Resumo estruturas isostática

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1 – FORÇAS
1.1 - Projeção de uma Força
F é a resultante das componentes F1 e F2 segundo os eixos 0y e 0x. Entretanto, F2 não representa a projeção de F sobre o eixo 0x, porque F1 também tem projeção sobre o eixo 0x.
Neste caso, a componente F1 não atua sobre e eixo 0x e nem a componente F2 atua sobre o eixo 0y. Logo, F1 e F2 são componentes de F sobre os eixos retangulares 0y e 0x, respectivamente.
Exercício: Calcular as projeções das forças sobre os eixos horizontal e vertical.
1.2 - Binário
Conjunto de duas forças paralelas de mesmo módulo e sentidos contrários.
O plano definido pelas duas forças, chama-se plano de ação do binário.
O binário produz rotação no corpo onde ele atua.
Módulo do binário: F x d
A determinação de um binário é feita através de: 
plano de ação;
sentido;
módulo (F x d). 
1.2.1 - Binários Equivalentes
Para que dois binários coplanares e de mesmo sentido sejam equivalentes é necessário e suficiente que sejam iguais os produtos F x d.
A ação de vários binários num mesmo plano é equivalente a um binário único, cujo momento é a soma algébrica de todos os binários.
Convenção: horário positivo, anti-horário negativo.
Exemplo:
1.3 - Momento de uma Força
O momento da força F em relação ao Ponto A é o momento do binário que seria formado, se no ponto A aplicássemos uma força igual e oposta a F.
Para cada ponto diferente de A ( à reta que passa por A, paralelo à direção de F, teremos valores diferentes de momentos, o que nos leva a concluir que o momento depende da distância.
 
Exercício: Dada a força F = 600 kgf, calcular os momentos por ela produzidos nos pontos A, B, C e D.
Convenção: horário positivo, anti-horário negativo.
Propor:
1.4 - Transporte de uma Força Paralelamente a si Mesma.
Exercícios: 
1) Transportar a força P = 1000 kgf para o ponto B.
2) Transportar a força P = 3000 kgf para o ponto A.
2 - Sistema de forças
M = M1 + M2 + M3 + M4 (soma algébrica dos momentos)
R - resultante do sistema (polígono de forças). É a soma vetorial das forças do sistema.
No esquema 1 temos várias forças coplanares atuando em um corpo e o ponto A.
No esquema 2 temos o resultado do transporte de todas as forças para o ponto A, com seus respectivos momentos de transporte.
No esquema 3 temos a soma algébrica dos momentos no ponto A (M) e a resultante (R) do sistema de forças concorrentes no ponto A.
Exercício: Reduzir o sistema de forças no ponto A.
Propor:
2.1 - Variação do Momento de um Sistema com o centro de Redução
R e MB são esforços resultantes da redução de um sistema de forças coplanares no ponto B. Pede-se reduzi-lo ao ponto A. É como se pegássemos os exercícios anteriores onde calculamos a resultante e a soma algébrica dos momentos e os transportássemos novamente em relação a qualquer ponto. 
Exercício: Reduzir os sistemas no ponto B.
2.2 - Determinação algébrica da resultante
Rx = F1x + F2x + F3x ( Rx = ( Fx
							( 
Ry = F1y + F2y + F3y ( Ry = ( Fy
A projeção da resultante sobre um eixo qualquer é igual à soma algébrica das projeções da todas as forças do sistema sobre esse eixo.
Aplicação: Reduzir o sistema de forças no ponto A e determinar graficamente a resultante.
Exercício: Reduzir o sistema no ponto A.
3- Eixo Central
MA e R são esforços resultantes da redução de um sistema de forças coplanares no ponto A.
MS varia linearmente com x. Quando x = c (reta S coincide com C - eixo central) ( MS = 0
Logo:
0 = MA – R x ( 
Mas, se x = c ( 
c - distância da resultante R ao eixo central. 
Portanto, o eixo central do sistema é a reta paralela à resultante e que em relação a ela é nulo o momento do sistema.
Logo, concluindo, o eixo central de um sistema de forças coplanares é o lugar geométrico dos pontos em relação aos quais o sistema se reduz só à sua resultante.
Aplicação: Determinar o eixo central.
Comentário: Supondo a resultante aplicada nos dois eixos paralelos a ela própria, será o eixo central aquele que produzir um momento de mesmo sentido ao aplicado no ponto.
Aplicação: Determinar o eixo central.
Observações:
Se R = 0 não se define o eixo central ( 
 ( 
(indeterminação)
Quando um sistema tem eixo de simetria, ele coincide com o eixo central.
 (MA = R x c (Teorema de Varignon)
“O momento de um sistema de forças coplanares em relação a um ponto qualquer, é igual ao momento da resultante, suposta sobre o eixo central, em relação ao mesmo ponto.”
Se R = 0 e M = 0, o sistema está equilibrado.
Se R = 0 e M ( 0, o sistema equivalente a um binário.
4 - Cargas distribuídas
4.1 - Resultantes
Em todos os casos previstos (carga uniformemente distribuída, carga triangular e carga trapezoidal, a resultante é obtida através da área das figuras.
4.2 - Momentos
4.2.1 - Carga Uniformemente Distribuída
O eixo central é o próprio eixo de simetria (item 2 das observações no capítulo anterior).
4.2.2 - Carga Triangular
O eixo central passa a 
 da base do triângulo e, consequentemente a 
 do vértice do triângulo. Com efeito, o eixo central está mais próximo da base do triângulo exatamente por causa de sua maior massa.
Demonstração:
Vamos considerar o elemento infinitesimal dx, de ordenada p.
A resultante relativa ao elemento infinitesimal será dada através de:
Logo o momento (F x d) em relação ao ponto B deverá ser:
Por semelhança de triângulos, temos: 
Substituindo, temos:
Fazendo x = L ( 
A posição do eixo central em relação ao ponto B será:
4.2.3 - Carga Trapezoidal
Consideraremos como duas cargas superpostas; a uniformemente distribuída e a triangular. Desta forma, caímos nos dois casos anteriores. 
5 - EQUILÍBRIO DOS SISTEMAS DE FORÇAS
5.1 - Condições Gerais de Equilíbrio
Para que um sistema de forças seja equilibrado, é necessário e suficiente que sejam satisfeitas as seguintes condições:
A soma das projeções de todas as forças coplanares do sistema, sobre dois eixos quaisquer 0x e 0y deve ser nula.
A soma dos momentos de todas as forças do sistema em relação a um ponto arbitrário A, do seu plano, deve ser nula.
Isto é: 
As duas primeiras condições são necessárias para que a resultante do sistema se anule. A terceira é necessária para que o sistema não se reduza a um binário.
6 – ESTRUTURAS DE ALMA CHEIA
As estruturas de alma cheia estão sujeitas à flexão e as treliças (reticuladas) à tração ou compressão.
Estruturas lineares planas - sua seção transversal reduz-se ao seu próprio eixo (centro de gravidade) onde iremos supor aplicadas as cargas.
6.1 - Conceitos Básicos
Articulação ou rótula: é todo o sistema que realiza a ligação de uma barra permitindo, sem esforços, o deslocamento angular relativo dos elementos que ela separa.
Articulação perfeita: é quando existe ausência completa de esforços opondo-se aos deslocamentos angulares.
Articulação simples: é a articulação de flexão que só permite o deslocamento angular em torno de um eixo, no mesmo plano.
Vínculo ou liberdade: ao eliminarmos um vínculo (interno ou externo) em um conjunto de barras, dizemos que foi dada uma liberdade (interna ou externa) a esse conjunto. Da mesma forma, ao eliminarmos uma articulação (internaou externa) em um conjunto de barras, dizemos que foi criado um vínculo (interno ou externo) nesse conjunto.
Deslocamentos geométricos: um conjunto de barras será geometricamente indeslocável quando nenhum de seus pontos puder sofrer deslocamentos geométricos em relação ao meio exterior.
Sujeições: nas estruturas lineares planas teremos sujeição completa quando não houver nenhum deslocamento no plano da estrutura, a não ser que uma ou mais barras se deformem.
Corpo livre: não possui qualquer ligação com o meio exterior, isto é, não possui apoios.
Malha: conjunto fechado de barras.
A malha é um corpo livre (não existe ligação com o meio exterior – apoios).
A malha é geometricamente indeslocável. Seus pontos estão impedidos de sofrer deslocamentos geométricos uns em relação aos outros, logo a sujeição é completa.
A malha deformou-se. Houve deslocamento geométrico dos pontos, logo a sujeição é parcial.
Malha indeformável - conjunto indeslocável, logo a sujeição é completa. Não há deslocamento geométrico dos pontos que compõem o conjunto. A malha está ligada a uma barra AE, que possui ligação com o meio exterior, através do apoio em A.
Malha indeformável - conjunto deslocável, por causa da articulação em A. Logo a sujeição é parcial. 
Malha deformável - conjunto deslocável, logo a sujeição é parcial. 
Malha indeformável por causa do vículo externo (barra AB), que impede o deslocamento dos pontos que compõem o conjunto. Logo o conjunto é indeslocável e a sujeição é completa. 
Vínculos superabundantes: uma estrutura que possui sujeição completa, terá vínculos superabundantes se tiver acrescido um ou mais vínculos (internos ou externos) ou eliminada uma ou mais articulações (internas ou externas).
6.2 - Classificação das Estruturas quanto ao Grau de Sujeição
Isostáticas: têm sujeição completa e não possui vínculos superabundantes (internos ou externos).
Hiperestáticas: têm sujeição completa e possuem um ou mais vínculos superabundantes (internos ou externos). O grau de hiperestaticidade será dado pelo número de vínculos superabundantes.
Hipostáticas: Possuem sujeição parcial. O equilíbrio deste tipo de estrutura é instável.
6.3 - Tipos de Apoio - Parâmetros a Determinar
Apoio articulado móvel: é constituído por uma articulação perfeita e permite, sem esforços, o deslocamento linear numa determinada direção. A reação que ele aplica, passa pelo centro de gravidade da articulação e é perpendicular ao deslocamento que ele permite.
Representação:
Neste caso, temos somente um parâmetro (vínculo) a determinar.
Apoio articulado fixo: é constituído por uma articulação perfeita e não permite deslocamentos lineares.
Representação:
Neste caso, são dois parâmetros (vínculos) a determinar.
Engastamento ou apoio engastado: é aquele sobre o qual não há deslocamentos angulares nem lineares as estrutura.
Representação:
Neste caso, são três os parâmetros (vínculos) a determinar.
7 - Formação da Viga sobre dois apoios
Ponto geometricamente fixo: para que um ponto seja geometricamente fixo, é necessário e suficiente que ele seja impedido de se deslocar segundo duas direções quaisquer, o que se consegue com dois vínculos (apoio articulado fixo).
Neste caso, o ponto A é geometricamente fixo, pois está impedido de se deslocar segundo duas direções H e V. Entretanto, a barra AB sofre deslocamento angular, por causa da articulação. Logo, a sujeição é parcial. Para obtermos a sujeição completa e, consequentemente, formarmos a viga isostática sobre dois apoios é necessário, que impeçamos o deslocamento angular, o que conseguimos com mais um vínculo (apoio articulado móvel em B). Desta maneira, a estrutura passa a ter sujeição completa, e é isostática porque não possui nenhum vínculo superabundante.
Quanto à forma do seu eixo as vigas isostáticas podem ser:
7.1 - Cálculo das Reações de Apoio de uma Estrutura Isostática
O cálculo é feito por intermédio de um sistema de equações algébricas, que estabelecem as condições gerais de equilíbrio, supondo-se rígidas todas as barras. São chamadas de reações de equilíbrio ou da estática.
Cada vínculo imposto à estrutura acarreta uma nova incógnita no problema. Esse vínculo se traduz pelo esforço necessário para que o deslocamento que ele impede, não se realize.
No caso das estruturas isostáticas, os vínculos existentes são apenas os necessários para que não ocorram deslocamentos geométricos.
7.2 - Classificação das Estruturas
Isostáticas: o número de equações é igual ao número de incógnitas (vínculos)
Hiperestáticas: o número de equações é menor que o número de incógnitas (vínculos).
Hipostáticas: o número de equações é maior que o número de incógnitas (vínculos).
7.3 - Cálculo das Reações de Apoio - Marcha de Cálculo
Para determinarmos as reações de apoio de uma estrutura, procedemos da seguinte maneira: transformamos a estrutura em um corpo livre, substituindo-se todas as ligações externas (apoios) pelas reações correspondentes (reações de apoio / vínculos). Nestas condições a estrutura denomina-se diagrama de corpo livre. A partir daí, estabelecemos por meio das equações algébricas, todas as condições para que o corpo livre esteja em equilíbrio.
Exemplo: Seja a viga sobre dois apoios (3 vínculos)
Condições de equilíbrio
São condições necessárias para que a resultante do sistema seja nula.
É condição necessária para que o sistema não se reduza a um binário.
Estruturas tri-articuladas: possuem três articulações
Seja o conjunto de barras AB e AC, articulado em A. Neste caso, vai haver o deslocamento geométrico das duas barras AB e AC, por causa da articulação ( Sujeição parcial.
Vamos criar no conjunto de barras os três vínculos da isostática. Nestas condições, podemos observar que o ponto C não é geometricamente fixo, pois o apoio em C, articulado móvel, permite o deslocamento linear na direção indicada. Temos então um só vínculo perpendicular ao sentido do deslocamento linear. Logo, a sujeição é parcial - estrutura hipostática.
Para que não ocorram deslocamentos lineares, o ponto C tem que ser geometricamente fixo, o que acontecerá se acrescentarmos mais um vínculo. Nestas condições, o apoio passa a ser articulado fixo. Desta maneira, a estrutura tem sujeição completa - estrutura isostática.
Entretanto, vimos que “cada vínculo imposto à estrutura, acarreta uma nova incógnita no problema”. Logo, além das três condições de equilíbrio, precisamos de mais uma para resolver o problema.
Ocorre que, para haver equilíbrio neste tipo de estrutura é necessário que a somatória dos momentos em relação à articulação interna seja nula de um lado ou de outro dessa articulação.
8 - ESFORÇOS SOLICITANTES
Consideremos na estrutura abaixo uma de suas seções transversais, SS’, por exemplo.
Vamos supor que os sistema de forças da estrutura acima esteja equilibrado. Logo, as forças que atuam no trecho AS (HA, VA, P e P2) e as que atuam no trecho BS (VB, P3, P4 e P5) são iguais e contrárias. Elas constituem dois sistemas de forças iguais e opostos, que tendem a provocar em AS e BS movimentos contrários.
Esses sistemas se reduzem na seção SS’ a esforços iguais e contrários. Os movimentos que mencionamos acima, provocam tensões de tração ou compressão na seção considerada. Eles são responsáveis pela ligação das duas partes da estrutura. Eles determinam o equilíbrio do conjunto.
Representação do que acontece na seção considerada.
Exercício: Dada a estrutura abaixo, pede-se:
Determinar os esforços solicitantes em S, considerando-se o sistema atuanteem AS.
Componente da resultante normal à seção (N)
NS (AS) = 2 + 4 = 6 t
Componente da resultante paralela à seção (Q)
QS (AS) = VA - 3 = 1,25 t
Componente da resultante do momento (M)
MS (AS) = VA x 3 – HA x 6 – 4 x 3 – 3 x 1 = -14,25 t x m (sent. anti-
 horário)
Determinar os esforços solicitantes em S, considerando-se o sistema atuante em BS.
Componente da resultante normal à seção (N)
NS (BS) = - 6 t
Componente da resultante paralela à seção (Q)
QS (BS) = VB - 5 = 3,75 – 5 = -1,25 t
Componente da resultante do momento (M)
MS (BS) = - VB x 5 + 6 x 3 + 5 x 3 = 14,25 t x m (sent. horário)
Representação:
Seja a seção S da estrutura.
Verificações:
As forças que atuam no trecho AS e as que atuam no trecho BS são iguais e contrárias.
Constituem dois conjuntos de forças iguais e opostos, que provocam em AS e BS movimentos contrários.
Os sistemas se reduzem na seção S a esforços iguais e contrários.
Os movimentos contrários provocam tensões de tração ou compressão na seção considerada.
N - força normal à seção considerada
NS (AS) - soma algébrica das forças normais à seção S no trecho AS.
Q - força paralela à seção considerada. Tende a cortar a estrutura na seção considerada.
QS (AS) - soma algébrica das forças paralelas à seção S no trecho AS.
MS (AS) - soma algébrica dos momentos relativos ao trecho AS.
8.1 - Esforços Solicitantes - Efeito dos Esforços Externos
Os valores de N, Q e M, dependem da seção considerada.
(N) - esforço normal a seção S. Pode ser de tração ou compressão. Soma algébricas das projeções.
(Q) - esforço paralelo à seção S. Tende a deslocar a seção, cortar a seção. Soma algébricas das projeções.
(M) - momento fletor - soma algébrica dos momentos produzidos pelas forças que atuam de um lado ou de outro da seção considerada.
Convenção de sinais:
(N) 
(Q) 
(M) 
8.2 - Diagrama de Esforços Solicitantes
Ao traçarmos os diagramas de M, N e Q, obtemos:
Conjunto de valores de cada esforço solicitante, nas diversas seções consideradas da estrutura.
Visão geral de como está sendo solicitada a estrutura.
8.3 - Relações Diferenciais
Vamos supor uma barra reta qualquer.
Consideremos o elemento infinitesimal da barra, compreendido entre as seções transversais CC e C’C’, de abscissas x e (x + dx), contadas de uma origem qualquer 0.
Atuando sobre esse elemento encontram-se além da carga distribuída p = f (x) - constante no trecho dx, os esforços N,Q e M correspondentes à ação da parte retirada à esquerda do elemento e os esforços (N + dN), (Q + dQ) e (M + dM) correspondentes à ação da parte retirada à direita do elemento.
Vamos aplicar as equações de equilíbrio:
( H = 0 ( 
 
( V = 0 ( 
( MG’ = 0 ( 
Desprezando-se o elemento infinitesimal de 2a ordem, temos:
Observações:
dN = 0 ( N é constante, a carga é perpendicular ao eixo da barra ou é nula.
Se p = 0 (carga concentrada) ( Q é constante e o momento fletor varia linearmente, segundo uma reta do tipo ax + b.
Se p = constante (carga uniformemente distribuída) ( o diagrama de Q é linear ( 
 e o diagrama de M é uma parábola do 2o grau ax2 + bx + c.
Se p = f (x) (carga triangular ou trapezoidal) ( o diagrama de Q é uma parábola do 2o grau e o diagrama de M é uma curva do 3o grau.
Se Q = 0 ( Momento fletor é máximo ou mínimo onde a força cortante se anulou.
Se o diagrama de Q sofre descontinuidade (passa de positivo para negativo ou vice-versa) ( o diagrama de M apresenta um ponto anguloso. Neste caso, o momento fletor M passa de crescente a decrescente ou vice-versa. Nesta seção, o momento atinge a um máximo ou mínimo.
No traçado do diagrama de M, a concavidade da curva é sempre voltada para a carga.
No caso do diagrama de Q, vai depender do carregamento.
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