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SUPERFÍCIES QUÁDRICAS IESB ENGENHARIA CIVIL Disciplina: Geometria Analítica e Vetores Profª Msc Sofia Mitsuyo Taguchi da Cunha Quádrica ou superfície quádrica é o conjunto dos pontos do espaço tridimensional, cujas coordenadas formam um polinômio de 2º grau de, no máximo, três variáveis denominada de equação cartesiana da superfície: Superfícies Quádricas - definição Elipsóide Parabolóide elíptico Hiperbolóide de 2 folhas Superfície de Revolução Geratriz: curva plana que gira 360° em torno de um eixo . Elipsóide de revolução em torno do eixo Oy. Equação: c b Substituiu-se z por . Superfície de Revolução gerada por uma parábola CP = CQ = r Triângulo CRP é retângulo em R Mas, CP = r = CQ = z = que é a equaçã o da superfície de revolução gerada pela parábola x=0, , em torno do eixo y. P(x,y,z) Q(0,y,z) C(0,0,0) Se a curva gira em torno de: Ox, substitui y ou z da elipse por ; Oy, substitui x ou z da elipse por e Oz, substitui x ou y da elipse por . Elipsóide girando em torno de Oz Elipse no plano yz : Substituindo y por , a equação da elipsóide fica: Em geral, para a, b, e c positivos, a equação da elipsóide tem formato-padrão: Superfície Esférica Elipsóide com a=b=c , equção da superfície esférica de raio a, centrada em C(0,0,0). SUPERFÍCIE HIPERBOLÓIDE PARABÓLICO SOBRE BASE TRIANGULAR Auditório ao ar livre: Freisburg - Alemanha Revisão de alguns conceitos: Elementos da Elipse Focos: F1 e F2. Vértices: A1 (-a, 0), A2 (a, 0), B1 (0, - b), B2 (0, b) Eixo maior: A1A2 = 2a Eixo menor: B1B2 = 2b Distância focal: F1 a F2 = 2c. Excentricidade: e = c/a, 0< e < 1 Ponto da Elipse: P (x,y) Equações Reduzidas da Elipse 1º caso: Eixo maior sobre Ox 2º caso: Eixo maior sobre Oy P(x,y) F2(0,c) F1(0,- c) Elipses Transladadas xo = h e yo= k Elipses Transladadas xo = h e yo= k Equações Paramétricas da Elipse Para Elipses com eixo maior em Ox Dem: AO’ = AO.cos x=acosØ Para elipses com eixo maior em Ou P(x,y) b -b -a a a x A A’ O Quando o centro da elipse for C(h,k): Caso 1: eixo > // a Ox Caso 2: eixo > // a Oy Basta saber calcular os valores de a ,b, h, k.
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