AULA 15

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AULA 15: CAMPOS VARIANTES NO TEMPO E EQUAÇÕES DE MAXWELL 
Eletromagnetismo 
ELETROMAGNETÍSMO 
Aula 15: Campos variantes no tempo e equações 
de Maxwell 
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Eletromagnetismo 
Corrente de deslocamento; 
Equações de Maxwell na forma pontual; 
Equações de Maxwell na forma integral; 
Potenciais retardados. 
Temas/objetivos desta aula 
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Eletromagnetismo 
𝜵 × 𝑯 = 𝑱 + 
𝛿𝑫
𝛿𝑡
 
J: vetor densidade de corrente, A.m–2; 
δD /δt: densidade de corrente de deslocamento, A.m–2. 
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 𝐻. 𝑑𝑙 = 𝐼 + 𝐼𝑑 = 𝐼 + 
𝛿𝐷
𝛿𝑡
. 𝑑𝑆 
I: corrente de condução, A; 
Id: corrente de deslocamento, A 
Aplicando o teorema de Stokes 
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• A corrente de deslocamento é a onda eletromagnética que se propaga no 
vácuo a 300.000 km.s–1. 
• É o que possibilita a existência das ondas de rádio, base dos enlaces de 
micro-ondas, satélite, rádio AM/FM e televisão. 
• É a energia que nos rodeia, que vem do Sol e alimenta nosso planeta! 
• É graças a ela que você está vendo este slide. 
• Conhecê-la e aplicá-la é o que nos torna, caro aluno, Engenheiros de 
Telecomunicações! 
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Não poderíamos deixar de destacar a importantíssima corrente de condução! É a sua 
corrente, futuro Engenheiro Eletricista! 
• Aquela corrente que percorre condutores metálicos e que, na frequência de 60 Hz, 
alimenta nossos aparelhos eletrodomésticos. 
• É aquela corrente que energiza os equipamentos de sustentação de vida nos centros 
de terapia intensiva. 
• É a corrente que leva a luz, o conforto e segurança a nossos lares. 
• É o que faz funcionar o equipamento que produz esta imagem. 
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Longe de entidades distintas, surgem, são criadas e se deslocam em parceria. 
Vejamos um exemplo: o circuito capacitivo em corrente alternada. 
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Compare as correntes de condução e de deslocamento no circuito. 
EXERCÍCIO 1 
U(t) 
C Capacitor com placas de 
área A afastadas de d, por 
um dielétrico ε. 
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Afinal, o que é um condutor? 
• Provavelmente um metal, dirá você. 
• E se você trabalha na área elétrica complementará: cobre e alumínio. 
Afinal estes são os condutores utilizados nas linhas de distribuição e nos equipamentos 
geradores de energia elétrica. 
Mas, eu tenho uma surpresa para você! 
E se eu perguntar qual a diferença entre um mau condutor e um mau isolante? E o que 
é um semicondutor? 
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Na verdade, não podemos simplesmente rotular materiais em condutores e 
isolantes (dielétricos). 
 
Surpreendentemente, ou não, o que define se um material é condutor ou não é 
a própria característica de condutividade do material, mas também, e muito 
importante, a frequência. 
 
Temos aqui um conceito divisor de águas entre telecomunicações e eletricidade. 
Os circuitos elétricos de geração e distribuição baseiam-se em 60Hz. E ponto. 
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Como você percebeu, pela Lei de Faraday, se a rotação do gerador não for mantida dentro 
de limites bem estreitos, a tensão gerada irá variar. 
 
E não queremos isso. Seria caótico para os usuários, provocando panes, danos e prejuízos. 
Já na área de Telecomunicações trabalha-se com frequências de centenas de kHz até 
milhares de MHz. 
 
Assim, como definir se um material é ou não condutor ou isolante? 
É o que veremos no próximo slide. 
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𝜍
𝜔𝜀
 
σ: condutividade do material, em S.m-1; 
ω: frequência angular, 2 x π x f, onde f é a frequência; 
ε: permissividade elétrica, F.m-1. 
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• Quando o resultado da equação anterior é muito maior do que um, diz-se que o 
material é condutor; 
• Quando o resultado da equação anterior é muito menor do que um, diz-se que o 
material é isolante. 
 
É claro que você deve estar pensando: “E quando for igual a um?” 
Exatamente, não é nem condutor nem isolante. 
 
Assim, o mesmo material pode se comportar como condutor ou isolante, dependendo 
da frequência de operação. 
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Equações de Maxwell na forma pontual 
𝜵 × 𝑬 = −
𝛿𝑩
𝛿𝑡
 
𝜵 ×𝑯 = 𝑱 +
𝛿𝑫
𝛿𝑡
 
𝜵.𝑫 = 𝜌𝑣 
𝜵.𝑩 = 0 
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𝜵 × 𝑬 = −
𝛿𝑩
𝛿𝑡
 
É a Lei de Faraday. Todos os geradores de 
energia elétrica baseiam-se nesta equação. 
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É a Lei circuital de Ampère. O termo de 
Maxwell está indicado em verde. 𝜵 ×𝑯 = 𝑱 +
𝛿𝑫
𝛿𝑡
 
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É a Lei de Gauss da carga elétrica. O que 
gera campo elétrico é a carga elétrica. 𝜵.𝑫 = 𝜌𝑣 
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Não é exatamente uma lei. Apenas afirma que 
não se conhece a carga magnética pontual. Ou 
seja, não existe um imã com apenas um polo. 
E se um dia descobrirem a carga magnética 
pontual? Bem, é só ajustar a equação! 
𝜵.𝑫 = 𝜌𝑣 
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Você deve estar pensando: “Tantas e até agora não vi uma das mais importantes 
equações da área elétrica – a Lei de Ohm!” 
Calma, viu sim. Mas estava um pouco “escondida”. 
Primeiro vamos lembrar que: J = σ E. 
 
Já percebeu? 
Observe que a densidade de corrente é dada em A.m-2, a condutividade em S.m-1 
ou em 1/Ω.m e finalmente o campo elétrico em V.m-1. 
Ou seja: V = R . I! É a Lei de Ohm! 
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 𝑬. 𝑑𝑳 = − 
𝛿𝑩
𝛿𝑡
. 𝑑𝑺 
 𝑯. 𝑑𝑳 = 𝐼 + 
𝛿𝑫
𝛿𝑡
. 𝑑𝑺 
 𝑫. 𝑑𝑺 = 𝜌𝑣𝑑𝑣 
 𝑩. 𝑑𝑺 = 0 
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Potenciais retardados 
𝑬 = −𝜵𝑉 − 
𝛿𝑨
𝛿𝑡
 
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Potencial vetor magnético retardado 
𝑨 = 
𝜇[𝑱]
4𝜋𝑅
𝑑𝑣 
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Uma espira de A m2 gira com velocidade angular ω, em um campo magnético 
constante H, no espaço livre. 
Analise a tensão gerada em função da frequência de rotação. 
EXERCÍCIO 2 
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Na figura, é mostrada uma antena de abertura em uma 
placa de cobre, que para nossa análise será considerado 
um condutor ideal. A tensão aplicada, no centro da 
fenda, é de 10 volts na frequência de 1 G rad.s–1. 
Determine o fluxo magnético que passa na metade 
direita, na metade esquerda e em toda a fenda. 
EXERCÍCIO 3 
S1 S2 
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SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1 
Considere U(t) = U0 cos(ωt) 
A corrente de condução no circuito é dada por: 
ic(t) = –ω.C.U0 sen(ωt) = –ω.(ε A / d) .U0 sen(ωt) 
Vejamos a corrente de deslocamentono capacitor: 
D = ε E = ε . (U0 /d) cos(ωt) 
id = (δD / δt) . A = –ω.(ε A / d) .U0 sen(ωt) 
Ou seja, id = ic, neste caso particular. 
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SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2 
fem = – n (δφ / δt) = – n δ(B.A) / δt = – n . B . (δA / δt) = – n . B . ω . 
cos(ωt) = – n . B . 2 . π. f . cos(ωt). 
A tensão é proporcional à f. 
Para o sistema elétrico, no Brasil, este valor é 60 Hz. 
Quaisquer variações na frequência devem ser mantidas dentro dos 
valores especificados. 
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SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3 
Em S1: 
 𝐸. 𝑑𝐿 = −
𝛿𝜙1
𝛿𝑡
 
– 10 sen 109t = – δφ1 / δt 
Integrando: 
φ1 = – 10
–8 cos 109t Wb 
φ2 = – φ1 
φ2 = 10
–8 cos 109t Wb 
 
O fluxo magnético total, ao longo da 
área da fenda, é zero. 
O fluxo total é zero em qualquer 
instante de tempo. 
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AVANCE PARA FINALIZAR 
A APRESENTAÇÃO. 
VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? 
 
Revisão.