P1 de Algebra Linear I 2015 II

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE RIO DE JANEIRO
PRIMEIRA PROVA DE A´LGEBRA LINEAR I– 05 de outubro de 2015
NOME DO ALUNO :
TURMA :
INSTRUC¸O˜ES
1. Preencha o cabec¸alho acima.
2. A prova deve ser feita sem consulta a apontamentos, cadernos, livros ou colegas.
DURAC¸A˜O DA PROVA: 1 hora e 40 minutos
B O A P R O V A
1. (valor 2.5 pontos)
(a) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Se AB e´ invert´ıvel enta˜o A e B sa˜o invert´ıveis.
(b) Sejam A1, A2 . . . , Ak matrizes quadradas de ordem n. Provar por induc¸a˜o que se A1A2 . . . Ak sa˜o invert´ıveis
enta˜o A1, A2 . . . , Ak sa˜o invert´ıveis.
2. (valor 2.5 pontos) O sistema linear homogeˆneo
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0
...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0
Se n > m enta˜o o sistema admite infinitas soluc¸o˜es.
3. (valor 2.5 pontos)
(a) Seja A =
(
a b
c d
)
uma matriz na˜o nula. Se A na˜o e´ invert´ıvel enta˜o existe B uma matriz de 2 × 2 na˜o
nula tal que BA = 0.
(b) Se A e´ uma matriz de ordem n na˜o invert´ıvel enta´o existe B uma matriz de ordem n na˜o nula tal que
BA = 0.
4. (valor 2.5 pontos) O sistema seguinte na˜o tem soluc¸o˜es para quais valores de a? Exatamente uma soluc¸a˜o?
infinitas soluc¸o˜es?  x+ 2y − 3z = 43x− y + 5z = 2
4x+ y + (a2 − 14)z = a+ 2
5. (opcional) Seja A uma matriz de n× n. Definimos o polinomio
p(λ) = det(λI −A) = λn + αn−1λn−1 + · · · + α0
Prove que αn−1 = −Traz(A). Sugesta˜o: Prove para n = 2 e use induc¸a˜o.
6. (opcional) Nas mesmas condic¸o˜es de 5. Prove que α = (−1)n det(A).