certeza que você está aprendendo e estudando com muito entusiasmo e dedicação. Nesta aula, iremos abordar o mais frequente tipo de grupamento, que são as combinações. Esse tipo de grupamento ganha importância por ser de fácil entendimento e por resolver uma grande quantidade de problemas da Análise Combinatória. Entretanto, não podemos esquecer que existem outras técnicas de contagem que são utilizadas para resolver outros tipos de problemas, mas que por hora não serão abordados aqui. Não devemos esquecer que o conhecimento é inesgotável qualquer que seja o seu campo e com a Matemática não é diferente. Gostaríamos de convidá-lo, respeitando a sua disponibilidade, seu ritmo de aprendizagem e seu grau de interesse a se tornar gestor do seu próprio conhecimento. Somos parceiros nessa jornada em busca dessas ferramentas que nos ajudarão a entender e, ao mesmo tempo, nos apaixonar por essa ciência tão bonita e que já foi enaltecida e destacada por grandes nomes como: Gauss, Galileu, Da Vinci, Newton; só para mencionarmos alguns já que aqui não caberiam todos os que reconheceram e honraram a Matemática.
ATENÇÃO ! Você deverá prestar muita atenção e adotar sempre uma postura muito crítica diante de cada um das nossas situações problemas que serão mencionadas a seguir, observando e analisando com muito cuidado cada uma. As soluções dos problemas de Análise Combinatória costumam mudar de rumo de uma direção para outra, bastando para isso uma ligeira troca de palavras em seu enunciado. Então vamos lá!
Primeiro exemplo Para facilitar nosso entendimento, o que já se tornou rotina, vamos buscar um exemplo do cotidiano. Vamos imaginar que em uma empresa temos 4 funcionários em condições de obterem uma promoção: Paulo, Bernardo, Carlos e Marcelo, dentre os quais 2 serão escolhidos para ocupar dois cargos idênticos e com o mesmo salário. A diretoria terá a importante tarefa de escolher dentre 4 pessoas 2 para serem promovidas e, portanto, melhorarem suas condições funcionais. De quantas maneiras distintas a diretoria da empresa, a quem cabe a decisão, pode escolher essas 2 pessoas? Pensemos nas possíveis duplas que poderão ser formadas:
Entretanto, parece que nossos candidatos estão mesmo com sorte. Na última hora, a diretoria anuncia que mais uma vaga foi criada e mais 1 candidato será escolhido nas mesmas condições dos outros 2. A diretoria passa a ter que escolher dentre os 4 candidatos, 3 nomes. A tarefa ficou mais fácil para a diretoria, pois apenas 1 ficará de fora da escolha. Todavia mais difícil para nós, pois escrever todos os possíveis grupos de 3 nomes é mais complicado do que escrever as possíveis duplas. Nesse momento, podemos recorrer ao princípio multiplicativo, fixando momentaneamente uma ordem de escolha, ou seja, o primeiro nome, o segundo nome e o terceiro nome. Vamos então às escolhas: Primeiro nome: 4 possibilidades de escolha Segundo nome: 3 possibilidades de escolha Terceiro nome: 2 possibilidades de escolha ATENÇÃO! Daí, temos: 4 x 3 x 2 = 24 possibilidades Aumentou o número de possibilidades? Claro que existe alguma coisa errada, não? O número de ternas (grupo de 3) não pode ser maior que o número de duplas (grupo de 2). Então onde estamos errando? Descobriu? Tente! 
Segundo exemplo E agora, que tal pensarmos na Mega Sena, jogo milionário que é o sonho de muitos? Seria fácil acertar? Sabemos que não! Mas como podemos comprovar esse fato? O jogo mínimo da Mega Sena consiste na escolha de 6 dezenas dentre as 60 disponíveis. Imagine que você irá realizar um jogo mínimo, ou seja, você irá escolher as 6 dezenas dentre as 60 oferecidas para efetuar o seu jogo. Primeiramente vamos supor que a ordem seja relevante, então podemos fazer essa escolha de... Primeira dezena: 60 possibilidades de escolha Segunda dezena: 59 possibilidades de escolhaTerceira dezena: 58 possibilidades de escolha Quarta dezena: 57 possibilidades de escolha Quinta dezena: 56 possibilidades de escolha Sexta dezena: 55 possibilidades de escolha Pelo Princípio multiplicativo, temos: 60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55 = 36.045.979.200 possibilidades Seria legal se o resultado fosse exibido num jogo...
Terceiro exemplo Escapamos dessa fria, que tal um sorvete? Suponha que você entre em uma sorveteria e quer comprar um sorvete de casquinha que é servido com 3 bolas, e você pode escolher o sabor de cada bola dentre 10 sabores distintos que são oferecidos, sendo que as 3 bolas devem ter sabores diferentes. De quantas maneiras você pode escolher seu sorvete? Vamos imaginar mais uma vez que a ordem da escolha de cada uma das 3 bolas que irão compor o sorvete seja relevante. Então, temos: Primeira escolha: 10 possibilidades para a bola de baixo Segunda escolha: 9 possibilidades para a escolha da bola do meio Terceira escolha: 8 possibilidades para a escolha da bola de cima Pelo princípio multiplicativo, temos: 10 x 9 x 8 = 720 maneiras Dividindo 720 por 6 encontramos como resultado 120 que é o número de maneiras distintas de escolher o nosso sorvete. 120 ATENÇÃO ! Como sabemos, a ordem como o sorvete é composto não é relevante. Por exemplo, chocolate-morango-creme é o mesmo sorvete que morango-creme–chocolate; portanto, o resultado deverá ser dividido por 3! = 6. 
Quarto exemplo Bem, depois desse sorvete, se deu em você uma tremenda dor de garganta acho que deve procurar um especialista. Abra o livro do seu plano de saúde e encontre o nome de 10 médicos que podem lhe ajudar. Como é bom sempre escutar a opinião de 2 profissionais, marque a consulta com 2 médicos diferentes. Admitindo que a ordem que você realiza essa consulta não seja relevante, de quantas maneiras diferentes pode consultar esses especialistas? COMETÁRIO : Fácil, não é mesmo? Você vai ficar especialista em Combinatória! Continue motivado e estudando muito. A estratégia para resolver o problema é a mesma que estamos utilizando desde o início. Supomos que a ordem seja relevante e aplicamos o princípio multiplicativo. Então, vejamos: Escolha do primeiro médico: 10 possibilidades de escolha Escolha do segundo médico: 9 possibilidades de escolha Pelo princípio multiplicativo, temos:10 x 9 = 90 maneiras de escolher os dois médicos ATENÇÃO ! Entretanto, sabemos que a ordem dos médicos, pelo enunciado do problema, não está sendo considerada, e esse fato nos obriga a dividir o resultado encontrado por 2!, achando  como resposta final 45 maneiras de realizar essas consultas.
PROBLEMAS : Observe que ao considerarmos a ordem como relevante, que foi a estratégia usada, em cada uma das situações anteriores, estamos construindo um arranjo simples, o numerador da fórmula e, em todas as situações mencionadas, dividimos o resultado por um fatorial, que é o nosso denominador na fórmula apresentada. 
Sexto exemplo Outro fato que está prestes a se realizar é a Copa do Mundo de 2014 no Brasil. Que tal brincar de treinador? Afinal, nessa data, cada brasileiro vira treinador de futebol e logo dá o seu palpite na escalação. Suponha que para a seleção brasileira foram convocados 3 goleiros, 6 zagueiros, 8 meios de campo e 6 atacantes. De quantos modos é possível escalar a seleção com 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meios de campo e 2 atacantes? Podemos dividir o problema em quatro etapas: 1ª Escolha do goleiro. Pode ser feita de = 3 maneiras distintas 2ª Escolha dos 2 zagueiros. = 15 maneiras distintas (os zagueiros jogam dos dois lados indistintamente). 3ª Escolha dos 4 meios de campo. = 70 maneiras distintas (os meios de campo jogam em todas as posições do meio indistintamente). 4ª Escolha dos 2 atacantes. = 15 maneiras distintas (os atacantes jogam em todas as posições do ataque indistintamente) RESOLUÇÃO: Aplicando o princípio multiplicativo, temos: 3 x 15 x 70 x 15 = 47.250 maneiras Admitamos que 6 pessoas tenham votado no logo vencedor. Dê quantas formas diferentes esses 6 votos podem ter sido dados? Tente antes de ver a solução. Fácil? SOLUÇÃO: A resposta ao problema é simples. Como a ordem dos votos não é relevante, estamos diante de um problema de Combinação. A resposta será dada por C62  = 28 maneiras distintas dos 6 votos vencedores terem sido dados.SÍNTESE DA AULA: Nesta aula, você: Compreendeu o grupamento de nome combinações simples; Aprendeu a resolver problemas utilizando combinações; Analisou as principais diferenças entre arranjos e combinações.