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5 - Superfícies Quádricas I

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SUPERFÍCIES QUÁDRICAS
IESB
ENGENHARIA CIVIL
Disciplina: Geometria Analítica e Vetores
Profª Msc Sofia Mitsuyo Taguchi da Cunha
Quádrica ou superfície quádrica é o conjunto dos pontos do espaço tridimensional, cujas coordenadas formam um polinômio de 2º grau de, no máximo, três variáveis denominada de equação cartesiana da superfície:
	
	
Superfícies Quádricas - definição
Elipsóide
Parabolóide elíptico
Hiperbolóide de 2 folhas
Superfície de Revolução
Geratriz: curva plana que gira 360° em torno de um eixo .
Elipsóide de revolução em torno do eixo Oy.
Equação: 
c
b
Substituiu-se z por . 
Superfície de Revolução gerada por uma parábola 
CP = CQ = r
Triângulo CRP é retângulo em R
Mas, CP = r = CQ = z = 
que é a equaçã o da superfície de revolução gerada pela parábola 
x=0, 
 , em torno do eixo y.
P(x,y,z)
Q(0,y,z)
C(0,0,0)
 
Se a curva gira em torno de: Ox, substitui y ou z da elipse por ;
			 Oy, substitui x ou z da elipse por e
		 	 Oz, substitui x ou y da elipse por .
Elipsóide girando em torno de Oz
Elipse no plano yz :
Substituindo y por ,
a equação da elipsóide fica:
Em geral, para a, b, e c positivos,
 a equação da elipsóide tem formato-padrão: 
Superfície Esférica
Elipsóide com a=b=c ,
				
						 
						equção da superfície
						esférica de raio a,
						 centrada em C(0,0,0). 
 
			
SUPERFÍCIE HIPERBOLÓIDE PARABÓLICO
SOBRE BASE TRIANGULAR
Auditório ao ar livre: Freisburg - Alemanha
Revisão de alguns conceitos:
Elementos da Elipse
Focos: F1 e F2.
Vértices: A1 (-a, 0), A2 (a, 0),
	 B1 (0, - b), B2 (0, b)
Eixo maior: A1A2 = 2a
Eixo menor: B1B2 = 2b
Distância focal: F1 a F2 = 2c.
Excentricidade: e = c/a, 0< e < 1
 Ponto da Elipse: P (x,y)
Equações Reduzidas da Elipse
1º caso: Eixo maior sobre Ox
	 			
	 			
				
				2º caso: Eixo maior sobre Oy
P(x,y)
F2(0,c)
F1(0,- c)
 
Elipses Transladadas
xo = h e yo= k
Elipses Transladadas
xo = h e yo= k
Equações Paramétricas da Elipse
Para Elipses com eixo maior em Ox
Dem: AO’ = AO.cos  x=acosØ
 
 Para elipses com eixo maior em Ou
P(x,y)
b
-b
-a
a
a
x
A
A’
O
Quando o centro da elipse for C(h,k):		
 Caso 1: eixo > // a Ox  
 
 Caso 2: eixo > // a Oy
Basta saber calcular os valores de a ,b, h, k.

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