1 Lista exercicios GAAL

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Instituto Federal do Norte de Minas Gerais - IFNMG - Campus Janua´ria
Disciplina: Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
Profa: Adriana M. S. Castro
Acadeˆmico(a): Data: 24 de Marc¸o de 2018
Lista de Exerc´ıcios 1: Matrizes, Desterminantes e Sistemas Lineares
1. Dadas as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 3 com aij = 3i+ 4j e bij = i− 3j.
Determine a matriz C, sabendo que C = A + B.
2. Determine o valor de a , b , c e d para que as matrizes sejam iguais.
A =
(
a (3c− 2d)
(−a + 3b) +d
)
B =
(
7 3
8 −1
)
3. Sendo as matrizes
A =
 2 41 2
0 −1
 B = ( 1 0−3 1
)
C =
(
2
1
)
Determine, caso exista,
(a) A.B
(b) C + B
(c) A.C
(d) −3.A
4. Verifique se sa˜o verdadeiras ou falsas as afirmac¸o˜es a seguir. Justifique sua resposta.
(a) ( ) O sistema
{
2x− 3y = 4
6x− 9y = 15 e´ um sistema incompat´ıvel.
(b) ( ) Em geral, a existeˆncia do produto AB implica na existeˆncia do produto BA.
(c) ( ) Se A =
(
2 3
1 4
)
, enta˜o A2 − 6A + 5I2 = 0, onde A2 = A.A e 0 e´ a matriz nula.
(d) ( ) Ao soluc¸a˜o do sistema
{
2x− 3y = 4
6x + 9y = 15
e´ x =
1
6
e y =
7
2
5. Dadas as matrizes A =
(
9 5
7 4
)
e B =
(
4 n
m 9
)
determinar m e n para que B seja inversa de
A.
6. Dada a matriz A =
 0 −9 34 8 1
7 3 1
. Classificar as matrizes A + AT e A − AT em sime´trica ou
anti-sime´trica.
1
7. Determine x, y e z de modo que a matriz A =
 1 0 00 1√
2
1√
2
x y z
 seja ortogonal.
8. Classifique os sistemas lineares a seguir.
(a)

x + y + 2z = 0
4x + y + 3z = 0
2x− y − z = 0
(b)

2x + y = −1
x + y + z = 3
4y − z = 1
(c)

2x + 4y + 6z = −6
3x− 2y − 4z = −8
x + 2y + 3z = −3
(d)

x + 3z = −8
2x− 4y = −4
3x− 2y − 5z = 26
9. Calcule o detrminante de cada uma das matrizes:
(a) A =
(
4 5
0 8
)
(b) B =
(
2 4
6 1
)
(c) C =
 1 0 02 5 0
3 0 2

(d) D =
 1 2 45 9 2
2 3 1

(e) E =
 1 4 11 2 3
3 5 2

(f) F =

3 2 4 2
2 1 5 4
6 4 7 5
6 5 3 3

2
(g) E =
 1 0 53 0 16
2 0 9

10. Determine x, x ∈ R, de modo que:
(a)
∣∣∣∣∣∣
1 2 1
2 5 3
3 x 4
∣∣∣∣∣∣ = 0
(b)
∣∣∣∣∣∣∣∣
x− 1 4 5 3
0 x 1 −4
0 0 x− 5 3
0 0 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
(c)
∣∣∣∣∣∣
1 2 x
2 x 1
1 1 −2
∣∣∣∣∣∣ = 0
(d)
∣∣∣∣∣∣
x 1 4
3 x− 1 2
1 1 6
∣∣∣∣∣∣ = 0
11. Para que valores reais de a a equac¸a˜o a seguir, na varia´vel x, admite duas ra´ızes reais e distintas?∣∣∣∣∣∣
x a 1
3 x 4
2 3 1
∣∣∣∣∣∣ = −20
12. Calcule, caso exista, a matriz inversa das matrizes a seguir.
**Teorema: Uma matriz quadrada A de ordem n e´ invers´ıvel se, e somente se , detA 6= 0.
(a) B =
(
2 4
6 1
)
(b) C =
 1 0 02 5 0
3 0 2

(c) E =
 1 0 53 0 16
2 0 9

3
(d) A =
 −2 9 −3−3 3 −3
1 0 1

(e) D =
 3 2 11 4 0
1 3 2

** Propriedades de Determinantes:
P1: Se A e´ uma matriz quadrada, enta˜o detA = detA
t;
P2: Se os elements de uma linha (ou coluna) de uma matriz A forem todos iguais a zero, enta˜o
detA = 0
P3: Se multiplicarmos uma linha (ou coluna) de uma matriz A por um nu´mero real k, obtemos uma
nova matriz B tal que detB = k.detA
Exemplo: Se A =
 3 4 51 1 3
2 5 1
 e B =
 15 20 251 1 3
2 5 1
, enta˜o detB = 5.detA
Atenc¸a˜o: Se A =
 1 3 22 5 1
2 1 3
 e B =
 4 12 82 5 1
10 5 15
, enta˜o detB = 4.5.detA
Resumindo: Se multiplicarmos todos os elementos de uma matriz quadrada A por um nu´mero real
k, obteremos uma nova matriz B, tal que detB = kndetA, onde n e´ o nu´mero de linha de A.
P4: Se uma linha (ou coluna) e´ mu´ltipla de uma linha (coluna) paralela, enta˜o detA = 0
Exemplo: Se A =
 2 1 101 2 5
4 1 20
 , detA = 0
P5: Permutando duas linhas (ou colunas) entre si de uma matriz quadrada A, obtemos uma nova
matriz B, tal que detB = −detA
Exemplo: Se A =
 1 2 30 4 1
2 3 1
 e B =
 3 2 11 4 0
1 3 2
 (Permutou-se a primeira e a terceira
coluna da matriz A), enta˜o se detA = −19 , temos que detB = 19. Verifique!!!!!
Bom Trabalho!
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