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Prova+Gab Geometria Analítica 2007

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GABARITO DA PROVA DE GEOMETRIA ANALI´TICA
1. Soluc¸a˜o dos Problemas da Prova
1. (2, 0 pontos) Considere os pontos A(1, 1) e B(2, 1). En-
contre um ponto C tal que A,B e C definem um triaˆngulo
retaˆngulo.
Solc¸a˜o: Se A,B,C definem um triaˆngulo retaˆngulo, enta˜o−→
AB · −−→BC = 0 ou −→AB · −→AC = 0. Se as coordenadas de C
sa˜o (x, y), temos que (1, 0) · (x − 2, y − 1) = 0 ou (1, 0) ·
(x− 1, y− 1) = 0 posto que −→AB = (0, 1). No primeiro caso
temos C(2, y) e no segundo caso C(1, y) onde x ∈ R. Em
ambos os casos tem-se uma infinidade de soluc¸o˜es.
2. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta que
(2.1) (1, 0 ponto) conte´m o ponto P (2,−3) e tem direc¸a˜o
u = (−1, 2);
(2.2) (1, 0 ponto) conte´m os pontos A(3, 2) e B(−3, 2).
Soluc¸a˜o:
(2.1) Um ponto Q(x, y) esta´ na reta em questa˜o se, e so-
mente se,
−→
PQ = λu. Escrevendo esta equac¸a˜o veto-
rial em termos de coordenadas, obtemos{
x = 2 − λ
y = −3 + 2λ
(2.2) Um ponto Q(x, y) esta´ na reta em tela se, e somente
se,
−→
AQ = λ
−→
AB. Em coordenadas, obtemos que{
x = 3 − 6λ
y = 2
3. Considere a reta r de equac¸a˜o y = −3x+ 1.
Date: February 7, 2006.
1
2 GABARITO DA PROVA DE GEOMETRIA ANALI´TICA
(3.1) (1, 0 ponto) Encontre um vetor n normal a r e um
vetor u na direc¸a˜o de r.
(3.2) (1, 0 ponto) Use o produto escalar para encontrar a
equac¸a˜o cartesiana da reta que passa por P (4,−7) e
que e´ paralela a r.
(3.3) (1, 0 ponto) Use o produto escalar para determinar a
equac¸a˜o cartesiana da reta que passa por P (4,−7) e
que e´ ortogonal a reta r.
Soluc¸a˜o:
(3.1) Podemos escrever a equac¸a˜o da reta na forma 3x +
y − 1 = 0. Segue-se da´ı que um vetor normal a` reta
e´ um mu´ltiplo de n = (3, 1) e que um vetor diretor e´
um mu´ltiplo de u = (−1, 3).
(3.2) Posto que um vetor normal a uma reta s′ paralela a
reta r e´ o vetor n, temos que a equac¸a˜o cartesiana da
reta em questa˜o e´ n · −→PQ = 0, o que e´ equivalente a
equac¸a˜o 3x+ y − 5 = 0.
(3.3) Como a reta s, cuja equac¸a˜o cartesiana queremos en-
contrar e´ ortogonal a reta r, enta˜o o vetor normal a
s e´ u. Portanto, um ponto Q(x, y) esta´ em s se, e
somente se, u · −→PQ = 0. Efetuando-se este produto
interno tem-se que s : −x+ 3y + 25 = 0.
4. Consirdere o ponto P (3, 6) e a reta r : 2x− 3y = 0.
(4.1) (1, 0 ponto) Considere um ponto Q sobre a reta r e
determine o vetor
P
−−→
PQ
n
onde n e´ normal a` reta r.
(4.2) (1, 0 ponto) Determine o ponto R tal que
−→
PR = P
−−→
PQ
n
e verifique que R esta´ em r.
GABARITO DA PROVA DE GEOMETRIA ANALI´TICA 3
(4.3) (1, 0 ponto) Qual a interpretac¸a˜o geome´trica de ||−→PR||.
Calcule ||−→PR||.
Soluc¸a˜o:
(4.1) E´ claro que o ponto Q(3, 2) esta´ na reta r. Como
n = (2,−3) e −→PQ = (0, 4), enta˜o
P
−−→
PQ
n =
n · −→PQ
n · n n =
12
13
(2,−3) = (24
13
,−36
13
).
(4.2) Se R(x, y) e´ um ponto tal que
−→
PR = P
−−→
PQ
n , enta˜o
(x− 3, y− 6) = (2413 ,−3613) e, portanto, as coordenadas
de R sa˜o
(
63
13
,
42
13
).
Como estas coordenadas satisfazem a equac¸a˜o de r,
temos que R ∈ r.
(4.3) R e´ o pe´ da perpendicular baixada de P sobre r.
Logo, a interpretac¸a˜o geome´trica de ||−→PR||, e´ a distaˆncia
de P a r. Esta distaˆncia e´ dada por ||−→PR|| = 1213
√
13.

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