Concreto Armado Aula 1 e 2

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Concreto Armado 
Pós-graduação Em Engenharia Estrutural 
 
Prof. MSc. Leonardo Alexandre 
Objetivos do Curso 
• Apresentar ao pós-graduando o comportamento dos elementos 
estruturais em concreto armado e suas particularidades, abordando 
os fundamentos teóricos e utilizando ferramentas computacionais 
para o dimensionamento e detalhamento de estruturas de concreto 
armado. 
• Fazer com que o pós-graduando tenha conhecimento para analisar, 
dimensionar e detalhar lajes, vigas, pilares e blocos de fundações 
considerando os aspectos recomendados na NBR 6118:2014. Realizar 
análise estrutural considerando a formação de rótulas de concreto e 
detalhar regiões especiais utilizando a teoria de bielas e tirantes. 
Ementa 
• Propriedades do concreto, aço e concreto armado; 
• Comportamento das estruturas de concreto armado; 
• Dimensionamento e detalhamento de lajes; 
• Dimensionamento e detalhamento de vigas; 
• Dimensionamento e detalhamento de pilares; 
• Introdução ao modelo de bielas e tirantes; 
• Dimensionamento e detalhamento de blocos de fundação. 
Calendário 
• 24/03/2018 
• 07/04/2018 
• 28/04/2018 
• 05/05/2018 
• 12/05/2018 
• 26/05/2018 
 
Avaliação: Aplicações fornecidas ao final das aulas. 
 
Data limite para entrega das avaliações: 26/05/2018. 
Bibliografia Sugerida 
• ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118 (2014). Projeto 
de estruturas de concreto – Procedimento; 
• ABNT NBR 6118:2014 Comentários e Exemplos de Aplicação. Ed.: IBRACON, 
2015; 
• CARVALHO, R. C.;FIGUEIREDO FILHO, J.R. Cálculo e Detalhamento de 
Estruturas Usuais de Concreto Armado: Segundo a NBR 6118:104, 4 e.d.,São 
Carlos, EdUFSCar, 2014; 
• CARVALHO, R. C.; PINHEIRO, L. M. Cálculo e Detalhamento de Estruturas 
Usuais de Concreto Armado: Vol. 2, 2 e.d.,São Carlos, EdUFSCar, 2013; 
• PFEIL, W. Concreto Armado, 3v. Rio de Janeiro, LTC, 1989. 
Concreto 
• Material composto; 
• Mistura de um aglomerante hidráulico (cimento) com materiais inertes 
(agregados) e água; 
• Traço do concreto: proporção entre os diversos componentes; 
• Fator água/cimento (a/c): parâmetro importante para a resistência do concreto; 
• Aditivos: acentuar características específicas, como acelerador de pega, super 
fluidificantes, etc. 
 
 
 
 
 
Propriedades do Concreto 
Massa Específica do Concreto Normal 
Varia entre 2 ton/m³ e 2,8 ton/m³. Para efeito de cálculo, adota-se 2,4 ton/m³ para 
o concreto simples e 2,5 ton/m³ para o concreto armado. 
 
Classificação 
Os concretos são divididos em classes de resistência, de acordo com a resistência à 
compressão após 28 dias de endurecimento. 
C20 - fck = 20 MPa ou 2,0 kN/cm² 
C30 - fck = 30 MPa ou 3,0 kN/cm² 
Propriedades do Concreto 
Resistência à Compressão (fck) 
É a propriedade mecânica mais importante do concreto, pois além de trabalhar 
predominantemente à compressão, outros parâmetros podem ser relacionados 
empiricamente com o fck. 
Propriedades do Concreto 
Resistência à Compressão (fck) 
 
 
 
 
 
 
Sob ações de cargas de longa duração, o concreto apresenta uma resistência à 
compressão inferior à obtida com os ensaios rápidos padronizados. (Efeito Rüsch) 
Propriedades do Concreto 
Resistência à Tração (fct) 
• Ensaio de tração direta (fct) 
• Ensaio de tração na compressão (fct = 0,9.fct,sp) 
• Ensaio de tração na flexão (fct = 0,7.fct,f) 
 
A Resistência à tração pode ser estimada a partir da resistência à compressão. 
Observar que as resistências são expressas em MPa. 
fctk,inf = 0,7.fct,m 
fctk,sup=1,3.fct,m 
fct,m = 0,3.fck
2/3 se ≤ C50 
fct,m = 2,12.ln(1+0,11.fck) se C55 até C90 
Propriedades do Concreto 
Módulo de Elasticidade Inicial (Eci) 
Pode ser estimado pelas expressões a seguir: 
 
 
 
 
 
 
Propriedades do Concreto 
Módulo de deformação secante (Ecs) 
Utilizado na análise estrutural, principalmente para a determinação dos esforços 
solicitantes e verificações do ELS. Pode ser estimado pela expressão: 
 
 
 
 
 
 
 15 
20 
25 
30 
35 
40 
45 
50 
15 25 35 45 55 65 75 85 95 
M
ó
d
u
lo
 (
G
P
a)
 
fck (MPa) 
Eci 
Ecs 
Propriedades do Concreto 
Diagrama tensão-deformação 
Para tensões de compressão menores que 0,5.fc, pode-se admitir uma relação 
linear entre tensões e deformações, adotando-se para módulo de elasticidade o 
valor secante. 
Propriedades do Concreto 
Diagrama tensão-deformação 
Para o concreto não fissurado, pode ser adotado o diagrama tensão-deformação 
bilinear de tração. 
Concreto Estrutural 
A baixa resistência a tração do concreto simples, inviabiliza o seu uso em peças 
como tirantes e vigas. 
 
 
 
 
Associação do concreto simples com o aço (ótima resistência à tração) que constitui 
a armadura do material composto – Concreto Armado 
 
 
Concreto Estrutural 
As armaduras devem seguir a trajetória das tensões principais de tração. Ao ocorrer 
a ruptura do concreto da zona tracionada da seção, a armadura costura as partes 
resultantes, restando apenas fissuras como registro desta ruptura. 
 
 
 
 
 
Propriedades do Aço da Armadura Passiva 
Bitolas Comerciais (CA-50) 
Superfície nervurada 
 
Propriedades do Aço da Armadura Passiva 
Bitolas Comerciais (CA-60) 
Superfície nervurada e soldável em todas as bitolas 
 
Propriedades do Aço da Armadura Passiva 
Bitolas Comerciais (CA-25) 
Superfície lisa 
 
Propriedades do Aço da Armadura Passiva 
Superfície Aderente 
A capacidade aderente entre o aço e o concreto está relacionada ao tipo de superfície. 
 
 
 
 
Massa Específica (7850 kg/m³) 
Módulo de Elasticidade 
Na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, pode ser admitido igual a 210 
GPa. 
Propriedades do Aço da Armadura Passiva 
Diagrama tensão-deformação 
Para o cálculo nos estados-limites de serviço e último, pode-se utilizar o diagrama 
simplificado mostrado na figura abaixo, para aços com ou sem patamar de 
escoamento. O valor de fyk para os aços sem patamar de escoamento é o valor da 
tensão correspondente à deformação permanente de 0,2 %. 
 
Propriedades do Concreto Armado 
Introdução 
• Aderência entre o concreto e a armadura, permitindo a mobilização da armadura 
imersa na massa de concreto. Aderência perfeita. 
• Proteção da armadura pelo concreto, evitando a corrosão mesmo na presença de 
pequenas fissuras. Importância dos limites para as aberturas de fissuras e de 
cobrimento adequados. 
• O Coeficiente de dilatação térmica dos dois materiais apresentam valores muito 
próximos, evitando problemas relativos a diminuição, ou até mesmo a 
eliminação, da aderência entre os dois materiais. 
Propriedades do Concreto Armado 
Aderência entre o Concreto e as Armaduras 
 
Aderência (bond) é responsável por fazer com que o aço e o concreto trabalhem 
em conjunto transmitindo os esforços internos de um para outro material. A 
aderência serve para ancorar as armaduras, nas extremidades ou nos pontos de 
emenda por traspasse, e ainda, para impedir o escorregamento das armaduras nos 
segmentos entre fissuras, limitando a abertura das mesmas. 
 
 
 
Propriedades do Concreto Armado 
Aderência entre o Concreto e as Armaduras 
 
Ancoragem é a fixação da barra do concreto, de modo que os esforços na barras 
sejam absorvidos pelo concreto. Isso permite que a barra seja interrompida. 
 
Emenda é a transferência de esforços de uma barra para outra. Isso se faz 
necessário por disposições construtivas ou pelo comprimento da barra e só é 
possível graças à aderência entre o aço e o concreto.Propriedades do Concreto Armado 
Tipos de Aderência 
Aderência por adesão decorre das ligações físico-químicas que se estabelecem no 
contato entre as barras de aço e o concreto durante o processo de pega do 
cimento. Essa ligação é destruída para pequenos deslocamento relativos entre a 
barra e o concreto, contribuindo pouco para a resistência da aderência. 
 
 
 
 
Propriedades do Concreto Armado 
Tipos de Aderência 
Aderência por atrito ocorre quando há tendência de deslocamento relativo entre 
a barra de aço e o concreto. As forças de atrito dependem da rugosidade 
superficial da barra e das pressões transversais às armaduras. Desta forma, a 
compressão transversal contribui para aumentar a aderência por atrito. fixação da 
barra do concreto, de modo que os esforços na barras sejam absorvidos pelo 
concreto. Isso permite que a barra seja interrompida. 
 
 
 
 
 
Propriedades do Concreto Armado 
Tipos de Aderência 
Aderência mecânica ocorre em barras nervuradas devido ao contato direto entre 
o concreto e as saliências na superfície da barra. 
 
 
 
 
 
Uma barra lisa pode apresentar aderência mecânica devido a rugosidade 
superficial proveniente da fabricação ou da corrosão. Portanto, como não é 
possível quantificar separadamente a contribuição de cada parcela da aderência, a 
separação é apenas esquemática. 
 
 
 
Propriedades do Concreto Armado 
Ancoragem por Aderência 
As tensões de aderência (τb) são variáveis ao longo do comprimento de ancoragem 
(lb). Entretanto, é suficiente considerar um valor médio (fbd) para efeito de cálculo. 
Fazendo o equilíbrio entre a força de ancoragem e a força limite aplicada na barra 
de aço correspondente a tensão de escoamento de cálculo do aço (fyd), tem-se: 
 
 
 
 
 
 
Propriedades do Concreto Armado 
Fendilhamento 
Na direção transversal à barra surgem tensões de tração, cuja resultante produz 
esforço de tração transversal denominados esforço de fendilhamento. Devido as 
tensões de tração, podem surgir fissuras longitudinais ou de fendilhamento na 
região de ancoragem. Quando o cobrimento é pequeno em relação ao diâmetro da 
barra, pode ocorrer a sua ruptura. 
 
 
 
 
 
Propriedades do Concreto Armado 
Resistência de Aderência 
A resistência de aderência de cálculo entre a armadura e o concreto é calculada de 
acordo com expressão abaixo. 
 
 
 
 
 
Propriedades do Concreto Armado 
Situações de Aderência 
 
 
 
 
 
Propriedades do Concreto Armado 
Durabilidade do concreto armado 
 
Parte da edificação Exemplos 
Vida útil de projeto (anos) 
Mínimo Intermediário Superior 
Estrutura principal 
Fundações, elementos estruturais (pilares, vigas, 
lajes e outros), paredes estruturais, estruturas 
periféricas, contenções e arrimos 
≥ 50 ≥ 63 ≥ 75 
Coberturas 
Rufos, calhas internas e demais complementos 
(ventilação, iluminação e vedação) 
≥ 8 ≥ 10 ≥ 12 
Impermeabilização 
Componentes de junta e rejuntamentos, mata-
juntas, sancas, golas, rodapés e demais 
componentes de arremate 
≥ 4 ≥ 5 ≥ 6 
Mecanismos de envelhecimento e 
deterioração relativos ao concreto 
 Lixiviação: É o mecanismo responsável por 
dissolver e carrear os compostos hidratados 
da pasta de cimento por ação de águas 
puras, carbônicas agressivas, ácidas e 
outras. Para prevenir a sua ocorrência, 
recomenda-se restringir a fissuração, de 
forma a minimizar a infiltração de águas, e 
proteger as superfícies expostas com 
produtos específicos, como os hidrófugos. 
 
Mecanismos de envelhecimento e 
deterioração relativos ao concreto 
 Expansão por sulfato: É a expansão por 
ação de águas ou solos que contenham ou 
estejam contaminados com sulfatos, 
dando origem a reações expansivas e 
deletérias com a pasta de cimento 
hidratado. A prevenção pode ser feita pelo 
uso de cimento resistente a sulfato. 
 
 
Mecanismos de envelhecimento e 
deterioração relativos à armadura 
 Despassivação por carbonatação: É a 
despassivação por ação do gás carbônico 
da atmosfera sobre o aço da armadura. As 
medidas preventivas consistem em 
dificultar o ingresso dos agentes agressivos 
no interior do concreto. O cobrimento das 
armaduras e o controle da fissuração 
minimizam este efeito, sendo 
recomendado um concreto de baixa 
porosidade. 
 
 
 
Mecanismos de envelhecimento e 
deterioração relativos à armadura 
 Despassivação por ação de cloretos: 
Consiste na ruptura local da camada 
de passivação, causada por elevada 
teor de íon cloro. As medidas 
preventivas consistem em dificultar a 
ingresso dos agentes agressivos ao 
interior do concreto. O cobrimento 
das armaduras e o controle da 
fissuração minimizam este efeito, 
sendo recomendável o uso de um 
concreto de pequena porosidade. O 
uso de cimento composto com 
adição de escória ou material 
pozolânico é também recomendável 
nestes casos. 
 
Mecanismos de envelhecimento e 
deterioração relativos à estrutura 
 São todos aqueles relacionados às ações mecânicas, movimentação de origem 
térmica, impactos, ações cíclicas, retração, fluência e relaxação, bem como as 
diversas ações que atuam sobre a estrutura. Sua prevenção requer medidas 
específicas que devem ser observadas em projeto. Alguns exemplos de 
medidas preventivas são: 
• Barreiras protetoras em pilares sujeitos a choques mecânicos; 
• Período de cura após a concretagem; 
• Juntas de dilatação em estruturas sujeitas a variação volumétrica; 
• Isolamento térmico, em casos específicos, para prevenir patologias devidas 
a variação térmica. 
Propriedades do Concreto Armado 
Classes de Agressividade 
Propriedades do Concreto Armado 
Critérios de projeto que visam durabilidade 
 
1. Prever drenagem eficiente; 
2. Evitar formas arquitetônicas e estruturais inadequadas; 
3. Garantir concreto de qualidade apropriada, particularmente nas regiões 
superficiais dos elementos estruturais; 
4. Garantir cobrimentos de concreto apropriado para proteção às armaduras; 
5. Detalhar adequadamente as armaduras; 
6. Controlar a fissuração das peças; 
7. Prever espessuras de sacrifício ou revestimentos protetores em regiões sob 
condições de exposição ambiental muito agressiva; 
8. Definir um plano de inspeção e manutenção preventiva. 
 
 
Propriedades do Concreto Armado 
Qualidade do Concreto Armado 
 
Propriedades do Concreto Armado 
Cobrimento Nominal 
O Cobrimento de uma determinada barra deve respeitar os seguintes valores: 
 
 
 
Propriedades do Concreto Armado 
Cobrimento Nominal 
 
 
 
 
Propriedades do Concreto Armado 
Resistência do Concreto ao Impacto 
O impacto produz dois efeitos principais na estrutura: 
• rupturas locais, no ponto de aplicação da carga; 
• transmissão de uma energia cinética, que deve ser absorvida pela estrutura, 
sob a forma de trabalho interno. 
No caso de estruturas de concreto armado, as rupturas locais são perigosas, pois o 
concreto é um material frágil. Os efeitos locais são contrabalançados por 
armaduras (estribos, armaduras longitudinais, fretagem), que reduzem a 
fragilidade do concreto. 
 
 
Propriedades do Concreto Armado 
Resistência do Concreto ao Impacto 
Para a absorção de energia cinética, a estrutura deve poder deformar-se 
consideravelmente, sem risco de ruptura. Para isso, a carga de ruptura deve ser 
substancialmente superior à carga que provoca a fissuração. 
No caso de pilares de obras viárias (pontes, viadutos), que são sujeitos a impactos 
acidentais de veículos desgovernados, utilizam-se armaduras construtivas muito 
concentradas, para evitar que os danos localizados, produzidos pelo impacto, 
possam causar a ruína de toda a estrutura.Princípios do Dimensionamento 
Para elementos estruturais de esbeltez l/d ≥ 2 (l = distância entre as seções de 
momento fletor nulo; d = altura da seção transversal) pode-se aplicar a hipótese de 
Bernoulli : 
1) As seções transversais permanecem planas após a deformação do elemento até 
o estado limite último. 
Princípios do Dimensionamento 
2) A resistência à tração do concreto não é considerada, ou seja, regiões de 
concreto tracionadas são consideradas sem efeito. Desta forma, pode-se 
afirmar que para toda força de tração necessária ao equilíbrio interno devem 
ser providenciadas pelas armaduras. 
 
3) Elementos de aço e concreto da seção transversal, que se situem em fibras de 
igual distância à linha neutra, sofrem as mesmas deformações, ou seja, a 
aderência é perfeita. 
Flexão Simples - Estádios 
A seção de concreto é caracterizada aplicando-se um carregamento que vai do 
zero até a ruptura. Denomina-se Estádios as três fazes pelas quais a seção de 
concreto passa ao longo do carregamento: Estádio I, Estádio II e Estádio III. 
 
 
Flexão Simples – Estádio I 
I. Corresponde ao início do carregamento; 
II. O concreto resiste às tensões de tração; 
III. Diagrama de tensões linear ao longo da seção; 
IV. Cálculo do momento de fissuração e da armadura mínima; 
V. Termina quando a seção fissura. 
Flexão Simples – Estádio I 
Momento de Fissuração 
Nos estados-limites de serviço, as estruturas trabalham parcialmente no estádio I e 
II. A separação entre esses dois comportamentos é definida pelo momento de 
fissuração que pode ser calculado, aproximadamente, pela seguinte expressão: 
Flexão Simples – Estádio I 
Momento de Fissuração 
Exemplo 
Seja uma viga biapoiada de um edifício residencial, com seção de 22 cm x 40 cm, 
vão equivalente l = 410 cm, concreto C25, aço CA-50, armadura longitudinal 4 φ 16 
(8,04 cm²), d = 35,5 cm, classe II de agressividade ambiental (c = 3 cm) e valores 
característicos das ações de: 
gk = 28 kN/m , qk = 7 kN/m 
pk = gk + qk = 35 kN/m 
Exemplo – Momento de Fissuração 
Momento de Fissuração 
 
 
 
 
 
 
Exemplo – Momento de Fissuração 
Formação de Fissuras 
No estado-limite de formação de fissuras (ELS-F), segundo o item 17.3.1 da NBR 
6118:2014, deve ser utilizado o fctk,inf 
 
 
 
Exemplo – Momento de Fissuração 
Deformação Excessiva 
No estado-limite de deformação excessiva (ELS-DEF), deve ser usado o fct,m 
Flexão Simples – Estádio I 
Armadura Mínima 
A armadura mínima de tração, em elementos estruturais armados ou protendidos 
deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a um momento fletor 
mínimo dado pela expressão a seguir, respeitando a taxa mínima absoluta de 0,15 
%: 
Flexão Simples – Estádio I 
Armadura Mínima 
A expressão do momento mínimo refere-se ao momento de fissuração de vigas de 
concreto armado sem força normal. 
Alternativamente, a armadura mínima pode ser considerada atendida se forem 
respeitadas as taxas mínimas de armadura da tabela abaixo: 
Exemplo – Armadura Mínima 
Armadura Mínima 
Seja a seção de uma laje com h = 0,12 m, d = 0,09 m, concreto da classe C40, γc = 
1,4 e γs = 1,15: 
 
Exemplo – Armadura Mínima 
Armadura Mínima 
 
 
 
 
 
 
 
Observa-se que o valor obtido é diferente da Tabela, pois adota-se uma relação 
d/h diferente. 
Flexão Simples – Estádio II 
Combinações de Serviço 
Para elementos estruturais de concreto armado de uma edificação residencial, os 
estados limites de serviço a serem verificados são ELS-W (abertura de fissura) e o 
ELS-DEF (deformação excessiva) 
A combinação de ação a ser considera para a verificação do ELS-W é a combinação 
frequente. 
No caso do ELS-DEF, as flechas são, usualmente, verificadas com a combinação 
quase permanente. No entanto, em casos especiais em que os elementos não 
estruturais (como vedações) são sensíveis às deformações da estrutura, o ELS-DEF 
pode ser verificado com a combinação frequente. 
Flexão Simples – Estádio II 
Flexão Simples – Estádio II 
Exemplo – Combinações de Serviço 
Combinação quase permanente 
 
 
 
O momento da combinação quase permanente é: 
Exemplo – Combinações de Serviço 
Combinação Frequente 
 
 
 
 
 
Como MCQP (63,25 kN.m) > M
r (22,6 kN.m), ou seja, há fissuras e faz-se necessário 
calcular a posição da linha neutra (xII) e o momento de inércia (III) no estádio II, 
para ambas as verificações (ELS-W e ELS-DEF). 
Flexão Simples – Estádio II 
Linha Neutra 
Para seção retangular com armadura simples, XII é obtido com a equação: 
 
 
 
Para a avaliação da abertura de fissura, o cálculo no estádio II pode ser feito 
considerando a relação αe entre os módulos igual a 15 
 
Exemplo – Linha Neutra 
ELS-DEF 
 
 
 
 
 
 
ELS-W 
Flexão Simples – Estádio II 
Momento de Inércia 
Para seção retangular com armadura simples. 
 
 
Para avaliação do ELS-DEF, tem-se: 
 
 
Para avaliação do ELS-W, tem-se: 
 
Flexão Simples – Estádio II 
Avaliação aproximada da flecha em vigas 
O modelo de comportamento da estrutura pode admitir o concreto e o aço como 
materiais de comportamento elástico e linear, de modo que as seções ao longo do 
elemento estrutura possam ter as deformações específicas determinadas no 
Estádio I, desde que os esforços não superem aquele que dão início à fissuração, e 
no estádio II, em caso contrário. 
Deve ser utilizado no cálculo o valor do módulo de elasticidade secante Ecs, sendo 
obrigatório a consideração do efeito da fluência. 
Flexão Simples – Estádio II 
Momento de Inércia Equivalente 
Exemplo – Momento de Inércia Equivalente 
Momento de Inércia Equivalente 
 
Flexão Simples – Estádio II 
Momento de Inércia Equivalente 
Para vãos de vigas contínuas, quando necessário maior precisão, pode-se adotar, 
para a rigidez equivalente, o valor ponderado pelo seguinte critério 
Exemplo – Flecha Imediata 
Flecha Imediata 
Para viga biapoiada, a flecha imediata (assumida elástica) é dada por: 
 
 
 
Substituindo os valores, tem-se: 
 
Flexão Simples – Estádio II 
Flecha Diferida 
A flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em função da 
fluência, pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha 
imediata pelo fator αf 
Na avaliação das flechas é importante levar em conta sua dependência com 
relação às condições do processo construtivo e às propriedades dos materiais no 
momento da sua efetiva solicitação. 
Flexão Simples – Estádio II 
Flecha Diferida 
Flexão Simples – Estádio II 
Flecha Diferida 
Exemplo – Flecha Diferida 
Flecha Diferida 
 
 
 
 
 
 
Flecha Total 
Flexão Simples – Estádio II 
Deslocamentos-limites 
São valores práticos utilizados para verificação em serviço do estado limite de deformação 
excessiva da estrutura. A NBR 6118:2014, classifica quatro grupos básicos: 
• Aceitabilidade sensorial: o limite é caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito 
visual desagradável; 
• Efeitos específicos: os deslocamentos podem impedir a utilização adequada da 
construção; 
• Efeitos em elementos não estruturais: deslocamentos estruturais podem ocasionar o 
mau funcionamento de elementos que, apesar de não fazerem parte da estrutura, estão 
a ela ligados; 
Flexão Simples – Estádio II 
Deslocamentos-limites 
• Efeitos em elementos estruturais: os deslocamentos podem afetar o 
comportamento do elemento estrutural, provocando afastamento em relação às 
hipóteses de cálculo adotadas. Se os deslocamentos foram relevantes para o 
elemento considerado,seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da 
estrutura devem ser considerados, incorporando-as ao modelo estrutural 
adotado. 
Flexão Simples – Estádio II 
Deslocamentos-limites 
Flexão Simples – Estádio II 
Deslocamentos-limites 
Flexão Simples – Estádio II 
Deslocamentos-limites 
Flexão Simples – Estádio II 
Deslocamentos-limites 
Exemplo - Contraflecha 
Contraflecha 
Pode ser adotada uma contraflecha da ordem da flecha imediata: 
ac = ai = 0,85 cm 
A contrafelcha, também pode ser um pouco maior que a flecha imediata. Porém a 
NBR 6118 estabelece um limite. 
ac,lim = L / 350 = 410 / 350 = 1,17 cm 
Como é usual adotar valores múltiplos de 0,5 cm, pode-se adotar contraflecha de 
1,0 cm, menor que o limite de 1,17 cm, e que acarretaria uma flecha final de 0,97 
cm, menor que alim = 1,64 cm. 
Flexão Simples – Estádio II 
Outras Providências no ELS-DEF 
Quando forem necessárias, há outras providências que podem ser tomadas para 
diminuir as deformações. As mais comuns são: 
• aumentar a seção transversal (b ou h); 
• aumentar a armadura tracionada (As); ou 
• adotar armadura de compressão (A’s). 
Convém ressaltar que aumentar a altura da viga (h) é a alternativa mais eficiente. 
 
Flexão Simples – Estádio II 
Controle de Fissuração 
A fissuração em elementos estruturais de concreto armado é inevitável, devido à 
grande variabilidade e à baixa resistência do concreto à tração, mesmo sob as 
ações de serviço (utilização), valores críticos de tensões de tração são atingidos. 
Visando obter bom desempenho relacionado à proteção das armaduras quanto à 
corrosão e à aceitabilidade sensorial dos usuários, busca-se controlar a abertura 
dessas fissuras. 
As fissuras podem ainda ocorrer por outras causas, como retração plástica térmica 
ou devido a reações químicas internas do concreto nas primeiras idades, devendo 
ser evitadas ou limitadas por cuidados tecnológicos. 
Flexão Simples – Estádio II 
Abertura de Fissuras 
O valor da abertura das fissuras pode sofrer a influência de restrições às variações 
volumétricas da estrutura, difíceis de serem consideradas nessa avaliação de 
forme suficientemente precisa. Além disso, essa abertura sofre também a 
influência das condições de execução da estrutura. 
Por essas razões, os critérios apresentados a seguir devem ser encarados como 
avaliações aceitáveis do comportamento geral do elemento, mas não garantem 
avaliação precisa da abertura de uma fissura específica. 
Flexão Simples – Estádio II 
Abertura de Fissuras 
Para cada elemento ou grupo de elementos das armaduras passiva e ativa 
aderente, que controla a fissuração do elemento estrutural, deve ser considerada 
uma área Acr do concreto de envolvimento, constituída por um retângulo cujos 
lados não distem mais de 7,5.φ do eixo da barra da armadura. 
Flexão Simples – Estádio II 
Abertura de Fissuras 
O valor característico da abertura de fissuras (Wk) determinado para cada parte da 
região de envolvimento, é o menor entre os obtidos pelas expressões a seguir: 
 
Flexão Simples – Estádio II 
Abertura de Fissuras 
 
 
 
 
 
É conveniente que toda a armadura de pele da viga, na sua zona tracionada, limite 
a abertura de fissuras na região Acri correspondente, e que seja mantido um 
espaçamento menor ou igual a 15.φ 
Flexão Simples – Estádio II 
Abertura de Fissuras 
O Cálculo no estádio II pode ser feito considerando a relação entre os módulos de 
elasticidade do açõ e do concreto igual a 15. 
n1 é o coeficiente de conformação superficial da armadura passiva. 
Nas vigas usuais, com altura menor que 1,2 m, pode-se considerar atendida a 
condição de abertura de fissuras em toda a pele tracionada, se a abertura de 
fissuras calculada na região das barras mais tracionadas for verificada e se existir 
armadura de pele 
Exemplo – Abertura de Fissuras 
Taxa de Armadura na Fissuração 
Será considerada a taxa de armadura de tração em relação à área da região de 
envolvimento Acr. Considerando b = 22 cm, c = 3,0 cm, φt = 0,63 cm e φl = 1,6 cm, 
temos: 
 
 
 
 
 
Exemplo – Abertura de Fissuras 
Cálculo da Tensão na Armadura (σs) 
Cálculo com αe = 15 
 
 
Cálculo com αe = Es/Ec = 8,75 
 
 
Comparando os resultados (3% menor), parece não haver diferença significativa 
em considerar αe = Es/Ec = 8,75 em vez de αe = 15, como preconiza a Norma. 
 
Exemplo – Abertura de Fissuras 
Cálculo Aproximado de σs 
Para seção retangular com armadura simples, no estádio II, um valor aproximado 
de σs pode ser obtido com a expressão: 
 
 
 
Nota-se que este valor é muito próximo dos obtidos anteriormente. Portanto, em 
um cálculo preliminar, a verificação pode ser feita com a tensão obtida com este 
cálculo aproximado. 
 
Exemplo – Abertura de Fissuras 
Cálculo de Wk 
 
 
 
 
 
Como se considera o menor valor entre ambos, resulta: 
 
 
Flexão Simples – Estádio II 
Verificação da Abertura Limite 
A abertura máxima característica das fissuras (Wk) desde que não exceda 
valores da ordem de 0,2 mm a 0,4 mm, sob ação das combinações 
frequentes, não tem importância significativa na corrosão das armaduras 
passivas. 
Na Tabela seguinte são dados valores-limites de Wk, assim como outras 
providências, visando garantir proteção adequada das armaduras quanto à 
corrosão. Entretanto, devido ao estágio atual do conhecimento e da alta 
variabilidade das grandezas envolvidas, esses limites devem ser vistos 
apenas como critérios para um projeto adequado de estruturas. 
Flexão Simples – Estádio II 
Verificação da Abertura Limite 
Flexão Simples – Estádio II 
Verificação da Abertura Limite 
Flexão Simples – Estádio II 
Verificação da Abertura Limite 
No caso das fissuras afetarem a funcionalidade da estrutura, como, por exemplo, 
no caso da estanqueidade de reservatórios, devem ser adotados limites menores 
para as aberturas das fissuras. Para controle mais efetivo da fissuração é 
conveniente a utilização da protensão. 
Por Controle de quanto à acessibilidade sensorial, entende-se a situação em que 
as fissuras passam a causar desconforto psicológico aos usuários, embora não 
representem perdas de segurança da estrutura. Limites mais severos de aberturas 
de fissuras podem ser estabelecidos com o contratante. 
Exemplo – Abertura de Fissuras 
Verificação da Abertura Limite 
Para concreto armado e classe de agressividade ambiental II, tem-se: 
Wlim = 0,3 mm 
Wk = 0,16 mm < Wlim 
 
Constata-se que a verificação ocorre com folga, o que justificaria o emprego do 
cálculo aproximado para a determinação de σs. 
Flexão Simples – Estádio II 
Providências no ELS-W 
Caso a verificação de abertura de fissuras não seja atendida, as principais 
providências são: 
• diminuir o diâmetro das barras da armadura de tração, respeitando-se As,nec ; 
• aumentar a quantidade de armadura (diminuir σs); 
• aumentar a seção transversal (b ou h). 
Flexão Simples – Estádio III 
I. Plastificação da zona comprimida; 
II. Concreto próximo da ruptura; 
III. Diagrama de tensões do concreto na forma parabólico-retangular ou 
retangular equivalente; 
IV. Realização do dimensionamento, denominado “cálculo na ruptura” ou “cálculo 
no estádio III”. 
 
Domínios de Deformação na Ruína 
Domínios de Deformação na Ruína 
Domínio 1 (Força normal de tração com pequena excentricidade) 
i. O estado limite último é caracterizado pela deformação máxima do aço (10 
‰); 
ii. A linha neutra é externa à seção transversal; 
iii. A seção transversal efetiva consiste apenas das duas armaduras de aço, não 
havendo participação do concreto, que é admitido como inteiramentefissurado; 
iv. A ruptura é devido a falha do aço. 
Domínios de Deformação na Ruína 
Domínio 2 (Flexão simples ou flexão composta com grande ou média 
excentricidade) 
i. O estado limite último é caracterizado pela deformação máxima do aço (10 
‰); 
ii. A linha neutra corta a seção transversal; 
iii. Na peça existe um banzo tracionado e um banzo comprimido, mas o concreto 
da zona comprimida não atinge a ruptura; 
iv. A ruptura é devido a falha do aço. 
Domínios de Deformação na Ruína 
Domínio 3 (Flexão simples ou flexão composta com grande ou média 
excentricidade) 
i. O estado limite último é caracterizado pelo esmagamento do concreto (3,5 ‰) 
; 
ii. A linha neutra corta a seção transversal; 
iii. As peças que atingem o estado limite último neste domínio são ditas 
subarmadas. Esta é a situação desejável, pois não há risco de ruína não 
avisada ; 
iv. A ruptura do concreto ocorre simultaneamente com o escoamento da 
armadura. 
 
Domínios de Deformação na Ruína 
Domínio 4 (Força normal de compressão com média ou pequena 
excentricidade) 
i. O estado limite último é caracterizado pelo esmagamento do concreto (3,5 ‰) 
; 
ii. A linha neutra corta a seção transversal; 
iii. As peças que atingem o estado limite último neste domínio são ditas 
superarmadas. Esta situação deve ser evitada, pois a ruptura ocorre de forma 
frágil, não avisada. O concreto rompe sem que a armadura tracionada possa 
provocar fissuração para advertência; 
iv. A ruptura do concreto ocorre antes do escoamento da armadura. 
 
Domínios de Deformação na Ruína 
Domínio 5 (Força normal de compressão com pequena 
excentricidade) 
i. O estado limite último é caracterizado pelo esmagamento do concreto (3,5 ‰) 
; 
ii. A linha neutra corta a seção transversal; 
iii. As peças que atingem o estado limite último neste domínio são ditas 
superarmadas. Esta situação deve ser evitada, pois a ruptura ocorre de forma 
frágil, não avisada. O concreto rompe sem que a armadura tracionada possa 
provocar fissuração para advertência; 
iv. A ruptura do concreto ocorre antes do escoamento da armadura. 
 
Condições de Equilíbrio 
Flexão Simples – Estádio III 
Método Semiprobabilístico 
A verificação da segurança é realizada de acordo com o seguinte procedimento: 
• Ações e resistências características: Variáveis aleatórias com 5% de probabilidade 
de serem ultrapassadas para o lado mais desfavorável (contra a segurança); 
• Ações e resistências de cálculo: Majoram-se as ações e solicitações (γf) e 
minoram-se as resistências (γm, γs para o aço e γc para o concreto); 
• Segurança: Situação de ruína determinística por meia da comparação dos valores 
de cálculo (Sd ≤ Rd) 
 
Flexão Simples – Estádio III 
Estado Limite Último - ELU 
• Perda do equilíbrio como corpo rígido (tombamento); 
• Resistência ultrapassada (esmagamento do concreto); 
• Escoamento excessivo da armadura (ε > 10‰); 
• Aderência ultrapassada (escorregamento da barra); 
• Transformação da estrutura em mecanismo (estrutura hipoestática); 
• Flambagem; 
• Instabilidade dinâmica (ressonância); e 
• Fadiga (cagas repetitivas). 
 
 
Flexão Simples – Estádio III 
Combinações Últimas 
 
 
Flexão Simples – Estádio III 
Coeficientes de Ponderação das Ações 
 
 
Flexão Simples – Estádio III 
Coeficientes de Ponderação das Resistências 
 
 
Ductilidade em Vigas 
A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha 
neutra no ELU. Quanto menor for x/d, tanto maior será tal capacidade. 
Nas vigas e lajes é necessário garantir boa condições de dutilidade respeitando os 
limites da posição da linha neutra (βx): 
βx (x/d) ≤ 0,45, para fck ≤ 50 Mpa; 
βx (x/d) ≤ 0,35, para 50 MPa < fck ≤ 90 MPa. 
 
Caso necessário, adota-se armadura de compressão (Armadura Dupla). 
 
 
 
 
Exemplo – Estádio III 
Momento de Cálculo 
 
 
Linha Neutra 
 
Exemplo – Estádio III 
Verificação da Dutilidade 
 
 
Área de Aço 
Armadura Dupla 
A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores 
menores da posição da linha neutra (βx), que estejam nos domínios 2 ou 3, não 
conduz a elementos estruturais com ruptura frágil. Tal ruptura está associada a 
posições da linha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão 
Condições de Equilíbrio 
Referências Bibliográficas 
• ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118 (2014). Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento; 
• ABNT NBR 6118:2014 Comentários e Exemplos de Aplicação. Ed.: IBRACON, 2015; 
• PFEIL, W. Concreto Armado, 3v. Rio de Janeiro, LTC, 1989. 
• PINHEIRO, L.M., MUZARDO, C.D. Notas de Aula, 2003