Cônicas e Aplicações

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Cônicas e Aplicações
Por
Eric Wanderley de Souza
2008
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Cônicas e Aplicações
Por
Eric Wanderley de Souza
Monografia conclusiva do Curso de Especialização em 
Matemática para Professores que confere, ao autor, o grau de 
Especialista em Matemática, com ênfase em Geometria, pela 
Universidade Federal de Minas Gerais.
Orientador: Professor Paulo Antônio Fonseca Machado, Dr.
Belo Horizonte – Brasil
2008
 
3
AGRADECIMENTOS 
Quero agradecer a todos que de forma direta ou indireta contribuíram para a 
realização deste trabalho que marcou uma nova etapa de minha vida, representando a 
capacidade inerente do homem em vencer desafios.
Em primeiro lugar à minha amada esposa Erika, presente nos maiores e 
melhores momentos que eu já vivi, me presenteando com seu amor, apoio 
incondicional, companheirismo e cumplicidade.
À minha filha Izabel, que com sua vinda tornou a nossa vida mais bela, 
alegre e significativa, ela foi realmente um presente de Deus. 
Aos professores e colegas que tive o prazer de conviver durante este 
período, em especial ao Professor Paulo Antônio, meu orientador, com seu bom-humor 
e sabedoria constantes (ainda existem grandes e especiais pessoas neste mundo!!).
Aos meus pais, meus primeiros orientadores nessa vida, ensinando-me 
valores éticos e morais, e por terem me dado carinho, amor e dedicação, que hoje 
repasso na educação de minha filha.
E é claro a Deus, por nos dar a opção de diariamente fazermos nossas 
escolhas, e assim construirmos nossas vidas em comunhão com nossos semelhantes.
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 SUMÁRIO 
Introdução ........................................................................................................................ 6 
Capítulo 1 -A Elipse ....................................................................................................... 10 
Capítulo 2 – A ParÁbola ................................................................................................ 19 
Capítulo 3 – A Hipérbole ............................................................................................... 29 
CONCLUSÃO ................................................................................................................. 38 
BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................... 39 
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INTRODUÇÃO
O curso de especialização em Geometria serviu-me como fonte de inspiração e 
conhecimento para que pudesse escolher o assunto cônicas como tema de minha 
monografia.
Este tema chamou-me a atenção pelo fato de estar tão ligado e presente em nossa 
realidade cotidiana, que, para encontrá-lo, basta termos os olhos atentos.
As curvas planas conhecidas como Cônicas são três curvas obtidas à partir de 
intersecções de um plano com um cone reto.
 Uma das origens do estudo de cônicas está no livro de Apolônio de Perga 
(c.261a.C.), intitulado Cônicas, no qual se estudam as figuras que podem ser obtidas ao 
se cortar um cone com ângulo do vértice reto por diversos planos. Anteriormente a este 
trabalho existiam estudos elementares sobre determinadas interseções de planos 
perpendiculares às geratrizes de um cone, obtendo-se elipses, parábolas e hipérboles, 
conforme o ângulo do corte fosse agudo, reto ou obtuso, respectivamente (fig.1).
 
 
Fonte: www.soko.com.ar (2006)
Figura 1: seções cônicas por um plano.
Se bem que nessa época, não se dispunha da geometria analítica; Apolônio faz 
um tratamento das mesmas que se aproxima muito daquela. Os resultados obtidos por 
ele foram os únicos que existiram até que Fermat (1601-1665) e Descartes (1596-1650), 
em uma das primeiras aplicações da geometria analítica, retomaram o problema 
estudando-o quase completamente, mesmo não manejando coordenadas negativas, com 
as restrições que isto impõe.
6
Quanto ao aparecimento das cônicas em nosso dia-a-dia, este é vasto. Falaremos 
sobre isto começando pela elipse.
A primeira Lei de Kepler (1571-1630) sobre movimento dos planetas no nosso 
Sistema Solar diz que os mesmos seguem trajetórias elípticas, no qual o Sol encontra-se 
posicionado em um de seus focos. Também para que Isaac Newton (1643-1727) 
pudesse desenvolver sua famosa Lei de Gravitação Universal seu conhecimento sobre 
cônicas com certeza era bem vasto.
A elipse também está presente na área de saúde humana, onde os espelhos 
refletores usados pelos dentistas tem formato elíptico assim como os aparelhos 
utilizados em tratamentos radioterápicos, principalmente contra o câncer.
Fonte: www.google.com.br (2007)
Figura 2: Consultório odontológico:Espelho Elíptico
Finalmente, também encontraremos a elipse em certos museus de ciência e nos 
castelos de alguns monarcas europeus excêntricos, na forma de “salas de sussurros”.
Em segundo lugar falaremos da parábola.
Para alunos do Ensino Fundamental a mesma é bastante explorada no tema 
funções, pois esta representa o gráfico de uma função polinomial de segundo grau. 
Quando vamos à algum bebedouro público, a água que jorra deste descreve uma curva 
parabólica, assim como qualquer objeto lançado de forma oblíqua em uma região com 
algum campo gravitacional, como por exemplo a nossa superfície terrestre.
Tem-se também aplicações ligada a engenharia de telecomunicações com as 
antenas parabólicas; automobilística no formato dos faróis dos carros; e arquitetônica 
7
amplamente utilizada por alguns arquitetos e engenheiros, como o centenário Oscar 
Niemeyer, no projeto da “Igrejinha” da Pampulha (fig.2)
. 
 Fonte: www.google.com.br (2007)
Figura 3: Igreja de São Francisco (Belo Horizonte- Minas Gerais-Brasil) 
Por último falaremos da hipérbole. 
Para alunos do Ensino Médio, no assunto funções, ligado ao comportamento dos 
gases, a Lei que rege a variação do seu volume quando varia sua pressão, 
isotermicamente, descreve no seu gráfico um dos ramos da hipérbole. 
Além disso, a hipérbole tem importante aplicação na tecnologia dos telescópios. 
O primeiro cientista a construir um foi Galileu Galileu (1564-1642) (telescópio refrator) 
, modelo aperfeiçoado por Isaac Newton e finalmente com a tecnologia do espelho 
hiperbólico, em 1672, pelo astrônomo francês Cassegrain (1629-1693) chegou a sua 
forma atual (telescópio refletor). Destacamos o famoso telescópio óptico do 
obsertvatório de Monte Palomar, nos Estados Unidos, que utiliza várias montagens do 
tipo Cassegrain (fig.3).
8
 
 Fonte: www.google.com.br (2007)
 Figura 4: Observatório Monte Palomar (EUA)
 
Nas páginas seguintes daremos a definição geométrica e analítica das cônicas, 
proporemos atividadespráticas, que servirão como sugestão para o professor utilizar em 
sala de aula, e finalmente explicaremos sucintamente os mecanismos que explicam o 
funcionamento dos exemplos citados nesta introdução. 
9
CAPÍTULO 1 -A ELIPSE
Definição: Elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das 
distâncias a dois pontos fixos, chamados focos da elipse, é constante; e essa constante é 
maior que a distância entre os focos.
Fonte: www.soko.com.ar (2006)
Figura 5: Seção Cônica elíptica.
 Observe a figura abaixo, onde d(F1,T) + d(F2,T)=k onde F1 e F2 são 
chamados focos da elipse, d(A,B) é a distância do ponto A ao ponto B, k é uma constante 
e E a elipse.
Figura 6: A Elipse.
Vamos agora apresentar uma construção com régua e compasso que determina 
qualquer ponto de uma elipse dados os focos e a constante k.
Sejam F1 e F2, pontos distintos do plano, focos da elipse E. Tracemos uma 
circunferência C1 de centro F1, e raio k (k>d(F1,F2) .Tomemos um ponto P, qualquer, 
sobre C1.
Unimos P a F2 por um segmento de reta. Tracemos então a reta r passando por 
P e F1.
Finalmente tracemos a mediatriz m, de 2PF ;
10
Notemos que Tmr =∩ é ponto de E, pois:
kTPTF =+1 (constante = raio de C1)
e,
kTFTFTFTP =+⇒= 212 (por construção)
portanto,
ET ∈ .
Figura 7: Ilustração da propriedade da elipse.
Essa construção pode perfeitamente ser feita com o auxílio de um programa de 
desenho geométrico como o Z.u.L.. A vantagem deste programa é o recurso de trilhar a 
trajetória de um ponto quando outro ponto escolhido se movimenta. O desenho acima, 
então, adquiriu o seguinte aspecto:
11
Figura 8: Esboço da trajetória do ponto genérico T formando a elipse.
Temos o ponto T trilhando sua trajetória, e o ponto P deslocando-se ao longo de 
C1. Eis que surge E. 
Agora faremos a demonstração analítica da equação que define a elipse; para 
simplificar vamos supor a elipse centrada na origem e disposta simetricamente em 
relação a cada um dos eixos coordenados, de forma que o eixo Ox seja coincidente com 
OF (fig.8).
Fonte: www.soko.com.ar (2006)
Figura 9: Parametrização da Elipse.
Sejam a e c números reais positivos tais que a>c, e coloquemos os focos sobre 
o eixo das abscissas, situados nos pontos F(c,0) e F’(-c,0). Tomemos um ponto 
qualquer P da elipse, cujas coordenadas são (x,y) (fig.9). Seja a soma das distâncias 
d(P,F)+d(P,F’) igual a 2ª, ou seja, d(P,F)+d(P,F’)=2a. A quantidade a é chamado 
raio maior da elipse. 
12
Fonte: www.soko.com.ar (2006)
Figura 10: Escolha de um ponto genérico P da elipse.
Aplicando a equação das distâncias entre pontos de ℜ 2 teremos que:
aycxycx 2)²0()²()²0()²( =−+−+−++
 
Para eliminar os radicais, elevamos ambos os membros dessa equação ao 
quadrado, donde resulta:
²)²(2²)²(²)²( ycxycxycx ++++−+++ ²)²( ycx +− ²4a= 
Ou ainda, após simplificações:
)2²²²)(2²²²( cxycxcxycx −+++++ ²²²²2 ycxa −−−= 
Eliminamos em seguida o radical com uma nova elevação ao quadrado:
²)]²²²(²2[²²4²)²²²( ycxaxcycx ++−=−++ , 
Ou seja,
²),²²²(44²²4 4 cyxaaxc ++−=− 
Que é equivalente à,
 
²)²²(²²²²)²( caayaxca −=+− (1) 
Observemos que, ca > ; logo, pondo ²² cab −= e dividindo ambos os 
membros de (1) por ²²ba , obtemos finalmente a expressão:
13
 1
²
²
²
²
=+
b
y
a
x
 
 
Se a elipse estivesse centrada no ponto ),( qp a equação passaria a ser, por 
translação:
1
²
)²(
²
)²(
=
−
+
−
b
qy
a
px
 
 
Se desenvolvermos os quadrados teremos: 
0²²²²²²²2²2²²²² =−++−−+ baaqbpyqaxpbyaxb
Se fizermos: 
²²²²²²
²2
²2
²
²
baaqbpE
qaD
pbC
aB
bA
−+=
−=
−=
=
=
Teremos a equação: 0²² =++++ EDyCxByAx , onde podemos comprovar 
que é semelhante à da circunferência exceto pelos termos A e B não necessariamente 
iguais.
Exemplo:
 Seja a equação 0815424²9²4 =+−++ yxyx
Então teremos que: 3²99;2²44 ±=⇒=⇒=±=⇒=⇒= aaBbbA
Os dois raios da elipse são: sobre o eixo Ox, a = 3; sobre o eixo Oy , b = 2. 
Encontremos o centro (p, q). 
14
3²22424 −=⇒−=⇒= ppbC 
3²25454 =⇒=−⇒−= qqaD
O centro é, então, (p,q) = (-3,3). Para verificarmos que se trata de uma elipse 
calculemos E que deverá ter o valor de 81. 81²²²²²² =−+= baaqbpE
 A equação da elipse fica afinal: 
1
4
)²3(
9
)²3(
=
−
+
+ yx
 
A definição da elipse pode ser utilizada para traçá-la de maneira concreta como 
descrevemos a seguir:
Material: 01(uma) folha de papel A4, 02 (duas) tarraxas, um pedaço de barbante, 
um plano de isopor, madeira macia ou papelão e lápis colorido.
Colocamos a folha de papel A4 sobre o isopor, aproximadamente no centro da 
folha fixamos as duas tarraxas a uma distância de aproximadamente 13 cm, amarramos 
as duas pontas do barbante com 18 cm, uma em cada tarraxa, e mantendo o barbante 
esticado com o lápis colorido traçamos a elipse. Estas medidas propostas são 
interessantes para que o desenho não fuja do tamanho do papel e para que a elipse tenha 
um formato bem oval, nem muito redondo nem muito achatado.
Bem, dessa forma traçamos uma elipse. Aproveitaremos este desenho para 
realizarmos uma atividade bastante interessante que é a construção de um brinquedo, a 
“mesa mágica de bilhar”. Com a forma da elipse desenhada no papel, procuramos um 
marceneiro para a construção da mesa mágica. Pegamos um compensado ou 
aglomerado de madeira, tipo MDF, cobrimos com um pano de algodão verde, como os 
das mesas de bilhar, e também com o MDF fazemos, em volta desta, uma parede na 
forma da elipse. Depois com ajuda de uma furadeira, na posição de uma das tarraxas 
faremos uma caçapa, e na outra apenas marcamos o local com tinta. Está pronta a mesa 
mágica. Para testá-la colocamos uma bola de gude no foco marcado a tinta e com um 
taco lançamos a bola em qualquer direção contra a parede, e a mesma seguirá em 
direção ao outro foco, onde está a caçapa, e é lá que sempre a bola irá cair. 
15
O comportamento da bola observado nesta construção serve de modelo para 
chegarmos à explicação de por que a elipse é usada na construção das salas de 
sussurros, nos espelhos de dentistas, aparelhos de radioterapia e outros. Para tanto 
iremos nos valer das “propriedades refletora e bissetora das elipses”.
Graças a estas propriedades, no espelho dos dentistas, a forma elíptica faz com 
que os raios de luz se concentrem no dente a ser tratado, facilitando a visualização pelo 
odontólogo e evitando o desconforto de ser ofuscado, pelo feixe de luz, o paciente.
Por sua vez, nos tratamentos radioterápicos, células doentes são eliminadas 
enquanto células sadias ao seu redor não são afetadas.
Já nas “salas de sussurros”, duas pessoas posicionadas nos focos da sala de 
formato elíptico comunicam-se por voz sussurrada, visto que o formato oval da sala, faz 
com que todas as ondas sonoras que saem de um dos focos, em todas as direções, 
percorram a mesma distância e cheguem ao mesmo tempo no outro foco, ampliandosobremaneira o som inaudível no restante da sala.
A propriedade refletora nada mais é que a explicação de uma característica das 
elipses, que diz que a soma das distâncias a cada um dos focos a qualquer ponto 
localizado na superfície da elipse é constante. Isto faz com que todas as ondas, sonoras 
ou luminosas, percorram a mesma distância e por tanto gastem o mesmo intervalo de 
tempo para saírem de um foco e chegarem ao mesmo tempo ao outro, 
independentemente da direção tomada, além da segunda propriedade descrita seguir.
Agora iremos analisar a segunda propriedade, a bissetora das elipses. Para tanto 
iremos nos lembrar e utilizar duas leis da física sobre a reflexão; a primeira nos diz que 
o ângulo de incidência e reflexão são iguais em um plano, e a segunda nos diz que a 
reflexão em cada ponto de uma superfície se comporta como se fosse no plano tangente 
à superfície, no respectivo ponto.
Teorema 1.1 (Propriedade bissetora da elipse): Seja uma elipse E de focos F1 e 
F2 e seja T um ponto de E. Então a reta r tangente a E em T, forma ângulos iguais a1 e 
a2 com os raios focais F1T e F2T.
16
Figura 11: Reta tangente à elipse.
Demonstração: Lembramos que tal como uma circunferência, teremos uma reta 
tangente à elipse se esta a toca em apenas um, e somente um ponto, o ponto de 
tangência. 
Denotando a distância entre dois pontos R e S por d (R,S) e defimos a elipse E 
como o lugar geométrico dos pontos X que satisfazem a propriedade métrica:
d (X, F1) + d (X, F2) = k (constante)
Concluímos que um ponto A não pertence à elipse se, e somente se: 
d(A,F1) + d (A,F2) ≠ k
Portanto, uma reta r será tangente à elipse E em um ponto T se, e somente se, 
tocar E unicamente em T ( pela tangência), e para um outro ponto qualquer de r, A, 
tenha-se T ≠ A, ou seja:
d(A,F1) + d(A,F2) ≠ d(T,F1) + d(T,F2)
Seja, agora, um ponto T na elipse E e tomemos uma reta s (bissetriz de um dos 
ângulos formados pelas retas F1T e F2T) de modo que o ângulo entre F1T e s seja igual 
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ao ângulo entre F2T e s. Se mostrarmos que s é tangente a E em T, teremos mostrado a 
propriedade bissetora, devido à unicidade da tangente à elipse por um de seus pontos. 
Seja T um ponto de E. Então d(T,F1) + d(T,F2)=k, onde k é uma constante. 
Tomemos sobre s um ponto A ≠ T e consideremos o ponto F1’, simétrico de F1 em 
relação a s.
 Figura 12: Prova da unicidade de T.
A reta s é então mediatriz de F1F1’. Logo, d(T,F1)=d(T,F1’) e também 
d(A,F1)=d(A,F1’). Por construção, a reta s faz ângulos iguais com TF1 e TF2(a2 e a1 
respectivamente) e, pela simetria, os ângulos a2 e a3 são também iguais. Daí, os 
segmentos F2T e TF1’ fazem ângulos iguais com s e, portanto, os pontos F1’, T e F2 
são colineares. Segue-se então, pela desigualdade triangular, que:
k = d(T,F1) + d(T,F2) = d(T, F1’) + d(T,F2) = d(F1’,F2) < d(A,F1’) + d(A,F2) 
= d(A,F1) + d(A,F2)
Como d(A,F1) + d(A,F2) > k , concluímos que T é o único ponto de s que 
pertence à elipse, o que mostra que a reta s é tangente a E em T, c.q.d..
A constante k também pode ser identificada como 2a que é o comprimento do 
eixo maior da elipse, imaginando uma reta ligando os dois focos, a intersecção desta 
reta com a elipse determina dois pontos, chamemos de A e B, logo d(A,B)=2a.
18
CAPÍTULO 2 – A PARÁBOLA
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Na língua portuguesa, a parábola é uma figura de linguagem de uma narração 
alegórica que encerra uma doutrina moral; é interessante ver que para todas as cônicas 
(elipse, parábola e hipérbole) existe um ente lingüístico associado a elas. A elipse, por 
exemplo, representa a omissão de uma ou mais palavras que se subentendem, ao passo 
que a hipérbole é a figura de linguagem que engrandece ou diminui exageradamente a 
verdade das coisas.
Definição: a parábola é o lugar geométrico dos pontos que eqüidistam de um 
ponto fixo chamado de foco, e de uma reta também fixa chamada diretriz (ponto não 
pertencente à reta).
Fonte: www.soko.com.ar (2006)
Figura 13: Seção Cônica parabólica.
Seja F o foco e d a diretriz, na figura abaixo, se PD=PF, então P é um ponto da 
parábola de foco F e diretriz d.
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Figura 14: Característica da Parábola.
Para obter diversos pontos de uma parábola, com régua e compasso, dados o 
foco F e a diretriz d, seguimos os seguintes passos:
 Trace por F uma reta r perpendicular a d, e seja drD ∩= ;
O segmento DF chama-se parâmetro da parábola, e o ponto V, médio de DF, é 
chamado de vértice da parábola;
Para cada ponto A da semi-reta VF, trace a reta s, perpendicular a r;
A circunferência de centro F e raio AD corta s nos pontos P e P’, que pertencem 
à parábola, pois:
PF=P’F=AD (por construção)
Figura 15: Construção da Parábola.
Novamente com auxílio do Z.u.L. podemos trilhar o ponto P ao movimentar A 
sobre r, observe o traçado da parábola:
21
Figura 16: Esboço da Parábola.
A construção da parábola também pode ser feita de maneira concreta com 
materiais simples e um pouco de habilidade para desenhar.
Material:
Prancheta de madeira ou emborrachado de, aproximadamente, 40 cm de 
comprimento, por 30 cm de largura e 2cm de espessura com um suporte na extremidade 
inferior de aproximadamente, 2 cm de largura, colado na parte inferior da prancheta; 
esquadro, barbante fino ou linha grossa, lápis, papel, tesoura, percevejo e fita crepe.
Identifique os vértices do esquadro com os vértices do triângulo ABC, sendo B o 
ângulo reto;
Corte um pedaço de barbante com tamanho um pouco maior que o cateto BC;
Dê um nó em uma das pontas do barbante;
No vértice C, fixe com fita crepe a extremidade sem o nó, de maneira que o 
comprimento do barbante entre o nó e o vértice C seja exatamente igual a BC.
22
Figura 17: Esquadro e linha.
Coloque uma folha de papel sobre a prancheta. Um dos lados da folha deve ficar 
rente ao suporte dessa prancheta;
Fixe com um percevejo, o nó da extremidade livre do fio em um ponto F 
qualquer do papel, fora da reta suporte d. Sugestão: escolha o ponto F próximo ao 
centro da folha.
Coloque o cateto AB apoiado no suporte da prancheta;
Com a ponta de um lápis encostada no lado BC do esquadro, estique o barbante 
(figura abaixo);
Figura 18: Mecanismo para desenho da Parábola.
23
Deslize ao mesmo tempo sobre o papel a ponta do lápis (sempre encostada no 
esquadro, de maneira que o fio se mantenha sempre esticado), e o esquadro (ao longo da 
reta suporte).
Desse modo, à medida que o esquadro desliza ao longo da reta suporte, o lápis 
irá desenhar uma curva no papel, uma parábola.
Uma forma simples de entender porque esta construção funciona é perceber que, 
considerando a ponta do lápis como o ponto P, a distância PB será sempre igual a PF, 
visto que:
BCPFPC =+ (comprimento do barbante),
Mas,
BCBPPC =+ (cateto de ABC),
Então,
 BCPF = 
Portanto, P pertence à parábola.
Equação da Parábola:
Em um sistema de coordenadas, escolhemos adequadamente o foco ),0( pF = e 
a diretriz como py −= (p número real positivo):
24
Figura 19: Parametrização da Parábola.
Se ),( yxP = é tal que PDPF = , temos: 
pypyx +=−+ )²(² .
Elevando ao quadrado e cancelando os termos iguais dos dois lados, obtemos:
pyx 4² = ou ²4
1 x
p
y = ,
 
O que mostra que a equação de uma parábola é da forma ²axy = (uma função 
do segundo grau). Reciprocamente, dada uma função da forma ²axy = , é fácil provar 
que qualquer um de seus pontos possui distância ao ponto 


a4
1,0 igual à distância a 
reta 
a
y
4
1
−= , o que mostra que o gráfico de ²axy = é umaparábola. (As passagens 
são todas equivalentes, também na elipse e na hipérbole).
Agora iremos demonstrar por que a parábola é a melhor forma para construirmos 
antenas parabólicas e espelhos dos faróis de automóveis, por exemplo.
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A princípio, a forma parabólica é ideal, pois no caso das antenas parabólicas as 
ondas de rádio que se originam do espaço são muito fracas, devido à sua distância e, 
portanto, a parábola capta estas ondas em uma superfície relativamente grande e 
concentra em um único ponto (o foco). Desta forma os sinais (raios paralelos vindos do 
espaço) são amplificados.
Nos faróis dos carros e motos, o foco da parábola muda de funcionamento, com 
relação às antenas parabólicas (receptora), passando a ser origem dos raios luminosos. 
Os raios de luz então saem de forma paralela uns dos outros iluminando a região logo a 
frente dos automóveis.
Para entendermos por que isto ocorre falaremos de duas propriedades:
Primeira Propriedade
Observando o desenho a seguir (fig.20) podemos perceber que a parábola 
delimita dois espaços. Em um deles definimos pontos tais que a distância ao foco(F) é 
menor que a distância à diretriz(d), chamada região interior da parábola, ao passo que a 
outra região tem definição oposta, ou seja, que a distância ao foco é maior que a 
distância à diretriz, chamada região exterior.
Figura 20: Região interna e externa à Parábola.
Nesta figura temos uma parábola de foco F e diretriz d e uma reta r paralela a d 
cortando a curva em P e P1. Se o ponto P’ da reta r é interior ao segmento PP1, então 
P’F<PF=PD=P’D’ e, portanto, P’ é interior à parábola. Por outro lado, se P’’ é um 
26
ponto da reta r exterior ao segmento PP1, então P’’F>PF=PD=P’’D’’ e P’’ é exterior 
à parábola. 
Segunda Propriedade
Para um observador na terra os raios de luz e as ondas de rádio propagam-se no 
espaço em linha reta. Quando estes são refletidos em um ponto de uma superfície, esta 
se comporta como um espelho plano tangente à superfície naquele ponto e obedece à 
famosa Lei da Física: “o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão”.
Teorema 2.1 (Ângulo de incidência e reflexão): Tomemos agora um ponto P 
qualquer da parábola de foco F e diretriz d, e a reta t, bissetriz do ângulo FPD. Vamos 
mostrar geometricamente que t é tangente à parábola.
Figura 21: Reta tangente à parábola.
No triângulo PFD, como PF=PD, a reta t, bissetriz do ângulo FPD, é também 
mediana e altura. Ou seja, a reta t é mediatriz do segmento FD. Seja agora Q, um ponto 
qualquer da reta t, distinto de P. Se D’ é a projeção de Q sobre d, temos:
QF=QD>QD’
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Portanto Q é exterior à parábola. Ora, o ponto P da reta t pertence à parábola e 
todos os outros pontos de t não pertencem a ela. Logo, t é tangente à parábola em P.
Figura 22: Propriedade da parábola.
Observe no desenho acima, a semi-reta PY, prolongamento do segmento DP, 
representa a direção dos raios incidentes. Como a tangente à parábola em P é bissetriz 
do ângulo FPD temos que PY e PF fazem ângulos iguais com esta tangente (a2=a3). 
Portanto, todo sinal recebido na direção do eixo da parábola toma direção do foco após 
reflexão (antenas), e todo sinal originado do foco ao refletir na superfície da parábola 
toma o sentido paralelo ao eixo desta (faróis).
28
CAPÍTULO 3 – A HIPÉRBOLE 
Definição: Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano cujo módulo da 
diferença das distâncias entre dois pontos fixos, chamados focos da hipérbole, é 
constante. Esta constante é menor que a distância entre os focos.
Fonte: www.google.com.br (2006)
Figura 23: Corte hiperbólico do cone.
Esboço da construção da hipérbole: Iremos notar uma grande semelhança na 
construção da hipérbole com a da elipse visto que no caso desta a soma das distâncias 
aos focos era constante e daquela passa a ser a diferença das distâncias. Observe o 
desenho abaixo:
29
Figura 24: Definição da hipérbole..
 Nele temos que, se T é ponto da hipérbole, então kTFdTFd =− ),2(),1( .
 Passemos agora para construção da hipérbole com régua e compasso:
Temos os mesmos elementos da construção da elipse: os focos F1 e F2, 
quaisquer do plano, o círculo C1 de centro F1, o ponto P, escolhido aleatoriamente 
sobre C1, a reta r unindo F1 a P, a reta m, mediatriz do segmento PF2 e o ponto T, 
mr ∩ . Seja H a hipérbole procurada. 
Notemos que na construção da elipse o segundo foco localizava-se interiormente 
a C1, ao passo que agora está posicionado fora de C1. Isto faz toda a diferença, gerando 
as seguintes equações:
kTPTF =−1 (constante = raio de C1)
e,
kTFTFTFTP =−⇒= 212 (por construção)
portanto,
HT ∈ . (veja figura 25).
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Figura 25: Propriedade da hipérbole..
Gerando o movimento deste desenho no Z.u.L. ele adquire o seguinte aspecto:
Figura 26: Esboço da hipérbole.
Observe a formação dos dois ramos da hipérbole H. 
Equação da hipérbole: novamente coloquemos os focos sobre o eixo Ox, F = 
(c,0) e F' = (– c,0), e tomemos um ponto qualquer P = (x, y) da hipérbole. 
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Fonte: www.soko.com.ar (2006)
Figura 27: Parametrização da hipérbole.
Neste caso, a diferença das distâncias entre PF e PF' é igual ao dobro da 
distância que há entre o centro das coordenadas e a intersecção da hipérbole com o eixo 
x. Então teremos que: 'PFPF − = 2a, ou seja:
Elevando ao quadrado ambos os membros e procedendo a simplificações 
cabíveis podemos chegar à expressão: 0²²).²(²²²²).²( =−−−− aacyaxac (os 
cálculos deixo-os por conta do leitor, que pode se guiar pelo feito anteriormente na 
elipse). Novamente à partir do desenho e calculando a distância entre os pontos 
podemos obter que c2 = a2 + b2 e portanto a equação nos dá: b2x2 – a2y2 = a2b2. 
Dividindo cada termo por a2b2 obtemos:
Se a hipérbole estivesse centrada em um ponto qualquer (p, q) a equação deveria 
ser:
Se desenvolvermos os quadrados obterá que: 
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b2x2 – a2y2 – 2xpb2 + 2yqa2 + p2b2 – q2a2 – a2b2 = 0
Se fizermos: 
A = b2
B = – a2 
C = – 2pb2
D = 2qa2
E = p2b2 – q2a2 – a2b2
Teremos a equação: Ax2 – By2 + Cx + Dy + E = 0, onde podemos comprovar 
que é igual a da circunferência, ou de uma elipse, exceto que os termos A e B serem 
iguais.
A definição da hipérbole pode ser utilizada para construí-la de forma concreta, o 
que descrevemos a seguir:
Material: Prancheta de madeira ou emborrachado de, aproximadamente, 40 cm 
de comprimento por 30 cm de largura e 2 cm de espessura, palito de picolé ou vareta de 
bambu de, no máximo, 15 cm, dois percevejos, barbante fino ou linha grossa, papel e 
lápis.
Fazemos um pequeno furo em cada uma das extremidades do palito ou da vareta. 
Cortamos o barbante com comprimento menor que o do palito. Damos um nó em uma 
das extremidades do barbante. Amarramos a extremidade sem o nó do barbante em uma 
das extremidades do palito. Prendemos a outra extremidade do palito, com um dos 
percevejos (no furo), em um ponto F do papel. Fixamos a outra extremidade livre do 
barbante em outro ponto F’(diferente do ponto F) do papel. Esticamos o barbante com o 
lápis que deverá ser mantido rente ao palito. Girar o palito mantendo o barbante sempre 
esticado. Invertendo a posição deste aparato de F e F’, temos a outra “perna” da curva, 
os dois arcos da hipérbole.
Agora iremos tratar de uma utilidade prática para a propriedade observada nas 
hipérboles e que tem utilidade de grande importância nos estudos astronômicos: a 
construção dos telescópios refletores.
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Os telescópios refletores são a evolução dos primeiros telescópioscriados, que se 
utilizavam de associações de lentes (refratores). Estas geram dois efeitos indesejáveis 
que é a deformação das imagens e as aberrações cromáticas, pois as lentes acabam 
funcionando como prismas, decompondo a luz branca.
O mais interessante que chega neste momento do trabalho onde vamos observar 
uma associação curiosa de duas cônicas, um espelho parabólico e outro hiperbólico para 
a concepção do telescópio refletor.
Já sabemos que os raios de luz vindos do espaço chegam à terra por feixes 
paralelos, e que um espelho parabólico direciona estes raios para o seu foco (Teorema 
2.1, pág.26).
Figura 28: Comportamento do espelho parabólico.
Isto, no entanto, gerou um problema pelo fato de que para observar a imagem 
formada no foco, o olho do observador teria que estar posicionado sobre ele, o que na 
prática se torna impossível, pois o mesmo funcionaria como uma barreira para os raios 
luminosos.
A solução dada a este problema por Isaac Newton foi posicionar um espelho 
plano entre a superfície parabólica côncava e o foco, de tal forma que os raios fossem 
direcionados para fora da parte interna do espelho. Por outro lado, a invenção de 
Newton gerou problema similar, pois, para que a convergência do foco alternativo 
ficasse fora do cilindro telescópico a dimensão deste espelho deveria ser bem 
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considerável, bloqueando grande parte dos raios incidentes prejudicando destarte a 
formação da imagem (veja esquema abaixo).
Figura 29: Telescópio refletor de Newton.
A solução para este problema foi dada em 1672 pelo astrônomo francês 
Cassegrain utilizando um espelho hiperbólico.
Figura 30: Telescópio refletor (esquema de espelhos).
Observe no desenho que um dos focos da hipérbole coincide com o foco da 
parábola.
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Agora, os raios que iriam formar a imagem no foco F2 são refletidos pelo 
espelho hiperbólico e formarão a imagem no foco F1.
Com essa associação de espelhos a flexibilidade da montagem ficou bem maior e 
as possibilidades de variação das distâncias entre os focos e da distância do foco da 
parábola ao espelho também. Isto faz com que o telescópio se ajuste perfeitamente à 
necessidade das observações.
Hoje telescópios modernos como os radiotelescópios utilizam-se desta 
tecnologia, que levou um século para serem implementadas desde sua idealização.
Teorema 3.1 ( Prova de que o raio refletido passa por F1):
Finalmente iremos demonstrar que o raio de luz incidente no espelho hiperbólico 
direcionado a um dos focos do mesmo passa pelo outro foco.
A demonstração será feita da seguinte maneira: provaremos que a bissetriz do 
ângulo F1PF2 (figura abaixo) é ao mesmo tempo tangente à hipérbole em P. Uma vez 
provado isto, o resultado desejado segue facilmente como mostraremos a seguir. Para 
tanto, consideremos que a bissetriz e a tangente sejam a mesma reta.
Figura 31: Prova da propriedade da hipérbole.
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Seja B um ponto qualquer da bissetriz, NPBPGF ⊥⊥2 ( N é a reta normal), 
donde NP e GF2 são retas paralelas e o triângulo PGF2 é isósceles. Como conseqüência 
disto, os ângulos deste triângulo em G e F2 são iguais. Mas o ângulo em F2 é igual ao 
ângulo de incidência em APN, pois são correspondentes; e o ângulo em G é igual ao 
ângulo NPF1, alternos internos. Logo APN = NPF1 resultado que prova a lei da física 
que o ângulo de incidência é igual ao de reflexão, c.q.d..
Falta provar que BP é ao mesmo tempo bissetriz e tangente à hipérbole em P.
De fato, recorrendo novamente à figura, BF1 < BG + GF1 (desigualdade 
triangular), portanto, BF1 – BF2 < BG + GF1 – BF2; mas BG = BF2 (BGF2 é 
isósceles) portanto,
BF1 – BF2 < GF1 = PF1 – PG = PF1 – PF2 = d
O que significa que o ponto B é externo ao ramo da hipérbole por P.
Em outras palavras, a bissetriz BP só toca a hipérbole em P, portanto tangente, 
c.q.d..
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CONCLUSÃO
Foi mostrado neste trabalho belas e interessantes aplicações de conceitos 
matemático-geométricos abstratos, originados da capacidade infinita do homem de 
sonhar e criar modelos, a princípio unicamente teóricos, mas que posteriormente 
revertem-se em mecanismos concretos que contribuem para a evolução do 
conhecimento, da tecnologia e da ciência. 
È muito gratificante ver como a ciência pode ser usada de forma consciente, com 
ética e respeito aos princípios humanos fundamentais dos quais estamos tão carentes nos 
dias de hoje.
Todas as aplicações aqui abordadas corroboram com o bem comum da 
humanidade e trazem mais clareza e conforto aos homens.
É importante também ressaltar que os jovens e adolescentes nas escolas, que ao 
tratarem de matérias correlacionadas com estes conceitos, possam ser motivados para o 
estudo, visto que trata-se de assunto que não está totalmente desligado de seu cotidiano. 
Há dessa forma uma forte ligação contextual entre teoria e prática, e isso pode ser de 
grande proveito para os professores tornarem suas aulas mais interativas e interessantes.
Durante a realização do mesmo passei a conhecer melhor os elementos tratados e 
me surpreender com as diversas utilizações destes, enriquecendo sobremaneira minha 
formação.
Também fui apresentado ao aplicativo Z.u.L., programa de código aberto com o 
qual aprendi e me surpreendi com todos os seus recursos e possibilidades de, em um 
contexto tecnológico, poder-se simular aquilo que na minha época de estudante de 
ensino fundamental (antigo 1º grau) fazia-se com régua e compasso; não que este não 
seja importante, mas tal programa pode ser sua expansão e por que não sua evolução.
A continuação deste estudo pode ser dada no tratamento destas mesmas curvas 
no espaço, onde teremos as quadráticas, convite que faço ao leitor que se interessar pela 
continuação do assunto aqui tratado.
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BIBLIOGRAFIA 
1) Ávila,G. A Hipérbole e os telescópios. Revista do Professor de Matemática, 
nº34, p.22-27, SBM, São Paulo, 1997.
2) Ávila,G. Como tratar a circunferência a elipse e a hipérbole. Revista do 
Professor de Matemática, nº35, p.09-14, SBM, São Paulo, 1997.
3) Valladares,R.J.C. Elipse, sorrisos e sussuros. Revista do Professor de 
Matemática, nº 36, p.24-28, SBM, São Paulo, 1998.
4) Wagner,E. Porque as antenas são parabólicas. Revista do Professor de 
Matemática, nº 33, p.10-15, SBM, São Paulo, 1997.
5) Fernandes,A.M.V.;Rego,C.A.;Fioravante,D.P.G.;Sabatucci,J.;Barbosa,M.G.G.
Matemática Cônicas, Guia do Professor e Guia do Aluno,Belo Horizonte, 1999.
Sites consultados:
1) http://www.soko.com.ar
2) http://www.google.com.br
3) http://www.wikipedia.com
4) http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/java/zirkel/
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	Introdução
	Capítulo 1 -A Elipse
	Capítulo 2 – A ParÁbola
	Capítulo 3 – A Hipérbole 
	CONCLUSÃO
	BIBLIOGRAFIA