SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

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Universidade Federal de Pelotas – UFPEL 
Centro das Engenharias - CENG 
Curso de Engenharia de Petróleo 
Curso de Engenharia Geológica 
Vetores e Álgebra Linear (1410003) 
 
 
EQUAÇÃO LINEAR 
Equação linear é uma equação na forma: 
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 … + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏 
Onde: 
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 … 𝑥𝑛 variáveis. 
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 … 𝑎𝑛 respectivos coeficientes das 
variáveis . 
b termo independente. 
 
 
 
 
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2 
SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR 
Os valores das variáveis que transformam uma 
equação linear em identidade, isto é, que satisfazem à 
equação, constituem sua solução. 
 
OBSERVAÇÃO: 
Estes valores são chamados de raízes da equação 
linear. 
 
 
 
 
 
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3 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
É o conjunto de equações lineares na forma: 
 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + ⋯ + 𝑎3𝑛𝑥3𝑛 = 𝑏3
⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
 
PS: 𝑎𝑖𝑗 e 𝑏𝑚 são constantes. 
 
 
 
 
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SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR 
Os valores das variáveis que transformam 
simultaneamente as equações de um sistema linear em 
identidade, isto é, que satisfazem a todas equações, 
constituem sua solução. 
 
OBSERVAÇÃO: 
Estes valores são chamados de raízes do sistema de 
equações linear. 
 
 
 
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EQUAÇÃO MATRICIAL 
Um sistema linear pode ser representado por uma 
equação matricial do tipo: 𝐴𝑥 = 𝑏. 
Onde: 
A matriz simples ou a matriz dos coeficientes 
do sistema. 
x matriz coluna das incógnitas. 
b matriz coluna dos termos independentes. 
 
 
 
 
 
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EQUAÇÃO MATRICIAL 
 
Matriz 𝐴: 𝐴 =
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 … 𝑎3𝑛
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
 
 
Matriz 𝑥: 𝑥 =
𝑥1
𝑥2
𝑥3
⋮
𝑥𝑛
 Matriz 𝑏: 𝑏 =
𝑏1
𝑏2
𝑏3
⋮
𝑏𝑛
 
 
 
 
 
 
 
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EQUAÇÃO MATRICIAL 
EXEMPLO: 
𝑥 + 2𝑦 = 5
2𝑥 + 𝑦 = 4
 
 
Forma matricial: 
1 2
2 1
𝑥
𝑦 =
5
4
 
Dois sistemas lineares: 
𝐴𝑥 = 𝑏
𝐶𝑥 = 𝑑
 
Onde: 𝐶|𝑑 é obtida da matriz 𝐴|𝑏 através de 
operações elementares sobre as linhas. 
Ambos os sistemas possuem as mesmas soluções 
dizendo – se equivalentes. 
 
 
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MÉTODO DE GAUSS - JORDAN 
Aplicar operações elementares sobre as linhas da 
matriz completa (ou ampliada) do sistema 𝐴|𝑏 até que 
a matriz 𝐴 esteja na forma escalonada reduzida. 
EXEMPLO: 
Dado o sistema: 
𝑥 + 2𝑦 = 5
2𝑥 + 𝑦 = 4
 
Forma matricial: 
1 2
2 1
𝑥
𝑦 =
5
4
 
Matriz Ampliada:
1 2
2 1
 
5
4
 
 
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SOLUÇÃO: 
𝐴 𝑏 =
1 2
2 1
 
5
4
𝐿2 − 2𝐿1 → 𝐿2 
 
𝐶 𝑑 =
1 2
0 −3
 
5
−6
−
1
3
𝐿2 → 𝐿2 
 
𝐶 𝑑 =
1 2
0 1
 
5
2
𝐿1 − 2𝐿2 → 𝐿1 
 
𝐶 𝑑 =
1 0 | 1
0 1 | 2
 
 
O sistema linear 𝐶𝑥 = 𝑑 é equivalente a 𝐴𝑥 = 𝑏. 
 
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MÉTODO DE GAUSS - JORDAN 
SOLUÇÃO: 
1 0
0 1
𝑥
𝑦 =
1
2
 
 
Solução do sistema: 
𝑥 = 1
𝑦 = 2
 
 
 
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MÉTODO DE GAUSS - JORDAN 
SISTEMA COMPATÍVEL 
Um sistema de equações lineares é compatível 
quando admite solução, ou seja, quando tem raízes. 
Pode ser: 
1) Sistema possível e determinado (SPD) e; 
2) Sistema possível e indeterminado (SPI). 
 
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SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO 
(SPD) 
• Admite uma única solução. 
EXEMPLO: 
𝑥 + 2𝑦 = 5
2𝑥 + 𝑦 = 4
 
1 0
0 1
𝑥
𝑦 =
1
2
 SOLUÇÃO: 
𝑥 = 1
𝑦 = 2
 
• Condição para SPD: 𝑐𝑎𝑟 𝐴 = 𝑐𝑎𝑟 𝐴|𝑏 = 𝑛 
EXEMPLO: 𝑐𝑎𝑟 𝐴 = 𝑐𝑎𝑟 𝐴|𝑏 = 2 
𝑛 = 2 
 
 
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SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO 
(SPI) 
• O sistema possui infinitas soluções. 
EXEMPLO: 
2𝑥 + 𝑦 = 3
4𝑥 + 2𝑦 = 6
 
• Condição para SPI: 𝑐𝑎𝑟 𝐴 = 𝑐𝑎𝑟 𝐴|𝑏 < 𝑛 
EXEMPLO: 𝑐𝑎𝑟 𝐴 = 𝑐𝑎𝑟 𝐴|𝑏 = 1 
𝑛 = 2 
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OBSERVAÇÕES: 
1. Se o sistema linear possuir solução e a forma 
escalonada reduzida da matriz ampliada apresentar 
linha sem PIVOT, o sistema é SPI. 
2. As variáveis que não estão associadas a PIVOTs são 
chamadas de variáveis livres. 
3. Grau de indeterminação do sistema: 𝑔 = 𝑛 − 𝑐𝑎𝑟(𝐴) 
 
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SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO 
(SPI) 
OBSERVAÇÕES: 
4. As variáveis associadas aos PIVOTs são chamadas de 
variáveis principais e tem seus valores dependentes 
das variáveis livres. 
5. O conjunto de todas as soluções de um SPI é 
chamado de solução geral do sistema. 
 
 
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SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO 
(SPI) 
EXEMPLO: Determinar a solução do sistema: 
 
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −4
2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 4
 
Matriz ampliada: 
𝐴 𝑏 =
1 2 −3
2 1 −3
 
−4
4
 
 
𝐴 𝑏 =
1 2 −3
2 1 −3
 
−4
4
𝐿2 − 2𝐿1 → 𝐿2 
 
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SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO 
(SPI) 
transformar em 
escalonada reduzida 
𝐶 𝑑 =
1 2 −3
0 −3 3
 
−4
12
−
1
3
𝐿2 → 𝐿2 
 
𝐶 𝑑 =
1 2 −3
0 1 −1
 
−4
−4
𝐿1 − 2𝐿2 → 𝐿1 
 
𝐶 𝑑 =
1 0 −1
0 1 −1
 
4
−4
 
Solução Geral: 
𝑥 = 𝑧 + 4
𝑦 = 𝑧 − 4
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SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO 
(SPI) 
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Solução Geral: 
𝑥 = 𝑧 + 4
𝑦 = 𝑧 − 4
 
 
𝑐𝑎𝑟 𝐴|𝑏 = 2 
𝑛 = 3 
 𝑆𝑃𝐼 
 
Variável Livre z 
Variáveis Principais x,y 
 
SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO 
(SPI) 
SISTEMA INCOMPATÍVEL OU IMPOSSÍVEL 
• O sistema não possui solução. 
OBSERVAÇÃO: 
Se a última linha não nula da matriz na forma 
escalonada reduzida da matriz ampliada for da forma 
0 0 … 0 |𝑏′𝑚 , onde b’m ≠ 0, o sistema é 
impossível. 
 EXEMPLO: 
𝑥 − 𝑦 = 0
2𝑥 − 2𝑦 = −4
 
 
 
 
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Matriz ampliada: 
𝐴 𝑏 =
1 −1
2 −2
 
0
−4
 
𝐴 𝑏 =
1 −1
2 −2
 
0
−4
𝐿2 − 2𝐿1 → 𝐿2 
𝐶 𝑑 =
1 −1
0 0
 
0
−4
 Sistema impossível 
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transformar em 
escalonada reduzida 
SISTEMA INCOMPATÍVEL OU IMPOSSÍVEL 
SISTEMA HOMOGÊNEO 
É o sistema na forma 𝐴𝑥 = 0. 
 
EXEMPLO: 
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0
𝑥 + 𝑦 = 0
4𝑥 + 6𝑦 + 12𝑧 = 0
 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
1. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos 
uma solução, que é denominada solução trivial. 
 
2. Se o sistema homogêneo possuir outra solução além 
da trivial, então este sistema possui infinitas 
soluções. 
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EXEMPLO: 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0
𝑥 + 𝑦 = 0
4𝑥 + 6𝑦 + 12𝑧 = 0
 𝐴|𝑏 =
1 1 2
1 1 0
4 6 12
 
0
0
0
 
 
Solução: 
𝐶|𝑑 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
0
0
0
 
 
 𝑔 = 𝑛 − 𝑐𝑎𝑟 𝐴 = 3 − 3 = 0 
 
 
 
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SISTEMA HOMOGÊNEO 
SOLUÇÃO GERAL 
É o sistema na forma 𝐴𝑥 = 𝑏. 
Em que: 
𝑥 = 𝑥𝑃 + 𝑥𝐻 
Onde: 
𝑥𝑃 → 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 
𝑥𝐻 → 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔ê𝑛𝑒𝑎 
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SOLUÇÃO PARTICULAR: 
Sendo 𝐴𝑥 = 𝑏 um SPI e se conhecermos 𝑥 = 𝑥𝑃 uma 
solução particular do sistema, ou seja, solução qualquer. 
 
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA: 
Sendo 𝑥 = 𝑥𝐻 uma solução geral do sistema 
homogêneo associado (𝐴𝑥 = 0). 
 
 
 
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SOLUÇÃO GERAL 
EXEMPLO: 
Seja o sistema linear: 
 
 
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 𝑏1
2𝑥2 + 2𝑥4 = 𝑏2
2𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 + 4𝑥4 = 𝑏3
 
 
E cuja a solução particular é: 𝑥𝑃 = 1 2 0 0
𝑇 
 
Determinar a solução geral. 
 
 
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SOLUÇÃO GERAL 
𝐴|𝑏 =
1 1 1 1 | 𝑏1
0 2 0 2 | 𝑏2
2 4 2 4 | 𝑏3
 
O sistema homogêneo associado: 
 𝐴|0 =
1 1 1 1 | 0
0 2 0 2 | 0
2 4 2 4 | 0
 
𝐶|0 =
1 0 1 0 | 0
0 1 0 1 | 0
0 0 0 0 | 0
 
 
 
 
 
 
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SOLUÇÃO GERAL 
𝑛 = 4; 𝑛º 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒𝑠 = 2; 𝑛º 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 = 2 
Solução homogênea: 
 
𝑥𝐻 = 
𝑥1 = −𝑥3
𝑥2 = −𝑥4
 ; 𝑥𝐻 =
−𝑥3
−𝑥4
𝑥3
𝑥4
 
 
Solução geral do sistema: 𝑥 = 𝑥𝑃 + 𝑥𝐻 
 
𝑥 =
1
2
0
0
+ 
−𝑥3
−𝑥4
𝑥3
𝑥4
 =
1 − 𝑥3
2 − 𝑥4
𝑥3
𝑥4
 
 
 
 
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28 
SOLUÇÃO GERAL