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Aula 07 Binômio de Newton e suas aplicações.

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ANÁLISE COMBINATÓRIA Aula 07- Binômio de Newton e suas aplicações.
Objetivos 1- Identificar o Binômio de Newton; 2- Relacionar o Binômio de Newton com o Triângulo de Pascal; 3- Reconhecer a ligação existente entre o Binômio de Newton e outras técnicas de contagem.
Introdução Nesta aula, abordaremos a expansão binomial por meio do Binômio de Newton. Aprenderemos não só a aplicar a fórmula do Binômio de Newton, mas principalmente, o raciocínio utilizado para chegarmos a ele. Também estabeleceremos uma conexão entre o Triângulo de Pascal e o Binômio de Newton, abordando a elegância que a análise combinatória nos proporciona.
O que é binômio? E quem foi Newton? Estamos de volta e, na aula de hoje, conforme comentado na anterior, vamos abordar um assunto que é bastante importante em nosso curso de Análise Combinatória: Binômio de Newton. →Você deve estar se perguntando: o que é um binômio? Pois bem! Binômio é qualquer expressão da forma x + y, ou seja, é a representação da soma algébrica de duas quantidades distintas. SAIBA MAIS + : “Isaac Newton nasceu na aldeia de Woolsthorpe, no dia de Natal de 1642, ano do falecimento de Galileu.” Preparamos uma biografia de Newton para você! Clique aqui para baixar o arquivo (pdf).
Aplicação Bom, agora como já sabemos o que é um binômio e quem foi Newton, vamos ao Binômio de Newton! Sentimos a necessidade, por vezes de desenvolver potências do tipo (x + a)n, onde x e a são números quaisquer e n ∈ N. Sabemos que o desenvolvimento da potência fica x² + 2ax + a². →Porém, se quisermos uma potência do tipo em questão com o valor de n igual a 12? Assim a tarefa fica muito mais complicada. COMENTÁRIO : Veremos ao longo dessa jornada que não é uma tarefa assim tão árdua, graças aos trabalhos de Newton.
Vamos facilitar um pouco? Agora usaremos como ponto de partida o desenvolvimento da multiplicação de 3 binômios: Comentário: Complicado? Calma! Observe que cada termo desta soma é composto por 3 letras, sendo que cada letra é escolhida dentre as duas de cada um dos binômios. Lembra-se do nosso famoso princípio multiplicativo, não? Pois bem, tal princípio nos permite contar o número de termos existentes deste tipo. Se em cada um dos 3 parênteses devemos escolher 1 letra, dentre as 2 existentes, chegamos à conclusão de que o número de termos do produto será de: 2 x 2 x 2 = 2³ Atenção! Assim , esse raciocínio pode ser estendido para um produto com um número qualquer de binômios. Ou seja, resumindo: se o produto for constituído de 3, 6 ou n binômios, o número de termos dos respectivos desenvolvimentos será 23, 26 ou 2n. Vamos ver isto na prática? O Binômio de Newton é um produto de binômios iguais. Vamos tomar, por exemplo, o produto de 5 binômios, todos iguais: (x + a) (x + a) (x + a) (x + a) (x + a) Seguindo a nossa linha de raciocínio, temos25=32 formas de selecionar 5 letras, uma de cada binômios são iguais. Então, teremos termos repetidos! Fácil de constatar isso, certo?! Por exemplo, se tomarmos a letra a nos 2 primeiros e a letra x nos 3 últimos, obteremos um termo da forma: a . a . x . x . x = a² x³ Este termo irá surgir toda vez que a letra a for escolhida exatamente em 2 dos 5 binômios e a letra x nos 3 restantes. REFLEXÃO : Ora, se devemos tomar letras dentre binômios, onde a ordem não interfere na contagem do nosso resultado, ou seja, a²x² é igual a x³a², devemos nos lembrar de um conceito que já aprendemos no nosso curso, não?! Qual é este conceito? Claro que é a combinação! 
Combinação Desta forma, devemos apenas calcular o número de formas diferentes de escolher o x em 3 dos 5 fatores. Daí, chegamos ao nosso conceito de combinação.
→Atenção ! A resposta dessa pergunta é respondida à luz da Análise Combinatória. Deve-se calcular o número de formas diferentes de escolher o x em 3 dos 5 fatores (x + a) e o a nos outros 2. Observe que, ao escolhermos x em 3 fatores, a escolha de a fica automaticamente determinada nos fatores que restam.
Ficou complicado? Acreditamos que não! Repare que estamos utilizando conceitos já estudados para que aprendamos novas lições. Consideremos umexemplo inicial para elucidar ainda mais o entendimento do que foi abordado anteriormente: Calculemos (x + a)²→ (x + a)2 = (x + a)(x + a) Deve-se aplicar a propriedade distributiva para que possamos resolver este produto: o x do primeiro fator será multiplicado pelo x e pelo a; em seguida o a do primeiro fator será multiplicado pelo x e pelo a do segundo fator novamente. Desta maneira, o problema se resolve em 2 etapas, conforme o princípio fundamental da contagem: 1- Na primeira etapa, temos 2 opções (escolher o x ou a do primeiro fator). 2- Já na segunda etapa, temos novamente duas opções (escolher o x ou a do segundo fator). Observe a tabela abaixo: 
Desenvolvendo expressões Foi bem tranquilo, certo? Vamos desenvolver a expressão (x + a)³ raciocinando da mesma forma: (x + a)³ = (x + a) (x + a) (x + a) Note que a "coisa muda um pouco de figura". O problema é composto por 3 partes: A 1ª consiste em escolher x ou a do primeiro fator. Em seguida, será escolhido o x ou a do segundo fator. Por fim, a última parte consiste em escolher o x ou o a do terceiro fator.
Desenvolvendo expressões Assim, faremos os produtos entre eles. Veremos como fica a nossa tabela:
ATENÇÃO! Antes observe que todos os termos desenvolvidos possuem a forma xpaq, onde p+q = 3. Dessa maneira, para que possamos determinar todos os expoentes de p e de a, basta verificarmos o número de soluções inteiras não netgativas da equação p + q = 3 
Vamos a mais uma tabela: a de soluções. Repare que a tabela nos auxilia saber quais são os possíveis termos, porém não nos diz quantas vezes eles aparecem no desenvolvimento do binômio. Para isso, devemos saber quantos tipos de ordenamento podemos fazer com os fatores de cada termo. Aí entra um conceito também já conhecido: permutação. 
Triângulo de Pascal Vamos realizar um link com a aula anterior: lembra-se do Triângulo de Pascal? Pois bem, veja a ligação dos assuntos observando o triângulo: 
Exercícios Como estamos? Bem tranquilo, certo? Esse ramo da Matemática é muito fascinante. Está tudo interligado. Devemos ter os conhecimentos anteriores bem alicerçados em nossa mente. Mas, para que isso possa ocorrer, é necessário que você pratique aquilo que aprendeu. Por isso, vamos a nossa parte da aula: mãos à obra!
01-Qual é o coeficiente do termo em x³ no desenvolvimento da potência ( x2 + 5/3) ? resposta – 126
02-Qual é o coeficiente do termo em x4 no desenvolvimento da potência ( x2 + 2x)6 ? resposta – 240
03- Qual é o sexto termo da expansão de( x - 5y)10 ? resposta – -787500x5y5
04- Qual é o desenvolvimento da potência (3x + y)5 ? resposta – 243x5- 405x4y + 270x3y2 - 90x2y3 + 15xy4 -y5
05- resposta:
Síntese da aula Nesta aula, você: - Compreendeu a importância do Binômio de Newton para o desenvolvimento de potências de binômios; - Aprendeu a relação existente entre os diversos tópicos da análise combinatória.

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