03 - Series Fourier

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ENGC24 – SINAIS E SISTEMAS I
Séries de Fourier
Prof. Bernardo Ordoñez
Curso de Engenharia Elétrica / Curso de Engenharia de Computação
DEE – Departamento de Engenharia Elétrica
Escola Politécnica - UFBA
1
Sinais e Sistemas I
2
Módulo 2:
 Representação de sinais periódicos em Séries de
Fourier.
 Determinação dos coeficientes de Fourier.
 Aspectos de Convergência.
 Propriedades de Série de Fourier.
 Aplicação e exercícios.
Material de consulta:
Capítulo 3 - OPPENHEIN, A.V., WILLSKY, A. S. e NAWAB, S.H.
(2010) Sinais e Sistemas. 2ª edição. Editora Pearson.
Capítulo 6 - LATHI, B.P. (2006) Sinais e Sistemas Lineares. 2ª
edição. Editora Artmed.
Sinais e Sistemas I
3
Um sinal periódico x(t) com período T0 possui a
seguinte propriedade:
para todo t.
O menor valor de T0 que satisfaz a condição de
periodicidade é o período fundamental de x(t).
A área sob um sinal periódico x(t) para qualquer
intervalo de duração T0 é a mesma, ou seja, para
quaisquer números reais a e b, tem-se:
Sinais e Sistemas I
4
Resultado que era esperado, já que o sinal periódico
assume os mesmos valores em intervalos de T0.
Logo, os valores para qualquer segmento de duração
T0 são repetidos em qualquer outro intervalo de
mesma duração.
Sinais e Sistemas I
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Resultado que era esperado, já que o sinal periódico
assume os mesmos valores em intervalos de T0.
Logo, os valores para qualquer segmento de duração
T0 são repetidos em qualquer outro intervalo de
mesma duração.
Sinais e Sistemas I
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Por conveniência, a área sob x(t) no intervalo T0
pode ser representada por
A frequência da senoide ou
é f0 e o período é T0 = 1/f0.
Também podemos utilizar a expresão
em que .
A senoide de frequência nf0 é dita n-ésima
harmônica da senoide de frequência f0.
Sinais e Sistemas I
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Seja o sinal x(t) constituído por senos e cossenos de
frequência e todas as suas harmônicas com
amplitudes arbitrárias:
A frequência é chamada de frequência funda-
mental. O período fundamental é:
Sinais e Sistemas I
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Seja o sinal x(t) constituído por senos e cossenos de
frequência e todas as suas harmônicas com
amplitudes arbitrárias:
O termo constante a0 corresponde ao termo em
cosseno para n=0 . Entretan-
to, , logo, o termo em seno para
n=0 é inexistente.
Sinais e Sistemas I
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x(t) é um sinal periódico com o mesmo período
fundamental, independentemente dos valores das
amplitudes an e bn.
sabendo que , tem-se:
Sinais e Sistemas I
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x(t) é um sinal periódico com o mesmo período
fundamental, independentemente dos valores das
amplitudes an e bn.
sabendo que , tem-se:
Sinais e Sistemas I
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x(t) é um sinal periódico com o mesmo período
fundamental, independentemente dos valores das
amplitudes an e bn.
sabendo que , tem-se:
Sinais e Sistemas I
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x(t) é um sinal periódico com o mesmo período
fundamental, independentemente dos valores das
amplitudes an e bn.
sabendo que , tem-se:
Sinais e Sistemas I
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Finalmente:
O resultado poderia ter sido inferido intuitivamente. Em um
período fundamental T0, a harmônica de ordem n executa n
ciclos completos. Logo, toda a senoide à direita da eq(1)
executa um número completo de ciclos em um período
fundamental T0. Portanto, para t=T0 , toda a senoide começa
como se ela estivesse na origem e repete a mesma sequência
durante os próximos T0 segundos e assim por diante. Com isso,
a soma de todas as harmônicas resulta em um sinal periódico
de período T0.
Note que n pertence ao conjunto dos inteiros.
Sinais e Sistemas I
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O resultado poderia ter sido inferido intuitivamente. Em um período fundamental T0, a
harmônica de ordem n executa n ciclos completos. Logo, toda a senoide à direita da eq(1)
executa um número completo de ciclos em um período fundamental T0. Portanto, para
t=T0 , toda a senoide começa como se ela estivesse na origem e repete a mesma sequência
durante os próximos T0 segundos e assim por diante.
Com isso, a soma de todas as harmônicas resulta em um sinal periódico de período T0.
Sinais e Sistemas I
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Sinais e Sistemas I
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A série à direita da eq(1) é chamada de
Série Trigonométrica de Fourier de um sinal
periódico.
Sinais e Sistemas I
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Determinação dos coeficientes 
da Série de Fourier
Sinais e Sistemas I
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Para determinar a0 na eq (1) integramos os dois lados
da equação para um período T0, resultando em:
como T0 é o período da senoide de frequência , as
funções e executam n ciclos
completos em qualquer intervalo T0 segundos, tal que
a área sob essas funções em um intervalo T0 é nula.
Sinais e Sistemas I
19
Então:
portanto, resolvendo para a0, temos:
Sinais e Sistemas I
20
A seguir multiplicamos os dois lados da eq (1) por
e integramos a equação resultante para
um intervalo T0.
Sinais e Sistemas I
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Desenvolvimento complementar
Para a próxima etapa precisaremos de um
desenvolvimento complementar.
Novamente destaca-se que n e m pertencem ao
conjunto dos inteiros.
Sinais e Sistemas I
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Como executa um ciclo completo em qual-
quer intervalo de duração T0, executa
(n+m) ciclos completos em qualquer intervalo de
duração T0.
Assim, a integral de .
Da mesma forma, a integral
é zero, exceto quando n=m. Logo, I é zero para todo
, e quando n=m, tem-se:
Sinais e Sistemas I
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Portanto,
De forma similar, pode-se mostrar que:
Sinais e Sistemas I
24
e para,
utilizando a identidade trigonométrica
tem-se:
Para n=m, executa sempre ciclos
completos no intervalo T0. E para n=m, .
Sinais e Sistemas I
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Desenvolvimento complementar
Fim do desenvolvimento complementar. A
seguir continuaremos com as definições de an
e bn.
Sinais e Sistemas I
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A seguir multiplicamos os dois lados da eq (1) por
e integramos a equação resultante para
um intervalo T0.
Voltando ao cálculo dos coeficientes...
Sinais e Sistemas I
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A integral é zero porque ela é a área
sob m ciclos de uma senoide.
A integral também é zero.
A integral também (!!!) é
zero para todo . Mas note que n assume todos
os valores de , inclusive m.
Sinais e Sistemas I
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Quando n=m, esta integral é T0/2. Assim, a partir de
um número infinito de termos, apenas um deles
sobrevive, resultando em .
Portanto,
resolvendo para an, temos:
Sinais e Sistemas I
29
De forma similar, multiplicando os dois lados da
equação por e integrando a equação re-
sultante no intervalo T0, obtemos:
O principal resultado é que um sinal x(t) periódico com
período T0 pode ser expresso como uma soma de uma
senoide de período T0 e suas harmônicas.
Sinais e Sistemas I
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Forma compacta de Série de Fourier e 
Espectro em frequência
Sinais e Sistemas I
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Os resultados até o momento são genéricos, e se
aplicam se x(t) for uma função real ou complexa de t.
Entretanto, quando x(t) é real, os coeficientes an e bn
são reais para todo n e a série trigonométrica de
Fourier pode ser expressa em um forma compacta
na qual, Cn e 0n são relacionados com an e bn por
Sinais e Sistemas I
32
A série trigonométrica de Fourier indica que um sinal
periódico x(t) pode ser descrito como a soma de
senoides de frequências , cujas am-
plitudes são C0,C1,C2,...,Cn, e as fases são
respectivamente.
Podemos traçar a amplitude Cn em função de n e
em função de n.
Espectro de Fourier
Sinais e Sistemas I
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A série trigonométrica de Fourier indica que um sinal
periódico x(t) pode ser descrito como a soma de
senoides de frequências , cujas am-
plitudes são C0,C1,C2,...,Cn, e as fases são
respectivamente.
Podemos traçar a amplitude Cn em função de n e
em função de n.
Espectro de Fourier
Espectrode Amplitude
Espectro de Fase
Sinais e Sistemas I
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Como n é proporcional a frequência , os gráficos
são versões em escala de Cn em função de e
em função de .
Os dois gráficos juntos formam o espectro de
frequência de x(t). Esse espectro mostra rapidamente
os conteúdos de frequência do sinal x(t) com suas
amplitudes e fases. Conhecendo esse espectro,
podemos reconstruir o sinal x(t) de acordo com
Sinais e Sistemas I
35
Um sinal possui uma identidade dual: a identidade no
domínio do tempo x(t) e a identidade no domínio da
frequência (Espectro de Fourier).
As duas identidades são complementares uma
da outra e, quando juntas, possibilitam um
melhor entendimento do sinal
Sinais e Sistemas I
36
Na determinação de , que é a fase da n-ésima
harmônica, o quadrante o qual está deve ser deter-
minado dos sinais de an e bn.
Exemplo:
Com isso, , e
Observe que:
Sinais e Sistemas I
37
Alguns exercícios em sala de aula
1. Determine a série trigonométrica compacta de
Fourier do sinal periódico abaixo. Trace o espectro de
amplitude e fase de x(t).
Sinais e Sistemas I
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Alguns exercícios
2. Determine a série trigonométrica compacta de
Fourier para o sinal triangular periódico abaixo. Trace
o espectro de amplitude e fase de x(t).
Sinais e Sistemas I
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3. Determine a série trigonométrica compacta de
Fourier para o sinal de pulso quadrado periódico
abaixo. Trace o espectro de amplitude e fase de x(t).
Alguns exercícios
Sinais e Sistemas I
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3. Determine a série trigonométrica compacta de
Fourier para o sinal de pulso quadrado periódico
abaixo. Trace o espectro de amplitude e fase de x(t).
Alguns exercícios
Sinais e Sistemas I
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Série de Fourier constituída de
termos em seno e cosseno.
Série de Fourier constituída de
termos em seno.
Série de Fourier constituída de
termos em cosseno.
Efeito da Simetria
Sinais e Sistemas I
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Função periódica par x(t) série de Fourier de
cossenos.
Função periódica ímpar x(t) série de Fourier de
senos.
Além disso, devido à simetria (par ou ímpar), a
informação de um período x(t) está implícita em
apenas meio período.
Sinais e Sistemas I
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Conhecendo o sinal em meio período e também o tipo
de simetria (par ou ímpar), podemos determinar a
forma de onda do sinal para todo o período.
Desta forma, os coeficientes de Fourier podem ser 
calculados integrando-se apenas meio período.
Função PAR
Função ÍMPAR
Sinais e Sistemas I
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Função PAR x Função ÍMPAR = Função ÍMPAR
Função ÍMPAR x Função ÍMPAR = Função PAR
Função PAR x Função PAR = Função PAR
Função PAR
Função ÍMPAR
Sinais e Sistemas I
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Função Par
Função Ímpar
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Função PAR
Função ÍMPAR
Se x(t) é uma função par, então:
PAR x ÍMPAR !
Sinais e Sistemas I
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Se x(t) é uma função ímpar, então:
Função ÍMPAR
Função PAR
Sinais e Sistemas I
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Aspectos de Convergência
da Série de Fourier
Sinais e Sistemas I
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Para existência da série de Fourier, os coeficientes a0,
an e bn devem ser finitos.
A partir das equações, a existência desses coeficientes
é garantida se x(t) for absolutamente integrável em
um período, ou seja
Notem que a condição de existência da série não
informa sobre a natureza ou maneira pela qual a série
converge.
Sinais e Sistemas I
50
Conjunto alternativo de condições em que garante-se
que x(t) é equivalente à sua representação em série de
Fourier, exceto em valores isolados de t para os quais
x(t) é descontínuo. Nesses valores a série converge
para a média dos valores de ambos os lados da
descontinuidade.
Condições de Dirichlet
Sinais e Sistemas I
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Conjunto alternativo de condições em que garante-se
que x(t) é equivalente à sua representação em série de
Fourier, exceto em valores isolados de t para os quais
x(t) é descontínuo. Nesses valores a série converge
para a média dos valores de ambos os lados da
descontinuidade.
Condições de Dirichlet
Exercício da sala de aula, descontinuidade 
em .
Quais os valores antes e depois?
Qual o valor da série para ?
Sinais e Sistemas I
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Conjunto alternativo de condições em que garante-se
que x(t) é equivalente à sua representação em série de
Fourier, exceto em valores isolados de t para os quais
x(t) é descontínuo. Nesses valores a série converge
para a média dos valores de ambos os lados da
descontinuidade.
1) A função x(t) deve ser absolutamente integrável.
2) Em qualquer intervalo finito de tempo, x(t) tem variação
limitada, ou seja, não existe mais do que um número finito de
máximos e mínimos durante um período do sinal.
3) Em qualquer intervalo de duração finita, existe apenas um
número finito de descontinuidades, e estas descontinuidades
são finitas.
Condições de Dirichlet
Sinais e Sistemas I
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1) A função x(t) deve ser absolutamente integrável.
Condições de Dirichlet
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2) Em qualquer intervalo finito de tempo, x(t) tem variação
limitada, ou seja, não existe mais do que um número finito de
máximos e mínimos durante um período do sinal.
Condições de Dirichlet
Satisfaz a condição 1!
Sinais e Sistemas I
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3) Em qualquer intervalo de duração finita, existe apenas um
número finito de descontinuidades, e estas descontinuidades
são finitas.
Condições de Dirichlet
Número infinito de seções, cada qual com metade 
da altura e metade da largura da seção anterior.
 Área menor do que oito
 Número infinito de descontinuidades
Sinais e Sistemas I
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Papel do Espectro de Amplitude na forma da onda
A série trigonométrica de Fourier de um sinal mostra
explicitamente os componentes senoidais de x(t),
assim, podemos sintetizar x(t) somando as senoides
do espectro.
Seja o sinal:
Sinais e Sistemas I
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n=0:
1ª harmônica:
O sinal lembra de alguma forma x(t). Os cantos íngremes de x(t) não são
reproduzidos porque esses cantos representam rápidas mudanças, o que requer
componentes que variem rapidamente (altas frequências).
Sinais e Sistemas I
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Soma de CC, primeiro e terceiro harmônicos:
Quando aumentamos o número de harmônicos, as bordas dos pulsos se
tornam mais íngremes e o sinal se assemelha mais com x(t).
Sinais e Sistemas I
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Frequências baixas na Série de Fourier afetam o
comportamento em grande escala de x(t), enquanto
frequências altas determinam a estrutura fina, tal
como uma rápida variação.
Quanto mais brusca a variação, maiores frequências
necessárias na série de Fourier.
Sinais e Sistemas I
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Papel do Espectro de Fase na forma da onda
Ao contrário do papel do espectro de amplitude, a
incidência do espectro de fase na forma da onda é
menos óbvio.
Considere um sinal x(t) que muda rapidamente, tal
como um salto de descontinuidade.
Para sintetizar uma mudança instantânea em um salto de
descontinuidade, as fases das várias componentes harmônicas
senoidais no espectro do sinal devem ser tais que todas (ou quase
todas) as componentes harmônicas tenham um sinal antes da
descontinuidade e o sinal oposto após a descontinuidade. Isso
irá resultar em um mudança brusca em x(t) no ponto de
descontinuidade.
Sinais e Sistemas I
61
Papel do Espectro de Fase na forma da onda
No exemplo abaixo, a forma de onde possui uma
descontinuidade em t=1. A série de Fourier para essa
forma de onda é:
Sinais e Sistemas I
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Papel do Espectro de Fase na forma da onda
A fase de todas as (infinitas) componentes é tal que todas as
componentes são positivas antes de t=1, tornando-se negativas
exatamente após t=1. O mesmo comportamento é observado em
t=-1. Essa mudança do sinal em todas as harmônicas resulta em
uma forma muito próximade um salto de descontinuidade.
Sinais e Sistemas I
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Série Exponencial de Fourier
Sinais e Sistemas I
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Usando a igualdade de Euler podemos expressar:
Desta forma, podemos também expressar a série
trigonométrica de Fourier em termos de exponenciais.
A ideia é mostrar que a série exponencial de Fourier
para um sinal periódico x(t) pode ser descrita por
Sinais e Sistemas I
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Podemos obter os coeficientes Dn multiplicando os
dois lados da equação por , com m inteiro, e
integrando em um período T0,
na qual, utilizando a propriedade de ortogonalidade
de exponenciais abaixo:
Sinais e Sistemas I
66
Então:
Usando esse resultado, obtemos:
a partir do qual temos,
Sinais e Sistemas I
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Para resumir, a série exponencial de Fourier pode ser
descrita por
na qual, .
Pode-se notar que a forma da série é uma notação
mais compacta, e mais, a expressão matemática para
obtenção dos coeficientes da série também é mais
compacta.
Sinais e Sistemas I
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Podemos relacionar Dn com os coeficientes an e bn da
série trigonométrica.
Fazendo n=0 em
obtemos .
Além disso, para
e
Sinais e Sistemas I
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Quando x(t) é real, an e bn são reais e as equações
anteriores mostram que Dn e D-n são conjugados:
Além disso, a partir da forma compacta:
observamos que,
Sinais e Sistemas I
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Logo,
e
Portanto,
e
Amplitudes
Ângulos
Sinais e Sistemas I
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Logo, no espectro exponencial de Fourier, podemos
traçar os coeficientes Dn em função da frequência.
• Partes real e imaginária de Dn ou
• Magnitude e ângulo de Dn.
Sinais e Sistemas I
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4. Determine a série trigonométrica compacta de
Fourier do sinal periódico abaixo.
De novo o mesmo exercício !!!
Sinais e Sistemas I
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OPPENHEIN, A.V., WILLSKY, A. S. e NAWAB, S.H. (2010) Sinais e Sistemas. 2ª
edição. Editora Pearson - Capítulo 3
Exercícios: 3.3 3.8 3.21 3.22 3.25 3.41 3.43 (b) e (c) 3.47
Alguns exercícios
LATHI, B.P. (2006) Sinais e Sistemas Lineares. 2ª edição. Editora Artmed –
Capítulo 6
Exercícios: 6.1-1 6.1-4 6.1-7 6.3-2 6.3-4 6.3-5 6.3-6
Fim de Aula.
Sinais e Sistemas I
Sinais e Sistemas I
Módulo 3 (Próximo módulo):
 Representação de sinais não periódicos.
 Convergência.
 Propriedades da transformada de Fourier.
 Teorema de Parseval e Convolução.
 Sinais periódicos e Transformada de Fourier
 Aplicação e exercícios.
Material de consulta:
Capítulo 4 - OPPENHEIN, A.V., WILLSKY, A. S. e NAWAB, S.H.
(2010) Sinais e Sistemas. 2ª edição. Editora Pearson.
Capítulo 7 - LATHI, B.P. (2006) Sinais e Sistemas Lineares. 2ª
edição. Editora Artmed.