MATEMATICA UNIDADE IV

Prévia do material em texto

Responsável pelo Conteúdo: 
Profa Ms Rosângela Maura Correa Bonici 
 
Revisão Textual: 
Profa Vera Lidia de Sa Cicaroni 
 
 
 
 
 
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Caro aluno, 
Nesta unidade você estudará o conceito de desconto e também aprenderá como calculá-lo. O 
conteúdo teórico, além de apresentar exercícios resolvidos algebricamente, também mostra 
como resolvê-los usando a calculadora HP-12C. Para que sua aprendizagem seja completa, 
leia sempre o conteúdo teórico, assista ao vídeo da aula e ouça o Power-Point narrado. Esses 
materiais são complementares e visam proporcionar a melhor aprendizagem possível. Se 
mesmo assim tiver dúvidas, entre em contato com seu tutor; ele poderá auxiliá-lo. 
 
 Desconto Bancário ou Comercial ou 
“por fora” (DBS ou DCS) 
 Desconto racional simples ou 
“por dentro” (DRS) 
 Desconto Simples 
 Desconto 
Nesta unidade de ensino estudaremos o conceito de desconto, os 
tipos de descontos existentes no mercado financeiro e como calculá-
los usando o método convencional (algébrico) e a calculadora HP-
12C. No material complementar você encontrará a indicação de um 
site com um emulador de HP-12C, que é uma calculadora virtual, e 
de outro com o guia do usuário HP-12C, caso precise. 
 Desconto Racional Composto (DRC) 
 Desconto Composto 
 
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CURIOSIDADES SOBRE DESCONTO DE DUPLICATAS 
 
DEFINIÇÃO 
Desconto de duplicata é um empréstimo destinado a antecipar os valores a receber das 
vendas a prazo, financiadas através da emissão de duplicatas mercantis ou de serviços, 
emitidas pela empresa vendedora para as empresas clientes. 
 
BENEFICIÁRIOS 
Pessoas jurídicas, emitentes de duplicatas mercantis e/ou de serviços. 
 
CARACTERÍSTICAS 
Valor: Valor da(s) duplicata(s) entregue(s) e capacidade de pagamento do cliente, conforme 
limite de crédito definido pela instituição financeira. 
Prazo: Conforme prazo da duplicata. Quando mais de uma duplicata for entregue, será 
calculado o prazo médio para desconto. 
Encargos 
 Taxa - pré-fixada: cobrada antecipadamente sobre o valor da(s) duplicata(s) entregue(s). 
 IOF: Incidente sobre o valor líquido do desconto (valor das duplicatas, menos taxa de 
desconto). 
 Taxa de Abertura de Crédito - TAC: cobrada pela instituição para cada contrato, 
conforme sua tabela de tarifas. 
 Tarifa de cobrança: cobrada pela instituição, por duplicata, conforme sua tabela de tarifas. 
 
FORMA DE LIBERAÇÃO 
O valor líquido do desconto é liberado em conta corrente. 
 
 
7 
FORMA DE PAGAMENTO 
Na data de liquidação das duplicatas, os valores recebidos amortizam automaticamente o 
valor do empréstimo. Caso o sacado não efetue o pagamento da duplicata no prazo de 
vencimento, a instituição financeira cobrará o valor correspondente da empresa emissora com 
base no Direito de regresso. 
 
GARANTIAS 
A própria duplicata endossada entregue para desconto. Nota Promissória anexa ao borderô 
de desconto com aval dos sócios ou de terceiros que possam apresentar algum bem. 
 
FORMALIZAÇÃO 
Nesta operação não existe contrato, a própria duplicata é o instrumento contratual, que, uma 
vez endossada, é anexada a um borderô e entregue à instituição financeira. 
 
Fonte: <http://apps.fiesp.com.br/spcred/descontoduplicatas.asp>. Acesso em 22 Jul. 2011. 
 
 
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O documento comprobatório de uma dívida é chamado de título de crédito. A nota 
promissória, as duplicatas, as letras de câmbio, os cheques, os certificados de depósito, as 
cadernetas de poupança, entre outros, são exemplos de títulos de crédito. 
 
Títulos de crédito, como nota promissória, duplicata e letra de câmbio, podem sofrer 
uma operação financeira denominada desconto, que consiste em o portador resgatar o título 
antes do vencimento, recebendo, por ele, um valor menor do que receberia se aguardasse até 
a data de seu vencimento. Portanto podemos dizer que o desconto é o abatimento feito no 
valor de uma dívida quando ela é paga antes do seu vencimento. 
 
Esses títulos de crédito têm um valor declarado chamado de valor nominal ou 
valor da face. O valor recebido pelo portador do título, após a operação de desconto, é 
chamado de valor atual ou valor líquido. Podemos classificar os tipos de desconto em: 
desconto simples e desconto composto. 
 
 
Desconto Simples 
 
Vamos estudar o desconto racional simples ou “por dentro” e o desconto bancário ou 
comercial ou “por fora”. 
 
 
Desconto racional simples ou “por dentro” (DRS) 
 
No Brasil, o desconto racional simples é pouco praticado, por ser desfavorável às 
instituições financeiras, que são os órgãos que praticam essa operação. Ele favorece quem 
solicita o desconto. Apesar de ser pouco usual, é importante que o conheçamos. Para calcular 
o desconto racional simples, usamos as seguintes fórmulas: 
 
 
9 
 
FÓRMULA PARA CÁLCULO DO DESCONTO RACIONAL SIMPLES 
 
DRS = VN - VL 
DRS = desconto racional simples 
VN = valor nominal (declarado na face do título) 
VL = valor líquido (recebido após a operação) 
 
ou 
 
FÓRMULA PARA CÁLCULO DO DESCONTO RACIONAL SIMPLES 
 
).1(
..
ni
niVN
DRS


 
DRS = desconto racional simples 
VN = valor nominal (declarado na face do título) 
i = taxa de desconto 
n = prazo do desconto 
A taxa (i) e o prazo (n) devem estar na mesma unidade de tempo. 
 
Para encontrar o valor líquido, devemos usar: 
 
FÓRMULA PARA CÁLCULO DO VALOR LÍQUIDO (DRS) 
 
).1( ni
VN
VL


 
VL = valor líquido (recebido após a operação) 
VN = valor nominal (declarado na face do título) 
d = valor do desconto 
n = prazo do desconto 
A taxa (i) e o prazo (n) devem estar na mesma unidade de tempo. 
Para todos os cálculos, usamos, quando necessário, seis casas decimais e 
arredondamentos. 
 
Vamos ver um exemplo de como calcular o desconto racional: 
 
Exemplo 1: Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu 
vencimento, à taxa de juro simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional simples? Qual o 
valor líquido recebido? 
 
10 
 
 
 
Cálculo do Desconto Racional Simples (DRS) 
Dados Solução algébrica 
VN =25000 
n = 2 meses 
i = 2,5% ao mês (0,025) 
DRS = ? 
VL = ? 
2.025,01
2.025,0.25000
).1(
..




ni
niVN
DRS
 
48,1190
48,1190
05,1
1250
2.025,01
2.025,0.25000




DRS
 
 
DRS = VN – VL 
1190,48 = 25000 – VL 
VL = 23.809,52 
 
Solução HP 12-C 
 
 [REG] (limpa todas os registros armazenados na memória) 
25000 
 
 
0,025 
 
 
1 
 
 
0,025 
 
 
2 
 
 
1190,48 
 
 
25000 
 
 
R$ 23809,52 
 
Desconto Bancário ou Comercial ou “por fora” (DBS ou DCS) 
 
Esta modalidade é muito utilizada nas operações comerciais, principalmente nas operações 
bancárias, tendo em vista que, para as instituições financeiras, esta operação é muito mais 
interessante, do ponto de vista financeiro, do que a operação de Desconto Racional Simples. 
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+ 
 
11 
O desconto bancário ou comercial ou por fora é calculado usando as seguintes fórmulas:FÓRMULA PARA CÁLCULO DO DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES 
 
 
niVNDBS ..
 
DBS = desconto bancário simples 
VN = valor nominal (declarado na face do título) 
i = taxa de desconto 
n = prazo do desconto 
A taxa (i) e o prazo (n) devem estar na mesma unidade de tempo. 
 
 
Para calcular o valor líquido, fazemos: 
 
 FÓRMULA PARA CÁLCULO DO VALOR LÍQUIDO (DBS) 
 
DBSVNVL 
 
VL = valor líquido (recebido após a operação) 
VN = valor nominal (declarado na face do título) 
DBS = desconto bancário simples 
 
Vamos ver um exemplo de aplicação. 
 
Exemplo 2: Um título no valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu 
vencimento, à taxa de juro simples de 2,5% ao mês. Qual o valor do desconto bancário 
simples? E o valor líquido recebido? 
 
CÁLCULO DO DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES (DBS) 
Dados Solução algébrica 
VN =25000 
n = 2 meses 
i = 2,5% ao mês (0,025) 
DBS = ? 
VL = ? 
niVNDBS ..
2.025,0.25000 DBS
 
1250DBS
 
 
00,23750
125025000


VL
VLDBSVNVL
 
 
 
12 
 
 
 
Solução HP 12-C 
 
 [REG] (limpa todas os registros armazenados na memória) 
25000 
 
 
0,025 
 
 
2 
 
1250,00 
 
 
25000 
 
 
R$ 23750,00 
 
Se compararmos os valores do desconto racional simples (exemplo 1) 
e do desconto bancário simples (exemplo 2), temos que: 
 
Desconto racional 
simples 
Desconto bancário 
simples 
R $ 1.190,48 R$ 1.250,00 
 
Do ponto de vista da instituição financeira, é mais vantajoso trabalhar com o desconto 
bancário simples, pois o desconto é maior. 
Do ponto de vista do dono do título, é mais vantajoso trabalhar com o desconto 
racional simples, pois o desconto é menor, o que produz um valor líquido maior. 
 
Desconto Composto 
 
No desconto composto, a taxa de desconto incide sobre o valor nominal (VN). Vimos, 
anteriormente, que, conceitualmente, o desconto é o valor nominal (VN) menos o valor 
líquido (VL), ou seja, D = VN – VL. Esse conceito também se aplica ao cálculo do desconto 
composto. 
Vamos estudar o desconto racional composto e o desconto bancário composto. 
 
Fonte: 
derbymotta.blogspot.com 
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13 
 
Desconto Racional Composto (DRC) 
Para calcular o desconto racional composto, vamos fazer: 
 
FÓRMULA PARA CÁLCULO DO DESCONTO RACIONAL COMPOSTO 
 
VLVNDRC 
 
DRC= desconto racional composto 
VN = valor nominal (declarado na face do título) 
VL = valor líquido (recebido após a operação) 
 
FÓRMULA PARA CÁLCULO DO VALOR LÍQUIDO (DRC) 
 
ni
VN
VL
)1( 

 
VL = valor líquido (recebido após a operação) 
VN = valor nominal (declarado na face do título) 
i = taxa de desconto 
n = prazo do desconto 
A taxa (i) e o prazo (n) devem estar na mesma unidade de tempo. 
Lembre-se: como a referência é o juro composto, se precisar fazer acertos, mexa no 
período e nunca na taxa de desconto. 
 
Vamos ver um exemplo de aplicação? 
 
Exemplo 3: Determinar o valor do desconto racional composto de um título de valor 
nominal de R$ 5.000,00, sendo descontado 3 meses antes do seu vencimento, considerando 
uma taxa de juro composto de R$ 3,5% ao mês. 
 
CÁLCULO DO DESCONTO RACIONAL COMPOSTO (DRC) 
Dados Solução algébrica 
VN =5000 
n = 3 meses 
i = 3,5% ao mês (0,035) 
DRC = ? 
 
VLVNDRC 
(primeiro temos que calcular o VL) 
71,4509
108718,1
5000
)035,01(
5000
)1( 3





VLVL
VL
i
VN
VL
n
 
29,49071,45095000  DRCVLVNDRC
 
 
 
Solução HP 12-C 
 
14 
 
 
 
 [REG] (limpa todas os registros armazenados na memória) 
5000 
 
 
3,5 
 
 
3 
 
 
 - 4509,71 
5000 
 
 
R$ 490,29 
 
Desconto comercial ou bancário composto (DBC) 
Para calcular o desconto comercial ou bancário composto, devemos usar a fórmula: 
 
FÓRMULA PARA CÁLCULO DO DESCONTO BANCÁRIO COMPOSTO 
 
VLVNDBC 
 
DBC= desconto bancário composto 
VN = valor nominal (declarado na face do título) 
VL = valor líquido (recebido após a operação) 
 
FÓRMULA PARA CÁLCULO DO VALOR LÍQUIDO (DBC) 
 
niVNVL )1.( 
 
VL = valor líquido (recebido após a operação) 
VN = valor nominal (declarado na face do título) 
i = taxa de desconto 
n = prazo do desconto 
A taxa (i) e o prazo (n) devem estar na mesma unidade de tempo. 
Lembre-se: como a referência é o juro composto, se precisar fazer acertos, mexa no período e 
nunca na taxa de desconto. 
 
Vamos ver um exemplo de aplicação. 
 
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i 
FV
 
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n
 
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t 
PV 
+ 
 
15 
Exemplo 4: Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00, com 60 dias para o seu vencimento, é 
descontada a uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto bancário 
composto. Calcule o valor líquido que foi creditado na conta e o valor do desconto concedido. 
 
CÁLCULO DO DESCONTO BANCÁRIO COMPOSTO (DBC) 
Dados Solução algébrica 
VN =25000 
n = 60 dias (2 meses) 
i = 2,5% ao mês (0,025) 
DBC = ? 
 
VLVNDBC 
 (primeiro temos que calcular o VL) 
63,23765
)025,01.(25000)1.( 2


VL
VLiVNVL n
 
 
38,123463,2376525000  DRCVLVNDBC
 
 
Solução HP 12-C 
 
 [REG] (limpa todas os registros armazenados na memória) 
25000 
 
 
1 
 
 
0,025 
 
 
23765,63 
 
 
25000 
 
 
R$ 1234,38 
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YX x
 
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16 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Essencial – Site que traz teoria sobre desconto simples e composto. 
Disponível em 
<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/financeira/curso/curso.htm#mfin13
>.Acesso em 22 jul. 2011. 
 
Calculadora on-line - Site que permite calcular automaticamente descontos 
simples e compostos. 
Disponível em < http://www.calculadoraonline.com.br/financeira>.Acesso em 22 
jul. 2011. 
 
Matemática Financeira – resumos concursos – Site que traz muitos resumos de 
teoria sobre Matemática Financeira Microsoft Excel. Disponível em < 
http://www.resumosconcursos.com/lista_arquivos_indice.php?Idgrupo=40>. 
Acesso em 22 jul. 2011. 
 
EPx - Web HP 12C Emulator – Site que traz a calculadora HP-12C virtual. 
Disponível em <http://epx.com.br/ctb/hp12c.php>. Acesso em 31 Mai. 2011. 
 
HP 12C Calculadora Financeira – Site que traz o manual da calculadora HP 12C. 
Disponível em <http://epx.com.br/ctb/hp12c.php>. Acesso em 31 Mai. 2011. 
 
 
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PUCCINI, A. L. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. 8 ed. São Paulo: Saraiva, 
2009. 
CRESPO, A. A. Matemática Comercial e Financeira. 13 ed. São Paulo: Saraiva, 2002. 
BRANCO, A. C. C. Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP-12C, 
Microsoft Excel. 2 ed. rev. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. 
VERAS. L. L. Matemática Financeira: uso de calculadoras financeiras, aplicações no 
mercado financeiro, introdução à engenharia econômica. 5 ed. São Paulo: Atlas, 2005.