Apostila - Matemática (Vestibular)

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MATEMÁTICA 
Cadernos dos Cursinhos Pré-Universitários da UNESP
Antonio Francisco Marques 
 Maria da Graça Mello Magnoni
Editores
Volume 2
Nelson Antonio Pirola
Organizador
capa matematica_frente e verso.indd 1 03/02/2016 08:48:42
MATEMÁTICA
NELSON ANTONIO PIROLA
Organizador
São Paulo
2016
 CADERNOS DOS CURSINHOS PRÉ-
UNIVERSITÁRIOS DA UNESP
Volume 2
ANTONIO FRANCISCO MARQUES 
 MARIA DA GRAÇA MELLO MAGNONI
Editores
Realização
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Rua Quirino de Andrade, 215 – 10° andar
São Paulo, CEP 01049-010 – SP
Tel (11) 5627-0264
Reitor
Julio Cezar Durigan
Vice-reitora
Marilza Vieira Cunha Rudge
Pró-reitora de Extensão Universitária
Mariângela Spotti Lopes Fujita
Pró-reitora de Pesquisa
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Pró-reitor de Graduação
Laurence Duarte Colvara
Pró-reitor de Pós-Graduação
Eduardo Kokubun
Pró-reitor de Administração
Carlos Antonio Gamero
Secretária Geral
Maria Dalva Silva Pagotto
Chefe de Gabinete
Roberval Daiton Vieira
Produção planejada pelo Projeto "Inovação nos 
processos de gestão e pedagógico dos Cursos Pré-
-Vestibulares da Unesp"
Diagramação e capa
Edevaldo Donizeti dos Santos
Revisão ortográica e normalização
Élide Feres 
Rony Farto Pereira
Maria Luzinete Euclides
Impressão e acabamento: Gráica Unesp - FCL - CAr
Conselho Editorial da PROEX - Unesp
Profa. Dra. Márcia Pereira da Silva (FCHS/Franca)
Prof. Dr. Cláudio César de Paiva (FCL/Araraquara)
Prof. Dr. Eduardo Galhardo (FCL/Assis)
Prof. Dr. José Arnaldo Frutuoso Roveda (CE/Sorocaba)
Profa. Dra. Rosane Michelli de Castro (FFC/Marília)
Profa. Dra. Maria Cândida Soares Del Masso (FFC/Marília)
Prof. Dr. Sebastião Souza Lemes (FCL/Araraquara) 
Coordenação geral
Profa. Dra. Mariângela Spotti Lopes Fujita
Editores da Coleção
Prof. Dr. Antonio Francisco Marques
Profa. Dra. Maria da Graça Mello Magnoni
Organizador
Prof. Dr. Nelson Antonio Pirola
Colaboradores
Evandro Tortora
Fernanda Pizzigatti Marques Jasinevicius
Gabriela Pereira Sander
Gilmara Aparecida da Silva
José Luciano Santinho Lima
Juliana Aparecida da Silva dos Santos Morais
Márcio Rogério Ferreira
Patrícia Priscilla Ferraz da Costa Souza
hais Regina Ueno Yamada
Revisor de conteúdo
Profª Drª Mara Sueli Simão Moraes
M425 Matemática / Nelson Antonio Pirola, organizador. – São 
Paulo : Cultura Acadêmica, 2016. 
158 p. : il. - (Cadernos dos cursinhos pré- universitários 
da Unesp ; v. 2)
ISBN 978-85-7983-733-3
 ISBN 978-85-7983-729-6 (Coleção)
1. Matemática (Ensino médio) – Estudo e ensino. 2. 
Estatística. 3. Geometria. 4. Trigonometria. 5. Matrizes 
(Matemática). 6. Universidades e faculdades - Vestibular. I. 
Pirola, Nelson Antonio. II. Série.
 CDD 510.7
PREFÁCIO
A ideia de construção dos conteúdos disciplinares dos 4 cadernos que compõem o 
conjunto do material didático a ser utilizado pelos Cursinhos Pré-Universitários1 surgiu desde 
o início da gestão, em 2013, durante proveitosas discussões em reuniões com os professores e 
estudantes na condição, respectivamente, de coordenadores e tutores. Havia, naquela ocasião, 
uma grande preocupação com relação à disponibilidade do material didático de um ano vigente 
para um próximo ano, considerando-se a provisão orçamentária. Além disso, havia um desejo 
dos envolvidos por conteúdos que mais se aproximassem do contexto social e educacional dos 
cursistas provenientes da escola pública e de famílias de baixa renda, para promover, de modo 
mais abrangente, a inclusão em um contexto de aquisição e de construção de conhecimentos 
necessários ao ingresso em cursos de graduação ou no mercado de trabalho, mediante partici-
pação em concursos. 
O grande desaio da existência dos Cursinhos Pré-Universitários da Unesp sempre foi 
a oferta do material didático com os conteúdos disciplinares necessários, de um lado, para faci-
litar o processo comunicativo entre professor e cursista na sala de aula e, de outro, para orientar 
a aprendizagem do cursista fora da sala de aula. Portanto, o material didático é o instrumento 
que orienta o processo de aquisição e construção do conhecimento dos cursistas dos Cursinhos 
Pré-Universitários, em um curto período de tempo, com inalidade deinida de ingresso em 
concursos e, ainda, a im de propiciar sua inclusão. Nesse sentido, discutiu-se a viabilidade 
de a Unesp construir material didático próprio, dadas as características únicas de distribuição 
regional multicampus e da evolução histórica de seus Cursinhos Pré-Universitários, atualmente 
Subprograma de extensão “Cursinhos Pré-Universitários da Unesp”, do programa de extensão 
"Programa Unesp de cursinhos, divulgação, orientação e informação proissional". 
Antes de sua concretização, essa discussão levou em consideração resultados de ou-
tras iniciativas da Pró-Reitoria de Extensão - PROEX - na tentativa de realizar parcerias com 
editoras comerciais e de organizações não governamentais, dedicadas a cursinhos populares e 
comunitários, que, após negociações, revelaram impossibilidade de execução. 
A proposta de construção do material didático, após debates, foi acolhida por Grupo 
de Pesquisa da Faculdade de Ciências do Câmpus de Bauru, com inserção e experiência na 
coordenação de Cursinho Pré-Universitário, o qual elaborou o “Projeto de produção, manu-
tenção e atualização de material didático-pedagógico”. 
O Projeto, coordenado pela Pró-Reitoria de Extensão Universitária e elaborado pe-
los Professores Doutores Antonio Francisco Marques e Maria da Graça Mello Magnoni, da 
1 Atualmente, existem 26 Cursinhos Pré-Universitários Unesp e 4 Cursinhos em convênios com Prefeituras, em funcionamento, 
localizados em 22 cidades do interior paulista, junto a Unidades Universitárias da Unesp. O modelo implantado atende a alunos 
regulares e egressos da rede pública de ensino e oferece aulas ministradas por graduandos dos diversos cursos da Unesp – bolsistas 
e voluntários –, que visam a suprir lacunas de formação de alunos regulares do 3º ano e egressos do ensino médio, com vistas a 
oferecer reforço de ensino e preparo para o ingresso e permanência na universidade. Para isso, a Unesp, por meio da Pró-Reitoria 
de Extensão Universitária, mantém um Programa Institucional com bolsas de extensão universitária para alunos de seus cursos de 
graduação atuarem como tutores de ensino. 
Faculdade de Ciências do Campus de Bauru, foi concebido com o objetivo de organizar, ade-
quar e disponibilizar cadernos com os conteúdos curriculares das diversas áreas do conheci-
mento para as atividades pedagógicas nos cursinhos pré-universitários da Unesp, nas seguintes 
áreas do conhecimento: “Linguagens e códigos”, “Matemática”, “Ciências Humanas”, Ciências 
da Natureza e “Caderno de Apoio – textos e atividades dos Cursinhos Pré- Universitários da 
UNESP”. 
No ano de 2015, foram construídos os conteúdos das áreas de conhecimento que 
resultaram na publicação destes 5 cadernos, cujos títulos são de mesma denominação das áreas 
de conhecimento. Para atualização dos conteúdos, está prevista a execução da 2ª etapa do pro-
jeto, a qual permitirá a inclusão, atualização e reformulação dos conteúdos para publicação dos 
cadernos, em 2016. 
Não restam dúvidas de que a publicação destes Cadernos representa um passo dado 
de grande relevância para o aprimoramento dos Cursinhos Pré-Universitários mas, também, 
de alta responsabilidade social, porquanto deverá inluenciar a inclusão, conforme preconiza a 
Política Nacional Extensão e Política de Extensão da Unesp. 
Dessa forma, os cadernos serão o instrumento principal da política pedagógica do 
Subprograma de Extensão “Cursinhos Pré-Universitários da Unesp”, com a proposta de unii-
car a orientação pedagógica dos 26 Cursinhos Pré-Universitários e, ao mesmo tempo, dar visi-
bilidade a essa importante ação deextensão universitária de grande espectro e impacto social, 
no interior do Estado de São Paulo que, smj, é única no Brasil entre as IES. 
Pela atuação dos Professores Antonio Francisco Marques e Maria da Graça M. 
Magnoni, autores e colaboradores, agradecemos o empenho, esforço e dedicação, ao assumirem 
a responsabilidade de criação dos Cadernos que, decisivamente, eleva o patamar de qualidade 
no atendimento das demandas pelos Cursinhos. 
Faz-se mister destacar o apoio incondicional da Reitoria da Unesp, nas pessoas do 
Prof. Dr. Julio Cezar Durigan, Reitor, e Profª Drª Marilza Vieira Cunha Rudge, Vice-Reitora, 
na idealização e fortalecimento dos Cursinhos Pré-Universitários, o que facilitou a condução de 
todos os trabalhos de organização da publicação. 
Finalmente, é preciso salientar a valiosa atuação dos Cursinhos Pré-Universitários 
na extensão universitária da Unesp, com resultados de impacto na transformação da realidade 
social da comunidade externa à Universidade. 
Mariângela Spotti Lopes Fujita
Pró-Reitora de Extensão Universitária da Unesp
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
 5
APRESENTAÇÃO
MATERIAL DIDÁTICO PEDAGÓGICO DOS CURSOS PRÉ-UNIVERSITÁRIOS DA UNESP
O Projeto “Cursinhos Pré-Universitários da UNESP”, organizado e desenvolvido 
pela UNESP, desde o ano de 1987, almeja proporcionar oportunidade de educação às classes 
populares e aos oriundos do ensino público. Os cursos são oferecidos aos interessados com resi-
dência nas cidades onde se localizam os Campus da Universidade e do seu entorno. O objetivo 
primeiro é colaborar com a inclusão desses grupos sociais no ensino superior, que tem uma 
tradição elitista, principalmente nas Universidades públicas.
A partir de 2006, a Universidade Estadual Paulista (UNESP) criou um amplo pro-
grama de extensão, aglutinando os cursinhos pré-vestibulares já existentes na instituição e os 
novos projetos organizados nas unidades universitárias distribuídas pelo Estado de São Paulo. 
Com o Convênio entre a UNESP e o Governo do Estado (Convênio nº 002/2007-SEES), por 
intermédio da Secretaria de Ensino Superior, houve a ampliação e fortalecimento do Projeto 
“Curso Pré-Vestibular: uma iniciativa democrática de alcance social”, o qual passou a atender a 
cerca de quatro mil jovens egressos da escola pública, distribuídos em 22 municípios do Estado 
de São Paulo, em 26 cursinhos da Universidade. 
Com o objetivo de avaliar as atividades dos cursinhos, a Pró-Reitoria de Extensão 
Universitária (PROEX) mantém constante acompanhamento do Projeto, por meio de con-
sultas, questionários, contatos via telefone e por e-mail, além da organização de seminários e 
encontros de coordenadores e professores-bolsistas. 
Durante o desenvolvimento do projeto, a oferta de vagas foi sendo paulatinamente 
ampliada, bem como o envolvimento de bolsistas e voluntários; ademais, algumas Unidades 
da UNESP estabeleceram parcerias com Prefeituras, visando ao incremento de oferta de vagas, 
como São José dos Campos, Bauru e Ilha Solteira.
A Universidade tem destinado recursos para bolsas dos monitores das aulas (alunos 
da graduação), para o material didático de apoio aos alunos e de custeio das atividades de or-
ganização e execução dos cursos. 
Em 2015, a Pró-Reitoria de Extensão fez proposta de elaboração do material didático 
pela própria Universidade, com a inalidade de organizar, adequar e disponibilizar cadernos 
com os conteúdos curriculares das diversas áreas do conhecimento para as atividades pedagó-
gicas nos cursinhos pré-universitários da UNESP. Os cadernos foram produzidos a partir da 
estrutura curricular deinida pelos documentos oiciais Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais 
para a Educação Básica, Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, Currículo do 
Ensino Médio do Estado de São Paulo e Orientações Curriculares para o Ensino Médio. Nesta pri-
meira edição, o guia de orientação dos temas para a equipe de autores foi a Matriz de Referência 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
6 
do ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio). Os cinco (5) cadernos contemplam objetos de 
conhecimento associados às Matrizes de Referência das seguintes áreas do conhecimento:
• Caderno 1: Linguagens e Códigos - Língua portuguesa e Língua inglesa 
• Caderno 2: Matemática – Matemática
• Caderno 3: Ciências da Natureza – Biologia, Física e Química 
• Caderno 4: Ciências Humanas – Filosoia, História, Geograia e Sociologia
• Caderno 5: Caderno de Apoio
O Caderno de Apoio – textos e atividades dos Cursinhos Pré- Universitários da 
UNESP disponibiliza acervo composto por textos, testes, vídeos, imagens, temas e sites refe-
rentes aos conceitos e conteúdos das diferentes áreas do conhecimento abordados no Ensino 
Médio com o objetivo de complementar os temas desenvolvidos nos Cadernos da Coleção: 
Caderno 1 – Linguagens e Códigos, Caderno 2 – Matemática, Caderno 3 - Ciências da 
Natureza, Caderno 4 – Ciências Humanas.
O material produzido possui as suas limitações, não contemplando todos os conteú-
dos das áreas de estudo. Entretanto, deve-se considerar, em primeiro lugar, que os alunos que 
se encontram na sala dos cursos pré-universitários já trazem uma bagagem, limitada para alguns 
e mais ampla para outros, dos conteúdos do ensino médio, ou mesmo fundamental, cursados 
nos cursos regulares desses níveis de ensino. Em segundo lugar, o tempo disponível para o estu-
do, por esses alunos, é de dez a doze meses, de modo que as apostilas em uso acabavam sendo 
subutilizadas. Em terceiro lugar, o material é o ponto de partida de um projeto o qual poderá 
e deverá ser ampliado e aperfeiçoado, nos próximos anos, tanto do ponto de vista quantitativo 
como qualitativo, com base nas avaliações dos próprios usuários e dos autores que tiverem inte-
resse de dar continuidade à produção do material. Do ponto de vista qualitativo, por exemplo, 
será uma oportunidade para se buscar uma abordagem mais interdisciplinar para os conteúdos 
apresentados. E, por último, uma consideração relevante a ser feita é que o material produzido 
passa a ser de propriedade da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, que, 
além de reproduzi-lo impresso, irá colocá-lo disponível online para acesso a quem possa inte-
ressar, seja na área de inluência da UNESP, seja no resto do país, para todos os interessados no 
ENEM e nos vestibulares que estão se moldando às Diretrizes Curriculares Nacionais.
A Universidade não desconsidera as mudanças necessárias ao ensino em todos os 
níveis, para que possam proporcionar às crianças, jovens e adultos a formação para compre-
ender a realidade social, econômica, política, cultural e do mundo do trabalho, a im de nela 
inserir-se e atuar de forma ética e competente, técnica e politicamente, visando a contribuir 
para a transformação da sociedade, em função dos interesses sociais e coletivos. Nesse contexto, 
o Cursinho Pré-Vestibulares tem a intenção de cooperar com os jovens e adultos que sofreram 
as consequências da exclusão de uma escola básica de qualidade social, no sentido de propiciar 
conteúdos e metodologias que lhes permitam não só ter a possibilidade de participação nos 
vestibulares das universidades públicas e outras, como o acesso a muitos dos conhecimentos 
que possivelmente lhes tenham sido negligenciados ou aligeirados, de sorte a ter uma pers-
pectiva mais crítica e participativa como cidadãos. Os cursinhos pré-universitários constituem 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
 7
situações emergenciais enquanto o Estado e a sociedade brasileira não forem capazes de garantir 
uma educação básica de qualidade para todos. 
Tendo em vista a realidade concreta do Ensino Médio e os desaios que representa aos 
poderes públicos, a Universidade Estadual Paulista organiza ações em prol do fortalecimento 
do Cursinho Pré-Universitário, na intenção de cumprir com coerência as suas responsabilida-des públicas expressas através dos objetivos de “permanente criação e transmissão do saber e da 
cultura, devendo criar, preservar, organizar e transmitir o saber e a cultura por meio do ensino, 
da pesquisa e da extensão”, “privilegiar e estimular a atividade intelectual e a relexão continu-
ada sobre a sociedade brasileira, defendendo e promovendo a cidadania, os direitos humanos 
e a justiça social” e “promover atividades de extensão e de articulação com a comunidade” 
(Estatuto da UNESP, CAP. I, Art. 2º)1. Isto se faz de modo concreto, quando se favorece o 
ingresso equitativo nos seus cursos, a todos os grupos sociais. 
Os últimos dados apresentados na Síntese de Indicadores Sociais (SIS), pelo Instituto 
Brasileiro de Geograia e Estatística (IBGE), apontam que, nos últimos dez anos (2004 a 2014), 
houve uma redução do percentual dos 20% mais ricos da população nas instituições de ensino 
superior público, de 54%, em 2004, para 36% dos alunos, e um aumento de 1,2% para 7,6% 
dos alunos oriundos dos 20% da população mais pobre2. A defasagem, ainda, entre um grupo 
e outro, é de quase cinco vezes, com o agravante de que os mais pobres acabam tendo acesso 
apenas aos cursos menos concorridos. Enim, criar mecanismos como este (os cursinhos) e 
outros, como as cotas, de inclusão dos alunos das escolas básicas públicas na Universidade vem 
colaborar, por um lado, para a construção de uma sociedade equitativa, menos excludente, 
elitista, desigual e injusta. E, por outro, garante a legitimidade da própria universidade pública, 
no contexto da sociedade paulista e brasileira.
Antonio Francisco Marques
Maria da Graça Mello Magnoni
1 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA. Estatuto da UNESP. São Paulo, 2015. Disponível em: <http://www.unesp.br/#!/
legislacao/>. Acesso em: 4 dez. 2015.
2 INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Síntese de indicadores sociais: uma análise das condições de
vida da população brasileira. Rio de Janeiro, 2014. Disponível em: <http://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv91983.
pdf>.Acesso em: 4 dez. 2015.
8 Matemática
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
SUMÁRIO
Introdução ................................................................................................ 11
1 Números ................................................................................................ 12
2 Funções .................................................................................................. 30
3 Estatística Descritiva e Probabilidade ...................................................... 53
4 Geometria Plana ..................................................................................... 87
5 Geometria Espacial ................................................................................ 103
6 Trigonometria ......................................................................................... 111
7 Matrizes, determinantes e Sistemas Lineares ........................................... 125
8 Polinômios e Equações Polinomiais ........................................................ 136
9 Números Complexos .............................................................................. 142
10 Geometria Analítica ............................................................................. 150
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
10 
 Matemática 11
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
INTRODUÇÃO
Prezado(a) aluno(a):
Este é o material de Matemática que você utilizará no Curso. Nele, encontrará uma 
revisão dos principais conteúdos que são requeridos nos vestibulares e, principalmente, no 
ENEM. Em cada capítulo, apresentamos uma revisão e alguns problemas resolvidos. Você en-
contrará ainda problemas que poderá resolver, aplicando os conceitos revisados. É importante 
que você faça todos os problemas e tire as dúvidas com o seu professor. Esperamos que você 
aproveite bastante este material e que tenha sucesso nos vestibulares e no ENEM que venha a 
prestar.
Nelson Antonio Pirola
Autor
12 Matemática
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
1 NÚMEROS
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Desde a antiguidade, o homem precisou aprender a contar. Dessa forma, nasce-
ram os números, em suas mais diversas representações. Os conjuntos numéricos estudados no 
ensino médio são: naturais, inteiros, racionais, reais e complexos (este último veremos num 
capítulo à parte).
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (IN)
O conjunto dos naturais é:
IN = {0; 1; 2; 3; 4....}
Pode-se representar os naturais não-nulos, colocando um asterisco em sua represen-
tação (isso ocorrerá em todos os conjuntos estudados). Sendo assim:
IN* = {1; 2; 3; 4....}
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)
Na Matemática, os números negativos ocupam papel importantíssimo em suas mais 
variadas áreas. O conjunto dos números inteiros compreende os naturais e seus opostos. O 
conjunto dos inteiros é:
Z = {.......-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4....}
Adicionando os sinais de adição ou subtração aos conjuntos, obtemos o conjunto dos 
não-negativos e não-positivos, respectivamente. Nos inteiros, isso também ocorre:
Z+ = {0; 1; 2; 3; 4....} = IN
Z- = {0; -1; -2; -3; -4....} 
Dentro desse conjunto, destacam-se os números primos, de suma importância na 
Matemática e nas Ciências, como, por exemplo, na criptograia em Computação. São números 
inteiros que possuem exatamente 4 divisores inteiros. Os primos positivos são: 2; 3; 5; 7; 11; 
13; 17; 19.... A lista é interminável e não apresenta um padrão ou lei de formação, o que intriga 
matemáticos ao redor do mundo.
Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, todo número inteiro pode ser decompos-
to em um produto de fatores primos, sendo único, exceto pela permutação desses fatores. Um 
dos processos práticos de decomposição em fatores primos é ilustrado no exemplo abaixo:
 Matemática 13
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Ex.: Decomponha 60 em fatores primos.
60 2
30 2
15 3
5 5
1
Resposta: 60 = 22.3.5
Os livros didáticos trazem o processo de decomposição com os fatores primos dis-
postos em ordem crescente, o que não é necessário. Na verdade, o mesmo processo poderia ser 
esboçado como segue:
60 3
20 2
10 5
2 2
1
Quanto maior for o primeiro fator primo colocado, menos complexos serão os cálcu-
los seguintes. Um número que elucida bem esse ponto é o 350. Na igura abaixo, esboçamos à 
esquerda o método tradicional e, à direita, a decomposição iniciando-se com o fator 7.
350 2 350 7
175 5 50 2
35 5 25 5
7 7 5 5
1 1
As duas decomposições resultam em um mesmo produto, mas os cálculos do proces-
so à direita se mostram mais simples.
Outro conceito importante no âmbito desse conjunto é o de divisores de um núme-
ro inteiro. O processo é uma continuação da decomposição em fatores primos e, dessa vez, a 
fatoração crescente é mais vantajosa, muito embora não seja obrigatória. Inicia-se o algoritmo 
como já demonstrado, mas se adiciona uma segunda barra vertical, iniciada pelo número 1, 
divisor universal. Em seguida, deve-se realizar uma “distributiva” entre os fatores primos e os 
divisores que vão surgindo. Vejamos o exemplo.
Ex.: Determine os divisores inteiros de 60.
1
60 2 2
30 2 4
15 3 3;6;12
5 5 5;10;20;15;30;60
1
Resposta: D(60) = {±1; ±2; ±3; ±4; ±5; ±6; ±10; ±12; ±15; ±20; ±30; ±60}
14 Matemática
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
E se desejarmos, porém, apenas o número de divisores, sem a necessidade de especii-
cá-los um a um? Nesse caso, basta decompô-lo, somar uma unidade a cada expoente dos fatores 
primos e multiplicar cada resultado. Esse valor expressa o total de divisores positivos.
Ex.: Quantos são os divisores inteiros de 60?
Como vimos, 60 = 22.31.51. Tomando os expoentes e somando um a cada um deles, 
temos:
(2 + 1).(1 + 1).(1 + 1) = 12 divisores positivos
Resposta:24 divisores inteiros.
Para auxiliar nesses processos, faz-se necessário estudar alguns critérios de divisibili-
dade, descritos a seguir:
Por 2: O algarismo das unidades deve ser par (0; 2; 4; 6 ou 8).
Por 3: A soma dos algarismos deve ser múltipla de 3.
Por 4: Os dois últimos algarismos devem formar um múltiplo de 4.
Por 5: O algarismo das unidades deve ser 5 ou 0.
Por 6: Deve ser divisível por 2 e 3, simultaneamente.
Por 9: A soma dos algarismos deve ser múltipla de 9.
Por 10: O algarismo das unidades deve ser 0.
Por 11: Some os algarismos em posição ímpar e também os algarismos em posição par. Se 
a diferença entre esses dois valores resultarem em um múltiplo de 11, o número original é 
múltiplo de 11.
Para icar mais claro, estudemos a divisibilidade do número 35667180 por todos os 
exemplos anteriores:
Por 2: Sim, pois o algarismo das unidades é par.
Por 3: Sim. A soma dos algarismos é múltipla de 3 (3 + 5 + 6 + 6 + 7 + 1 + 8 + 0 = 36).
Por 4: Sim. Os dois últimos algarismos formam o número 80, que é múltiplo de 4.
Por 5: Sim, pois o algarismo das unidades é 0.
Por 6: Sim, pois é divisível por 2 e 3 simultaneamente.
Por 9: Sim, pois a soma dos algarismos é 36, que é múltiplo de 9.
Por 10: Sim, pois o algarismo das unidades é 0.
Por 11: Não. A soma dos algarismos em posição ímpar é 3 + 6 + 7 + 8 = 24, e os de posição 
par é 5 + 6 + 1 + 0 = 12. Sua diferença é 24 – 12 = 12, que não é múltiplo de 11.
 Matemática 15
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Um conceito importante em teoria dos números é o de máximo divisor comum 
(mdc). Existem vários procedimentos para obtê-lo, mas utilizaremos o método da decomposi-
ção em fatores primos.
Ex.: Determine o mdc entre 60 e 72.
60 2 72 2
30 2 36 2
15 3 18 2
5 5 9 3
1 3 3
1
Em negrito, destacam-se os fatores comuns; o mdc entre esses números é o seu pro-
duto, ou seja, 22.3 = 12.
Resposta: mdc(60,72) = 12
Quando se estudam os números naturais, também é introduzido o conceito da ta-
buada, que nada mais é do que a sequência ininita de múltiplos de um determinado número 
inteiro. No entanto, é possível determinar o menor múltiplo comum (mmc) entre dois ou mais 
números inteiros por vários processos. Empregaremos o algoritmo de fatoração simultânea, 
como segue no exemplo.
Ex.: Determine o mmc entre 60 e 72.
60, 72 2
30, 36 2
15, 18 2
15, 9 3
5, 3 3
5, 1 5
1, 1
23.32.5 = 360
Resposta: mmc(60,72) = 360
Cabe destacar que os fatores primos não precisam ser dispostos em ordem crescente, 
como já estudamos na decomposição em fatores primos. No vestibular da UNICAMP-2015, 
encontramos uma questão que exigia a utilização desse conceito:
Exemplo: (UNICAMP-2015) A tabela abaixo informa alguns valores nutricionais para a mes-
ma quantidade de dois alimentos, A e B. 
16 Matemática
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
a ) 4 b ) 6 c ) 8 d ) 10
Resolução: Para igualar o valor energético dos dois alimentos, é necessário determinar o mmc 
entre 60 e 80. Para tal, não é obrigatório usar fatores primos. É permitido utilizar um número 
composto, desde que seja divisor de ambos os números.
60, 80 20
3, 4 2
3, 2 2
3, 1 3
1, 1
20.2.2.3 = 240
Como o mmc é 240 kcal, devemos multiplicar os valores nutricionais do alimento A 
por 4 (pois 240/60 = 4) e os de B por 3 (240/80 = 3). A massa de proteína em A será de 6.4 = 
24 g, e a de B, 1.3 = 3g. A razão entre 24g e 3g resulta em 8.
Resposta: Alternativa C
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Esse conjunto contém todos os números que podem ser formados pela razão , sen-
do a ∈ Z e b ∈ Z. Sendo assim, além de abranger os dois conjuntos anteriores, compreende 
também as frações irredutíveis e as dízimas periódicas.
Quanto a essas últimas, apresentamos um processo prático para obter sua fração ge-
ratriz. Basta colocar o algarismo 9 no denominador, se o período for simples, 99, se for duplo, 
e assim por diante.
Ex.: a ) 0,77777.... = 
 b ) 0,25252525252 = 
 c ) 0,451451451...=
Considere duas porções isocaló-
ricas (de mesmo valor energéti-
co) dos alimentos A e B. A razão 
entre a quantidade de proteína 
em A e a quantidade de proteína 
em B é igual a 
 Matemática 17
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Se houver n zeros antes do período, acrescentam-se n zeros nos últimos n algarismos 
do denominador.
Ex.: 0,0001313131313....= 
Existem dízimas em que se pode distinguir a parte periódica e a não-periódica. Para 
obter sua fração geratriz, basta separá-las, como no exemplo:
1,377777.... = 1,3 + 0,077... = 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (IR)
O conjunto dos números reais engloba todos os anteriores e ainda os números cuja 
representação decimal não é periódica. Por exemplo, não é possível representar como uma 
razão entre dois números inteiros. Assim também ocorre com a constante p, a constante de 
Euler “e” e mais ininitos números, que são chamados de irracionais. Dessa forma, conclui-se 
que o conjunto dos reais é formado pelos números racionais e os irracionais.
A igura abaixo auxilia na visualização dos quatro conjuntos numéricos estudados 
neste capítulo:
Exemplo:
 
 IR 
Q 
Z 
IN 
0 
1 
2 
4 
3 
-1 
-2 
-4 
-3 
 
 
 
π 
 
RAZÕES E PROPORÇÕES
Numa viagem, quando aceleramos o carro, ou seja, aumentamos sua velocidade, diminu-
ímos o tempo de percurso. Esse é um princípio básico da Cinemática, envolvendo três grandezas: 
espaço, tempo e velocidade. No exemplo, o espaço se mantém constante, enquanto a velocidade 
aumenta. Em decorrência desse incremento, o tempo de percurso diminui. Dizemos, então, que 
velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais. Ao contrário, se a velocidade fosse 
mantida, quanto mais tempo fosse decorrido, mais espaço seria percorrido. Dessa monta, observa-
se que espaço e tempo são grandezas diretamente proporcionais. Ainda uma terceira situação pode 
18 Matemática
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
ser estudada: numa determinada quantidade ixa de tempo, se aumentarmos a velocidade do carro, 
percorreremos mais espaço, ou seja, espaço e velocidade são diretamente proporcionais.
Matematicamente, se (a; b; c) é diretamente proporcional a (d; e; f ), então:
Em contrapartida, se forem inversamente proporcionais, tem-se que:
a.d = b.e = c.f
Pode-se relacionar diversas grandezas entre si, desde que seja explicitada a relação de 
proporcionalidade entre elas.
a ) S = 
 
b ) S = 
 
c ) S = 
d ) S = 
 
e ) S = 
Resolução: Sendo S diretamente proporcional a b e a d2, isolando-se S à direita da equação, 
deve-se dispor essas grandezas no numerador, devidamente multiplicadas pela constante de 
proporcionalidade. O quadrado da distância entre os suportes da viga, representado por x2, é 
inversamente proporcional a S, e deve ser colocado no denominador.
Resposta: Alternativa A
Muitas vezes, são introduzidas questões em vestibulares ou no ENEM, envolvendo 
proporção entre duas ou mais grandezas como essas. Na mesma prova do Exame Nacional, foi 
apresentada outra questão sobre o assunto:
Exemplo: (ENEM-2012) A resis-
tência mecânica S de uma viga de 
madeira, em forma de um parale-
lepípedo retângulo, é diretamente 
proporcional à sua largura (b) e ao 
quadrado de sua altura (d) e inversa-
mente proporcional ao quadrado da 
distância entre os suportes da viga, 
que coincide com o seu comprimen-
to (x), conforme ilustra a igura. A 
constante de proporcionalidade k é 
chamada de resistência da viga. A 
expressão que traduz a resistência S 
dessa viga de madeira é
 Matemática 19
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Exemplo: (ENEM-2013) Para se construir um contrapiso, é comum, na constituição do con-
creto, se utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de 
areia e 2 partes de brita.Para construir o contrapiso de uma garagem, uma construtora enco-
mendou um caminhão betoneira com 14 m3 de concreto. Qual é o volume de cimento, em m3, 
na carga de concreto trazido pela betoneira?
a ) 1,75 b ) 2,00 c ) 2,33 d ) 4,00 e ) 8,00
Resolução: Uma resolução clássica observada em livros didáticos consiste em atribuir uma 
denominação a cada uma das quantidades de cada grandeza (c para cimento, a para areia e b 
para brita), e sistematizar suas relações, como já visto:
Basta agora calcular o valor de c.
No entanto, parece mais simples assumir valores proporcionais de cada grandeza de 
forma mais direta a cada um dos numerais apresentados e a uma constante de proporcionali-
dade x, a saber:
cimento: x
areia: 4x
brita: 2x
Assim, deduz-se que 
x + 4x + 2x = 14 → x = 2
Resposta: Alternativa B
Discorrer sobre proporcionalidade implica mencionar um dos procedimentos mais 
usuais de cálculo, não só na Matemática, mas sobretudo, no mundo real, no cotidiano das mais 
diversas proissões. Trata-se da regra de três, princípio diretamente ligado às razões e propor-
ções, como ilustrado no exemplo a seguir, ainda contido na mesma edição do Exame Nacional.
Exemplo: (ENEM-2013) Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias brasileiras é o 
excesso de carga transportada pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dentro dos limi-
tes legais de carga, o piso das estradas se deteriora com o peso excessivo dos caminhões. Além 
disso, o excesso de carga interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da suspensão 
do veículo, causas frequentes de acidentes. Ciente dessa responsabilidade e com base na expe-
riência adquirida com pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar, no 
máximo, 1500 telhas ou 1200 tijolos. Considerando esse caminhão carregado com 900 telhas, 
quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à carga, de modo a não ultrapassar a 
carga máxima do caminhão?
a ) 300 tijolos b ) 360 tijolos c ) 400 tijolos d ) 480 tijolos e ) 600 tijolos
20 Matemática
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Resolução: De acordo com o enunciado, 1500 telhas equivalem a 1200 tijolos, que é a ca-
pacidade máxima do caminhão. Como o veículo já foi carregado com 900 telhas, ainda seria 
possível colocar 1500 – 900 = 600 telhas. Basta agora determinar quantos tijolos equivalem a 
essa quantidade, lançando mão de uma regra de três simples:
telhas Tijolos
1.500 ─ 1200
600 ─ X
1500.x = 600.1200 → x = 480 tijolos
Resposta: Alternativa D
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS (PA)
Uma progressão aritmética é uma sequência numérica, na qual a diferença entre um 
termo e o anterior é constante e se denomina razão (r). Se a razão for positiva, diz-se que a PA 
é crescente, se for negativa, decrescente, e constante, se a razão for nula.
Exemplo: a ) (3; 7; 11; 15; ....) r = 4 Crescente
 b ) (10; 8; 6; 4....) r = -2 Decrescente
 c ) (7; 7; 7; 7;.....) r = 0 Constante
Seja a1 o primeiro termo e an o enésimo da PA de razão r, pode-se deinir a fórmula 
do termo geral como:
an = a1 + (n – 1).r
Exemplo: a20 = a1 + 19.r
É possível relacionar dois termos quaisquer da PA; basta que o módulo da diferença 
entre seus índices seja igual ao coeiciente de r.
Exemplo: a15 = a3 + 12.r
Pode-se constatar que qualquer termo da PA é a média de seus termos adjacentes, ou 
seja, dada a PA (a, b, c), então:
Também se nota a propriedade dos termos equidistantes, em que a soma de dois 
termos com soma de índices igual a x é equivalente à soma de outros dois termos, cuja soma de 
índices também seja x. Ou seja, se m + n = p + s, tem-se que:
am + an = ap + as
 Matemática 21
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A soma dos n primeiros termos da PA decorre dessa propriedade, e pode ser calculada 
pela expressão:
Uma questão cobrada pela banca da FUVEST-2012, na prova da 2a fase, englobava 
esse conceito, além da propriedade do termo médio.
Exemplo: Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por:
a1 = 1 + x, a2 = 6x e a3 = 2x
2 + 4,
em que x é um número real. 
a ) Determine os possíveis valores de x. 
b ) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao me-
nor valor de x encontrado no item a).
Resolução: a ) Utilizando a propriedade do termo do meio, tem-se que:
1 + x + 2x2 + 4 = 12x
2x2 – 11x + 5 = 0
Utilizando a fórmula de Bháskara:
∆ = b2 – 4.a.c = (-11)2 – 4.2.5 = 81
b ) O menor valor de x encontrado em a) é 1/2. O primeiro termo da PA é 1 + x = 1 + 0,5 = 
1,5. Seu segundo termo é 6x = 6.0,5 = 3. Sendo assim, a razão r = 3 – 1,5 = 1,5. Para calcular 
a soma dos 100 primeiros termos da PA (S100), necessitamos calcular seu centésimo termo: 
a100 = a1 + 99.r = 1,5 + 99.1,5 = 150
S100 = 
Resposta: a ) 5 ou 1/2 b ) 7.575
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (PG)
A progressão geométrica, assim como a PA, é uma sequência numérica, cuja razão 
entre um termo e o anterior é constante e se denomina como razão q. Classiica-se como cres-
cente, decrescente, constante (q = 1), alternante (q < 0) e singular (a1 = 0 ou q = 0).
Exemplo: a ) (2; 6; 18; 54....) q = 3 Crescente
 b ) (8; 4; 2; 1....) q = 1/2 Decrescente
22 Matemática
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 c ) (7; 7; 7; 7; ....) q = 1 Constante
 d ) (-2; 6; -18; 54...) q = -3 Alternante
 e ) (9; 0; 0; 0; .....) q = 0 Singular
Para determinar o enésimo termo an da PG de razão q e primeiro termo a1, basta 
utilizar a expressão:
 an = a1.q
n - 1
Exemplo a20 = a1.q
19
Dois termos quaisquer podem ser relacionados entre si, de forma semelhante à PA.
Exemplo: a15 = a3.q
12
O termo do meio da PG formada pelos termos (a, b, c) é dado por:
b2 = a.c
Veriica-se também a propriedade dos termos equidistantes, novamente de forma 
semelhante à PA. Se m + n = p + s, então:
 am . an = ap . as
Dessa expressão, pode-se deduzir o produto Pn dos n primeiros termos da PG, expli-
citado por:
Para calcular a soma dos n primeiros termos da PG, utiliza-se a expressão:
Também é possível calcular a soma dos ininitos termos S(( de uma PG convergente, 
ou seja, com -1 < q < 1:
Vejamos um exemplo cobrado no vestibular da FUVEST:
Exemplo: (FUVEST-2009) A soma dos cinco primeiros termos de uma PG, de razão negati-
va, é 1/2. Além disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3. 
Nessas condições, determine: 
a ) A razão da PG.
b ) A soma dos três primeiros termos da PG.
 Matemática 23
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Resolução: a ) Dados: S5 = 1/2, q < 0 e a7 – a2 = 3. Então:
S5 = → 2.a1.(q5 – 1) = q – 1 (I)
a7 – a2 = 3 → a1.q6 – a1.q = 3 → a1.q.(q5 – 1) = 3 (II)
Dividindo-se (I) por (II), obtém-se:
 → → q2 – q – 6 = 0
Empregando a fórmula de Bháskara:
∆ = b2 – 4.a.c = (-1)2 – 4.1.(-6) = 25
Como q < 0, então q = -2.
b ) Como q = -2 e a1.q.(q
5 – 1) = 3, então:
a1.(-2).[(-2)
5 – 1] = 3 → a1 = 1/22
S3 = 1/22 + (-2).1/22 + (-2)
2. 1/22 = 3/22
Resposta: a ) -2 b ) 3/22
PORCENTAGEM
A deinição de porcentagem é muito simples: trata-se de uma fração cujo denomina-
dor é igual a 100. Dessa forma, pode-se representar uma porcentagem com o símbolo %, em 
forma de fração ou de número decimal.
Exemplo: a ) 47% = = 0,47 
 b ) 10% = = 0,1
 c ) 1% = = 0,01
Via de regra, a porcentagem é calculada lançando-se mão de uma regra de três, o que 
não é obrigatoriamente o caminho mais imediato. Vejamos dois exemplos de sua aplicação e 
cálculo direto:
Exemplos: a ) Calcule 30% de 75.
Resolução: Em porcentagem, a preposição “de” pode ser substituída pela multiplicação.Então:
30% de 75 = 0,3.75 = 22,5
Resposta: 22,5
24 Matemática
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
b ) Qual porcentagem 28 equivale, num total de 80?
Resolução: Lembrando que porcentagem equivale a uma fração, podemos entender que 28 em 
80 é a fração = 0,35 = 35%.
Resposta: 35%
Exemplo: (ENEM-2014) Uma organização não governamental divulgou um levantamento de 
dados realizado em algumas cidades brasileiras sobre saneamento básico. Os resultados indicam 
que somente 36% do esgoto gerado nessas cidades é tratado, o que mostra que 8 bilhões de 
litros de esgoto sem nenhum tratamento são lançados todos os dias nas águas. Uma campanha 
para melhorar o saneamento básico nessas cidades tem como meta a redução da quantidade de 
esgoto lançado nas águas diariamente, sem tratamento, para 4 bilhões de litros nos próximos 
meses. Se o volume de esgoto gerado permanecer o mesmo e a meta dessa campanha se concre-
tizar, o percentual de esgoto tratado passará a ser
a ) 72% b ) 68% c ) 64% d ) 54% e ) 18%
Resolução: Se 36% do volume total diário de esgoto é tratado, 64% são tratados, o que equi-
vale a 8 bilhões de litros. Se x é o volume total, então:
0,64.x = 8 → x = 12,5 bilhões de litros
Se 4 bilhões de litros de esgoto passarão a não ser tratados, 12,5 – 4 = 8,5 bilhões de 
litros de esgoto serão tratados, o que representa 8,5 / 12,5 = 0,68 = 68% do total.
Resposta: Alternativa B
AUMENTO E DESCONTO
Para compreender melhor o conceito de aumento e desconto percentual, é premente 
entender o coeiciente de multiplicação. Para tal, introduziremos alguns exemplos.
Ex.: Se o valor inicial de uma mercadoria é x, e sobre esse valor incide um aumento de 27%, 
restará quanto do valor inicial? Vejamos:
x + 0,27.x = 1,27.x
O fator multiplicativo é 1,27 e é calculado pela soma 1 + 0,27 (27%). Se o aumento 
for de p%, o fator multiplicativo será:
1 + 
Assim também ocorre com os descontos, mas se subtrai a porcentagem do valor 
inicial.
Exemplo: Se o valor inicial de uma mercadoria é x, e sobre esse valor incide um desconto de 
27%, restará quanto do valor inicial?
Resolução: Vejamos:
x - 0,27.x = 0,73.x
 Matemática 25
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É plausível que sobre 73% do valor original, já que se descontam 27% de 100%.
Resposta: 0,73.x
Exemplo: (ENEM-2013) Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamen-
tos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao 
caixa, os clientes que possuem o cartão idelidade da loja têm direito a um desconto adicional 
de 10% sobre o valor total de suas compras. Um cliente deseja comprar um produto que cus-
tava R$ 50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão idelidade da loja. Caso 
esse cliente possuísse o cartão idelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a 
compra, em reais, seria de
a ) 15,00. b ) 14,00. c ) 10,00. d ) 5,00. e ) 4,00.
Resolução: Como o produto custava R$ 50,00 e houve remarcação, gerando desconto de 
20%, seu preço passou a ser 0,8.50 = R$ 40,00, valor pago pelo cliente. Se possuísse o cartão 
idelidade da loja, receberia 10% de desconto sobre esse valor, ou seja, 0,1.40 = R$ 4,00.
Resposta: Alternativa E
JUROS SIMPLES
A partir de um capital inicial C, pode-se incidir um percentual de aumento sobre esse 
valor, durante um período de tempo n. Isso conigura uma progressão aritmética, cuja razão 
nada mais é do que o produto desse capital pela taxa de juros i. Após esse período, pode-se 
resgatar ou quitar a importância inal, denominada montante M. O rendimento (ou juros) j 
de um empréstimo ou aplicação inanceira é a diferença entre o montante e o capital inicial.
j = C.i.n
M = C + j
Exemplo: Determine o rendimento recebido pela aplicação de R$ 2.000,00, a uma taxa de 
juros simples de 12% ao ano, por um período de 3 anos.
Resolução:
Ano Montante (R$) Juros (R$)
0 2000,00 0,12.2000,00 = 240,00
1 2000,00 + 240,00 = 2240,00 0,12.2000,00 = 240,00
2 2240,00 + 240,00 = 2480,00 0,12.2000,00 = 240,00
3 2480,00 + 240,00 = 2720,00 Total: 720,00
Resposta: 720,00
É possível realizar os mesmos cálculos empregando a fórmula estudada:
j = C.i.n = 2000 x 0,12 x 3 = 720
26 Matemática
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JUROS COMPOSTOS
No regime de juros compostos, a taxa de juros incide sempre sobre o capital vigente 
no período de tempo correspondente, ou seja, mês a mês, ano a ano, sempre sobre o montante 
naquele momento. É o que se denomina juros sobre juros, que se conigura em uma progressão 
geométrica.
Exemplo: Determine o rendimento recebido pela aplicação de R$ 2.000,00, a uma taxa de 
juros compostos de 12% ao ano, por um período de 3 anos.
Resolução:
Ano Montante (R$) Juros (R$)
0 2000,00 0,12.2000,00 = 240,00
1 2000,00 + 240,00 = 2240,00 0,12.2240,00 = 268,80
2 2240,00 + 268,80 = 2508,80 0,12.2508,80 = 301,06
3 2508,80+ 301,06 = 2809,86 Total: 809,86
Resposta: R$ 809,96
Na verdade, pode-se efetuar o cálculo de forma mais simples:
2000,00 1,123.2000 = 2809,86. Os juros são 2809,86 – 2000,00 = 809,86.
Portanto, é possível calcular o montante, multiplicando-se o capital inicial pelo coe-
iciente de multiplicação elevado ao período de tempo.
ANÁLISE COMBINATÓRIA
A análise combinatória é a parte da Matemática que abrange a contagem de elemen-
tos de um conjunto agrupado sob especiicidades particulares. 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC)
Princípio básico de contagem, o PFC se conigura numa ferramenta essencial em 
diversas áreas, utilizando a multiplicação como artifício principal. Um exemplo: se temos 10 
camisas e 20 calças, de quantas maneiras distintas podemos escolher uma peça de cada tipo? 
Para resolver a questão, basta imaginar que, para cada camisa escolhida, há 20 calças possíveis 
para compor o par. Sendo assim, 10.20 = 200 maneiras distintas de escolha. Também é possível 
representar a situação através de uma árvore de possibilidades, o que não é muito prático, nesse 
caso. Veriiquemos um exemplo mais soisticado apresentado pela banca da FUVEST:
Exemplo: (FUVEST-2015-ADAPTADA) Um “alfabeto minimalista” é constituído por apenas 
dois símbolos, representados por * e #. Uma palavra de comprimento n, n ≥ 1, é formada por n 
escolhas sucessivas de um desses dois símbolos. Por exemplo, # é uma palavra de comprimento 
1 e #**# é uma palavra de comprimento 4. Usando esse alfabeto minimalista, quantas palavras 
de comprimento menor do que 6 podem ser formadas?
Resolução: Comprimento 1: 2
 Matemática 27
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
 Comprimento 2: 2.2 = 4
 Comprimento 3: 2.2.2 = 8
 Comprimento 4: 2.2.2.2 = 16
 Comprimento 5: 2.2.2.2.2 = 32
 Comprimento 6: 2.2.2.2.2.2 = 64
2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126
Resposta: 126
ARRANJOS
Existem situações em que é necessário escolher k elementos de um conjunto com 
n elementos, e dispô-los em ordem. Para tal situação, utiliza-se o conceito de arranjo (An,k), 
expressado pela fórmula:
An,k = 
Exemplo: (UNICAMP-2013) Para acomodar a crescente quantidade de veículos, estuda-se 
mudar as placas, atualmente com três letras e quatro algarismos numéricos, para quatro letras e 
três algarismos numéricos, como está ilustrado na igura. Considere o alfabeto com 26 letras e 
os algarismos de 0 a 9. O aumento obtido com essa modiicação em relação ao número máximo 
de placas em vigor seria:
a ) inferior ao dobro.
b ) superior ao dobro e inferior ao triplo.
c ) superior ao triplo e inferior ao quádruplo.
d ) mais que o quádruplo.
Resolução: Na primeira situação, têm-se 3 letras e 4 algarismos, e o total de possibilidades é 
26.26.26.10.10.10.10. Na segunda, com 4 letras e 3 algarismos, são 26.26.26.26.10.10.10. A 
razão entre os dois valores é:
=
O aumento representaria 2,6 – 1 = 1,6.
Resposta: Alternativa A
ABC 1234 ABCD 12328 Matemática
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PERMUTAÇÕES SIMPLES
O conceito de permutação advém do próprio nome: trata-se do cálculo de todas as 
“trocas” de posições entre n elementos, levando-se em conta sua disposição e ordem. Calcula-se 
empregando-se a expressão:
Pn = n!
Exemplo: Qual o total de anagramas da palavra PERMUTA?
Resolução:
 P7 = 7! = 5040
Resposta: 5040
PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÃO
Quando há repetição de elementos, deve-se usar a expressão:
a,b,c,....Pn = 
sendo n o total de elementos, “a” a quantidade de repetições de um dos elementos, 
“b” de outro, e assim sucessivamente.
Exemplo: Qual o total de anagramas da palavra BANANA?
Resolução:
São 6 letras, sendo 3 A e 2 N:
3,2P6 = =60
Resposta: 60
COMBINAÇÃO SIMPLES
Utiliza-se a combinação simples, quando não importa a ordem dos k elementos es-
colhidos num total de n elementos. Sua expressão é dada por:
Ex.: (UNESP-2013) Quantos são os números naturais que podem ser decompostos em um 
produto de quatro fatores primos, positivos e distintos, considerando que os quatro sejam 
menores que 30?
 Matemática 29
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Resolução: São 10 os números primos menores que 30: 2;3;5;7;11;13;17;19, 23, 29. Deve-se 
formar números naturais que podem ser decompostos pelo produto de 4 deles, cuja ordem não 
importa. Sendo assim, empregaremos o princípio de combinação:
C10,4 = = 210
Resposta: 210 números naturais.
30 Matemática
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2 FUNÇÕES
Iniciaremos o estudo das funções, conteúdo importante não apenas aos interesses 
da Matemática, mas utilizado em outras ciências, como a Física, a Química, a Biologia, entre 
outras. Para iniciarmos esse estudo, pensemos na seguinte situação:
Situação problema: Uma empresa de telefonia móvel oferece um plano por R$ 60,00 por mês, 
no qual o cliente terá direito a 50 minutos em ligações locais. Após os 50 minutos, é cobrada 
uma tarifa de R$ 1,50/minuto excedido. Sendo assim:
a) Um cliente que izer adesão a esse plano pagaria quanto, se utilizasse 40 minutos em liga-
ções locais?
b) E se utilizasse 56 minutos, qual seria o valor pago?
c) O valor pago depende do tempo das ligações efetuadas?
d) Há uma forma de representar o valor pago pelo cliente em relação aos minutos utilizados 
mensalmente? Como seria?
Essa situação nos dá um exemplo de uma função matemática: há uma dependência 
entre o valor pago pelo cliente e o tempo empregado nas ligações.
O termo função passou por várias evoluções, no decorrer da História da Matemática. 
Esse termo foi utilizado pela primeira vez por volta de 1694, por Gottfried Wilhelm Leibniz 
(1646-1716), para expressar quantidades associadas a uma curva. Atualmente, a deinição mais 
adotada para função é a do grupo Bourboki, proposto em 1939.
São desenvolvidas e usadas fórmulas matemáticas para associar padrões, realizar pre-
visões em diversas áreas, e não somente na Matemática.
Para deinir funções, vamos deinir anteriormente outros conceitos.
Produto Cartesiano: Dados os conjuntos A e B , não vazios, o produto cartesiano de A 
em B , denotado por BA x , é o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) em que Ax ∈ 
e By ∈ .
A x B ={(x,y) ⁄ x ∈ A e y ∈B} 
Exemplo: Sejam os conjuntos 3}.- 2,- {-1,B e {1,2}A == O produto cartesiano de A 
em B é o conjunto 3)}- (2, 2),- (2, 1),- (2, 3),- (1, 2),- (1, 1),- {(1,x =BA .
 Matemática 31
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Relação: A relação )(R de A em B é qualquer subconjunto do produto cartesiano de A 
em B .
Exemplo: Consideremos dois conjuntos A e B , descritos no exemplo anterior. Seja R a 
relação de A em B deinida por .xy −=
Assim, )}2,2(),1,1{(}/),{(  xyAxByxR 
Função: A relação f de A em B é denominada função, quando, para todo elemento x do 
conjunto A estiver associado um único elemento y do conjunto B .
B A : →f
O conjunto A é chamado domínio da função de A em B e denotado por )( fD 
ou D . O conjunto B é denominado contradomínio de f de A em B e denotado por CD 
(f ). 
Deinimos conjunto imagem e denotamos por )Im( f ao conjunto de todos os va-
lores de y que são imagem de x.
Há várias formas de representar uma função. Pode ser através de uma fórmula, do 
diagrama de lechas, de uma tabela, de um gráico. 
Exemplos: Sejam os conjuntos A = {0, 1, 4} e B = {-1, 0, 1, 2, 5}e as relações de A em B :
R = {(x, y) ∈ AxB ⁄ y = x + 1}
 
 
32 Matemática
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
S = {(x, y) ∈ AxB ⁄ y = 2x }
T = {(x, y) ∈ AxB ⁄ y2 = x}
A relação R = {(x, y) ∈ AxB ⁄ y = x + 1} representa uma função f de A em B, pois, 
para todo elemento de x, há um elemento correspondente em y e é único. 
 R é função de A em B
A relação S = {(x, y) ∈ AxB ⁄ y = 2x } não representa uma função de A em B , 
pois há elemento no conjunto A que não possui elemento correspondente em B .
 S não representa uma função de A em B .
 
 
 Matemática 33
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
A relação T = {(x, y) ∈ AxB ⁄ y2 = x} também não representa uma função de A em 
B , porque existe elemento em A que possui mais que um correspondente em B .
T não representa uma função de A em B . 
A fórmula y = x2 - 5x + 6 representa uma função de y em relação a x. O valor numé-
rico de y para x = 0 é 6, pois, substituindo x por 0, temos: y = 02 -5.0 + 6 = 6 .
ESTUDO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO
Uma função deinida por f : A → B tem o conjunto domínio (D = A) , contradomí-
nio (CD = B) e o conjunto Imagem (Im).
O conjunto A , domínio da função, pode estar evidente em alguns casos, como, por 
exemplo:
IRDZIRf =→ ;:
INDININf =→ ;:
No entanto, às vezes, o domínio não está evidente e, portanto, devemos deini-lo. 
Exemplo:
1. Na função 
x
xf
2
7
)( = , o domínio pode ser todos os números reais exceto o zero, 
pois, por tratar-se de um quociente, o denominador deve ser diferente de zero. Assim, 2x ≠ 0 
⇒ x ≠ 0. Nesse caso, { }0/* ≠∈== xIRxIRD .
2. Na função 42x)( xf , o domínio pode ser qualquer número real maior ou igual 
a -2, porque, por tratar-se de uma raiz quadrada, sua condição de existência é que o radi-
cal seja positivo ou zero. Assim, 2042 −≥⇒≥+ xx . Temos, { }2/ −≥∈= xIRxD
3. Na função 5 3³)( += xxf , o domínio são todos os números reais, pois não há restrição 
para uma raiz quíntupla.
 
34 Matemática
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Voltando à situação inicial do plano de telefonia móvel, podemos representar a fun-
ção através de um gráico. Sendo )(xfy = o valor pago e x os minutos gastos em ligações 
locais, teríamos
 y (preço pago em reais) 
 
 
 
 60 
 x (minutos em ligação) 
 50 
O domínio dessa função é { }0/ ≥∈= xIRxD , porque não há sentido x ser um 
número negativo, visto que não há quantidade de minutos negativos.
Além disso, essa situação seria descrita por duas sentenças:
Observando o gráico num plano cartesiano, podemos dizer se o gráico representa 
uma função de A em B ou não. Se deinir uma função de A em B , podemos deinir o 
domínio e o conjunto imagem através do seu gráico.
Exemplos:
a) )(xf deine uma função de A em B , pois, para cada elemento de A , existe um cor-
respondente em B e esse valor é único. 
D = A = IR; CD = B; Im = {y ∈ IR / y - 4}
 
x (minutos em ligação)
 Matemática 35
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Fonte: <http://www.engenheirodepetroleo.com.br/pt/provas-resolvidas/engenheiro-de-petroleo/cesgranrio-2011-
engenheiro-de-petroleo-q22/>. Acesso em: 20 jun. 2015.
 
b) f não representa uma função de A em B , porque existe elemento em A que possui 
mais de um elemento relacionado em B .
Fonte: <http://www.edusocial.com.br/blog/article/veriicar-se-um-graico-representa-uma-funcao>.Acesso em: 20 
jun. 2015.
ZERO DE UMA FUNÇÃO
Para todo valor de x ∈ D(f ) tal que 0)( =xf denominamos zero da função.
Exemplo: 65²)( +−= xxxf , temos 2=x e 3=x como sendo os zeros dessa função, 
pois, fazendo 0)( =xf , temos 3 e 2065² 21 ==⇒=+− xxxx .
No exemplo (c) do gráico de função, podemos observar o gráico de determinar os 
zeros da função. No caso, tem 0)( =xf para 4;0 == xx e 6−=x , que são as intersecções 
do gráico com o eixo )0( =yx .
Função par: Denominamos função par se para todo )( fDx ∈ , temos )()( xfxf −= .
36 Matemática
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Exemplo: 
2)( xxf =
1)1( =−f 1)1( =f
Observando o gráico, percebemos uma característica das funções pares. O gráico de 
qualquer função par é simétrico em relação ao eixo y.
Função ímpar: Denominamos função ímpar, se para todo x ∈ D(f ) temos f(x) = - f(-x). 
Exemplo: 
3)( xxg =
1)1( −=−f 1)1( =f
Observando o gráico da função )(xg , percebemos que a característica da função 
ímpar é sua simetria em relação à origem do sistema. 
Há funções que não são classiicadas como par e nem como ímpar:
Exemplo: 1 )( += xxg
 Matemática 37
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
ímpar função nem epar função é não 
3)1(
2)1(


=−
=
f
f
FUNÇÃO CRESCENTE, DECRESCENTE E CONSTANTE
Dado um intervalo contido no domínio de uma função f , se, para todo 
1x e 2x 
pertencentes a esse intervalo, com 
21 xx < , temos que:
• Se f (x
1 
) < f (x
2 
), f (x
 
) é uma função crescente, nesse intervalo;
• Se f (x
1 
) > f (x
2 
), f (x
 
) é decrescente, nesse intervalo.
A função f (x
 
) será função constante, se para qualquer x do intervalo, f (x) = k, k ∈ R.
Exemplo: 
para )(;2 xfx −< é decrescente
para )(;22 xfx <<− é constante
para )(;2 xfx > é crescente
Fonte: <http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap61s1.html>. Acesso 
em: 20 jun. 2015.
38 Matemática
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Função injetora: Dada uma função ,: BAf → f é injetora se, e somente se, para todo 
1x 
e 
2x pertencentes a A (domínio da função), temos )()( 2121 xfxfxx ≠⇒≠ .
Exemplo:
 f é injetora g não é injetora
Função sobrejetora: Dada uma função ,: BAf → f é sobrejetora se, e somente se, para 
todo By ∈ , existe tal que yxf =)( , ou seja Im ( f ) = CD ( f ).
Exemplo:
f é sobrejetora g não é sobrejetora
Função bijetora: Dada uma função f : A → B, f , é bijetora, se for injetora e sobrejetora, ou 
seja, )()()( 2121 xfxffDxx ≠⇒∈≠∀ e Im ( f ) - CD ( f ) .
f é bijetora
 
 
 
 
 
 Matemática 39
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Função inversa: Dada a função bijetora :f A → B , a função g : B → A é a função in-
versa de f , quando se tem baf =)( e abg =)( , para qualquer Aa ∈ e Bb ∈ . Denotamos 
a função inversa de )(por )(
1 xfxf − . Temos: )(),()(),( 1 xfxyxfyx −∈⇔∈ .
 )(xf )(
1 xf −
Exemplo:
As funções xxf 2)( = e 
2
)(
x
xg = são funções inversas. Temos, por exemplo, que 
2)1( =f e 1)2( =g . O par ordenado )()2,1( xf∈ e o par ordenado ).()1,2( 1 xfg −=∈
As funções f e 
1−f são simétricas em relação à função identidade xy = .
Função composta: Sejam as funções BAf →: e CBg →: , de tal forma que CD (f ) = 
D(g) . Denominamos a função CAh →: como função composta de g e f que relaciona 
essas duas funções.
 
40 Matemática
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
 
 
 
 f g 
 
 h 
 )(( xfg 
 
 
 )())(()( xgofxfgxh ==
FUNÇÃO AFIM OU FUNÇÃO DO 1O GRAU
Imaginemos um plano de telefonia celular, no qual o cliente paga um valor ixo de 
R$ 10,00 mensais mais uma tarifa de R$ 0,75 por minuto de ligação. Considerando P(x) o 
preço pago mensalmente pelo cliente desse plano e x os minutos utilizados em ligações no mês, 
teríamos a função P(x) = 10+0,75x , para 0≥x , para representar o valor pago mensalmente 
pelo cliente. Esse tipo de função é denominada função aim ou função do 1º grau.
Função aim: É toda função f : IR → IR, deinida por y = f (x) = ax + b , com a e b reais, em 
que é a o coeiciente angular ou declividade e b é o coeiciente linear.
Quando b =0, temos f(x) = ax e, então, é denominada função linear.
Exemplo: xxf 2)( −=
Gráico da função xxf 2)( −=
g(f (x))
g(f (x))
 Matemática 41
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Se xxf =)( , temos a função identidade.
Gráico da função identidade xxf =)(
Para toda função f (x) =ax +b, se:
0>a , temos uma função crescente 0<a , temos uma função decrescente
 
Zero (ou raiz) da função aim: É o número real x , tal que 0)( =xf . Temos: 
Exemplo: Determine o zero da função 73)( +−= xxf .
3
7
73073 =⇒−=−⇒=+− xxx .
42 Matemática
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO AFIM
Fonte: <http://pt.slideshare.net/faustois/calclo-1-2-termo-de-papel-e-celulose>. Acesso em: 20 jun. 2015.
Exemplo: Estudar o sinal da função 82)( +−= xxf .
• 0)( >xf : 4<x
• 0)( =xf : 4=x
• 0)( <xf : 4>x
 Matemática 43
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
Voltando à situação do plano de telefonia celular em que temos a função P(x) = 10 
+ 0,75x, para x ≥ 0, para representar o valor pago mensalmente pelo cliente. Imaginemos a 
situação na qual o cliente pretende gastar, no máximo, R$ 100,00 com esse plano de celular. 
Quantos minutos, no máximo, ele poderia falar?
Para resolver essa situação, teríamos que resolver uma inequação do 1º grau, ou seja, 
10 + 0,75x < 100.
Inequações do 1º grau: Seja f : IR → IR uma função aim deinida por f (x) =ax +b, chamamos 
inequação do 1º grau toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das seguintes formas:
0)( >xf ; 0)( <xf ; 0)( ≥xf ou 0)( ≤xf .
Na situação proposta, teríamos:
10 + 0,75x < 100 ⇒ 0,75x < 90 ⇒ x <120
Dessa forma, o cliente teria que falar menos que 120 minutos mensais para pagar, no 
máximo, R$ 100,00.
Inequação-produto e inequação-quociente: Consideremos duas funções )(xf e )(xg . 
Denominamos inequação-produto as desigualdades do tipo: 0. >gf ; 0. ≥gf ; 0. <gf e 
0. ≤gf .
Denominamos inequação-quociente as desigualdades do tipo: 0>
g
f
; 0≥
g
f
; 0<
g
f
 e 0≤
g
f
.
Exemplo: Resolver a inequação-produto 0)72).(34( >−− xx .
Inicialmente, devemos realizar o estudo do sinal de cada uma das funções.
xxf 34)( −= 72)( −= xxg
Zero: 
3
4=x
 
Zero: 
2
7=x
 
44 Matemática
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Agora, realizaremos o sinal do produto gf . :
Assim, a solução da inequação 0)72).(34( >−− xx é: 


 <<∈=
2
7
3
4
/ xIRxS
FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO DO 2ºGRAU
Num loteamento, onde as quadras são retangulares, de dimensões 120m por 160m, 
serão vendidos lotes menores de dimensões x por 2x. Na igura a seguir, representamos um 
desses lotes.
Como podemos representar uma função que traduza a área da quadra restante, após 
a venda de um lote indicado na igura?
Esse tipo de função é denominado função quadrática ou função do 2o grau.
Função Quadrática: É toda função f : IR → IR, deinida por f (x)= ax2+ bx + c, com a, b e c 
reais e a ≠ 0. Os coeicientes dessa funçãosão os números a, b e c.
 Matemática 45
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
O gráico dessa função é uma curva denominada parábola, que é uma curva simétri-
ca, e o eixo de simetria passa no ponto 

 ∆−−
aa
b
V
4
;
2
 denominado vértice da parábola.
Fonte: <http://pt.slideshare.net/faustois/calclo-1-2-termo-de-papel-e-celulose>. Acesso em: 20 jun. 2015.
Zeros (ou raízes) da Função Quadrática: Os zeros da função quadrática são os valores de x para 
os quais 0)( =xf . Dessa forma, para resolver , temos 
a
b
x
2
∆±−= ,
em que acb 42 −=∆ .
Dependendo do valor de ∆ , podemos ter:
• ∆ >0, a função tem dois zeros reais e distintos;
• ∆ =0, a função tem dois zeros reais e iguais;
• ∆ <0, a função não tem zero real.
Exemplo: Seja a função xxxf 2)( 2 −= . Os zeros dessa função são os pontos de intersecção 
da parábola com o eixo x, onde temos 0)( == yxf , ou seja, 022 =− xx . Assim, temos 
0=x ou 2=x . Graicamente, temos:
46 Matemática
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Fonte: <http://pt.slideshare.net/faustois/calclo-1-2-termo-de-papel-e-celulose>. Acesso em: 20 jun. 2015.
Exemplo: Considerando a função xxxf 2)( 2 −= , temos que:
• 0)( >xf : 0<x ou 2>x
• 0)( =xf : 0=x ou 2=x
• 0)( <xf : 20 << x
 Matemática 47
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Inequações do 2º grau: Toda expressão da forma 0)( >xf ; 0)( <xf ; 0)( ≥xf ou 
0)( ≤xf , onde , com cba e , reais e 0≠a é denominada inequação 
do 2º grau.
Exemplo: Resolver, em IR, a inequação 0156 2 ≤+− xx .
Da equação 0156 2 =+− xx , temos os zeros da função: 
3
1=x e 
2
1=x .
Fazendo o estudo do sinal da função 156)(
2 +−= xxxf , temos:
• 0)( >xf : 3
1<x ou 
2
1>x
• 0)( <xf : 2
1
3
1 << x
Assim, a solução da inequação 0156 2 ≤+− xx é 


 ≤≤∈=
2
1
3
1
/ xIRxS
48 Matemática
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
FUNÇÃO MODULAR
Módulo: Deinimos módulo x de um número real x ao próprio número x, se ele for positivo 
ou nulo, e o seu oposto, se ele for negativo. Desta forma, temos: .
Exemplo: 44- ;33 ==
Função Modular: é toda função IRIRf →: tal que xxf =)( , deinida por 
.
Equação modular: São as equações nas quais as incógnitas aparecem nos módulos.
Exemplo: Resolver, em IR, a equação modular 213 =−x



−=⇒−=−
=⇒=−
⇒=−
3
1
213
1213
213
xx
xx
x



−= 1,
3
1
S
 Matemática 49
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Inequação modular: São as inequações nas quais as incógnitas aparecem nos módulos.
Seja k∈IR
+
, então: 



≥−≤⇔≥
>−<⇔>
≤≤−⇔≤
<<−⇔<
kxkxkx
kxkxkx
kxkkx
kxkkx
;
;
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00 em determinado fundo de investimento. Se o ren-
dimento previsto nessa aplicação é de 10% ao mês, ao inal do 4º mês, que valor (montante) a 
pessoa irá resgatar? E ao inal do enésimo mês?
Para responder a essa questão, podemos recorrer a uma função que relaciona o mon-
tante )(M em função do mês )(t : 
tiM )1(1000 += , onde i é a taxa do investimento.
Esse tipo de função denominamos função exponencial.
(Subtítulo) Função Exponencial: É toda função f : IR → IR+∗ deinida por xaxf =)( , com 
1 e 0 ≠> aa .
O gráico dessa função é denominado curva exponencial.
 
Fonte: <http://prof-cassiofernando.blogspot.com.br/2012/06/f-u-n-c-o-e-x-p-o-n-e-n-c-i-l.html>. Acesso em: 15 
jun. 2015.
Equação Exponencial: é toda equação cuja incógnita está no expoente. Assim: 
1 e 0 ,21
21 ≠>=⇔= aaxxaa xx
50 Matemática
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Exemplo: Resolver em IR a equação .
{ }4−=S
Inequação Exponencial: é toda desigualdade cuja incógnita está no expoente. Assim, temos: 
• Se 1>a (função crescente): 2121 xxaa xx >⇔>
• Se 10 << a (função decrescente): 2121 xxaa xx <⇔>
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Uma pessoa aplicou R $1.000,00 em um investimento com rendimento de 10% ao 
ano. Depois de quanto tempo essa quantia irá dobrar?
Podemos representar essa situação por: CM 2= , com M sendo o montante e C 
o capital investido. Assim, temos:
Para resolver essa situação, teríamos que aplicar logaritmo, que é a operação inversa 
da exponenciação.
Logaritmo: Sendo 
*
 e +∈ IRba , IRc ∈ e 1≠a , temos que bacb ca =⇔=log , em que 
a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e c o logaritmo.
2)1,1(
2)1(
2)1(
2
=
=+
=+
=
t
t
t
i
CiC
CM
IR IR
 Matemática 51
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Consequências da deinição:
• 
01log =a
• 
1log =aa
• 
nana =log
• 
cbcb aa =⇔= loglog
• ba
ba =log
Propriedades Operatórias: Sendo 
*
 e , +∈ IRcba , 1≠a e IRn∈ , temos:
• 
cbcb aaa loglog).(log +=
• 
cb
c
b
aaa logloglog −=


• 
bnb a
n
a log.log =
• Mudança de base: 
a
b
b
c
c
a
log
log
log =
Função Logarítmica: é toda função IRIRf →+*: deinida por xxf alog)( = , com 
1 e 0 ≠> aa
O gráico dessa função é uma curva denominada curva logarítmica.
 
Fonte: <http://professor-rodrigo-sesi.wikispaces.com/Fun%C3%A7%C3%A3o+Logar%C3%ADtmica>. Acesso 
IR IR
IR IR
52 Matemática
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
em: 12 jun. 2015.
Equação Logarítmica: é toda equação cuja incógnita está no logaritmando, na base ou em 
ambos. 
Exemplo: Resolva, em IR, a equação )73(log)3(log 22 +=− xx .
{ }1−=S
Inequação Logarítmica: é toda inequação cuja incógnita está no logaritmando, na base ou em 
ambos. 
• Se 2121 loglog:1 xxxxa aa >⇔>>
• Se 2121 loglog:10 xxxxa aa <⇔><<
 Matemática 53
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
3 ESTATÍSTICA DESCRITIVA E PROBABILIDADE
INTRODUÇÃO - CONCEITOS BÁSICOS
Em nosso dia a dia, estamos rodeados de informações obtidas por meio de estudos 
estatísticos. Por exemplo, para decidirmos em quem votar, nas eleições, podemos observar os 
resultados de pesquisas eleitorais sempre divulgadas; para decidir pelo lançamento de um novo 
produto, industriais costumam veriicar, entre os consumidores, a aprovação dessa mercadoria 
– entre outras situações. Mas como se dá este processo?
A princípio, há a necessidade de uma formalização da situação a ser estudada. Após, o 
pesquisador precisa veriicar se ele terá acesso à população envolvida em sua pesquisa. Lembre-
se de que, em um estudo estatístico, população é o conjunto completo dos elementos que com-
põem o sistema em estudo. 
Caso não tenha acesso a toda a população, precisará selecionar elementos desta que a 
representem, para compor uma amostra. Amostra é, então, um subconjunto da população a ser 
estudada. Para a seleção dessa amostra, existem algumas técnicas de amostragem que objetivam 
compor a amostra com elementos que melhor representem a população foco, procurando sele-
cionar (em menor quantidade e de maneira proporcional, se possível) os que possuam as prin-
cipais características da população estudada. Essas técnicas limitam-se de acordo com o tempo 
disponível para a pesquisa, recursos inanceiros, disponibilidade dos elementos que constituem 
a população e até pela acessibilidade a esses elementos.
Suponha, agora, que você queira conhecer o desempenho geral de sua sala de aula 
na disciplina de Matemática e, também, quem possui melhor desempenho, se as meninas ou 
os meninos da sala. Para isso, vai em busca das notas obtidas por seus colegas e seu sexo. As 
informações coletadas estão apresentadas abaixo:
Sexo Nota Sexo Nota Sexo Nota
Feminino 3,5 Feminino 7,0 Masculino 4,0
Masculino 5,0 Feminino 4,0 Feminino 5,0
Masculino 4,0 Masculino 5,0 Masculino 1,5
Masculino 2,0 Masculino 7,0 Feminino 7,0
Feminino 7,5 Masculino 1,5 Masculino 9,0
Masculino 2,0 Feminino 5,0 Masculino 5,0
Feminino 5,0 Feminino 3,0 Masculino 3,5
Feminino4,0 Masculino 3,5 Feminino 2,0
Masculino 3,5 Feminino 7,5 Feminino 3,0
Masculino 5,0 Masculino 4,0 Masculino 4,0
54 Matemática
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Estas informações, na Estatística, são chamadas de dados, e aquilo a que esses dados 
se referem consiste nas variáveis. Em nossa situação, temos duas variáveis: sexo e nota. Os sexos 
são classiicados em duas categorias: feminino e masculino. Já a nota é um valor numérico que 
varia dentro do conjunto dos números reais. Ou seja, as variáveis com que estamos trabalhando 
possuem características diferentes!
De maneira geral, as variáveis podem ser classiicadas em:
• variáveis qualitativas: aquelas que apresentam como resposta uma qualidade ou uma 
preferência, sempre organizadas em categorias. São classiicadas em:
o nominais, onde as categorias não podem ser organizadas em ordem, como, por exem-
plo, sexo, cor de cabelo, cor de olhos, etnia, religião etc.;
o ordinais, que podem ser organizadas em ordem crescente ou decrescente, como, por 
exemplo, grau de instrução, colocação no campeonato etc.
• variáveis quantitativas: aquelas que apresentam como resposta um número real. Estas são 
obtidas por meio de contagens ou mensurações e classiicadas em:
o discretas, que assumem somente valores inteiros, como, por exemplo, idade em anos, 
número de alunos por sala de aula, número elementos na família etc.;
o contínuas, que assumem valores dentro de um intervalo dos números reais contínuo, 
como, por exemplo, altura, peso, distância etc.
Seguindo com o exemplo, o sexo é, então, uma variável qualitativa nominal e a nota 
(medida como apresentada), uma variável quantitativa contínua. 
Veremos, a seguir, maneiras de organizar esses dados e de representá-los.
REPRESENTAÇÃO DOS DADOS
Ao querer conhecer o desempenho geral de sua sala de aula, na disciplina de 
Matemática, você coletou alguns dados:
Sexo Nota Sexo Nota Sexo Nota
Feminino 3,5 Feminino 7,0 Masculino 4,0
Masculino 5,0 Feminino 4,0 Feminino 5,0
Masculino 4,0 Masculino 5,0 Masculino 1,5
Masculino 2,0 Masculino 7,0 Feminino 7,0
Feminino 7,5 Masculino 1,5 Masculino 9,0
Masculino 2,0 Feminino 5,0 Masculino 5,0
Feminino 5,0 Feminino 3,0 Masculino 3,5
Feminino 4,0 Masculino 3,5 Feminino 2,0
Masculino 3,5 Feminino 7,5 Feminino 3,0
Masculino 5,0 Masculino 4,0 Masculino 4,0
 Matemática 55
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Precisamos, agora, organizar esses dados de maneira que possamos estudá-los.
Uma primeira forma de organização é a tabela de frequências, também conhecida 
como distribuição de frequências. Essa tabela é formada por duas colunas: a primeira, composta 
pelos dados apresentados em ordem crescente, e a segunda, formada pela frequência do dado a 
que se refere, ou seja, o número de vezes que este aparece. Essa frequência dos dados é também 
chamada de frequência absoluta. 
Considerando o sexo de seus colegas, temos a seguinte tabela de frequências:
Sexo Frequência
Feminino 13
Masculino 17
Total 30
Já a tabela de frequências da variável notas dos alunos é:
Notas dos alunos Frequência
1,5 2
2,0 3
3,0 2
3,5 4
4,0 6
5,0 7
7,0 3
7,5 2
9,0 1
Total 30
Os dados quantitativos, por poderem assumir valores dentro de um intervalo, são 
ainda organizados em classes, ou seja, intervalos contínuos de mesmos tamanhos (amplitudes). 
Sendo L
i
 o limitante inferior da classe e L
s
 o seu limitante superior, em geral, representamos 
esta por:
L
i
 |-- L
s
,
ou seja, esse intervalo é fechado em L
i
 e aberto em L
s
.
Em cada classe, contabilizamos o número de elementos que nela estão inseridos, isto 
é, veriicamos a frequência de cada classe. Por exemplo, podemos construir as seguintes classes 
de notas com amplitude de 2,0 pontos:
56 Matemática
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Classes de notas
0,0 |-- 2,0
2,0 |-- 4,0
4,0 |-- 6,0
6,0 |-- 8,0
 8,0 |-- 10,0
A primeira classe possui limitante inferior 0,0 e limitante superior 2,0. Pela constru-
ção do intervalo, podemos inserir dados de 0,0 (inclusive) até o mais próximo possível de 2,0, 
porém, esse valor não é aceito. Das notas coletadas dos seus colegas, somente as duas notas 1,5 
estão inseridas nesse intervalo. 
Já a segunda classe é limitada inferiormente por 2,0 e superiormente por 4,0, ou 
seja, nessa classe, serão inseridos os dados de 2,0 (inclusive) até o mais próximo possível de 4,0, 
contudo, 4,0 não é aceito nesse intervalo. Sendo assim, os dados:
Notas dos alunos Frequência
2,0 3
3,0 2
3,5 4
estão na segunda classe, totalizando 9 dados.
Seguindo esse raciocínio, construímos a seguinte tabela de classes:
Classes de notas Frequência ( if )
0,0 |-- 2,0 2
2,0 |-- 4,0 9
4,0 |-- 6,0 13
6,0 |-- 8,0 5
 8,0 |-- 10,0 1
Total 30
Conseguimos, nessa tabela, ter uma visão geral das quantidades absolutas (frequên-
cia) de elementos em cada intervalo (classe), representada por if , sendo i o índice que repre-
senta a classe. Quer dizer, 1f é a frequência da primeira classe, 2f é a frequência da segunda 
 Matemática 57
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classe, e assim por diante. Todavia, para a análise da variável em estudo, muitas vezes é mais in-
teressante ter uma medida que leve em consideração o total de dados coletados para a amostra. 
Essa medida é a frequência relativa, deinida como a razão entre a frequência absoluta da classe 
( if ) e o número total de dados coletados para a amostra, que representaremos por n . Assim, a 
frequência relativa da classe i será calculada por: 
n
f
fr ii = .
Observe que, como a frequência da classe ( if ) é sempre menor ou igual ao total de 
dados da amostra ( n ), a frequência relativa está sempre entre 0 e 1. Sendo assim, costumamos 
representar essa medida em porcentagem. 
Completando nossa tabela de classes de notas com a frequência relativa das classes, 
temos:
Classes de 
notas 
Frequência 
( if ) 
Frequência 
relativa ( ifr ) 
0,0 |-- 2,0 2 %707,0
30
2  
2,0 |-- 4,0 9 %3030,0
30
9  
4,0 |-- 6,0 13 %4343,0
30
13  
6,0 |-- 8,0 5 %1717,0
30
5  
 8,0 |-- 10,0 1 %303,0
30
1  
Total 30 
 
Também podemos calcular a frequência relativa das categorias de variáveis qualitati-
vas. Voltando ao dado sexo, temos: 
Sexo Frequência 
Frequência 
relativa 
Feminino 13 %4343,0
30
13  
Masculino 17 %5757,0
30
17  
Total 30 
 
fr
i
58 Matemática
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Além da tabela, outra forma de representarmos os dados é por gráicos, como, por 
exemplo, o setograma e o gráico de barras (utilizados para variáveis qualitativas) e também o 
histograma (usado para variáveis quantitativas). Veremos a construção desses gráicos a seguir.
Começando pelo gráico de barras: esse gráico é construído sobre os eixos coordena-
dos xOy , onde
• sobre o eixo das abscissas (eixo x), representamos as categorias da variável a ser represen-
tada; e
• sobre o eixo das ordenadas (eixo y), representamos a frequência absoluta ou a frequência 
relativa (apresentada na forma percentual ou não).
Para cada categoria, “subimos” uma coluna de altura tal que represente sua frequên-
cia (absoluta ou relativa). A tabela de frequências da variável sexo nos fornece o gráico de barras 
a seguir.
Já o setograma ou gráico de setores é um gráico circular, no qual cada setor representa 
uma categoria e possui tamanho proporcional a esta. Para isso, calculamos o ângulo do setor 
circular da categoria i por
o
i
oi fr
n
f
360360 ×=×=α ,
onde f
i
 é a frequência da categoria i, n é o número de elementos da amostra em estudo e fr
i
 é a 
frequência relativa à classe i. Representando a variável sexo por um setograma, temos:
 Matemática 59
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