Classificação de Sinais

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ClassificaClassificaçção de Sinaisão de Sinais
� Sinais geralmente transportam informações a respeito do 
estado ou do comportamento de um sistema físico e, 
geralmente, são sintetizados para a comunicação entre 
humanos ou entre humanos e máquinas
� Sinais são representados matematicamente como funções 
de uma ou mais variáveis independentes
– Um sinal de voz pode ser representado matematicamente 
como uma função do tempo
– Um imagem fotográfica pode ser representada 
matematicamente como a variação do brilho e da cor em 
função de duas variáveis no espaço
SinaisSinais
� Sinais Determinísticos
– Podem ser representados por uma função analítica
• É possível determinar precisamente o valor do sinal em um dado 
instante de tempo
• ex: f(t)=Acos(ωot), onde A e ωo são constantes
Sinais DeterminSinais Determiníísticos x Sinais Aleatsticos x Sinais Aleatóóriosrios
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo (s)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
 
(
V
)
Sinal Determinístico
� Sinais Aleatórios
– Sinal sobre o qual há incerteza antes de sua ocorrência.
– Só podem ser representados por suas características estocásticas 
(média, variância, autocorrelação etc)�
• Não podem ser representados por uma função analítica (não é
possível determinar precisamente o valor do sinal em um dado 
instante de tempo)�
• ex: f(t)=Acos(ωot), onde A é uma V.A. contínua Gaussiana 
• ex: f(t) é um sinal de voz
Sinais DeterminSinais Determiníísticos x Sinais Aleatsticos x Sinais Aleatóóriosrios
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Tempo (s)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
 
(
V
)
Sinal Aleatório - Voz
� Sinais em Tempo Contínuo
– Definidos ao longo de todos os instantes de tempo num intervalo 
possível de valores. Portanto, podem ser representados por uma 
variável independente contínua
• x(t) onde t pode assumir qualquer valor real
� Sinais em Tempo Discreto
– Definidos apenas em instantes distintos do tempo num intervalo 
possível de valores. Portanto, podem ser representados por uma 
variável independente discreta
– São matematicamente representados como sequências de 
números
• x[n] onde n ∈ {...-3,-2,-1,0,1,2,3...}
– Normalmente são derivados de sinais em tempo contínuo através 
do processo de amostragem
Tempo ContTempo Contíínuo x Tempo Discretonuo x Tempo Discreto
� Sinais Analógicos
– Variação contínua da amplitude
– Número infinito de símbolos
� Sinais Digitais
– Variação discreta da amplitude
– Número finito de símbolos
– Maior imunidade ao ruído e distorção do canal
– Regeneração do sinal empregando repetidores (TX noise free)�
– Codificação
• Multiplexação de sinais digitais é mais simples e eficiente
Sinais Digitais x Sinais AnalSinais Digitais x Sinais Analóógicosgicos
1
-1
Sinais Digitais x Sinais AnalSinais Digitais x Sinais Analóógicosgicos
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sinal Analógico
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sinal em Tempo Discreto
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-1
0
1
2
3
4
Sinal Digital
Sinal Contínuo 
em Amplitude e 
no Tempo
(Sinal Analógico)�
Sinal Contínuo 
em Amplitude e 
Discreto no Tempo
Sinal Discreto 
em Amplitude e 
no Tempo
(Sinal Digital)�
� Tempo-Contínuo x Tempo-Discreto
– O termo discreto significa quantização no tempo
� Analógico x Digital
– Digital significa quantização na amplitude
� Um processador de sinais digitais (DSP) é um sistema 
digital em tempo discreto
– Um DSP é adequado para implementação de filtros digitais LTI
Tempo ContTempo Contíínuo x Tempo Discretonuo x Tempo Discreto
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
f
(
t
)
Sinal Periódico
� Sinais Periódicos
– Apresentam uma repetição de seus valores de amplitude a 
intervalos regulares de tempo
– Satisfazem a condição:
• f(t) = f(t + kT0), para todo t
• Onde, T0 é o período fundamental de repetição e k é um no inteiro
• De forma equivalente, f0 = 1/T0 é a freqüência fundamental
– A área sob qualquer intervalo de duração igual a kT0 é a mesma
• Integrar de 0 a T0 é equivalente a integrar de –T0/2 a T0/2
Sinais PeriSinais Perióódicos x Sinais Aperidicos x Sinais Aperióódicosdicos
To 2To
� Sinais Aperiódicos
– Não existe T0 que satisfaça a condição de periodicidade
– Não apresentam um repetição de seus valores de amplitude a 
intervalos regulares de tempo
Sinais PeriSinais Perióódicos x Sinais Aperidicos x Sinais Aperióódicosdicos
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
f
(
t
)
Sinal Aperiódico
� Sinais Causais
– Definidos apenas para t>0
� Sinais Não-Causais
– Definidos para t>0 e t<0
� Sinais Anti-Causais
– Definidos apenas para valores de t<0
Sinais Causais x Sinais NãoSinais Causais x Sinais Não--CausaisCausais
� Energia e Potência de Sinais (Tamanho do sinal)
– A energia e a potência de um sinal podem ser definidas 
considerando uma resistência normalizada de 1 Ω
– Deste modo, tem-se que a energia total e potência média de um 
sinal podem ser obtidas por:
Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia
dttfE
T
T
T ∫
−
∞→
=
2/
2/
2)(lim
∫
−
∞→
=
2/
2/
2)(1lim
T
T
T
dttf
T
P
– Para sinais periódicos, a potência média do sinal é dada por:
∫
−
=
2
2
2)(1
o
o
T
To
dttf
T
P
P = v2 / R 
P = i2 . R 
� Sinal de Energia 
– Um sinal é dito de energia se 0 < E < ∞
� Sinal de Potência 
– Um sinal é dito de potência se 0 < P < ∞
� Regra geral
– Sinais periódicos e os aleatórios são sinais de potência 
(power signal)�
– Sinais determinísticos aperiódicos são sinais de energia 
(energy signal) �
Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia
� Exemplo: Determinar as medidas adequadas para os 
sinais abaixo:
Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia
� Exemplo de Sinal de Energia
Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia
� Exemplo de Sinal de Potência
Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia
� Sinais de Potência
– Duração infinita
– Potência normalizada finita 
e não-zero
– Energia média normalizada 
sobre um intervalo infinito 
igual a infinito
– Tratável matematicamente
Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia
� Sinais de Energia
– Duração finita
– Energia normalizada finita e 
não-zero
– Potência média normalizada 
sobre um intervalo infinito 
igual a zero
– Fisicamente realizável
� Sinal Par 
– Um sinal xe(t) é dito ser par se xe(t) = xe(-t).
– Um sinal par possui os mesmos valores para os instantes t e 
-t (simétrico).
� Sinal Ímpar 
– Um sinal xo(t) é dito ser ímpar se xo(t) = -xo(-t).
– O valor do sinal ímpar no instante t é o negativo de seu valor 
em -t (anti-simétrico).
Sinais Pares x Sinais Sinais Pares x Sinais ÍÍmparesmpares
� Área
– Sinais pares
– Sinais ímpares
Sinais Pares x Sinais Sinais Pares x Sinais ÍÍmparesmpares
OperaOperaçções Bões Báásicas sicas 
com Sinaiscom Sinais
� Multiplicação por escalar
– Modifica a amplitude do sinal original
– Se x(t) for um sinal, uma mudança de escala é dado 
pelo sinal y(t) = cx(t)�
• Se c > 1 tem-seuma amplificação
• Se 0 < c < 1 tem-se uma atenuação
OperaOperaçções Bões Báásicas com Sinaissicas com Sinais
� Escalonamento temporal
– Modifica a duração do sinal original
OperaOperaçções Bões Báásicas com Sinaissicas com Sinais
O sinal f(2t) é f(t) comprimido por 
um fator de 2.
O sinal f(t/2) é f(t) expandido por um 
fator de 2.
Em geral:
- se f(t) é comprimido de um fator 
a > 1, o sinal resultante será f(at).
- se f(t) é expandido de um fator 
a > 1, o sinal resultante será f(t/a).
� Deslocamento Temporal
– Realiza o deslocamento do sinal original sobre o eixo do tempo
– y(t) = x(t - T)�
• Se T > 0 tem-se atraso no tempo
• Se T < 0 tem-se adiantamento no tempo
OperaOperaçções Bões Báásicas com Sinaissicas com Sinais
� Reversão Temporal
– Realiza o rebatimento do sinal em relação ao eixo do tempo
– y(t) = x(-t)�
Exemplo: Dado g(t), encontrar g(-t)�
OperaOperaçções Bões Báásicas com Sinaissicas com Sinais
Tipos de SinaisTipos de Sinais
� Pulso Unitário com largura τ e amplitude 1/τ
� cuja área é unitária:
Pulso UnitPulso Unitááriorio
∫
∞
∞−
=1 )( dttpτ
t



><
<<
=
τ
ττ
τ tout
t
tp
00
01)(
0 τ
pτ(t)� 1/τ
� Um Pulso Porta Unitário tem largura ∆ e amplitude 1
Pulso Porta UnitPulso Porta Unitááriorio
τ/2−τ/2
t
0
1
( )





>
<
=
2
0
2
1
τ
τ
t
t
tret
Nota: para τ = 1, a área 
do pulso é unitária






τ
t
ret
� Um Pulso Triangular Unitário tem base ∆ e altura 1
Pulso Triangular UnitPulso Triangular Unitááriorio
( )






≥
<−
=∆
2
0
2
21
τ
τ
τ
t
t
t
t
0
1
t
τ/2−τ/2
( )t∆
� Idealismo matemático para um evento instantâneo
– Função Delta de Dirac
• δ(t) = 0 para t ≠ 0
• δ(0) é indefinida, mas tem área unitária:
• Caso limite do pulso retangular unitário:
Impulso UnitImpulso Unitááriorio
∫
∞
∞−
=1 )( dttδ
( ) ( )tpt ε
ε
δ
0
lim
→
=
� Principais Propriedades
Impulso UnitImpulso Unitááriorio
∫
∞
∞−
=−⋅ )()()( oo tfdttttf δ
)(1)( t
a
at δδ ⋅=
)()( tt −= δδ
∫
∞
∞−
=1 )( dttδ
)()0()()( txttx δδ = )()()()( TtTxTttx −=− δδ
� Operações com a função δ(t) �
Impulso UnitImpulso Unitááriorio
t
( )tδ
0
∫
∞
∞−
=⋅ )0()()( fdtttf δ ∫
∞
∞−
=−⋅ )()()( oo tfdttttf δ
t
( )ott −δ
0 to
f (t)� f (t)�
f (0)� f (to)�
� Pode-se simplificar δ(t) sob a operação de integração
Impulso UnitImpulso Unitááriorio
( ) ( ) ( )∫∞
∞−
=⋅ 0fdtttf δ
( ) ( )∫−
∞−
=⋅
1
?dtttf δ
� O que resulta de
Resposta: 0
� Outros exemplos
Impulso UnitImpulso Unitááriorio
� O que ocorre nas vizinhanças da origem?
( )
( )
( ) ( ) ( )∫
∫
∫
∞
∞−
−−−−
∞
∞−
∞
∞−
−
=−
=





−
=
222
 
 2 
0 
4
 
cos 2
1 
xtx
tj
edtte
dttt
dtet
δ
piδ
δ ϖ
∫
−
∞−
=
0
0 )( dttδ
∫
+
∞−
=
0
1 )( dttδ
∫
∞−
=
0
? )( dttδ
� Degrau Unitário
– A função degrau foi introduzida por Heaviside e é comumente 
referida na matemática como função de Heaviside
Degrau UnitDegrau Unitááriorio
( )



>
<
=
01
00
t
t
tu
0
1
t
u(t)�
� Relação entre o Impulso Unitário e o Degrau Unitário
( ) ( )t
dt
tdu δ=( ) ( )



<
>
== ∫
∞−
00
01
t
t
dtu
t
ττδ
� Se quisermos um sinal que comece em t = 0, basta 
multiplicá-lo por u(t).
� Por exemplo, e-at representa uma exponencial não-
causal. Para obtermos sua forma causal, fazemos 
e-atu(t) �
Degrau UnitDegrau Unitááriorio
� Resumo de operações com o Degrau Unitário
FunFunçção Degrau Unitão Degrau Unitááriorio
t
u(t)�
0
t
t
u(t - ∆)�
∆
u(t + ∆)�
-∆
t
u(-t)�
0
t
t
∆
u(-t + ∆)�
-∆
t
-u(t)�
0
t
t
-u(t - ∆)�∆
-u(t + ∆)�-∆
t u(t)� – u(t)� u(t – 1)� u(t + 1)� u(– t – 1)� u(– t + 1)�
-2 u(-2)= 0 u(-2)= 0 u(-3)=0 u(-1)=0 u(1)=1 u(3)=1
-1 u(-1)= 0 u(-1)= 0 u(-2)=0 u(0)=1 u(0)=1 u(2)=1
0 u(0)= 1 u(0)= -1 u(-1)=0 u(1)=1 u(-1)=0 u(1)=1
1 u(1)= 1 u(1)= -1 u(0)=1 u(2)=1 u(-2)=0 u(0)=1
2 u(2)= 1 u(2)= -1 u(1)=1 u(3)=1 u(-3)=0 u(-1)=0
u(-t - ∆)�
� Relação entre o Pulso Unitário e o Degrau Unitário
FunFunçção Degrau Unitão Degrau Unitááriorio
( ) 





−−





+=
22
ττ
tututret
( ) ( ) ( )[ ]τ
ττ
−−= tututp 1
� Relação entre o pulso Porta Unitário e o Degrau Unitário
1
t
0
t
t
u(t - τ/2)�
u(t + τ/2) - u(t - τ/2)�
τ/2
1/τ
t
u(t)�
0
t
t
u(t - τ) �
u(t) - u(t - τ) �
τ
u(t + τ/2)�
-τ/2
� Função Sign
FunFunçção Sign (Sinal)ão Sign (Sinal) ��
( )



>
<−
=
01
01
sgn
t
t
t
0
1
t
sgn(t)�
–1
� Relação entre a função Sign e o Degrau Unitário
FunFunçção Sign (Sinal)ão Sign (Sinal) ��
( ) ( ) ( )tutut −−=sgn
( ) ( ) 12sgn −⋅= tut
1
t
u(t)�
0
t
t
u(-t)�
u(t) - u(-t)�
-1
� Função de Amostragem (Sampling) �
– Função Par
– Zeros em ±pi, ±2pi, ±3pi, …
– Amplitude decai proporcionalmente à 1/x
FunFunçção de Amostragemão de Amostragem
0
1
x
Sa(x)�
pi−pi 2pi 3pi−2pi−3pi
( )
x
x
xSa )sen(=
Em vários livros de comunicação (Lathi) 
costuma-se usar a mesma definição 
para as funções de amostragem (Sa) e 
de interpolação (Sinc) 
� Propriedades Básicas das Funções Senoidais
Sinal SenoidalSinal Senoidal
� Principais Identidades Trigonométricas
Sinal SenoidalSinal Senoidal