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GABARITO DA PROVA DE GEOMETRIA ANALI´TICA 1. Soluc¸a˜o dos Problemas da Prova 1. (2, 0 pontos) Considere os pontos A(1, 1) e B(2, 1). En- contre um ponto C tal que A,B e C definem um triaˆngulo retaˆngulo. Solc¸a˜o: Se A,B,C definem um triaˆngulo retaˆngulo, enta˜o−→ AB · −−→BC = 0 ou −→AB · −→AC = 0. Se as coordenadas de C sa˜o (x, y), temos que (1, 0) · (x − 2, y − 1) = 0 ou (1, 0) · (x− 1, y− 1) = 0 posto que −→AB = (0, 1). No primeiro caso temos C(2, y) e no segundo caso C(1, y) onde x ∈ R. Em ambos os casos tem-se uma infinidade de soluc¸o˜es. 2. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta que (2.1) (1, 0 ponto) conte´m o ponto P (2,−3) e tem direc¸a˜o u = (−1, 2); (2.2) (1, 0 ponto) conte´m os pontos A(3, 2) e B(−3, 2). Soluc¸a˜o: (2.1) Um ponto Q(x, y) esta´ na reta em questa˜o se, e so- mente se, −→ PQ = λu. Escrevendo esta equac¸a˜o veto- rial em termos de coordenadas, obtemos{ x = 2 − λ y = −3 + 2λ (2.2) Um ponto Q(x, y) esta´ na reta em tela se, e somente se, −→ AQ = λ −→ AB. Em coordenadas, obtemos que{ x = 3 − 6λ y = 2 3. Considere a reta r de equac¸a˜o y = −3x+ 1. Date: February 7, 2006. 1 2 GABARITO DA PROVA DE GEOMETRIA ANALI´TICA (3.1) (1, 0 ponto) Encontre um vetor n normal a r e um vetor u na direc¸a˜o de r. (3.2) (1, 0 ponto) Use o produto escalar para encontrar a equac¸a˜o cartesiana da reta que passa por P (4,−7) e que e´ paralela a r. (3.3) (1, 0 ponto) Use o produto escalar para determinar a equac¸a˜o cartesiana da reta que passa por P (4,−7) e que e´ ortogonal a reta r. Soluc¸a˜o: (3.1) Podemos escrever a equac¸a˜o da reta na forma 3x + y − 1 = 0. Segue-se da´ı que um vetor normal a` reta e´ um mu´ltiplo de n = (3, 1) e que um vetor diretor e´ um mu´ltiplo de u = (−1, 3). (3.2) Posto que um vetor normal a uma reta s′ paralela a reta r e´ o vetor n, temos que a equac¸a˜o cartesiana da reta em questa˜o e´ n · −→PQ = 0, o que e´ equivalente a equac¸a˜o 3x+ y − 5 = 0. (3.3) Como a reta s, cuja equac¸a˜o cartesiana queremos en- contrar e´ ortogonal a reta r, enta˜o o vetor normal a s e´ u. Portanto, um ponto Q(x, y) esta´ em s se, e somente se, u · −→PQ = 0. Efetuando-se este produto interno tem-se que s : −x+ 3y + 25 = 0. 4. Consirdere o ponto P (3, 6) e a reta r : 2x− 3y = 0. (4.1) (1, 0 ponto) Considere um ponto Q sobre a reta r e determine o vetor P −−→ PQ n onde n e´ normal a` reta r. (4.2) (1, 0 ponto) Determine o ponto R tal que −→ PR = P −−→ PQ n e verifique que R esta´ em r. GABARITO DA PROVA DE GEOMETRIA ANALI´TICA 3 (4.3) (1, 0 ponto) Qual a interpretac¸a˜o geome´trica de ||−→PR||. Calcule ||−→PR||. Soluc¸a˜o: (4.1) E´ claro que o ponto Q(3, 2) esta´ na reta r. Como n = (2,−3) e −→PQ = (0, 4), enta˜o P −−→ PQ n = n · −→PQ n · n n = 12 13 (2,−3) = (24 13 ,−36 13 ). (4.2) Se R(x, y) e´ um ponto tal que −→ PR = P −−→ PQ n , enta˜o (x− 3, y− 6) = (2413 ,−3613) e, portanto, as coordenadas de R sa˜o ( 63 13 , 42 13 ). Como estas coordenadas satisfazem a equac¸a˜o de r, temos que R ∈ r. (4.3) R e´ o pe´ da perpendicular baixada de P sobre r. Logo, a interpretac¸a˜o geome´trica de ||−→PR||, e´ a distaˆncia de P a r. Esta distaˆncia e´ dada por ||−→PR|| = 1213 √ 13.
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