Introducao_Estruturas_Planas_Isostaticas

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1
 
 
 
Universidade Estadual de Campinas 
Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo 
Departamento de Estruturas 
Resistência dos Materiais I – EC 401 
 
 
 
INTRODUÇÃO AS 
ESTRUTURAS PLANAS 
ISOSTÁTICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Eliana Maria de Mello Francisco Rossi 
Bolsista Karen Passarini RA 044429 
 
2007 
 2
ÍNDICE 
 
I – INTRODUÇÃO.......................................................................................................4 
 I.1 – Representação das Componentes de um Vetor.............................................6 
 I.2 – Produto de um Vetor por uma Grandeza Escalar..........................................6 
 I.3 – Produto Escalar..............................................................................................7 
 I.4 – Produto Vetorial............................................................................................7 
 I.5 – Corpo Rígido.................................................................................................8 
 I.6 – Forças Aplicadas no mesmo Ponto................................................................8 
 I.7 – Forças Aplicadas na mesma Chapa Rígida...................................................9 
 I.7.1 – Momento Estático...........................................................................9 
 I.7.2 – Binário..........................................................................................10 
 I.7.3 – Equilíbrio de um Sistema de Forças Coplanares..........................10 
 I.8 – Forças Aplicadas no mesmo Corpo Rígido.................................................12 
 I.8.1 – Vetor de Momento........................................................................12 
 I.8.2 – Resultante.....................................................................................12 
 I.9 – Centro de Gravidade....................................................................................13 
 I.9.1 – Centro de Gravidade de um Conjunto de Pontos Materiais.........13 
 I.9.2 – Centro de Corpos Contínuos.........................................................13 
II – MORFOLOGIA E CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS............................15 
 II.1 – Elementos Lineares....................................................................................15 
 II.1.1 – Viga.............................................................................................15 
 II.1.2 – Arco.............................................................................................15 
 II.1.3 – Pilar.............................................................................................15 
 II.1.4 – Tirante.........................................................................................16 
 3
 II.2 – Elementos de Superfície.............................................................................16 
 II.2.1 – Viga – parede...............................................................................16 
 II.2.2 – Placa............................................................................................17 
 II.2.3 – Casca...........................................................................................17 
 II.3 – Elementos de Volume................................................................................18 
III- VINCULAÇÃO DOS SISTEMAS PLANOS......................................................19 
 III.1 – Classificação das Estruturas quanto ao Grau de Sujeição........................20 
 III.1.1 – Estrutura Isostática.....................................................................20 
 III.1.2 – Estrutura Hiperestática...............................................................20 
 III.1.3 – Estrutura Hipostática..................................................................20 
 III.2 – Tipos de Apoio..........................................................................................20 
 III.2.1 – Apoio Articulado Móvel............................................................21 
 III.2.2 – Apoio Articulado Fixo...............................................................21 
 III.2.3 – Apoio Engastado Fixo ou Engastamento Fixo...........................21 
 III.2.4 – Apoio Engastado Móvel ou Engastamento Móvel....................22 
 III.2.5 – Articulação entre n Chapas........................................................22 
 III.3 – Determinação Geométrica........................................................................23 
IV – ESFORÇOS SOLICITANTES...........................................................................24 
 IV.1 – Definição..................................................................................................24 
 IV.2 – Esforços Solicitantes em Estruturas Planas..............................................25 
 IV.3 – Convenção de Sinais adotada no Traçado dos Diagramas de Esforços 
Solicitantes......................................................................................................................26 
 IV.4 – Relações Diferenciais...............................................................................27 
V – BIBLIOGRAFIA.................................................................................................34 
 
 
 
 4
I - INTRODUÇÃO 
 
O suporte material para o transporte de esforços, forças ou binários, são as estruturas. 
Prédios pontes máquinas, num determinado instante, estão sempre sujeitos a um sistema 
equilibrado de esforços. 
Essas forças e binários não se anulam, geralmente, por agirem simultaneamente na 
mesma partícula material. Na grande maioria dos corpos há predominância de 
determinados tipos de forças em certas regiões. Num prédio, o peso da própria estrutura 
predomina nos vários andares enquanto a reação das fundações predomina nas estacas, 
sapatas e pilares. 
Para que o equilíbrio se processe é necessário que as partículas de uma região tomem 
conhecimento dos esforços agindo em outras regiões. É preciso que os esforços 
caminhem ao longo das lajes, vigas e pilares do prédio até a fundação. É tal transporte 
de esforços que constituem a finalidade das estruturas. 
 
 
 
FIGURA I.1 
 
A previsão do modo e da grandeza dos esforços e das deformações exigidas por tal 
transporte constitui o objetivo deste estudo. Calculam-se os esforços típicos em 
estruturas simples como as barras, e aplicam-se esses resultados em construções mais 
complexas, verificando, por exemplo, se uma seção é suficiente para resistira aos 
esforços normais, cortantes e momentos fletores que atuam nela. 
 5
Tendo essa finalidade de estudar cada caso específico, a precisão de cálculo não 
precisa, e não deve mesmo, ser superior as incertezas inerentes as construções, tais 
como aquelas introduzidas pelas propriedades dos materiais e pelo processo de 
fabricação. A precisão de calculo custa dinheiro, seja pelo trabalho de quem calcula, 
seja pelo tempo necessário de calculo, se já pelo uso de computador. Só a experiência 
consegue dar a um chefe de projeto uma medida intuitiva das melhores decisões a 
tomar. 
Atualmente se amplia constantemente o uso de calculadoras e processos de cálculos 
cada vez mais aprimorados. Porem, a utilização dessas técnicas necessita de pessoal 
especializado. O engenheiro precisa conhecer bem o funcionamento de uma estrutura 
para poder tirar proveito dos computadores, traduzindo para linguagem de maquina os 
cálculos necessários. 
Resumidamente, os cálculos de uma estrutura compreendem as seguintes fases: 
 
1ª) Definição do problema e concepção da estrutura que o representa. Definição da 
forma geométrica e dos materiais mais convenientes para o caso. É essa fase que mais 
explora a capacidade intuitiva do engenheiro, numa operação de síntesede todos os seus 
conhecimentos para que os objetivos sejam alcançados de maneira mais simples, mais 
econômica e mais conveniente de ser construída. 
 
2ª) Determinação das cargas que atuam na estrutura. 
 
3ª) Determinação das condições críticas de carga e das tensões nas seções mais 
solicitadas da estrutura. Deve-se traçar os diagramas de esforços normais, cortantes e 
momentos fletores e torçores ao longo da estrutura, nas varias condições de 
carregamento. Procurar as seções mais solicitadas e calcular as tensões que nelas 
ocorrem, em cada carregamento, para evitar a ruptura. 
 
4ª) Dimensionamento e verificação das seções mais solicitadas segundo normas 
específicas. 
 
5ª) Crítica do projeto: é preciso que o engenheiro construa estruturas eficientes, em 
termos de segurança, tempo e economia do produto. 
 
Na Resistência dos Materiais aprende-se a determinar as condições críticas de carga 
e as tenções nas seções mais solicitadas da estrutura através do traçado dos diagramas 
de esforços solicitantes. 
Para isso é necessário rever alguns conceitos da Estática, que é o estudo das 
condições nas quais um sólido ou um sistema de sólidos, submetidos à ação de forças, 
encontra-se em equilíbrio. 
Genericamente, força é toda ação exercida sobre um corpo capaz de modificar, quer 
o seu estado de repouso, quer o de movimento. Para a determinação de uma força é 
necessário conhecer a sua intensidade (módulo), a direção e o sentido da sua ação, e o 
ponto do corpo no qual ela é aplicada (ponto de aplicação). A força é, portanto, uma 
grandeza vetorial. 
As forças podem ser classificadas em: 
 
a) Força concentrada: 
Tratada na mecânica como um vetor, é uma idealização que, na maioria das vezes, 
representa a realidade com precisão suficiente. Isso ocorre pois a dimensão da região de 
 6
aplicação da força é muito pequena quando comparada às dimensões do sólido em 
estudo. 
 
b) Força distribuída: 
Os carregamentos podem de apresentar continuamente ao longo das seções da peça 
estrutural, dando a impressão de um numero infinito de cargas concentradas, da mesma 
intensidade, ou não, cujos pontos de aplicação encontram-se infinitamente próximos uns 
dos outros. 
 
 
I.1 – REPRESENTAÇÃO DAS COMPONENTES DE UM VETOR 
 
A força F
r
, indicada na figura 2, é equivalente às forças Fx e Fy, chamadas 
componentes de F segundo as direções 0x e 0y. 
 
 
 
FIGURA I.2 
 
Fx = F cosα x 
 
Fy = F cosα y 
 
O módulo de F é dado por: 
 
| F
r
| = yFxF 22 + 
 
Chamado i
r
, j
r
, k
r
 os vetores unitários sobre os eixos coordenados x, i, z e Fx, Fy, 
Fz as componentes do vetor F
r
, este pode ser representador por: 
 
F
r
 = Fx i
r
 + Fy j
r
 + Fz k
r
 
 
 
I.2 – PRODUTO DE UM VETOR POR UMA GRANDEZA ESCALAR 
 
O produto de um vetor V
r
 por uma grandeza escalar m é um vetor de mesma direção 
que o vetor dado e cuja intensidade é o produto: 
 
 7
|V
r
| = m . |V
r
| 
 
Se m for positivo, o sentido do produto é o mesmo do vetor inicial; se m for negativo 
o sentido é contrario. 
 
 
I.3 – PRODUTO ESCALAR 
 
Produto Escalar de dois vetores é a grandeza escalar cujo valor é o produto das 
intensidades (módulos) dos dois vetores pelo cosseno do ângulo que a direção 1V
r
 forma 
com a direção 2V
r
. 
Assim o produto escalar de dois vetores 1V
r
 e 2V
r
 é: 
 
Pe = 1V
r
 . 2V
r
 . cosα 
 
Se 1V
r
 e 2V
r
 são paralelos, α = 0° Æ Pe = 1Vr . 2Vr 
 
Se 1V
r
 e 2V
r
 são perpendiculares, α = 90° Æ Pe = 0 
 
Se as componentes de 1V
r
 são Fx1, Fy1, Fz1 e as componentes de 2V
r
 são Fx2, Fy2, Fz2 
em relação aos eixos coordenados, o produto escalar será: 
 
Pe = 1V
r
 . 2V
r
 = Fx1 . Fx2 + Fy1 . Fy2 + Fz1 . Fz2... 
 
 
I.4 – PRODUTO VETORIAL 
 
Produto Vetorial do vetor 1F
r
 pelo vetor 2F
r
 é um vetor de direção normal ao plano 
formado pelos dois vetores, e de intensidade igual ao produto do módulo dos dois 
vetores pelo seno do ângulo que a direção de 1F
r
 forma com a direção de 2F
r
. O sentido 
do vetor é dado pela regra da mão direita. 
 
 
 
FIGURA I.3 
 8
O produto vetorial representa-se pelo símbolo: 
 
vP
r
 = 1F
r
 ^ 2F
r
 
 
| vP
r
| = F1 . F2 . senα 
 
Dados os vetores 1F
r
 e 2F
r
 por suas componentes, tem-se: 
 
1V
r
 ^ 2V
r
 = 
i
r
 
j
r
 
k
r
 
F
x1 
F
y1 
F
z1 
F
x2 
F
y2 
F
z2 
 
 
I.5 – CORPO RÍGIDO 
 
O estudo da estática inicia-se com a estática dos corpos rígidos, que trata do 
equilíbrio de corpos teóricos supostos indeformáveis, isto é, que não modificam a sua 
forma nem as suas dimensões quando submetidos à ação de forças. 
 
 
 
FIGURA I.4 
 
Na figura 4 (a) basta decompor a força P em componentes nas direções dos fios e o 
problema será resolvido, pois os fios de aço são supostos inextensíveis. Já na figura 4 
(b), o ângulo α aumenta para α’ devido a P e os fios não podem ser considerados 
rígidos. 
 
Teorema para os Corpos Rígidos 
 
“O ponto de aplicação de uma força pode ser deslocado sobre a sua linha de ação 
sem alterar a contribuição da mesma para o equilíbrio do corpo rígido.” 
 
 
I.6 – FORÇAS APLICADAS NO MESMO PONTO 
 
 9
A resultante de um sistema de n forças 1P
r
, 2P
r
, 3P
r
... nP
r
 aplicadas no mesmo ponto, 
com retas de ação concorrentes a esse ponto, pode ser obtida de três maneiras: 
a) Fórmula vetorial: R
r
 = ∑
=
n
i
iP
1
r
 
 
b) Fórmula em coordenadas: se cada força iP
r
 for definida pelas suas componentes 
na direção dos eixos x, y, z ortogonais entre si ( iP
r
 = Xi i
r
 + Yi j
r
 + Zi k
r
), tem-se: 
 
Rx = ∑
=
n
i
Xi
1
 
 
Ry = ∑
=
n
i
Yi
1
 
 
Rz = ∑
=
n
i
Zi
1
 
 
Com | R
r
| = zRyRxR 222 ++ 
 
c) Processo gráfico: polígono de forças. 
 
 
 
FIGURA I.5 
 
Para se obter o equilíbrio do sistema: 
 
a) Em Vetores: ∑
=
n
i
iP
1
r
 = 0
r
 
 
b) Em Coordenadas: ∑
=
n
i
Xi
1
 = ∑
=
n
i
Yi
1
 = ∑
=
n
i
Zi
1
 = 0 
 
c) Graficamente: polígono de forças fechado. 
 
 
I.7 – FORÇAS APLICADAS NA MESMA CHAPA RÍGIDA 
 
 
 10
I.7.1 – Momento Estático: 
Momento Estático de uma força P
r
 em relação a um ponto 0 é determinado como o 
produto da intensidade (| P
r
|) da força pelo braço b. o sinal do momento estático 
depende da convenção adotada. 
 
 
FIGURA I.6 
 
Teorema: “O momento estático da força resultante é igual à soma dos momentos 
estáticos das forças componentes”. 
 
 
I.7.2 – Binário: 
São duas forças paralelas, de mesma intensidade, de sentidos opostos, separadas por 
uma distancia b. O binário fica caracterizado apenas pelo seu momento estático, que é o 
mesmo em relação a todos os pontos do plano. 
 
 
 
FIGURA I.7 
 
Na figura 7 o momento estático do binário em relação ao ponto 0 será: 
 
Mo = P (d + b) – Pd 
 
Mo = Pd + Pb – Pd 
 
Mo = Pb 
 
 
I.7.3 – Equilíbrio de um sistema de forças coplanares. 
 11
Dado um sistemas de forças coplanares P1, P2, ..., Pn, determinados pelas 
coordenadas do ponto de aplicação das forças, pelos ângulos que as linhas de ação 
formam com o eixo x e pelas intensidades das forças, tem-se: 
 
 
 
FIGURA I.8 
 
Rx = ∑
=
n
i
Xi
1
 Xi = ∑
=
n
i
Pi
1
cósαi 
 
Ry = ∑
=
n
i
Yi
1
 Yi = ∑
=
n
i
Pi
1
senαi 
 
tg αi = 
Rx
Ry 
 
As condições de equilíbrio do sistema serão duas equações de projeções de força e 
uma de momento com relação a um ponto do plano, com resultantes nulas. 
 
∑
=
n
i
Xi
1
 = 0∑
=
n
i
Yi
1
 = 0 
 
∑
=
n
i
Mi
1
= 0 
 
Toda força R
r
 pode ser decomposta numa força componente P de igual valor e 
sentido (| P
r
| = | R
r
|), deslocada paralelamente de b, acrescentando um momento estático 
M = R.b de sentido correspondente. 
 12
 
 
FIGURA I.9 
 
 
I.8 – FORÇAS APLICADAS NO MESMO CORPO RIGIDO 
 
 
I.8.1 – Vetor de Momento 
 
No plano, o momento estático é representado por um binário, isto é, por duas forças 
opostas de igual valor P e separadas por uma distancia b, sendo M = P.b. 
No espaço tridimensional, representa-se o vetor momento por um vetor M
r
, de 
módulo M, com direção perpendicular ao plano do binário e sentido dado pela regra da 
mão direita. 
Os vetores momento são livres, isto é, podem ser deslocados paralelamente. 
 
 
FIGURA I.10 
 
 
I.8.2 – Resultante 
 
Dado um sistema com n forças com suas coordenadas do ponto de aplicação (Xi, Yi, 
Zi), os cossenos diretores das retas de aplicação (Pxi, Pyi, Pzi) e os valores das forças 
(Pi, P2,..., Pn), calcula-se os momentos de cada força Pi com relação aos eixos x, y, z e 
as componentes da força resultante. 
Para haver equilíbrio é necessário que sejam nulas as três equações de projeção de 
forças e as três equações de momento com relação aos eixos coordenados. 
 
 13
∑
=
n
i
Xi
1
 = 0 ∑
=
n
i
Yi
1
 = 0 ∑
=
n
i
Zi
1
= 0 
 
∑
=
n
i
Mxi
1
 = 0 ∑
=
n
i
Myi
1
 = 0 ∑
=
n
i
Mzi
1
= 0 
 
 
I.9 – CENTRO DE GRAVIDADE 
 
 
I.9.1 – Centro de Gravidade de um conjunto de pontos materiais 
 
Seja um conjunto de pontos materiais A1, A2,..., Na, de peso P1, P2,..., Pn, cujas 
posições são dadas através das coordenadas (Xi, Yi, Zi). Supõe-se que os pontos são 
rigidamente ligados entro si e que essas ligações não tenham peso. Defini-se centro de 
gravidade como o ponto cujas coordenadas (Xc, Yc, Zc) são as médias ponderadas das 
coordenadas dos pontos. Assim: 
 
Xc = 
∑
∑
=
=
n
i
n
i
Pi
xiPi
1
1
.
 
 
Yc = 
∑
∑
=
=
n
i
n
i
Pi
YiPi
1
1
.
 
 
Zc = 
∑
∑
=
=
n
i
n
i
Pi
ziPi
1
1
.
 
 
 
I.9.2 – Centro de Corpos Contínuos 
 
Um corpo continuo pode ser representado por um conjunto infinito de pontos 
materiais, atribuindo a cada elemento dV do volume, um peso dP calculado por meio do 
peso específico. 
 
dP = Y . dV 
 
Sendo P o peso total do corpo: 
 
P = ∫
V
dVY . 
 
 14
E portando: 
Xc = 
P
1 ∫
V
YxdV 
 
Yc = 
P
1 ∫
V
YydV 
 
Zc = 
P
1 ∫
V
YzdV 
 
Se o peso específico for constante, a integral ∫
V
dV é o próprio volume do corpo. 
Assim as equações podem ser escritas como: 
 
Xc = 
V
1 ∫
V
xdV 
 
Yc = 
V
1 ∫
V
ydV 
 
Zc = 
V
1
P
1 ∫
V
zdV 
 
Para uma superfície plana de área A: 
 
Xc = 
A
1 ∫
A
xdA 
 
Yc = 
A
1 ∫
A
ydA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15
II – MORFOLOGIA E CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS 
 
Elemento estrutural é todo sólido dotado de propriedades elásticas, capaz de receber 
e transmitir cargas. A associação de elementos estruturais convenientemente ligados 
constitui uma estrutura. 
Para o estudo dos esforços externos e internos em uma estrutura, usam-se as 
condições de equilíbrio entre as forças. Quando o número de condições de equilíbrio for 
suficiente para resolver o problema da estática, diz-se que a estrutura é isostática. 
Os elementos estruturais podem ser classificados em elementos lineares, de 
superfície e de volume. 
 
 
II.1 – ELEMENTOS LINEARES 
 
São os que tem seção transversal pequena em relação ao comprimento do seu eixo. 
São gerados por uma superfície plana, na qual o baricentro percorre uma curva, cujo o 
comprimento é consideravelmente maior que as dimensões da superfície. Como 
elementos lineares podem ser citados: 
 
 
II.1.1- Viga 
 
Elemento dotado de eixo reto, submetido a cargas transversais e/ou axiais, podendo 
trabalhar à compressão, tração, cisalhamento, flexão, torção e combinações destas 
solicitações. 
 
 
FIGURA II.1 
 
 
II.1.2 – Arco 
 
Elemento dotado de eixo curvo, solicitado nas condições vistas para a viga. 
 
 
II.1.3 – Pilar 
 
Elemento linear submetido à ação de cargas compressivas axiais ou paralelas ao eixo. 
Devido a excentricidade das cargas compressivas, os pilares podem estar submetidos 
também a efeitos de flexão. 
 16
 
 
FIGURA II.2 
 
 
II.1.4 – Tirante 
 
Elemento linear submetido à ação de carga axial de tração. 
 
 
FIGURA II.3 
 
 
II.2 – ELEMENTOS DE SUPERFICIE 
 
Caracterizam-se por duas dimensões consideravelmente maiores que a terceira 
(espessura). Podem se citados: 
 
 
II.2.1 – Viga-Parede 
 
Elemento submetido à ação de carga no seu plano: 
 17
 
 
FIGURA II.4 
 
 
II.2.2 – Placa 
 
Elemento submetido à ação de cargas normais ao plano. A laje de piso representa um 
exemplo. 
 
 
 
FIGURA II.5 
 
 
II.2.3 - Casca 
 
Elemento de superfície curva submetido à ação de cargas radiais e axiais. 
 18
 
FIGURA II.6 
 
 
II.3 – ELEMENTOS DE VOLUME 
 
Nesses as três dimensões são consideráveis. As cargas são predominantemente 
compressivas. O bloco da fundação de um edifício é apresentado como exemplo. 
 
 
FIGURA II.7 
 
No nosso estudo vamos distinguir as barras simples (ou simplesmente barras), que 
são aquelas que transmitem apenas uma força interna, das barras gerais (chapas) que 
transmitem forças e momentos. 
Nas barras simples retas o único esforço solicitante é a força normal N. a barra geral, 
chamada chapa, é capaz de transmitir a força cortante alem da força normal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19
III – VINCULAÇÃO DOS SISTEMAS PLANOS 
 
Os vínculos podem ser de apoio ou ligação, não havendo distinção rígida entre os 
dois tipos, dependendo da função que o vinculo exerce no momento da analise. 
No conjunto laje, viga, pilar e fundação, se forem analisados apenas laje e viga, esta 
ultima funcionará como apoio. Se forem analisados laje, viga e pilar, este ultimo é que 
será o vinculo de apoio, passando a viga para condição de vinculo de ligação entre a laje 
e o pilar. 
Apoio é o contado do sistema estrutural com o exterior, ao passo que ligação é o 
contato entre as partes internas da estrutura. 
Articulação ou Rótula é o sistema que realiza uma ligação interna de uma chapa e 
que permite, sem esforços, o deslocamento angular relativo dos elementos que ele 
separa. 
Quando se elimina um vinculo externo ou interno de um conjunto de barras e chapas, 
diz-se que foi dado uma liberdade ao conjunto. Logo, os vínculos se caracterizam pelo 
numero de graus de liberdade (ou mobilidade) que eles retiram da estrutura. Esse 
numero pode ser visualizado substituindo a vinculação em questão por barras simples 
de numero respectivo. 
A barra simples (barra) tem função geométrica de determinar a distancia entre seus 
pontos extremos e a função estática de transmitir apenas uma força. 
A chapa tem função geométrica de determinar a posição relativa de vários de seus 
pontos e a função estática de transmitir qualquer esforço. 
O nó é uma articulação em que são unidas varias barras pelas suas extremidades. 
Diz-se que um corpo tem sujeição completa quando as suas ligações são tais que 
nenhum de seus pontos podem se deslocar no espaço, a não ser que o corpo sofra 
deformações. No caso das estruturas lineares planas com cargas no seu plano a sujeição 
é completa quando nenhum deslocamento no plano da estrutura for possível, a não ser 
que haja deformação das barras (ou chapas).Chama-se deslocamento geométrico aos deslocamentos que podem ocorrer mesmo 
quando as estruturas são supostas rígidas. 
 
 
 
FIGURA III.1 
 
 20
Assim um conjunto é geometricamente indeslocável quando nenhum de seus pontos 
podem sofrer deslocamentos geométricos em relação ao meio exterior. 
Corpo Livre é todo corpo que não possui qualquer ligação externa. Se os pontos de 
um corpo livre estão impedidos de sofrer deslocamentos geométricos, uns em relação a 
outros, diz-se que ele é geometricamente indeformável (fig. III.2.). Se o conjunto pode 
mudar de forma, por deslocamentos geométricos de seus pontos, ele é geometricamente 
deformável(fig. III.3). 
 
 
 FIGURA III.2 FIGURA III.3 
 
 
III.1 – CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS QUANTO AO GRAU DE 
SUJEIÇÃO 
 
 
III.1.1 – Estrutura Isostática 
 
É a estrutura que tem sujeição completa, ou seja, o número de vínculos é o 
estritamente necessário. Nessa estrutura, o número de equações é igual ao número de 
incógnitas. 
 
 
III.1.2 – Estrutura Hiperestática 
 
É aquela que tem sujeição completa, mas possui um ou mais vínculos 
superabundantes. Assim o número de equações é menor que o número de incógnitas. O 
Grau de Hiperestaticidade de uma estrutura é o número de vínculos superabundantes 
que existem. 
 
 
III.1.3 – Estrutura Hipostática 
 
É aquela que tem sujeição apenas parcial. O numero de equações é maior que o 
numero de incógnitas. A não ser em casos especiais, sob a ação de certo carregamentos, 
uma estrutura desse tipo não permanece em equilíbrio. 
 
 
III.2 – TIPOS DE APOIO 
 
Nas estruturas lineares planas, com cargas no se plano, são empregados os apoios: 
 
 21
III.2.1 – Apoio Articulado Móvel 
 
É o apoio constituído por uma articulação perfeita que permite, sem atrito, o 
deslocamento linear numa determinada direção. Ele pode ser substituído por uma barra 
simples, da determinação geométrica da estrutura. Sua representação esta na figura III.4. 
 
 
 
FIGURA III.4 
 
 
III.2.2 – Apoio Articulado Fixo 
 
É o apoio constituído por uma articulação perfeita e que não permite deslocamentos 
lineares. Ele pode ser substituído por duas barras, na determinação geométrica da 
estrutura. Sua representação está na figura III.5. 
 
 
 
FIGURA III.5 
 
 
III.2.3 – Apoio Engastado Fixo ou Engastamento Fixo 
 
É aquele sobre o qual não há deslocamentos angulares nem lineares da estrutura. 
Pode ser substituído por três barras na determinação geométrica. Sua representação está 
na figura III.6. 
 22
 
 
FIGURA III.6 
 
 
III.2.4 – Apoio Engastado Móvel ou Esngastamento Móvel 
 
É aquele sobre o qual há apenas um deslocamento linear da estrutura. Pode ser 
substituído por duas barras na determinação geométrica. Sua representação está na 
figura III.7. 
 
 
FIGURA III.7 
 
 
III.2.5 – Articulação entre n chapas 
 
Pode ser substituída por 2(n-1) barras na determinação geométrica. Sua 
representação está na figura III.8. 
 
FIGURA III.8 
 23
III.3 – DETERMINAÇÃO GEOMÉTRICA 
 
Seja uma estrutura composta de 
 
c - Chapas 
 
b - Barras reais ou imaginárias 
 
n - Nós 
 
A condição da determinação decorre do número de graus de liberdade de movimento 
no plano: 2 para o nó e 3 para a chapa. 
Portanto: 
 
b < 3c + 2n – Estrutura Hipostática 
 
b = 3c + 2n – Estrutura Isostática 
 
b > 3c + 2n – Estrutura Hiperestática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24
IV – ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
 
IV.1 – DEFINIÇÃO 
 
Considera-se uma estrutura sob o efeito de forças aplicadas em vários de seus pontos 
e uma seção transversal S qualquer da mesma (fig. IV.1a). Supondo que se trata de uma 
estrutura em equilíbrio, as forças externas aplicadas e as reações são conhecidas. 
A seção S divide a estrutura em duas partes, que devem estar igualmente em 
equilíbrio. Pode-se concluir que as tensões transmitidas na seção S antes de efetuar o 
corte, garantem o equilíbrio das duas partes. As tensões são determinadas em função 
dos esforços a que se reduz, no centro de gravidade da seção S, o sistema de forças que 
atua na parte analisada. Esse sistema pode ser representado por sua resultante R
r
 e o 
momento resultante rM
r
, como indica a figura IV.1b. 
 
 
 
FIGURA IV.1 
 
Toda força encontrada na parte analisada é deslocada para p C.G. da seção, e 
determina-se a resultante R
r
 das forças; a translação de cada forma implica o acréscimo 
de um certo momento estático para manter equivalente o sistema de forças. Seja a 
resultante desses momentos rM
r
. Decompondo R
r
 e rM
r
 em duas componentes nas 
direções paralela e normal ao eixo que passa pelo C.G. da seção S, resultam os quatro 
esforços solicitantes (fig. IV.2). 
 
1) Força Normal: Componente de R
r
 segundo a normal à seção. 
 
2) Força Cortante: Componente de R
r
 segundo eixo do plano da seção. 
 
3) Momento Fletor: Componente do momento resultante segundo eixo no plano da 
seção. 
 
4) Momento Torsor: Componente do momento resultante segundo eixo normal à 
seção. 
 
 25
 
 
FIGURA IV.2 
 
A força normal (N) e o momento torsor (Mt) ficam determinados pela indicação de 
sua intensidade, pois sua posição é dada pela linha central da barra. A força cortante (V) 
e o momento fletor (M) precisam ser decompostos em duas componentes para fixar sua 
posição e intensidade. Para o sistema de eixos da figura IV.3 os esforços solicitantes 
serão designados por: 
 
1) Momentos Fletores: My e Mz 
 
2) Momento Torsor: Mt 
 
3) Forças Cortantes: Vy e Vz 
 
4) Força Normal: N 
 
 
 
FIGURA IV.3 
 
 
IV.2 – ESFORÇOS SOLICITANTES EM ESTRUTURA PLANAS 
 
No caso plano não pode haver Momento Torsor, pois todas as cargas ativas e reativas 
estão aplicadas no mesmo plano. A Força Cortante (V) fica também aplicada no mesmo 
plano e o Momento Fletor (M) terá seu vetor perpendicular ao plano. 
Tomando-se uma viga carregada, imagina-se passar um corte numa seção genérica S 
e determina-se a resultante das forças encontradas numa das partes da seção. 
 26
 
 
FIGURA IV.4 
 
Retirando-se a parte à esquerda do corte S, a parte à direita, com o acréscimo da 
força F, vai continuar em equilíbrio. Equivalente a ação de F é a aplicação da mesma 
força tangente à seção junto com um momento estático M, que é o momento fletor. 
 
 
 
FIGURA IV.5 
 
 
IV.3 – CONVENÇÃO DE SINAIS ADOTADA NO TRAÇADO DOS 
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
a) Força Normal 
 
 a.1) Força Normal de Tração – Positiva 
 
 
FIGURA IV.6 
 
 a.2) Força Normal de Compressão – Negativa 
 27
 
 
FIGURA IV.7 
 
b) Força Cortante 
 
 b.1) A Força Cortante percorre a seção transversal no sentido horário – Positiva 
 
 
 
FIGURA IV.8 
 
 b.2) A Força Cortante percorre a seção transversal no sentido anti-horário – 
Negativa 
 
 
FIGURA IV.9 
 
c) Momento Fletor 
 
O diagrama de Momento Fletor não terá sinal. Ele será construído em relação ao eixo 
da estrutura, no lado correspondente às fibras tracionadas. 
 
 
 
FIGURA IV.10 
 
 
IV.4 – RELAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 28
Pode-se obter maior facilidade na determinação analítica dos esforços solicitantes 
através do uso das relações diferenciais. 
Uma viga simples é carregada com uma carga variável (fig. IV.11). O sistema de 
coordenadas x com origem em A é estabelecido arbitrariamente. A distância de uma 
seção qualquer a A é chamada de x. 
 
 
FIGURA IV.11 
 
Toma-se um elemento da viga de comprimento dx, cuja carga aplicada é p. Como o 
trecho é pequeno e sabendo-se que a resultante de um carregamento distribuído é 
numericamente igual a área por ele determinada,temos que: 
 
 
 
FIGURA IV.12 
 
R = p . dx 
 
Passando da ordenada x para a ordenada x + dx, os esforços V e M referentes à x 
sofrerão acréscimos diferenciais dV e dM (fig. IV.13). 
 
 
FIGURA IV.13 
 29
O equilíbrio do elemento é dado por: 
 
∑Fy = 0 V- (V + dV) – p . dx = 0 
 
∑Mx = 0 M – (M + dM) + p . dx . 2dx + (V + dV) . dx = 0 
 
 
Da primeira equação tem-se que: 
 
V – V – dV – p . dx = 0 
 
p = - 
dx
dV (IV.1) 
 
 
Da segunda equação, desprezando os produtos diferenciais como pequeno de 
segunda ordem, tem-se que: 
 
M – M – dM + 
2
p . (dx) . (dx) + V . dx + dV . dx 
 
V = 
dx
dM (IV.2) 
 
 
De (VI.1) e (VI.2): 
p = 2
2
dx
Md (IV.3) 
 
 
O fato da força cortante ser derivada do momento fletor facilita a procura dos valores 
extremos de M, responsáveis pela licitação máxima da viga. 
Baseando-se nas relações diferenciais, pode-se obter um conjunto de conclusões, 
referidas a trechos retos das estruturas, que vem facilitar o traçado dos diagramas de 
força cortante e momento fletor: 
 
1) Se não houver carga distribuída no trecho em estudo (fig. IV.14): 
 
 1.a) O diagrama de força cortante será uma reta coincidente com o eixo da 
estrutura (se V = 0) ou paralela a ele (se V ≠ 0); 
 
 1.b) O diagrama de momento fletor será uma reta paralela ao eixo da estrutura 
(se V = 0) ou inclinada em relação a ele (se V ≠ 0). 
 
 30
 
FIGURA IV.14 
 
2) Se a carga distribuída é uniforme (fig. IV.15): 
 
 2.a) O diagrama de força cortante é uma reta inclinada em relação ao eixo da 
estrutura; 
 
 2.b) O diagrama de momento fletor é uma parábola do 2º grau. 
 
 
FIGURA IV.15 
 31
3) Se a carga distribuída varia linearmente (fig. IV.16): 
 
 3.a) O diagrama de força cortante é uma parábola do 2º grau; 
 
 3.b) O diagrama de momento fletor é uma parábola do 3º grau. 
 
 
 
 
FIGURA IV.16 
 
4) Se houver apenas cargas concentradas, no ponto de aplicação das mesmas (fig. 
IV.17): 
 
 4.a) O diagrama de força cortante sofre uma descontinuidade, de intensidade 
igual à projeção da carga sobre o plano da seção transversal; 
 
 4.b) O diagrama de momento fletor apresenta um ponto anguloso. 
 
 32
 
 
FIGURA IV.17 
 
5) Nos pontos da estrutura sujeitos a momento aplicados (fig. IV.18), o diagrama de 
momento fletor apresenta uma descontinuidade, de intensidade igual à do momento 
aplicado. 
 
 
 
 
FIGURA IV.18 
 
6) Nos pontos da estrutura onde a carga distribuída apresenta descontinuidade, o 
diagrama de forças cortante apresenta um ponto anguloso (fig. IV.19). 
 33
 
 
FIGURA IV.19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34
V – BIBLIOGRAFIA 
 
1 – SCHIEL, F. – Introdução à Resistência dos Materiais. São Paulo, Editora Harper 
& Row do Brasil, 1984, 395 pg. 
 
2 – BEER, F. P. e JOHNSTON JR., E.R. – Resistência dos Materiais. São Paulo, 
Editora McGraw Hill do Brasil, 1982, 659 pg. 
 
3 – RICARDO, O. G. – Introdução a Resistência dos Materiais. Campinas, Editora 
da Universidade de Campinas, 1977, 412 pg. 
 
4 – RICARDO, O. G. – Teoria das Estruturas, São Paulo, Editora McGraw Hill do 
Brasil, 1978, 669 pg. 
 
5 – HIGDON, A.; OHLSEN, E. H.; STILES, W.B.; WEESE, J. A. e RILEY, W. F. – 
Mecânica dos Materiais. Rio de Janeiro, Editora Guanabara Dois S.A., 1981, 546 pg. 
 
6 – DI BLASI, C. G. – Resistência dos Materiais. Rio de Janeiro. Editora 
Interamericana, 1982, 734 pg.