Sistemas Estruturais para Edificações

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Universidade Estadual de Campinas
Faculdade de Engenharia Civil
Departamento de Estruturas
SISTEMAS ESTRUTURAIS PARA EDIFICAÇÕES
Aluna: Priscilla dos Santos Doro
Prof. Responsável: Maria Cecília Amorim Teixeira da Silva
Prof. Colaborador: Francisco Antonio Menezes
DEZEMBRO 2000
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ÍNDICE
RESUMO 4
1 - INTRODUÇÃO 5
2- REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 6
3- AÇÕES 10
3.1 - Definição e classificação das ações segundo a norma
brasileira NBR-8681 10
3.2 - Outras definições de ação 11
3.3 - Quantificação das ações 13
3.4 - Carregamentos 15
3.5 - Combinações das ações 16
3.5.1 - Critérios para as combinações de ações 16
4 - MATERIAIS ESTRUTURAIS 18
4.1 - Aço 19
4.2 - Concreto 19
4.3 - Madeira 20
5 - ELEMENTOS ESTRUTURAIS 21
5.1 - Elemento estrutural do tipo bloco 21
5.2 - Elemento estrutural do tipo folha 23
5.2.1 - A teoria das chapas 23
5.2.2 - A teoria das placas e a teoria das cascas 24
5.3 - Elemento estrutural do tipo barra 26
5.4 - Elemento estrutural do tipo barra delgada 29
6 - VINCULAÇÃO 32
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7 - SISTEMAS ESTRUTURAIS 36
7.1 - Sistemas estruturais formados por barras 36
7.1.1 - Vigas 37
7.1.2 - Arcos 43
7.1.3 - Pórticos 44
7.1.4 - Grelhas 45
7.1.5 - Vigas-balcão 46
7.1.6 - Cabos 47
7.1.7 - Pilares 48
7.1.8 - Treliças 49
7.2 - Sistemas estruturais formados por placas 52
7.2.1 - Lajes 52
7.2.2 - Radier 55
7.3 - Sistemas estruturais formados por chapas 56
7.4 - Sistemas estruturais formados por cascas 57
7.5 - Sistemas estruturais formados por blocos 61
7.5.1 - Bloco de fundação 62
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 63
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RESUMO
O ponto de partida do projeto estrutural de uma construção consiste na
idealização de um arranjo dos elementos construtivos, com o qual pretende-se
que todas as partes da construção possam ter sua resistência assegurada. O
conhecimento dos diversos tipos de sistemas estruturais mostra-se
fundamental nessa fase de delineamento e, consequentemente, no
desenvolvimento do projeto estrutural como um todo. O presente trabalho tem
como objetivo investigar os sistemas estruturais usuais decorrentes dos mais
diversos arranjos entre tipos de vinculação e elementos estruturais utilizados.
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1 - INTRODUÇÃO
Segundo Salvadori (1990), antigamente as construções eram erguidas
com base em tentativa e erro. Construía-se uma casa de certo modo: se ela
ficasse em pé, outras seriam construídas de igual maneira. Se não, mudava-se
a maneira de construí-la e fazia-se outra tentativa, e assim sucessivamente. Foi
deste jeito que as estruturas se desenvolveram. Hoje continuam a evoluir, mas
com muita mais segurança, amparadas por teorias matemáticas e físicas. O
uso do computador também foi decisivo nessa evolução. Sem ele não seria
possível o desenvolvimento dos avançados conceitos teóricos que se tem hoje.
Uma estrutura se caracteriza por ser a parte resistente de uma
construção. É ela que absorve e transmite os esforços, e é dela basicamente
que depende a solidez e segurança de uma edificação. Uma estrutura é
composta por elementos estruturais, que combinados de diferentes formas
geram os sistemas estruturais. A área da engenharia responsável pela
concepção e cálculo das estruturas é a engenharia estrutural. São os
projetistas os responsáveis por criar a estrutura e adequá-la ao projeto
arquitetônico, integrando-a ao ambiente.
Os engenheiros, após definirem o tipo de sistema estrutural a ser
utilizado em uma dada edificação, começam a dimensionar a estrutura a partir
das ações que a solicitam. Definem que material deverá ser utilizado e que
dimensões as peças daquele sistema estrutural deverão ter para suportar todas
as ações.
Enfim, é a estrutura que sustenta uma edificação, e ela, nada mais é que
um sistema estrutural, composto por elementos estruturais e concretizado com
um material também estrutural, tendo como principal função suportar e
transmitir as ações que atuarão sobre a construção.
Nesta monografia, são abordadas todas essas relações que envolvem
uma estrutura e é feita uma investigação detalhada sobre os diversos tipos de
sistemas estruturais, onde os seguintes tópicos são abordados: ações, tipos de
materiais estruturais, tipos de vinculação, definição dos elementos estruturais e
esquemas estruturais correntes.
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2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Foram estudados vários livros e autores para a realização desse
trabalho. Vários abordavam o mesmo tema só que com enfoques diferentes, às
vezes até com uma certa divergência teórica.
O primeiro tema estudado, ações, foi construído com base na norma
técnica NBR-8681 – Ações e Segurança nas Estruturas(1984). Essa norma
trata das definições, da qualificação e da quantificação das ações, e também
das diretrizes técnicas que devem ser seguidas por todos os engenheiros no
Brasil. Já Salvadori(1980;1992), aborda esse tema de maneira menos formal,
fazendo, inclusive, um outro tipo de classificação para as ações.
O segundo tema estudado foi relativo aos materiais estruturais. Mais
uma vez, aparece Salvadori(1990;1992) definindo o material estrutural. O autor
cita três principais materiais como estruturais: o aço - que ele trata de uma
maneira sucinta e com classificações não muito utilizadas aqui no Brasil; o
concreto armado, e os plásticos, que considera como uma grande possibilidade
para a área de construção em anos futuros.
No presente trabalho, além do aço, dois outros materiais estruturais são
abordados: o concreto, apresentado juntamente com suas derivações, o
armado e o protendido, e a madeira, considerada como um dos principais
materiais estruturais por ser largamente usada na confecção de estruturas há
muitos anos, e por ser, talvez, o primeiro material estrutural utilizado pelo
homem. O plástico nào será aqui abordado por ainda não ser um material
estrutural amplamente divulgado e usado.
Tanto a madeira, quanto o aço, foram descritos por Petrucci(1976) de
uma maneira completa e didática. Todas as características desses materiais,
assim como suas classificações e peculiaridades , foram definidas pelo autor.
Da mesma forma completa, Fusco(1976) descreveu o concreto, enunciando
suas principais características e funções.
Para a classificação dos elementos estruturais existem várias versões. A
utilizada nesse trabalho segue a versão descrita por Fusco (1976), que divide
os elementos estruturais em quatro grandes grupos: os blocos, as folhas, as
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barras, e as barras de elemento delgados. Autores como Ricardo(1978)
classificam em três grupos: fio, barra e placa, pelo fato do enfoque de seu livro
ser mais relacionado a engenharia mecânica, do que a engenharia civil. Já
Salvadori(1990) classifica os elementos estruturais em quatro tipos: barra
tracionada ou cabo, arco, barra comprimida e viga, uma classificação bem
diferentes dos demais, um pouco mais voltada para a área arquitetônica, que é
o seu enfoque.
Como foi dito acima, a classificação para os elementos estruturais
adotada foi a do Fusco(1976), e para cada grupo há toda uma teoria que rege a
sua análise estrutural.
Os blocos são estudados pela teoria da elasticidade, muito bem
apresentada por Timoshenko(1980). Em seu livro, o autor apresenta os
conceitos teóricos dessa teoria assim como o seu equacionamento geral. Para
o grupo das folhas não há uma teoria única, uma vez que esse grupo se
subdivide em cascas, placas e chapas. Silva Júnior(1966) descreve todas as
teorias envolvendo as folhas de uma maneira geral, mostrando as
simplificações existentes nessas teorias, porém quando se refere a cascas, eleaborda mais a teoria de membrana, do que a teoria das cascas. Já
Zagottis(1979) aborda a teoria das cascas de uma forma mais explícita, e
também escreve sobre a teoria das placas e a teoria de membrana, também
utilizadas para resolver problemas envolvendo estruturas de superfície.
Para as barras e barras delgadas, o fundamento de suas teorias estão
na resistência dos materiais. As hipóteses básicas dessas teorias são bem
descritas por Pissarenko(1985). As equações e relações básicas são
comentadas por Schiel(1984) e também por Pissarenko(1985). A diferença é
que Schiel(1984) aborda o tema de uma maneira mais didática.
Quando o assunto é vinculações, ou seja, as ligações internas ou
externas da estrutura, vários autores podem ser citados. Sobre apoios, foi
adotada a classificação feita por Schiel(1984), por ser a mais completa. As
vinculações internas foram melhor apresentadas por Lagendock(1955), sendo
que esse assunto é abordado superficialmente por vários livros de estática e
resistência dos materiais.
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O último capítulo abordado nesse trabalho é sobre sistemas estruturais.
Tratou-se inicialmente dos sistemas formados por barras, sendo vigas o
primeiro assunto. Tanto Silva Júnior(1966) quanto Sussekind(1979) descrevem,
quase que da mesma maneira, os muito tipos de vigas existentes.
Sussekind(1979) porém o faz de maneira mais clara e objetiva, apresentando
os conceitos envolvidos em cada estrutura, o método de cálculo para a sua
resolução e os possíveis diagramas de momentos fletores e esforços cortantes.
O que foi dito para as vigas vale também para os pórticos, que foram de igual
maneira muito bem abordados por Sussekind(1979).
Para os sistemas estruturais em arco, foi usada a classificação feita por
Silva Júnior(1966). O estudo sobre grelhas, vigas-balcão e cabos foi feito
tomando como base as obras de Sussekind(1979) e Salvadori(1990).
O elemento estrutural pilar é assunto tratado em vários livros de
resistência dos materiais e também em livros de concreto armado. Cada um,
porém, aborda esse tema de maneira diferente, dando mais ênfase a um tópico
específico. Para o texto final foram utilizados os livros de Schiel(1984),
Sussekind(1987) e Popov(1978), sendo que este último tem sua obra mais
voltada para a Engenharia Mecânica.
A treliça é um dos sistemas estruturais mais conhecidos e é tratada por
uma grande número de autores. Dentre eles, Schiel(1984) a classifica e a
conceitua de uma maneira clara, e por isso foi escolhido como principal
referência na abordagem desse tema. Algumas considerações adicionais feitas
por Silva Júnior(1966) foram também incluídas.
Lajes foi o primeiro tema estudado dentro dos sistemas estruturais
formados por placas. Arduini(1992) e Costa(1970) foram os autores que melhor
deram uma visão geral sobre o assunto, sendo que a classificação utilizada foi
feita por Arduini(1992). Em lajes nervuradas e lajes maciças há também
alguns conceitos apresentados por Fernandes(1997b). Costa também é o
responsável pelas definições sobre radier.
Quando se fala em chapa, a principal estrutura que representa esse
elemento estrutural é a viga-parede. O texto sobre essa estrutura foi baseada
principalmente em Leonhardt(1982).
As estruturas formadas por cascas têm uma vasta bibliografia,
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principalmente em inglês. Os conceitos e a abordagem feito por essas obras
são muito parecidas, o que varia é a classificação feita por cada autor. As
primeiras definições, adotadas nesse projeto, foram dadas por Leonhardt(1982)
e Billington(1965). Porém a classificação desse sistema estrutural foi baseado
em Marshall(1972). O texto sobre cascas cilíndricas tem como principal
referência Billington(1965), e o sobre cúpulas e cascas com curvatura dupla,
Guerrin(1990).
Bloco foi o último assunto tratado dentro do capítulo sobre sistemas
estruturais, e o texto apresentado foi baseado principalmente em Costa(1970).
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3 - AÇÕES
Entende-se por ação toda força que causa algum tipo de esforço ou
deformação numa estrutura. Num projeto estrutural o primeiro passo do
engenheiro é justamente determinar quais as ações que atuarão sobre a
estrutura e quais serão suas intensidades nos casos extremos.
Diferentes classificações das ações podem ser apresentadas. Para
adotar um critério único de quantificação e classificação, foi criada, pela
Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), a norma NBR-8681-Ações
e Segurança nas Estruturas(1984). É com base nesse documento que todo
engenheiro deve trabalhar e são as definições nele contidas que devem ser
adotadas na elaboração de projetosestruturais.
3.1. Definição e classificação das ações segundo
 a norma brasileira NBR-8681
A norma NBR-8681 - Ações e Segurança das Estruturas (1984) define
ação como toda causa que provoca esforço ou deformação. As ações são
classificadas segundo sua variabilidade no tempo em ações permanentes,
variáveis e excepcionais.
Ações permanentes são aquelas que possuem valores constantes ou
com pequena variação em torno de sua média. Podem ser diretas ou indiretas.
As ações diretas incluem todos os pesos próprios dos elementos da
construção; as ações indiretas incluem a protensão, os recalques de apoio e a
retração dos materiais.
Ações variáveis são ações que possuem valores com variações
significativas em torno da sua média, São classificadas em função da
probabilidade de ocorrência em normais e especiais. As ações variáveis
normais são aquelas com grande probabilidade de ocorrência e por isso são
obrigatoriamente consideradas no projeto estrutural. As cargas acidentais da
construção se enquadram nesta classificação. As ações variáveis especiais
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são aquelas tais como abalos sísmicos ou cargas acidentais de natureza ou
intensidades especiais.
Ações excepcionais são aquelas causadas por incêndios, enchentes ou
explosões.
3.2. Outras definições de ação
Como já foi dito, são as diretrizes estabelecidas pela NBR 8681(1984)
que devem ser seguidas pelos engenheiros em todo o território nacional.
Porém existem alguns autores que fazem outro tipo de classificação das ações.
Segundo, por exemplo, Salvadori(1990;1992), as ações podem ser
classificadas em permanentes, variáveis, dinâmicas, devidas ao vento, devidas
a recalques de apoio, diferenças de temperaturas e devidas a terremotos. O
estudo desse último tipo de ação devido a terremotos tem sido negligenciada
no Brasil pela baixa probabilidade de ocorrência de abalos sísmicos no país. A
seguir será detalhado cada um desses tipos de ação segundo esse autor.
Ações Permanentes
As ações permanentes são basicamente constituídas pelo peso próprio
da estrutura. São todas aquelas ações que atuam na estrutura em tempo
integral.
Ações Variáveis
As ações variáveis são aquelas que não são constantes o tempo todo na
estrutura, como por exemplo o peso dos móveis, das pessoas , etc. Essas
ações são inconstantes e seus valores mudam repentinamente. Com isso
podemos ter várias maneiras de combiná-las. Para normalizar essas
combinações existem normas técnicas, que variam de país para país, e que
ditam as regras para o cálculo das ações variáveis. No Brasil, a norma que
aborda esse tema é a NBR8681(1984).
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Ações Dinâmicas
As ações permanentes e as variáveis são chamadas de ações estáticas,
pois variam de intensidade de modo muito lento. As ações chamadas
dinâmicas são aquelas que crescem de intensidade rapidamente e
repentinamente, o que as pode tornar extremamente perigosas.
A ação do vento, por exemplo, pode ser dinâmica ou estática, depende
do tempo que a rajada leva para atingir seu máximo valor e decair, e da altura
da estrutura. Se a ação do vento cresce até o seu máximo valor e decai até
desaparecer num tempoinferior ao necessário para cobrir toda a estrutura, seu
efeito é considerado dinâmico. Se a ação do vento cresce e desaparece num
tempo maior que o necessário para envolver o edifício ela é considerada
estática.
Há certos tipos de ações que, apesar de não crescerem rapidamente,
têm efeitos dinâmicos progressivamente crescentes. Esse fenômeno é
conhecido como ressonância: acontece quando uma força está ritmicamente
aplicada a estrutura com o mesmo período de vibração desta. Diz-se que essa
força está em ressonância com a estrutura. Esses tipos de forças rítmicas são
particularmente perigosas e podem levar a uma falência da estrutura.
Ações devidas ao vento
Com o crescente aumento das alturas das construções a importância
das ações devidas ao vento tem crescido muito. Quanto mais alta a estrutura,
maior a influência da ação do vento.
As forças devidas ao vento dependem não só da sua velocidade e da
altura da edificação, mas também do formato desta. A topografia local e as
construções vizinhas também influem significamente na intensidade da ação do
vento.
Ações devidas a diferenças térmicas e a recalques de apoio
Essa categoria incluem ações que são originadas diariamente ou
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sazonalmente pelas mudanças de temperatura do ar ou pelos recalques de
apoio. Esses tipos de ações são traçoeiras por não serem visíveis.
Particularmente, as ações derivadas da fundação, os recalques de apoio, são
um dos maiores perigos para a construção civil.
3.3. Quantificação das ações
Antes de se abordar a quantificação das ações propriamente dita, alguns
conceitos básicos devem ser apresentados.
Estados Limites
Toda vez que uma estrutura não tem desempenho adequado às
finalidades a que foi projetada diz-se que ela atingiu um estado limite. Este
estado limite pode ser último ou de utilização.
Os estados limites últimos implicam numa perda de equilíbrio global ou
parcial da estrutura, além de ruptura ou deformação plástica excessiva,
instabilidade dinâmica ou por deformação, transformação total ou parcial da
estrutura em sistema hipostático. Estados limites últimos caracterizam a
paralisação total ou parcial da construção.
Os estados limites de utilização acontecem quando ocorrem danos
ligeiros ou localizados que comprometam o aspecto estético da construção ou
a durabilidade da estrutura, ou quando ocorrem vibrações de amplitude
excessiva. Esses estados limites causam efeitos estruturais anormais para o
uso normal da construção e também indicam comprometimento da durabilidade
da estrutura.
A quantificação das ações depende do estado limite da estrutura.
Quantificação das ações
 As ações são quantificadas por valores representativos que podem ser:
valores característicos, valores característicos nominais, valores reduzidos de
combinação, valores convencionais excepcionais, valores reduzidos de
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utilização e valores raros de utilização. Os quatro primeiros valores
representativos das ações, acima mencionados, são utilizados para estados
limites últimos e os outros dois, para os estados limites de utilização.
Os valores característicos, Fk, são definidos em função da variabilidade
das ações. Para cada tipo de ação há um Fk. Os valores característicos das
ações permanentes que produzam efeitos desfavoráveis na estrutura
correspondem a 95% da distribuição de probabilidade dessas ações. Quando
as ações permanentes provocam efeitos favoráveis, o FK corresponde a 5% de
sua distribuição. Os valores característicos das ações variáveis correspondem
a valores que têm entre 25% e 35% de probabilidade de serem ultrapassados
no sentido desfavorável num período de cinquenta anos.
Os valores característicos nominais são utilizados para ações que não
tenham variabilidade expressa adequadamente por distribuições de
probabilidade.
Os valores reduzidos de combinação são utilizados quando existem
ações variáveis de diferentes tipos. São determinados a partir de valores
característicos pela expressão ψoFK , que leva em conta a baixa probabilidade
da ocorrência simultânea de duas ou mais ações variáveis de naturezas
diferentes. O fator de combinação ψo é um fator de redução utilizado para as
combinações últimas.
Os valores convencionais excepcionais para as ações são escolhidos
arbitrariamente em consenso entre o proprietário da construção e autoridades
governamentais.
Os valores reduzidos de utilização são utilizados para ações que se
repetem com frequência, ou para aquelas de longa duração, e são
determinados a partir de valores característicos pelas expressões ψ1Fk e ψ2Fk,
respectivamente. Os fatores de utilização ψ1 e ψ2 são fatores de redução
referentes às combinações de utilização.
Os valores raros de utilização quantificam aquelas ações que mesmo
atuando com curta duração sobre a estrutura podem acarretar estados limites
de utilização.
Conhecendo-se os valores representativos das ações, é possível achar
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os valores de cálculo, Fd , multiplicando os primeiros por um coeficiente de
ponderação γf. Esse coeficiente de ponderação assume valores diferentes para
os estados limites últimos e para os estados limites de utilização.
Nos estados limites últimos γf é derivado da multiplicação de outros dois
coeficientes: γf1 e γf3 . O coeficiente γf1 leva em consideração a variabilidade das
ações, e o coeficiente γf3 , os possíveis erros de avaliação dos efeitos das
ações. O coeficiente γf recebe outras denominações para identificação do tipo
de ação que está sendo considerada: para ações permanentes γg , para ações
diretas variáveis γq, para a protensão γp e para ações indiretas γε . Nos estados
limites de utilização, o coeficiente γf assume valor igual a 1. Os valores de ψ0,
ψ1, ψ2 e γf são estabelecidos pela norma NBR 8681(1984).
3.4. Carregamentos
Quando pensa-se em ações atuando conjuntamente tem-se um
carregamento. Pela definição da NBR-8681(1984), carregamento é um
conjunto de ações que têm uma probabilidade não desprezível de atuarem
simultaneamente sobre uma estrutura, durante um período de tempo pré-
estabelecido. Os carregamentos podem ser divididos em carregamento
normal, especial, excepcional e de construção.
O carregamento normal é aquele devido ao uso da construção, com isso
deve ser considerado como atuante em todo o período de referência da
estrutura.
O carregamento especial acontece devido às ações variáveis de
natureza e intensidades especiais. São transitórios.
O carregamento excepcional decorre da atuação de ações excepcionais
que podem provocar efeitos catastróficos. É transitório e possui pequena
duração. São considerados no projeto estrutural apenas de construções em
que essas ações excepcionais não possam ser ignoradas.
O carregamento de construção é devido a ações que atuam durante a
execução da obra. Possui efeito transitório e só deve ser considerado em
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estruturas em que haja risco de ocorrência de estados limites já durante a fase
de construção.
3.5. Combinações das ações
Como já foi visto, carregamento nada mais é que um conjunto de ações
que podem vir a atuar sobre uma estrutura simultaneamente. Em cada
carregamento, as ações podem ser combinadas de diferentes formas até se
determinar aquela que provoca os efeitos mais desfavoráveis à estrutura. Isso
é feito para que a segurança da estrutura seja verificada em relação a seu
estado mais crítico e, assim, aos possíveis estados limites da estrutura.
Cada estado limite possui um tipo de verificação da segurança. Nos
estados limites últimos ela é feita em função das combinações últimas de
ações. Nos estados limites de utilização, a verificação é feita em função das
combinações de utilização.
3.5.1. Critérios para a combinação de ações
As combinações das ações possuem alguns critérios. Para se verificara
segurança de uma estrutura em relação aos estados limites deve-se sempre
considerar todas as possíveis combinações de ações, para cada tipo de
carregamento, que provoque os efeitos mais desfavoráveis na estrutura.
Todas as ações permanentes são sempre consideradas. Em relação às
ações variáveis só são consideradas aquelas que provoquem efeitos
desfavoráveis a estrutura. Em cada combinação as ações devem ser
consideradas por seus valores representativos multiplicados pelos seus
respectivos coeficientes de ponderação.
Para as combinações últimas alguns critérios devem ser considerados:
- as ações permanentes sempre devem ser consideradas em todas as
combinações;
- nas combinações últimas normais, uma das ações variáveis é considerada
principal e atua com seu valor característico Fk , as outras atuam com seus
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valores reduzidos de combinação ψoFk;
- nas combinações últimas especiais a ação variável especial é considerada
com seu valor representativo e as demais ações variáveis com valores
correspondente a uma probabilidade não desprezível de que ocorram em
conjunto com a ação variável especial.
- Nas combinações últimas excepcionais, a ação variável excepcional é
considerada com seu valor representativo, e as demais ações variáveis com
valores correspondentes a uma grande possibilidade de atuação simultânea
com a ação excepcional.
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4 - MATERAIS ESTRUTURAIS
A finalidade de uma estrutura é transmitir as ações atuantes na
construção para o solo. As estruturas são construídas com materiais chamados
estruturais e sofrem dois tipos básicos de efeitos: a tração e a compressão.
Quando as fibras que constituem o material são esticadas diz-se que ele está
sob tração, quando são encurtadas diz-se que ele está sob compressão.
Nenhum material estrutural é perfeitamente rígido, resistindo bem tanto a
tração quanto a compressão. Geralmente um material estrutural possui
resistências diferentes para cada estado de tensão.
Para que um material seja considerado estrutural, além de apresentar
resistência a tração e compressão, ele deve apresentar também algumas
características, como a elasticidade e a plasticidade. Tensionado, o material
estrutural pode apresentar dois tipos de comportamento: o elástico e o plástico.
O primeiro comportamento requer que quando uma ação é removida de um
elemento estrutural, este retorne a sua forma original sem apresentar
deformações residuais. Quando um gráfico tensão versus deformação de um
dado material resulta numa linha reta, diz-se que o material é linearmente
elástico. Todo material estrutural tem comportamento elástico se a ação a qual
está submetido não ultrapassa determinado valor. Acima deste, as
deformações não são mais proporcionais. Os materiais que exibem uma
deformação residual permanente, depois que a ação atuante sobre eles atinge
um determinado valor, são chamados de materiais de comportamento plástico
ou inelástico. Se o valor da ação continuar a crescer mesmo depois do
aparecimento do comportamento plástico, o material logo irá à ruína, mas isso
não quer dizer que a plasticidade é ruim. Quando o material possui esse
comportamento, pode alertar sobre o perigo de colapso da estrutura quando as
deformações crescerem mais rápido que o carregamento. Quando o material
não possui comportamento plástico, e rompe sem aviso prévio diz-se que o
material é frágil.
Percebe-se com isso que para um material ter bom comportamento
estrutural ele deve apresentar resistência, elasticidade e plasticidade. Os
principais materiais estruturais são o aço, o concreto e a madeira.
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4.1 - Aço
Segundo Petrucci(1976) aço é todo produto siderúrgico obtido por via
líquida com teor de carbono inferior a 2%. Possui as seguintes características:
alta dureza, grande resistência mecânica, elevada plasticidade, alta
condutibilidade térmica e elétrica. No Brasil existem praticamente três tipos de
aço: os aços de dureza natural laminados a quente, que são os mais comuns,
utilizados no concreto armado; os aços encruados a frio, e os aços patenting,
utilizados no concreto protendido. Além desses três tipos existe também o aço
inoxidável, mas seu custo de produção é alto tornando seu uso na construção
civil inviável. Como o aço enferruja, toda estrutura feita com esse material tem
que ser pintada em intervalos regulares para evitar oxidação.
4.2 - Concreto
O concreto é um material constituído basicamente por uma mistura de
aglomerante hidráulico, no caso o cimento, com água, areia e pedra. Possui
baixa resistência a tração e por essa razão o concreto simples é um material
estrutural de aplicação restrita. Para ser aplicado com finalidade estrutural,
deve ser associado a materiais com alta resistência a tração, como o aço, que
é utilizado em forma de barras e que, poe sua vez, constituem a armadura.
Quando associa-se o concreto com barras de aço, e esse dois materiais
resistem solidariamente aos esforços a que são submetidos, tem-se o concreto
armado.
No concreto armado, a armadura resiste passivamente aos esforços de
tração. O concreto e a armadura comportam-se como um todo. A aderência
entre os dois materiais garante o comportamento solidário, permitindo assim
que o aço absorva não só esforços de tração como também de compressão.
Quando a armadura resiste ativamente aos esforços de tração, tem-se o
concreto protendido. Protensão , segundo Fusco(1976), é a aplicação de
tensões prévias de compressão ao concreto, antes da aplicação do
carregamento da estrutura, de forma tal que as tensões de tração provocadas
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pelo carregamento externo sejam superpostas a tensões prévias de
compressão. Nessas condições, antes que apareçam tensões de tração no
concreto, deverão ser anuladas as tensões de compressão aplicadas pela
protensão.
4.3 - Madeira
A madeira, de acordo com Petrucci(1976) deve ser o mais antigo
material estrutural utilizado pelo homem. As suas principais vantagens,
dificilmente reunidas em outro material são relacionadas a seguir:
- é possível de ser obtida em grandes quantidades a um preço relativamente
baixo, e com reservas auto-renováveis;
- pode ser produzida em peças com dimensões que podem ser rapidamente
desdobradas em peças pequenas;
- pode ser re-empregada diversas vezes;
- é capaz de resistir tanto a esforços de tração quanto de compressão;
- possui massa específica baixa e grande resistência mecânica;
- permite fáceis ligações e emendas;
- não estilhaça quando golpeada;
- apresenta bom isolamento térmico e absorção acústica.
 Apesar de apresentar todas essas qualidades, possui algumas
desvantagens que são as seguintes:
- é demasiadamente heterogênea e anisótropa;
- é vulnerável a agentes externos;
- é combustível;
- possui formas limitadas e de seção transversal alongada.
Para seu uso como material estrutural, as peças de madeira devem ser
classificadas segundo sua qualidade, que está relacionada.com a presença
máxima de defeitos permitidos por especificações em normas brasileiras.
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5 - ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Uma estrutura é o conjunto de partes resistentes de uma construção e
serve basicamente como transporte de forças e esforços. Um projeto estrutural
em geral é muito complexo e para poder analisá-lo da melhor forma possível
algumas simplificações costumam ser usadas, como distinguir as partes
resistentes da estrutura, das não resistentes, decompondo assim o projeto em
partes. Segundo Ricardo(1978), essa decomposição pode ser real ou virtual. A
decomposição real acontece quando usam-se as juntas de separação. A
decomposição virtual ocorre quando se subdivide a construção em partes de
modo que cada uma delas possa ser projetada separadamente. Esses dois
tipos de decomposiçãopodem ser usados em conjunto.
De qualquer forma, há a necessidade de uma subdivisão virtual do
projeto para que cada elemento estrutural possa ser assimilado a um dos
modelos estruturais esquematizados pela Teoria das Estruturas. O objetivo
dessa teoria é prever como e com que intensidade os esforços atuam sobre a
estrutura e que deformações ela sofrerá.
Os elementos estruturais são classificados de acordo com as três
dimensões básicas de uma peça estrutural. Alguns autores classificam em três
tipos, outros em mais, mas aqui será classificado em quatro tipos de acordo
com Fusco(1976). Os quatro tipos de elementos estruturais por ele definidos
são: blocos, folhas ou estruturas de superfície, barras e barras de elementos
delgados. Cada um possui um método de cálculo próprio.
5.1 - Elemento estrutural do tipo bloco
O elemento estrutural do tipo bloco é aquele que possui os três
comprimentos básicos na mesma ordem de grandeza. É estudado pela teoria
da elasticidade. Essa teoria, de acordo com Timoshenko(1980), trabalha com
três grupos de equação: as equações de equilíbrio (1), as equações de
compatibilidade (2) e as equações que envolvem tensão-deformação (3).
22
Fig. 1: elemento estrutural do tipo bloco
As equações de equilíbrio (1) são obtidas pela soma de todas as forças
que atuam numa determinada direção. São afirmações das leis de Newton,
mas restritas aos casos de estática. Constituem-se de três equações
genéricas:
∂ σ x + ∂ τ xy + ∂ τ xz + X = 0
 ∂x ∂y ∂z
 ∂ σ y + ∂ τ xy + ∂ τ yz + Y = 0 (1)
 ∂y ∂x ∂z
 ∂ σ z + ∂ τ xz + ∂ τ yz + Z = 0
 ∂z ∂x ∂y
sendo τ um componente cisalhante de tensão, σ um componente normal de
tensão e X,Y,Z componentes de uma força de massa por unidade de volume.
Essas equações devem ser satisfeitas em todo o volume do sólido.
As equações de compatibilidade (2) são relações envolvendo
deformação e deslocamento. São seis as relações diferenciais entre as
componentes de deformação:
∂2 ∈x + ∂2 ∈y = ∂2 γ zy 2 ∂2 ∈x = ∂ ( - (∂γ yz / ∂x) + (∂γ xz / y) + (∂γxy / ∂z))
 ∂y2 ∂x2 ∂x ∂y ∂y ∂z ∂x
∂2 ∈y + ∂2 ∈z = ∂2 γ yz 2 ∂2 ∈y = ∂ ( (∂γ yz / ∂x) - (∂γ xz / y) + (∂γxy / ∂z)) (2)
 ∂z2 ∂y2 ∂y ∂z ∂x ∂z ∂y
∂2 ∈z + ∂2 ∈x = ∂2 γ xz 2 ∂2 ∈z = ∂ ( (∂γ yz / ∂x) + (∂γ xz / y) - (∂γxy / ∂z))
 ∂x2 ∂z2 ∂x ∂z ∂x ∂y ∂z
sendo ∈ a deformação unitária e γ a deformação angular.
O último grupo de equações é aquele que envolve relações de tensão e
deformação (3). São três as equações gerais:
23
∈x = (1 / E) [ σx - ν ( σy + σz )]
 ∈y = (1 / E) [ σy - ν ( σx + σz )] (3)
 ∈z = (1 / E) [ σz - ν ( σx + σy )]
sendo E o módulo de elasticidade longitudinal, ν o coeficiente de Poisson, σ
tensões normais e ∈ a deformação unitária.
5.2 - Elemento estrutural do tipo folha
A folha, ou estrutura de superfície, possui dois comprimentos com a
mesma ordem de grandeza e uma terceira dimensão de menor grandeza. Pode
ser classificada em casca, placa ou chapa. É definida como casca quando a
superfície é curva. Quando a superfície é plana, pode ser classificada como
chapa ou como placa. É placa quando o carregamento é perpendicular ao seu
plano médio, e chapa quando o carregamento está contido no mesmo plano.
As folhas são estudadas por teorias derivadas da Teoria da Elasticidade, como
a teoria das chapas, a teoria das placas e a teoria das cascas.
Fig. 2: elemento estrutural do tipo folha
5.2.1 - A teoria das chapas
Segundo Silva Júnior(1966), na teoria das chapas supõe-se que o
material é isótropo, homogêneo, elástico e obedeça a Lei de Hooke.
24
Fig. 3: chapa
Admite-se que σz = τ xz = τyz = 0 nas faces paralelas a xy, e que essas
tensões são nulas em todos os planos paralelos ao plano gerador. Entende-se
por plano gerador o plano que passa pelo meio da espessura da peça. Admite-
se também que as tensões σx, σy e τxy não variam com z. Por simetria, o plano
gerador permanece plano e a deformação específica na direção z, ∈z, é
descrita pela expressão: ∈z = - (ν / E) (σx + σy).
Nesse caso as equações de equilíbrio se escrevem :
( ∂σ x / ∂x) + ( ∂τ xy / ∂y) + X = 0
 ( ∂σ y / ∂y) + ( ∂τ xy / ∂x) + Y = ρ g (4)
 
onde ρ é a massa específica.
As equação de compatibilidade (5) se resumem a:
∇2 ( σx + σy) = 0 (5)
onde ∇ é a soma das curvaturas nas duas direções ortogonais (x,y) e é
definido como: ∇2 = (δ2 / δ x2 ) + ( δ2 / δ y2 )
5.2.2 - A teoria das placas e a teoria das cascas
As placas e cascas podem ser estudadas pela Teoria da Elasticidade.
Porém, para facilitar, algumas simplificações foram adotadas, dando origem à
teoria das placas e à teoria das cascas.
25
 
(a) placa (b) casca
Fig. 4: elementos estruturais do tipo folha. (a) placa; (b) casca.
Algumas hipóteses fundamentais valem para as duas teorias e são
baseadas na Resistência dos Materiais e nas hipóteses de Kirchoff-Love.
Segundo Zagottis(1979), para placas e cascas delgadas as hipóteses
fundamentais são:
- o material que constitui a estrutura é homogêneo, isótropo, e obedece à Lei
de Hooke;
- a espessura h é pequena em relação às dimensões e aos raios de
curvatura principais da superfície média;
- as tensões normais à superfície média são desprezíveis em relação às
demais tensões;
- os pontos pertencentes, antes da deformação, a retas normais à superfície
média encontram-se, após a deformação, sobre retas perpendiculares à
superfície média deformada;
- os deslocamentos são muito pequenos em relação a espessura h, sendo
possível desprezar a influência dos mesmos no estudo das condições de
equilíbrio do elemento de superfície.
Nas aplicações práticas há um erro nos resultados inferior a 5% se:
( h / R) máx = 1/ 20 (6)
 onde R é o raio de curvatura da casca.
Essa relação dá o limite das estruturas de superfície ditas delgadas. Se
essa relação for violada a estrutura é considerada espessa e o estudo não
pode considerar as hipóteses enunciadas acima.
Para a resolução dos problemas envolvendo cascas, temos, além da
teoria das cascas, a teoria de membrana válida desde que adote-se a
26
hipótese que não aparecem momentos fletores e de torção, mas apenas forças
normais nas seções principais. Essa teoria vale para cascas muito delgadas
com forças normais nas seções principais. Para que a estrutura funcione como
uma membrana é necessário:
- que ela seja apoiada de forma que os esforços reativos possam produzir,
junto aos apoios, apenas forças normais;
- que não existam variações bruscas do carregamento distribuído;
- que não existam forças concentradas.
 Nessa teoria os esforços na membrana são obtidos por equações de
equilíbrio da estática.
5.3 - Elemento estrutural do tipo barra
A barra é o elemento estrutural que possui duas dimensões com mesma
ordem de grandeza e um maior, que é o principal. É estudada pela Resistência
dos Materiais e sua resolução é feita pela estática das construções.
Fig. 5: barra
A Resistência dos Materiais está baseada normalmente em seis hipóteses
fundamentais. De acordo com Pissarenko(1985) essas hipóteses são:
- hipótese da continuidade do material;
- hipótese da homogeneidade e da isotropia, ou seja, supõe-se que as
propriedades do material são as mesmas em todos os pontos e em todos os
sentidos;
- hipótese das pequenas deformações (ou hipótese da rigidez relativa do
material).Nessa hipótese considera-se que a magnitude das deformações é
de valor reduzido em comparação com o tamanho do corpo a deformar;
27
- hipótese da elasticidade perfeita do material, onde supõe-se que todos os
materiais são perfeitamente elásticos;
- hipótese da dependência linear entre as deformações e as cargas
(esforços). Nesse caso admite-se que a Lei de Hooke se aplica a maior
parte dos materiais;
- hipótese da seções planas. Nessa hipótese supõe-se que as seções planas,
traçadas perpendicularmente ao eixo da barra, permanecem, no decorrer da
deformação, planas e perpendiculares ao eixo.
 No estudo elementar da resistência, segundo Schiel(1984), existem
quatro assuntos que dão uma noção geral da resistência dos materiais que
são: tração e compressão, solicitação por corte, torção de barras com seção
circular e flexão de barras com seção simétrica. Esses quatro itens serão
comentados abaixo.
Tração e compressão
Uma barra estrutural sob efeito de uma força normal, P, é interpretada
pela seguinte hipótese de trabalho: a força normal P gera o esforço interno
normal N que, por sua vez, provoca uma tensão normal, σ, uniformemente
distribuída:
σ = N /A (7)
onde A é a área da seção da barra.
Se a força normal é de compressão, convenciona-se aqui que a tensão
terá sinal negativo, caso contrário, sinal positivo.
A resistência das barras de uma estrutura não pode ser integralmente
aproveitada: deve-se deixar uma folga para evitar, com segurança, a ruptura.
Com base nisso, surgiu a noção de tensão admissível, que é a tensão de
ruptura da barra ( obtida em ensaios) dividida por um fator de segurança s.
Assim, a tensão admitida para uma barra em projeto tem que ser menor que a
tensão admissível:
 σ = (N / A) ≤ σ (8)
 onde σ é a tensão admissível.
28
Essa expressão dá a idéia de resistência de uma barra. Porém não é só
a resistência que deve ser considerada. A deformação sofrida pelas barras
também deve ser estudada. A relação entre tensão e deformação foi estudada
e desenvolvida por Robert Hooke e se define como:
∈= (σ/E) (9)
onde ∈ é a deformação e E é o módulo de elasticidade. Com essa expressão e
fazendo as devidas substituições (∈ = ∆l/l e σ = N/A ) chega-se a lei de Hooke
dada por:
∆l = ( N l) / ( E A ) (10)
onde l é o comprimento da barra e ∆l é a variação do comprimento. Se ∆l for
positivo, a barra sofreu alongamento, caso contrário, encurtamento.
Outra expressão importante no estudo da resistência, e
consequentemente das barras, é aquela envolvendo o trabalho executado pela
carga durante a deformação da barra solicitada por uma força normal. Esse
trabalho chama-se energia de deformação (U). A relação envolvendo U é:
U = ½ (N2 l / EA ) (11)
Solicitação por corte
Acima foram descritas as solicitações feitas pela força normal. Agora
serão discutidas as solicitações nas quais o efeito cortante predomina. Para
isso supõe-se a inexistência de momentos fletores. Nesse estudo, os rebites
se sobressaem.
A finalidade de um rebite é transmitir uma força de direção transversal
ao fuste. Sua resistêcia é baseada calculando a tensão de cisalhamento, τ,
expressa por:
τ = P/A (12)
onde P é uma força aplicada as chapas e A é a área do rebite.
Torção de barras com seção circular
29
Para ilustrar esse assunto, Schiel(1984) utiliza o seguinte exemplo: uma
barra com seção circular engastada numa extremidade e solicitada na
extremidade livre por um momento de torção. Como reação, resulta no
engastamento o mesmo momento em sentido oposto, ou seja há uma torção.
Na deformação elástica, cada seção da barra executará uma rotação com um
ângulo ϕ que varia de seção para seção. Para equilibrar o momento de torção,
em cada seção haverá tensões de cisalhamento τ.
Esse é um problema típico envolvendo torção, e para resolver esse e
outros problemas envolvendo esse tipo de comportamento adota-se uma
suposição básica, que pode ser formulada de duas maneiras:
- as tensões de cisalhamento estão dirigidas perpendicularmente ao raio r e o
valor delas é proporcional a r ( r é a coordenada que localiza um ponto
genérico da seção);
- as seções executam a rotação elástica como se fossem planos rígidos.
A expressão matemática que designa o momento de torção, Mt, é dada
por:
Mt = (τ π r3) / 2 (13)
Flexão de barras com seção simétrica
A flexão ocorre quando numa solicitação por um momento positivo, as
fibras inferiores de uma viga são esticadas. Com isso faz-se a seguinte
suposição: o momento fletor produz tensões normais,σ, linearmente
distribuídas sobre a seção. E a expressão matemática derivada dessa relação
entre σ e o momento fletor é dada por:
σ = M / W (14)
onde M é o momento fletor e W é o módulo de resistência da seção.
5.4 - Elemento estrutural do tipo barra delgada
A barra delgada possui as três dimensões com ordens de grandeza
30
diferentes. É estudada pela teoria das barras delgadas, que vem da resistência
dos materiais. Para o estudo das barras delgadas considera-se tudo que foi
dito sobre as barras, acrescentando o fenômeno da flambagem, devido a uma
perda de estabilidade lateral.
As barras delgadas quando sujeitas a compressão, e dependendo da
maneira como são apoiadas, podem flambar. Como mostra a figura 6, se a
barra tem um apoio lateral (figura 6a) ela não flamba , e a ruptura dar-se-ia ao
se ultrapassar a tensão de ruptura. Na figura 6b, foi retirado o apoio lateral,
com isso a barra flamba e rompe por flexão numa tensão menor que a tensão
de ruptura. A carga P que provoca a flambagem é chamada de carga crítica
Pcr.
Fig.6: Barra delgada: (a) com apoio lateral; (b) sem apoio lateral
Com essa descrição, de acordo com Schiel(1984), pode-se perceber dois
pontos característicos do fenômeno:
- não pode-se confundir a forma inicial da estrutura com sua forma deslocada
pelas cargas; por exemplo, os momentos fletores que produzem a rupura da
barra da figura 6b seriam nulos na barra sem deformação, figura 6a;
- a flambagem é um problema de estabilidade elástica: a carga crescente
abandona, no valor Pcr, o regime de equilíbrio estável e entra em regime de
equilíbrio instável, no qual as flechas crescem com um P praticamente
constante.
 Há dois métodos para o cálculo do Pcr: o método de equilíbrio e o
energético. Em ambos chega-se a:
 Pcr = c / l (15)
31
onde l é o comprimento da barra e c é o coeficiente de mola que regula a
relação entre o momento M aplicado na barra e o ângulo φ, expressa por:
 
 M = P l sen φ (16)
Fig.7: relação entre c, l e φ
32
6 - VINCULAÇÃO
Os elementos que constituem um sistema estrutural são interligados
entre si por ligações vinculares capazes de transmitir esforços de um elemento
para o outro. Os sistemas estruturais de engenharia civil, via de regra, são
fixados à Terra. Desse modo, algum dos elementos, nos pontos de união com
a Terra, têm deslocamentos impedidos. Esses pontos são chamados apoios
(fig. 8).
Fig. 8: Tipos de apoio (fonte: Schiel, 1984)
33
 
 Os apoios são classificados de acordo com o número de graus de
liberdade que permitem. Podem então ser de seis tipos diferentes, ou seja,
podem permitir 5, 4, 3, 2, 1 ou nenhum grau de liberdade.
 Quando o apoio impede a translação em uma direção vertical ele é um
apoio com cinco graus de liberdade. Quando o apoio impede uma translação
num determinado eixo e rotações nos outros dois eixos ele é dito um apoio com
três graus de liberdade. O apoio que impede todos os movimentos é chamado
apoio sem grau de liberdade.
 Os apoios limitam o movimento de uma estrutura através do
aparecimento de reações nas direções dos movimentosque eles impedem, isto
é, dos graus de liberdade que eles restringem. Com isso, segundo
Süssekind(1979), três casos podem ocorrer:
• os apoios são em número estritamente necessário para impedir todos os
movimentos possíveis da estrutura. Neste caso o número de reações de apoio
é igual ao número de equações de equilíbrio, e a estrutura é chamada
isostática, ou seja, está em equilíbrio estável;
• os apoios são em número inferior ao necessário para impedir todos os
movimentos possíveis da estrutura. Nessa situação tem-se mais equações que
incógnitas e a estrutura é chamada hipostática e, em relação a seu equilíbrio, é
dita instável;
• os apoios são em número superior ao necessário para impedir todos os
movimentos da estrutura. Aí tem-se um caso onde há mais incógnitas que
equações. Neste caso o equilíbrio é estável e a estrutura é chamada
hiperestática.
 Os seis graus de liberdade são movimentos em torno dos eixos
ortogonais. Esses movimentos são governados pelas seis equações universais
da estática, que regem o equilíbrio de um sistema de forças no espaço. Essas
equações são:
 Σ X = 0 Σ MX = 0
 Σ Y = 0 Σ MY = 0 (17)
 Σ Z = 0 Σ MZ = 0
 
34
 No caso das estruturas planas, que são as estruturas predominantes da
Análise Estrutural, existem três graus de liberdade a combater, a translação em
duas direções e a rotação em torno do terceiro eixo. A seguir serão
apresentados os tipos de apoio para esses tipos de estruturas.
Apoio do 1o gênero, Charriot, ou apoio móvel
Esse tipo de apoio impede um único movimento. Devido a isso
aparecerá uma reação de apoio V.
 
 Fig. 9: apoio móvel
Apoio do 2o gênero, articulação, rótula ou apoio fixo
Esse tipo de apoio impede todas as translações possíveis no eixo,
permanecendo livre apenas a rotação. Devido a esses movimentos impedidos
aparecerão duas reações, H e V. Nesse tipo de apoio também pode-se incluir o
engaste móvel, onde dois movimentos são impedidos, uma rotação e uma
translação, aparecendo as reações V e M.
 
 Fig. 10: apoios fixos. (a) apoio fixo; (b) engaste móvel
Apoio do 3o gênero ou engaste
(a) (b)
35
Um engaste acontece quando há três movimentos impedidos, 2
translações e 1 rotação. Nessa situação aparecem devido aos movimentos
impedidos as reações H, V e M. Esse tipo de engaste é o mais comum,
chamado de engaste fixo.
 Fig. 11: engaste fixo
Ligações Internas
Existe ainda um outro tipo de vinculação: as ligações internas, que
ocorrem nos pontos de encontro das barras de uma estrutura, pontos esses
chamados de nós. Segundo Langendonck(1955), diz-se que o nó é rígido
quando os ângulos entre os eixos das barras que nele concorrem permanecem
constantes; pelo contrário, o nó será articulado quando houver perfeita
mobilidade das barras que nele se encontram, podendo variar o ângulo
formado pelos seus eixos, sem que haja qualquer resistência a esse
movimento. Nesse último caso, diz-se que o nó é articulado. Uma articulação
pode existir também no meio de uma barra, desde que se coloque um
dispositivo que permita a rotação relativa das duas partes da barra que ele
separa, sem que se encontre resistência.
36
7 - SISTEMAS ESTRUTURAIS
Os sistemas estruturais resultam da união dos elementos estruturais e
de suas combinações. Os primeiros sistemas estruturais a serem abordados
serão os resultantes das barras ou pelas suas combinações. Depois serão
vistos os sistemas originados das estruturas de superfície e por último os
originados dos blocos.
7.1 - Sistemas estruturais formados por barras
Como já foi visto, as barras são elementos que possuem uma dimensão
relativamente grande em relação às outras duas. São estudadas pela
Resistência dos Materiais e podem ser classificadas tomando-se por base a
solicitação predominante:
- tração axial ( tirantes );
- compressão axial ( pilares);
- flexão, com ou sem cisalhamento ( vigas );
- flexo-tração ( colunas com reação negativa, tirante com carga excêntrica );
- flexo-compressão ( colunas, arcos, pilares com carga excêntrica );
- torção ( vigas ).
Os sistemas estruturais formado por barras, segundo
Langendonck(1955), são:
- viga: barra disposta horizontalmente que sofre esforços de tração e
compressão;
- pilar: barra disposta verticalmente que sofre basicamente esforços de
compressão;
- treliça: junção de barras que são solicitadas apenas por forças normais. Pode
ser plana ou tridimensional;
- viga-balcão: barra curva ou poligonal engastada nas extremidades, que pode
receber cargas agindo fora do seu plano;
- grelha: várias barras que se cruzam e que podem receber cargas fora do seu
plano;
- arco: difere da viga apenas por ter por eixo uma curva plana qualquer;
37
- pórtico: é uma estrutura constituída por um contorno completo transversal e
formado por elementos de barra verticais, horizontais ou inclinadas, monolíticas
ou não;
- cabo: é uma barra flexível.
7.1.1 - Vigas
As vigas podem ser bi-apoiadas, engastadas e livres, bi-apoiadas com
balanços, Gerber ou contínuas.
Vigas Bi-apoiadas
Fig. 12: viga bi-apoiada
Numa viga bi-apoiada, ou simplesmente apoiada, os apoios são, por
hipótese, construídos de forma a permitirem qualquer rotação provocada pelos
esforços atuantes sobre a viga. Além disso um dos apoios é fixo e outro móvel.
A viga bi-apoiada solicitada por uma carga concentrada possui um
diagrama de momentos fletores que apresenta um ponto anguloso e um
diagrama de esforços cortantes que apresenta uma descontinuidade igual ao
valor desta carga. As reações de apoio são obtidas pelas equações de
equilíbrio da Estática e numa seção qualquer S temos:
MS = Pab / l Vtrecho AS = Pb / l Vtrecho SB = -(Pa) / l (18)
onde Ms é o momento fletor numa seção genérica S, Vtrecho AS é a força
cortante no trecho AS e Vtrecho SB é a força cortante no trecho SB (figura 13).
38
(a) (b) (c)
Fig. 13: (a) viga bi-apoiada solicitada por uma carga concentrada; (b) diagrama de momentos
fletores da viga representada em (a); (c) diagrama de esforços cortantes da viga representada
em (a).
Quando a viga é solicitada por uma carga uniformemente distribuída q, o
diagrama de momentos fletores é parabólico do 2o grau e o diagrama de
esforços é retilíneo. Os esforços numa seção genérica S serão calculados
pelas expressões:
M S = (ql2 / 2) ( x / l - x2 / l2 ) V S = ql / 2 - qx (19)
onde Ms é o momento fletor numa seção genérica S e Vs é o esforço cortante,
também numa seção genérica S (figura 14).
(a) (b) (c)
Fig.14: (a) viga bi-apoada solicitada por uma carga uniformemente distribuída, (b) diagrama de
momentos fletores da viga representada em (a); (c) diagrama de esforços cortantes da viga
representada em (a).
Se a viga é solicitada por uma carga triangular de taxa máxima igual a p
no apoio da direita, os esforços VS e MS, numa seção genérica S, são obtidos
pelas seguintes expressões:
V S = (pl/6) ( -1/2) (px2 / l)
 M S = (plx/6) (-1/2) (px3 / 3l) (20)
39
Nessa situação diagrama de momentos fletores é parabólico do 3o grau e o
diagrama de esforços cortantes parabólico do 2o grau (figura 15).
(a) (b) (c)
Fig.15: (a) viga bi-apoada solicitada por uma carga triangular; (b) diagrama de momentos
fletores da viga representada em (a); (c) diagrama de esforços cortantes da viga representada
em (a).
Caso a viga bi-apoiada seja submetida à uma carga momento, as
reações de apoio formam um binário. Na seção onde esta carga está sendo
aplicada o diagrama de momentos sofre uma descontinuidade igual ao valor
da carga. A área do diagrama de esforços cortante é igual ao valorda
resultante de todas as cargas cortantes aplicadas na viga, sendo o sinal
positivo correspondente ao sentido anti-horário (figura 16).
Fig.16: (a) viga bi-apoada submetida à uma carga momento; (b) diagrama de momentos
fletores da viga representada em (a); (c) diagrama de esforços cortantes da viga representada
em (a).
40
Quando uma viga é submetida a diferentes carregamentos vale a regra
da superposição de efeitos, ou seja, somam-se os diagramas de momento e
força cortante referentes a cada ação atuante sobre a viga.
Vigas Engastadas e Livres (Vigas em Balanço)
Fig.17: viga engastada e com uma extremidade livre
Por ser uma viga engastada e com uma extremidade livre, as reações
que surgirão no apoio são: uma força vertical VA e um momento MA (figura 17).
Nesse caso, o diagrama de esforços cortantes é obtido imediatamente a partir
do carregamento e das reações de apoio. O diagrama de momentos fletores
pode ser traçado marcando os momentos fletores nas seções em que muda a
lei de variação de carregamento, ligá-los por segmentos de reta, e, a partir da
linha assim obtida, pendurar os diagramas de viga bi-apoiada para cada uma
das cargas distribuídas atuantes.
Vigas Bi-apoiadas com Balanço
Fig. 18: viga bi-apoiada com balanços
No caso de uma viga bi-apoiada com balanços (figura 18), o diagrama
de momentos é obtido subdividindo-se a estrutura. As partes em balanço são
tratadas como vigas engastadas e livres e a parte bi-apoiada é mantida em sua
forma inicial. Com isso o desenho do diagrama de momentos da estrutura é
41
feito unindo os diagramas de momento de cada parte, como exemplificado na
figura 19 .
Fig. 19: subduvisão da estrutura mostrada na figura 18 para a execução do diagrama de
momentos
Vigas Gerber
Viga Gerber, de acordo com Silva Júnior(1966), é uma viga isostática
resultante da introdução de n articulações em uma viga contínua, para assim
retirar os graus de hiperestaticidade dessa estrutura. Segundo
Sussekind(1979), viga Gerber é uma associação de vigas com estabilidade
própria com outras vigas sem estabilidade própria, sendo que estas últimas são
simplesmente apoiadas sobre as primeiras.
As vigas Gerber isostáticas são constituídas por vigas bi-apoiadas, bi-
apoiadas com balanços, ou vigas engastadas e livres. Esse tipo de viga tem
grande aplicação em pontes, principalmente nos casos em que as condições
de apoio desaconselhem a construção de uma viga contínua.Um exemplo de
viga Gerber é apresentado na figura 20.
Fig.20: exemplo de viga Gerber
A resolução desse tipo de viga consiste em decompor a estrutura nas
vigas que a constituem, resolvendo inicialmente aquelas sem estabilidade
42
própria e depois as com estabilidade própria. Como exemplo, a figura 21
mostra a decomposição da estrutura apresentada na figura 20.
Fig.21: decomposição da estrutura apresentada na figura 20
No exemplo acima a resolução começaria ou pela viga CD ou pela viga
GH, por terem estabilidade própria. Na decomposição não há a preocupação
se o apoio é móvel ou fixo pois somente as cargas verticais serão as
responsáveis pelos esforços cortantes e pelos momentos fletores, e é para
obtê-los que é necessária essa decomposição.
Vigas Contínuas
Viga contínua é uma estrutura hiperestática composta de barras retas,
rigidamente ligadas entre si nas extremidades, que não pode ser resolvida
apenas com as três equações da estática. Para resolver uma estrutura desse
tipo os três processos de cálculo mais utilizados, são: o processo dos esforços
ou método das forças, o processo dos deslocamentos ou método das
deformações, e o processo de Cross.
No método das forças abrem-se vínculos de forma a tirar os graus de
hiperestaticidade da estrutura e substituem-se as forças existentes nesses
vínculos rompidos por esforços que serão as incógnitas dos problemas. Deve-
se escrever um conjunto de equações de compatibilidade de deslocamento
correspondentes às incógnitas. Essas equações formarão um sistema de
equações, que resolvido, permite determinar as incógnitas.
No processo dos deslocamentos, determinam-se primeiro os
deslocamentos sofridos pelos nós das diversas barras da estrutura para, a
partir desses valores, obterem-se os diagramas de esforços solicitantes da
estrutura. Neste método, os ângulos de rotação e os deslocamentos lineares
43
sofridos são as incógnitas.
O processo de Cross equivale ao método das deformações, consistindo
num algoritmo iterativo de grande simplicidade e rapidez. Baseia-se
principalmente nos coeficientes relativos à barra, à carga e as condições de
extremidade.
Um exemplo de viga contínua está representado na figura 22.
P1 P2 P3 P4q
Fig. 22: exemplo de viga contínua
7.1.2 - Arcos
Um arco é uma estrutura plana cujas seções transversais têm
dimensões bastante esbeltas comparadas ao comprimento do seu eixo.
Os tipos usuais de arcos são quatro: arcos tri-articulados, arcos bi-
articulados, arcos atirantados e arcos bi-engastados (figura 23).
Fig. 23: arcos. (a) arco tri-articulado; (b) arco bi-articulado; (c) arco atirantado;
(d) arco bi-engastado.
Desses, o arco tri-articulado é isostático e os demais são hiperestáticos. Assim,
a determinação de esforços no arco tri-articulado pode ser feito apenas com as
equações de equilíbrio. Para se determinar os esforços nos outros tipos de
(a) (b)
(c) (d)
44
arcos é necessário a utilização do processo do esforços ou do processo dos
deslocamentos, sendo o processo dos esforços mais fácil.
As seções transversais de um arco podem ter dimensões constantes ou
variáveis. Quando a forma do arco for proporcional à forma do funicular das
cargas diz-se que ele segue a “Linha de Pressão” do carregamento. Nesses
casos o arco não sofre esforços de flexão.
7.1.3 - Pórticos
Um pórtico, ou quadro é uma estrutura constituída por um contorno
completo transversal e formado por elementos de barra verticais, horizontais ou
inclinadas, monolíticas ou não, ligadas basicamente por nós rígidos.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Fig.24: pórticos. (a) pórtico bi-apoiado; (b) pórtico engastado e livre; (c) pórtico tri-articulado;
(d) pórtico bi-apoiado com articulação e tirante; (e) pórtico com barras curvas; (f) pórtico
composto.
45
Os pórticos isostáticos podem ser: pórtico bi-apoiado, pórtico engastado
e livre, pórtico tri-articulado, pórtico bi-apoiado com articulação e
tirante,quadros com barras curvas e quadros compostos (figura 24). Os
pórticos compostos estão para os pórticos simples da mesma forma que as
vigas Gerber estão para as vigas simples, ou seja, para resolvê-los
decompõem-se os quadros compostos em quadros simples. Para se traçar o
diagrama de momento num pórtico, basta marcar os momentos fletores
atuantes em seus nós, ligá-los por uma linha reta tracejada, a partir da qual
serão colocados os diagramas de viga bi-apoiada devidos aos carregamentos
atuantes sobre cada uma das barras que constituem os pórticos.
Existem ainda os pórticos espaciais isostáticos, que ocorrem com pouca
frequência. Eles são regidos pelas seis equações universais da Estática.
7.1.4 - Grelhas
Grelha é uma estrutura plana submetida a carregamento perpendicular
ao seu plano (figura 25). É formada por várias vigas que trabalham
solidariamente. Segundo Salvadori(1990), em uma grelha retangular os
carregamentos atuantes geram flexão e também esforços de torção, e são
esses esforços de torção que tornam o sistema inteiro mais rígido.
Fig. 25: exemplo de grelha
46
Uma grelha será isostática quando existirem três incógnitas a
determinar. Numa seção qualquer podem atuar três esforços simples: um
esforço cortante QZ, um momento fletor Mx produzindo flexão num plano
perpendicular ao da grelha, e ummomento de torção T.
z
y
x
Fig. 26: os três esforços simples que atuam numa seção S
qualquer de uma grelha isostática.
Uma grelha isostática pode ser engastada e livre, engastada, e também
tri-apoiada. Quando a grelha é tri-apoiada os apoios não devem ser dispostos
sobre uma mesma reta, pois isso tornará o sistema hipostático. E ainda sobre
esse tipo de grelha, além de três apoios perpendiculares a seu plano, que são
necessários para garantir a estabilidade a carregamentos perpendiculares ao
plano da estrutura, são necessários mais três apoios no próprio plano para
garantir a estabilidade para carregamentos nele atuantes.
Para a resolução de problemas envolvendo grelhas, consideram-se
apenas esforços cortantes e para faciltar deve-se resolver a estrutura barra por
barra isoladamente. Se a grelha for hiperestática, deve-se usar um dos
métodos já citados no item 7.1.1 para a resolução de estruturas hiperestáticas.
7.1.5 - Vigas-balcão
As vigas-balcão nada mais são que grelhas constituídas por barras
curvas (figura 27). Tudo o que foi dito antes sobre grelhas continua valendo
para esse tipo de estrutura. A resolução de uma viga-balcão fica contudo mais
trabalhosa, pois os diagramas solicitantes serão determinados a partir de
47
equações de curvas matematicamente definidas.
Fig. 27: exemplo de viga-balcão semi-circular
7.1.6 - Cabos
Para o estudo estático, assume-se que os cabos são perfeitamente
flexíveis, ou seja, possuem momento fletor nulo em todas as seções e, com
isso, são submetidos apenas a esforços normais (de tração). O estudo do
comportamento dos cabos envolve conceitos matemáticos sofisticados
Os cabos submetidos a uma carga uniformente distribuída ao longo do
seu comprimento, como o peso próprio, assumem a forma de uma parábola de
2o grau e, neste caso, sua resolução torna-se simples.
9.1.7 - Pilares
Pilar é uma barra disposta verticalmente que sofre basicamente esforços
de compressão.
Quando os pilares são curtos, ou seja, possuem índice de esbeltez igual
ou inferior a 40, não há a necessidade de se considerar a flambagem no
dimensionamento. Para pilares com índice de esbeltez superior a 40, há a
necessidade do estudo das deformações de 2a ordem.
A consideração da flambagem vem do fato de que quando esse
fenômeno ocorre, segundo Schiel(1984), a ruína ocorre antes da tensão
normal, σ = P/A, se aproximar do valor da tensão de ruptura, constatado em
corpos de prova relativamente curtos. O valor de P que produz a flambagem é
chamado de carga crítica (Pcrit). Esse Pcrit é dado pela seguinte expressão:
Pcrit = π2 E I / ( k L) 2 (21)
sendo que k depende do tipo de apoio do pilar, E é o módulo de elasticidade, I
48
é o momento de inércia e L é a altura do pilar.
Fig. 28: valores de K
Segundo Popov(1978), por economia, as áreas das seções transversais
das colunas que não sejam pilares curtos devem possuir o maior raio mínimo
de giração (r). Isso gera uma pequena relação L/r, o que permite uma maior
tensão axial atuando sobre a estrutura. Porém, isso deve ser feito com cuidado.
Quando obtém-se um r grande pela colocação de certa quantidade de material
fora do centróide de uma área, a estrutura pode chegar num ponto em que o
material pode ser tornar tão delgado que se ondula localmente. Esse
comportamento chama-se instabilidade local, o que pode gerar uma flambagem
local (figura29).
Fig. 29: flambagem local.
7.1.8 - Treliças
k = 1 k = 0,699 k = 0,5 k = 2
49
Segundo Schiel(1984), geometricamente, a treliça é definida como uma
estrutura composta de barras simples e nós, e pode ser plana ou espacial.
Estaticamente uma treliça pode ser definida como uma estrutura composta de
barras e que recebem como único esforço solicitante forças normais N, ou seja,
M = 0 e V = 0. Para acontecer tal solicitação, de acordo com Lima (1978),
devem ser atendidas três condições:
- os nós são articulações perfeitas sem atrito;
- as cargas são forças concentradas aplicadas apenas nos nós;
- o eixo de cada uma das barras coincide com a reta que une os centros das
articulações de suas extremidades.
Quando essas três condições são satisfeitas as barras das treliças são
solicitadas apenas por forças normais, e as tensões que correspondem a essas
forças normais são chamadas tensões primárias.
Porém, as condições acima não são encontradas sempre na prática. As
articulações sempre oferecem alguma resistência ao movimento de rotação.
Nas estruturas metálicas, por exemplo, as juntas são formadas por chapas
rebitadas ou soldadas, que podem ser consideradas praticamente rígidas.
Nessa situação, mesmo que as cargas estejam aplicadas apenas nos nós, as
barras da estrutura serão solicitadas também por momentos fletores. A
diferença entre as tensões reais e as tensões primárias são chamadas tensões
secundárias. Porém, se as barras da treliça forem dispostas de uma maneira
em que os seus eixos se cruzem num único ponto em cada nó, a grandeza dos
esforços primários pouco se alterará pela presença dos esforços secundários.
Na realidade, segundo Silva Júnior(1966), mesmo que se suponha que os
esforços externos sempre sejam aplicados nos nós, haverá uma flexão nas
barras devido ao peso próprio da estrutura, mas essa flexão geralmente pode
ser desprezada. O peso próprio é levado em consideração no cálculo
substituindo-se o peso da barra por duas forças concentradas aplicadas nos
dois nós correspondentes a cada uma das extremidades da barra.
Para saber se uma treliça plana é hiperestática, isostática ou hipostática
pode-se lançar mão da relação entre n, b e v. Para que uma estrutura, com n
nós ligados entre si e a um corpo fixo por intermédio das barras articuladas,
não tenha possibilidade de movimento, é necessário que o número de barras b
50
mais o número de vínculos v seja, no mínimo, igual ao dobro do número de
nós, isto é:
2n ≤ b + v (22)
Quando b+v = 2n a treliça plana é dita isostática. Quando b+v > 2n a
estrutura é estaticamente indeterminada e a treliça é chamada hiperestática.
Quando b+v < 2n o sistema é deformável e a treliça plana é chamada
hipostática.
As treliças planas podem ser simples, compostas ou complexas (figura
30). As treliças simples são formadas a partir da união de três barras formando
um triângulo, às quais são acrescentadas, sucessivamente, outras duas novas
barras para cada novo nó. Esses tipos de treliças são sempre isostáticas,
desde que o número de vínculos não seja superior a três. As treliças
compostas são formadas pela associação de duas ou mais treliças simples, e
serão isostáticas quando a ligação das treliças simples se der por três barras
não paralelas nem concorrentes no mesmo ponto ou por um nó e uma barra
não concorrente com esse nó. As treliças complexas são, segundo Silva
Júnior(1966), todas as outras treliças planas que não se encaixam nas
definições anteriores.
(a) (b) (c)
Fig.30: treliças planas. (a) treliça plana simples; (b) treliça plana composta;
(c) treliça plana complexa
As treliças espaciais são isostáticas quando b + r = 3n, são
hiperestáticas quando b+r > 3n, e são hipostáticas quando b + r < 3n, sendo b o
51
número de barras, n o número de nós e r o número de reações de apoio a
determinar.
As treliças espaciais (figura 31), assim como as planas, classificam-se
da mesma maneira em simples, compostas e complexas.
Fig.31: treliça espacial
Uma treliça plana simples ou uma treliça plana composta, desde que
isostática, pode ser resolvida pelo método de equilíbrio dos nós, método de
Ritter ou pelo método Cremona. O método de equilíbrio dos nós consiste em
resolver a estrutura fazendo a somatória de todas as forças queagem no nó da
treliça. Nesse método, considera-se o princípio de que quando uma estrutura
está em equilíbrio, todos os pontos dessa estrutura também estão. Com isso,
ao se fazer a somatória das forças no nó, essa soma tem que ser igual a zero.
O primeiro passo é calcular as reações de apoio. Depois, calcula-se um nó que
tenha no máximo uma incógnita em cada um dos planos ortogonais, faz-se a
somatória de forças, e acham-se as incógnitas desse nó. Vai se resolvendo nó
por nó até que todas as forças que se deseja saber sejam obtidas.
O método de Ritter consiste em romper a treliça nas barras que se
deseja saber os esforços normais. Segundo Sussekind(1979), nada se alterará
do ponto de vita estático se as barras rompidas forem substituídas pelos
esforços normais nelas atuantes, que serão determinados como sendo as
forças tais que promovam o equilíbrio do trecho assim secionado da treliça, já
que ele deve estar em equilíbrio, por pertencer a uma peça em equilíbrio. A
determinação dos esforços normais que se deseja saber será feito, então, a
partir das equações universais da Estática no plano. O corte de Ritter deve ser
feito em três barras não paralelas, nem concorrentes no mesmo ponto, e pode
ter qualquer forma, desde que seja contínuo. É aconselhado que, ao substituir
52
as barras rompidas por esforços normais, estes sejam colocados no sentido de
tração, pois, assim, os sinais obtidos já serão os sinais dos esforços atuantes.
O método Cremona é um método gráfico recomendado para treliças com
uma geometria mais complicada. Uma treliça em equilíbrio implica dizer que
todos os seus nós também estão em equilíbrio. Para a determinação dos
esforços normais atuantes em suas barras, pode ser feita a análise do
equilíbrio sucessivamente de cada um de seus nós. Fazendo essa análise por
via gráfica, sabe-se que as forças e os esforços normais atuantes sobre o nó
devem formar um polígono fechado.
Para treliças compostas usa-se também equilíbrio de nós, Ritter ou
Cremona para as suas resoluções. Para treliças complexas usa-se o método
de Henneberg. Esse método consiste em: romper o menor número possível de
barras na treliça complexa, substituindo-as por igual número de barras, de
modo a obter uma treliça simples de substituição.
As treliças hiperestáticas são resolvidas pelo método das forças ou pelo
método das deformações e as treliças espaciais são resolvidas analogamente
às treliças planas.
7.2- Sistemas estruturais formados por placas
A placa é um elemento estrutural do tipo folha, ou seja, é uma estrutura
que possui duas dimensões com a mesma ordem de grandeza e uma terceira
dimensão de menor grandeza. O que a diferencia dos outros elementos do tipo
folha, como a casca e a chapa, é que a placa recebe o carregamento
perpendicularmente ao seu plano médio. Os exemplos mais comuns de
estrutura formados por esse elemento estrutural são a laje, e a sua variação, o
radier, usado em fundações.
7.2.1- Lajes
As lajes, segundo Arduini(1992), são placas horizontais que têm como
principal função suportar as ações verticais. Normalmente, são usadas em
pisos de edifícios, fundo de piscinas, etc. São comumente feitas em concreto
53
armado. Como elas não devem ter espessura superior a um limite imposto
pela prática, os seus vãos devem ser limitados e por isso, colocam-se vigas,
em geral dispostas em duas direções perpendiculares, que servirão de apoio à
laje. Essas vigas receberão as cargas das lajes e das paredes, e as
transmitirão aos pilares.
Segundo Costa(1970), o cálculo das lajes é feito baseado na Teoria das
Placas.
Num projeto estrutural de uma laje o projetista deve avaliar:
- o dimensionamento à flexão simples: sob a condição mais desfavorável das
ações, o concreto simples e a armadura devem ser solicitados com a máxima
tensão permitida, e as suas deformações não podem ultrapassar certos limites
máximos estabelecidos por norma;
- o dimensionamento aos esforços cortantes: os esforços cortantes são
provocados pelas cargas verticais que atuam sobre a laje. Nesse
dimensionamento deve-se verificar se a altura da laje exigida para combater os
esforços de flexão é suficiente para dispensar a armadura transversal (que
suporta os esforços cortantes);
- o estado de deformação: verifica-se se há a possibilidade da laje atingir um
estado de deformação excessiva. Leva-se em conta para isso a deformação
elástica inicial, a retração e a deformação lenta.
Ainda, as prescrições das normas brasileiras, e mais especificamente da
norma NBR-6118 – Projeto e execução de obras de concreto armado, devem
ser atendidadas.
Os tipos de laje mais comuns usados nas construções são as lajes
maciças, as lajes cogumelos, as lajes nervuradas e as lajes mistas.
Laje maciça
A laje maciça é um sistema estrutural que tem toda a sua espessura
constituída por concreto armado, que pode ou não ter suas bordas apoiadas
sobre vigas. As lajes maciças podem ser classificadas em dois grupos:
- laje armada numa única direção: a relação entre os vãos é maior do que dois.
Seu cálculo é feito como se fosse apoiada apenas numa direção (menor vão);
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- laje armada em cruz: a relação dos vãos é menor ou igual a dois. A laje,
nesse caso, é calculada como se fosse apoiada nas duas direções.
Fig.34: laje maciça
Laje Cogumelo
Esse tipo de estrutura é constituído por uma laje maciça, apoiada
diretamente sobre os pilares, sem vigas. Algumas de suas vantagens em
relação aos sistema composto por laje, vigas e pliares são as seguintes:
- adaptabilidade a diversas formas ambientais;
- simplificação das formas;
- simplificação das armaduras;
- simplificação da concretagem;
- redução da altura total do edifício;
- redução do tempo de execução.
 As principais desvantagens desse sistema estrutural são:
- punção das lajes;
- deslocamentos tranversais das lajes;
- instabilidade global do edifício.
Talvez o maior problema desse tipo de estrutura seja a pequena rigidez
que ele possui, comprometendo, assim, a sua utilização em determinadas
situações, como em edifícios muito esbeltos localizados em regiões sujeitas a
ventos fortes e terremotos.
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 Fig.32: laje cogumelo
Laje Nervurada
 A laje nervurada é um sistema estrutural constituído por uma família de
vigas que se cruzam (ortogonalmente ou não), solidarizadas entre si pela
mesa. Segundo Fernandes (1997b), laje nervurada é aquela cuja zona de
tração é constituída por nervuras entre as quais podem ser colocados materiais
inertes, de modo a tornar plana a superfície externa. Geralmente é utilizada
em situações onde o uso de lajes maciças levaria a valores de alturas iguais ou
superiores a 15 cm. Sua principal vantagem é ter baixo consumo de concreto e
peso aliviado.
 Fig.33: laje nervurada
Laje mista
De acordo com Fernandes(1997b), lajes mistas são aquelas em que,
entre as nervuras de concreto armado ou concreto protendido, se colocam
elementos intermediários (pré-fabricados, de concreto, cerâmicos, sílico-
calcáreos) solidários com as nervuras e capazes de resistir aos esforços de
compressão provenientes da flexão. O cálculo desse tipo de laje deve seguir as
definições e prescrições da norma NBR 6119.
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Fig.35: laje mista
7.2.2- Radier
Radier é uma variação da laje, e é utilizado em fundações. Segundo
Costa(1970), as fundações em radier podem ser de dois tipos:
- pilares se apoiando diretamente em uma placa;
- pilares que se apoiam em um sistema de vigamento que, por sua vez, é
ligado a uma placa geral.
Para o cálculo das fundações em radier, considera-se que a estrutura
recebe como carga a reação do terreno.
O primeiro tipo de radier, anteriormente citado, pode ser assimilado ao
sistema estrutural chamado