Análise de Gráficos Matemáticos

Prévia do material em texto

Vol. 4
144institutoeducarte.org.br Vol. 4
MATEMÁTICA
dos produtos.
O grá� co seguinte mostra a participação percentual 
do agronegócio no PIB brasileiro:
Centro de estudos avançados em economia aplicada (CEPEA). Almana-
que Abril 2010. São Paulo: Abril, ano 36 (adaptado)
Esse grá� co foi usado em uma palestra na qual o ora-
dor ressaltou uma queda de participação do agro-
negócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação 
dessa participação, em termos percentuais. Segundo o 
grá� co, o período de queda ocorreu entre os anos de:
a) 1998 e 2001
b) 2001 e 2003
c) 2003 e 2006
d) 2003 e 2007
e) 2003 e 2008
GRÁFICO DE LINHA
O grá� co de linha é um dos mais comuns na ma-
temática. Dentre suas aplicações, destaca-se a visua-
lização do comportamento de uma grandeza variável 
com o passar do tempo.
Na � gura, utilizou-se como o exemplo o grá� co 
correspondente à tabela anterior. Na horizontal, re-
presentam-se os anos e, na vertical, a população. 
Cada ponto desenhado no grá� co corresponde a 
uma linha da tabela, isso é, a população em um deter-
minado ano. Por exemplo, o ponto maior indica que 
a população em 1960 era superior a 50 milhões e in-
ferior a 100 milhões. Uma análise mais cuidadosa do 
grá� co revela que esse número está um pouco abaixo 
PRÉ-ENEM 
REPRESENTAÇÃO E 
ANÁLISE DE GRÁFICOS
A famosa expressão “uma imagem vale mais do que 
mil palavras” também se aplica à matemática. Obser-
ve, por exemplo, a tabela numérica abaixo, indicando 
a população brasileira nos últimos anos. 
Devido à grande quantidade de detalhes, muitas 
pessoas não conseguem tirar conclusões importantes 
com base na tabela. Tente, por exemplo, responder ra-
pidamente a perguntas como: 
Quando a população atingiu 100 milhões 
de habitantes?
Em que década a população cresceu mais?
O grá� co de uma função é uma ferramenta extre-
mamente útil para a visualização de relações numéri-
cas entre duas grandezas ( no caso, ano e população) 
e para interferências sobre tendências de crescimento 
ou decrescimento de uma grandeza (ex.: população) 
em relação a outra (ex.: tempo).
QUESTÃO 1 - ENEM
O termo agronegócio não se refere apenas à agricultu-
ra e à pecuária, pois as atividades ligadas a essa produ-
ção incluem fornecedores de equipamentos, serviços 
para a zona rural, industrialização e comercialização 
ANO POPULAÇÃO
1860 2000198019601940192019001880 2020
0
50.000,00
200.000,00
150.000,00
100.000,00
250.000,00
145institutoeducarte.org.br Vol. 4
RECONHECIMENTO DE TENDÊNCIAS 
- Como reconhecer crescimento ou decrescimento?
Para determinar o crescimento de uma função, ini-
cialmente se traça uma reta horizontal pelo ponto no 
qual se deseja fazer a análise. Em seguida, observa-se 
o ângulo entre essa horizontal e a reta que compõe o 
grá� co (ou, no caso de um grá� co em curvas, da reta 
tangente), no sentido anti-horário. Quanto maior o 
ângulo, maior a taxa de crescimento.
Ex.:
Em que década a população cresceu mais?
Gra� camente, basta identi� car em que parte do 
grá� co a linha tem uma inclinação maior com a ho-
rizontal.
Visualmente, observamos, por exemplo, que o cres-
cimento na década 1980-1990 foi maior que o da dé-
cada 1920-1930 (que, por sua vez, foi maior que o ob-
servado no século XIX).
Quando o grá� co estiver apontando para uma dire-
ção abaixo da horizontal, temos uma função decres-
cente. Em outras palavras, a grandeza vertical diminui 
à medida que a horizontal aumenta.
Em alguns casos, desejaremos saber o maior (res-
pectivamente menor) valor que a grandeza correspon-
dente ao eixo vertical pode assumir. Visualmente, isso 
equivale a achar o ponto mais alto (respectivamente 
baixo) que o grá� co assume. No exemplo acima, a po-
pulação máxima dentro do período analisado ocor-
reu no � nal do grá� co e a mínima, no início, mas isso 
nem sempre é verdade.
REPRESENTAÇÃO DE DESCONTINUIDADES
- Como representar “ saltos” em um grá� co?
O grá� co anterior representa uma função contínua, 
pois não é necessário dar um “salto” (isto é, tirar o lá-
pis do papel) para desenhá-lo. A maioria das funções 
estudadas no ensino médio é contínua, mas há exce-
do meio dessas marcas (75 milhões).
Repare que o valor é coerente com o 70.070.457 que 
há na tabela, mas o grá� co tem menos informação 
que a tabela. Essa perda de detalhes é a consequência 
negativa da troca de uma visualização mais intuitiva 
dos padrões observados entre as duas variáveis. 
As linhas conectando os pontos representam o que 
chamamos de interpolação dos dados. Embora não 
haja dados censitários para o ano de 1975, por exem-
plo, ás vezes, é interessante supor que o crescimento 
foi linear entre os anos 1970 e 1980, obtendo, assim, 
uma estimativa para a população em 1975. Esse mes-
mo processo é denominado extrapolação quando usa-
mos um procedimento similar para estimar relações 
antes de o grá� co começar ou depois de ele acabar. 
Usaremos esse grá� co para discutir as principais 
análises que você deve dominar.
IDENTIFICAÇÃO DE RELAÇÕES NUMÉRICAS
- Como determinar o valor de uma variável a partir 
de outra.
Para determinar o valor de uma variável a partir de 
outra, usamos o método das setas. Inicialmente, iden-
ti� camos se a grandeza que foi dada está no eixo verti-
cal ou no eixo horizontal. Em seguida, traçamos setas 
perpendiculares para descobrir o ponto equivalente 
no outro eixo.
Ex.: 
 Em que ano, aproximadamente, a população bra-
sileira atingiu 100.000.000?
 Inicialmente, identi� camos que a população é uma 
grandeza do eixo vertical e traçamos uma seta per-
pendicular a esse eixo.
 Quando a seta encontra o grá� co (círculo no de-
senho), traçamos uma seta perpendicular ao outro 
eixo.
Ao � nal, vemos que a seta encontra o eixo horizon-
tal um pouco depois do ano de 1970 (metade entre 
1960 e 1980). Concluímos, portanto, que a população 
atingiu 100 milhões de habitantes logo após o ano 
1970, possivelmente em 1971 ou 1972.
MATEMÁTICA
PRÉ-ENEM 
1860 2000198019601940192019001880 2020
0
50.000,00
200.000,00
150.000,00
100.000,00
250.000,00
1860 2000198019601940192019001880 2020
0
50.000,00
200.000,00
150.000,00
100.000,00
250.000,00
mínimo
máximo
maior crascimento
menor crascimento
146institutoeducarte.org.br Vol. 4
ções.
Quando há necessidade de saltos, utiliza-se uma 
bolinha aberta para representar um ponto terminal 
não pertencente ao grá� co e uma bolinha fechada 
para representar um ponto terminal pertencente ao 
grá� co.
ESBOÇO DE GRÁFICOS DE LINHA
- Como esboçar um grá� co a partir de informações 
sobre as variáveis?
O esboço de um grá� co depende das informações 
fornecidas, mas, de forma geral, é interessante ten-
tar seguir três passos: identi� car uma grandeza com 
o eixo vertical e outra com o eixo horizontal, marcar 
pontos-chaves no grá� co (ex.: máximo ou mínimo da 
grandeza vertical, início ou � nal da grandeza horizon-
tal, pontos fornecidos pelo problema) e, caso a função 
seja contínua, conectar esses pontos de acordo com 
tendências de crescimento ou decrescimento observa-
das.
OUTROS TIPOS DE GRÁFICOS 
Grá� cos de barras verticais - O grá� co de barras ver-
ticais é, normalmente, utilizado quando temos poucos 
pontos de informação ou quando queremos agrupar a 
grandeza horizontal em faixas (que nem precisam ser 
numéricas). 
Por exemplo, no grá� co abaixo – retirado do enem 
2014- o eixo horizontal não é numérico. Nesse caso, 
o grá� co em barras verticais permite relacionar uma 
grandeza numérica vertical (número de funcionários) 
com um agrupamento não numérico na horizontal 
(grau de instrução). A � gura, na verdade, representa 
dois grá� cos: um referente a 2013 e outro, a 2014.
GRÁFICOS DE BARRAS HORIZONTAIS
O grá� co de barras horizontais é similiarao de bar-
MATEMÁTICA
ras verticais, mas costuma ser utilizado para compara-
ções e ranking. Por exemplo, no grá� co abaixo é fácil 
visualizar e comparar a incidência de cada assunto na 
prova do Enem.
GRÁFICOS DE SETORES 
O grá� co de setores, popularmente conhecido 
como grá� co de pizza, é normalmente usado quando 
queremos visualizar percentuais, geralmente em situ-
ações em que queremos entender como as diferentes 
partes compõem o todo (100%).
No exemplo abaixo, também do Enem 2014, o grá-
� co indica que ¾ (75%) da folha salarial de uma em-
presa está nas mãos de funcionários que têm ensino 
médio como grau de instrução.
QUESTÃO 2 - ENEM
Acompanhando o crescimento do � lho, um casal 
constatou que, de 0 a 10 anos, a variação da sua altura 
se dava de forma mais rápida do que dos 10 aos 17 
anos e, a partir de 17 anos, essa variação passava a ser 
cada vez menor, até se tornar imperceptível. 
Para ilustrar essa situação, esse casal fez um grá� co 
relacionando as alturas do � lho nas idades conside-
radas.
Que grá� co melhor representa a altura do � lho desse 
casal em função da idade?
PRÉ-ENEM 
Medidas de tendência central
Modelagem aritmética
Porcentagem
Representação e análise de grá� cos
0,0 3,52,5 3,0 4,02,01,51,00,5 4,5
Número médio de questões por prova.
147institutoeducarte.org.br Vol. 4
valor � ca acima do valor ideal (Vi);
II. Compra a mesma quantidade de ações que possui, 
assim que seu valor � ca abaixo do valor mínimo (Vm);
 III. vende todas as ações que possui, quando seu valor 
� ca acima do valor ótimo (V0).
O grá� co apresenta o período de operações e a va-
riação do valor de cada ação, em reais, no decorrer 
daquele dia e a indicação dos valores ideal, mínimo 
e ótimo.
Quantas operações o investidor fez naquele dia?
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
e) 7.
QUESTÃO 5 - ENEM
O grá� co fornece os valores das ações da empresa 
XPN, no período das 10 às 17 horas, num dia em que 
elas oscilaram acentuadamente em curtos intervalos 
de tempo. 
Neste dia, cinco investidores compraram e venderam 
o mesmo volume de ações, porém em horários dife-
rentes, de acordo com a seguinte tabela.
QUESTÃO 3 - ENEM
Atualmente, existem diversas locadoras de veículos, 
permitindo uma concorrência saudável para o mer-
cado, fazendo com que os preços se tornem acessíveis. 
Nas locadoras P e Q, o valor da diária de seus carros 
depende da distância percorrida, conforme o grá� co. 
O valor pago na locadora Q é menor ou igual àquele 
pago na locadora P para distâncias, em quilômetros, 
presentes em qual(is) intervalo(s)?
a) De 20 a 100.
b) De 80 a 30.
c) De 100 a 160.
d) De 0 a 20 e de 100 a 160.
e) De 40 a 80 e de 130 a 160.
QUESTÃO 4 - ENEM
Um investidor inicia um dia com x razões de uma em-
presa. No decorrer desse dia, ele efetua apenas dois 
tipos de operações, comprar ou vender ações. Para re-
alizar essas operações, ele segue estes critérios: 
I. vende metade das ações que possui, assim que seu
MATEMÁTICA
PRÉ-ENEM 
148institutoeducarte.org.br Vol. 4
Com relação ao capital adquirido na compra e venda 
das ações, qual investidor fez o melhor negócio?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
QUESTÃO 6 - ENEM
Para comemorar o aniversário de uma cidade, um ar-
tista projetou uma escultura transparente e oca, cuja 
formato foi inspirado em uma ampulheta. Ela é for-
mada por três partes de mesma altura: duas são tron-
cos de cone iguais e a outra é um cilindro. A � gura é a 
vista frontal dessa escultura.
No topo da escultura foi ligada uma torneira que verte 
água, para dentro dela, com vazão constante.
O grá� co que expressa a altura (h) da água na escultu-
ra em função do tempo (t) decorrido é:
a) d)
b) e)
c)
QUESTÃO 7 - ENEM
Doenças relacionadas ao saneamento ambiental ina-
dequado (DRSAI) podem estar associadas ao abaste-
cimento de� ciente de água, tratamento inadequado 
de esgoto sanitário, contaminação por resíduos só-
lidos ou condições precárias de moradia. O grá� co 
apresenta o número de casos de duas DRSAI de uma 
cidade:
O mês em que se tem a maior diferença entre o núme-
ro de casos das doenças de tipo A e B é:
a) janeiro.
b) abril.
c) julho.
d) setembro.
e) novembro
QUESTÃO 8 - ENEM
Uma falsa relação 
O cruzamento da quantidade de horas estudadas com 
o desempenho no Programa Internacional de Avalia-
ção de Estudantes (Pisa) mostra que mais tempo na 
escola não é garantia de nota acima da média.
*Considerando as médias de cada país no exame de matemática.
MATEMÁTICA
PRÉ-ENEM 
149institutoeducarte.org.br Vol. 4
di� culdade. Por isso, é muito importante redobrar a 
atenção nessas questões de prova. Um erro bobo nesse 
assunto pode prejudicar signi� cativamente sua nota 
TRI.
QUESTÃO 9 - ENEM
Cinco empresas de gêneros alimentícios encontram-
-se à venda. Um empresário, almejando ampliar os 
seus investimentos, deseja comprar uma dessas em-
presas. Para escolher qual delas irá comprar, analisa 
o lucro (em milhões de reais) de cada uma delas, em 
função de seus tempos (em anos) de existência, deci-
dindo comprar a empresa que apresente o maior lucro 
médio anual.
O quadro apresenta o lucro (em milhões de reais) 
acumulado ao longo do tempo (em anos) de existên-
cia de cada empresa.
O empresário decidiu comprar a empresa
a) F.
b) G. 
c) H.
d) M.
e) P.
INTERPRETAÇÃO DE TABELAS
Toda a tabela é dividida em linhas e colunas e é im-
portante saber localizar informações especí� cas em 
combinações linha x coluna.
Obtenção de uma informação especí� ca da tabela: Para 
obter informações de uma tabela, inicialmente deve-
-se entender o que está sendo representado em linhas, 
o que está em colunas e em que unidades de medida. 
Isso é feito a partir da leitura atenta das legendas e do 
enunciado.
Na tabela da � gura, por exemplo, cada linha apre-
senta informações sobre uma determinada empresa e 
linha destacada representa informações associadas à 
 Nova Escola, São Paulo, dez. 2010 (adaptado) 
Dos países com notas abaixo da média nesse exame, 
aquele que apresenta maior quantidade de horas de 
estudo é
a) Finlândia.
b) Holanda.
c) Israel.
d) México.
e) Rússia.
REPRESENTAÇÃO E ANÁLISE DE TABELAS
Muitas pessoas � cam confusas quando se deparam 
com números no meio de um parágrafo ou texto cor-
rido. Observe-se, por exemplo, o trecho abaixo:
“Dois amigos, Marcos e Ana, receberam seus resul-
tados no Enem recentemente. Marcos, que deseja ser 
médico, tirou 642.4 em Ciências Humanas, 742.7 em 
Ciências da Natureza, 638.2 em Linguagens, 842.8 em 
Matemática e 860 na Redação. Já Ana, que quer ser 
advogada, tirou a mesma nota – 822.6 – em Matemá-
tica e em Ciências da Natureza.”
Após a leitura, é muito difícil relembrar as informa-
ções numéricas fornecidas e é ainda mais complica-
do fazer comparações entre os dois resultados. O uso 
de tabelas em matemática é extremamente útil para 
padronizar e organizar informações, facilitando com-
parações e interpretações numéricas. Por exemplo, no 
formato da tabela, a visualização das informações do 
parágrafo anterior seria muito mais simples:
*Exemplo de tabela comparando notas do Enem
Tabelas são ultilizadas em situações como contas 
de telefone (indicando o tempo de utilização em cada 
tarifa com o valor cobrado por esse tempo), contas de 
restaurante (uma tabela relacionando cada alimento 
ao seu preço) e, mais geralmente, em qualquer situa-
ção na qual se queira padrozinar ou comparar infor-
mações numéricas. Na prova do Enem, as questões 
envolvendo tabelas costumam ter baixo coe� ciente de 
MATEMÁTICA
PRÉ-ENEM 
150institutoeducarte.org.br Vol. 4
empresa M.
Nesta tabela, a segunda coluna representa o lucro 
acumulado de cada empresa. A legenda da primeiralinha indica que o lucro está em milhões de reais, mas 
é preciso ler o enunciado para entender que esse lucro 
é o acumulado ao longo dos anos, pois essa informa-
ção não está explícita na tabela.
Uma forma prática de retirar informações da tabela 
é envolver linhas e colunas de acordo com as informa-
ções que se deseja buscar. Para obter o lucro acumu-
lado da empresa M, por exemplo, foram envolvidas a 
coluna que indica lucro e a linha referente à empresa 
M, como na � gura. Conclui-se que M teve lucro acu-
mulado de 15 milhões de reais. 
Comparação de informações em tabela: No exemplo 
anterior, cada linha representa números associados 
a uma empresa especí� ca. Nesse caso, pode-se fazer 
comparações olhando para as diferentes entradas de 
uma coluna especí� ca.
Por exemplo, a última coluna permite que seja com-
parado o lucro médio das diferentes empresas.
Também é possível criar tabelas em que as catego-
rias para a comparação estejam representadas em di-
ferentes colunas, como na comparação entre as notas 
de Marcos e Ana no exemplo da introdução. Nesse 
caso, deve-se � xar uma linha para comparar como 
cada aluno foi em uma determinada área.
MATRIZES E COMPOSIÇÃO DE TABELAS
A parte puramente numérica de uma tabela é deno-
minada matriz. Da tabela anterior, por exemplo, po-
de-se destacar uma matriz de notas no Enem cujas co-
lunas representam as pessoas (Marcos e Ana) e cujas 
linhas representam as diferentes áreas.
Para indicar um elemento especí� co da matriz, usa-
mos a notação mij, em que i representa a linha j a co-
luna em que esse elemento se encontra. Por exemplo, 
pode-se dizer m32 = 660,4.
Também é possível combinar duas matrizes como 
no exemplo a seguir.
QUESTÃO 10 - ENEM
A tabela compara o consumo mensal, em kWh, dos 
consumidores residenciais e dos de baixa renda, antes 
e depois da redução da tarifa de energia no estado de 
Pernambuco.
Considere dois consumidores: um que é de baixa ren-
da e gastou 100 kWh e outro do tipo residencial que 
gastou 185 kWh. A diferença entre o gasto desses con-
sumidores com 1 kWh, depois da redução da tarifa de 
energia, mais aproximada, é de:
a) R$ 0,27.
Empresa
Lucro
(em milhões 
de reais)
Tempo 
(em anos)
Empresa Lucro Tempo LucroMédio
Àrea Marcos Ana
MATEMÁTICA
PRÉ-ENEM 
151institutoeducarte.org.br Vol. 4
qual teria sido a classi� cação brasileira no quadro de 
medalhas das Olimpíadas de 2004?
a) 13º
b)12º
c) 11º
d) 10º
e) 9º
QUESTÃO 13 - ENEM
A cor de uma estrela tem relação com a tempera-
tura em sua superfície. Estrelas não muito quentes 
(cerca de 3.000 K) nos parecem avermelhadas. Já 
as estrelas amarelas, como o Sol, possuem tempe-
ratura em torno dos 6.000 K; as mais quentes são 
brancas ou azuis porque sua temperatura fica aci-
ma dos 10.000 K. A tabela apresenta uma classifi-
cação espectral e outros dados para as estrelas des-
sas classes.
Estrelas da Sequência Principal
*Temperatura em Kelvin. Luminosidade, massa e raio, tomando o Sol 
como unidade.
Disponível em: http://www.zenite.nu. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
Se tomarmos uma estrela que tenha temperatura 5 ve-
zes maior que a temperatura do Sol, qual será a ordem 
de grandeza de sua luminosidade?
a) 20 000 vezes a luminosidade do Sol.
b) 28 000 vezes a luminosidade do Sol.
c) 28 850 vezes a luminosidade do Sol.
d) 30 000 vezes a luminosidade do Sol.
e) 50 000 vezes a luminosidade do Sol.
QUESTÃO 14 - ENEM
Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade 
de Estatística mostra, em horas por dia, como os jo-
vens entre 12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto du-
rante a semana (de segunda-feira a sexta-feira), como 
no � m de semana (sábado e domingo). A seguinte ta-
bela ilustra os resultados da pesquisa.
b) R$ 0,29.
c) R$ 0,32.
d) R$ 0,34.
e) R$ 0,61.
QUESTÃO 11 - ENEM
Os candidatos K, L, M, N e P estão disputando uma 
única vaga de emprego em uma empresa e � zeram 
provas de português, matemática, direito e informá-
tica. A tabela apresenta as notas obtidas pelos cinco 
candidatos.
Segundo o edital de seleção, o candidato aprovado 
será aquele para o qual a mediana das notas obtidas 
por ele nas quatro disciplinas for a maior.
O candidato aprovado será
a) K
b) L
c) M
d) N
e) P
QUESTÃO 12 - ENEM
A classi� cação de um país no quadro de medalhas nos 
Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de 
ouro que obteve na competição, tendo como critérios 
de desempate o número de medalhas de prata segui-
do do número de medalhas de bronze conquistados. 
Nas Olimpíadas de 2004, o Brasil foi o décimo sexto 
colocado no quadro de medalhas, tendo obtido 5 me-
dalhas de ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse 
quadro de medalhas é reproduzida a seguir.
Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 
4 de prata e 10 de bronze, sem alteraç ã o no nú mero 
de medalhas dos demais paí ses mostrados no quadro, 
MATEMÁTICA
PRÉ-ENEM 
152institutoeducarte.org.br Vol. 4
De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu 
tempo gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na semana 
inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades 
escolares?
a) 20
b) 21
c) 24
d) 25
e) 27
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA 
 No estudo dos grá� cos e tabelas, aprendemos formas 
diferentes de organizar e visualizar informações nu-
méricas. Entretanto, essas ferramentas ainda acumu-
lam um grande número de informações. Como fazer 
para sintetizar informações numéricas e tirar conclu-
sões simples a partir delas?
Por exemplo, como você faria para comparar a ida-
de entre os jogadores da seleção alemã e os da seleção 
argentina na Copa do Mundo? Nesse caso, analisar 
uma tabela pode acabar complicando mais que aju-
dando, devido à grande quantidade de jogadores de 
cada time. Para fazer uma ánalise aproximada, porém 
mais simples, é comum calcularmos a média das ida-
des dos jogadores de cada time. Nesse caso, a média 
de idade foi de 28,9 anos na Argentina e 26,3 na Ale-
manha. Dizemos que, em média, os jogadores alemães 
eram 2,6 anos mais novos que os argentinos.
A média é uma ferramenta estatística que permi-
te o resumo de informações numéricas. Esse tipo de 
ferramenta é extremamente útil quando queremos 
comparar grandes quantidades de dados, como, por 
exemplo, renda entre as pessoas de diferentes países 
(PIB per capita) , aumento de preços de produtos (in-
� ação média) em diferentes períodos ou em diferen-
tes supermercados, etc.
QUESTÃO 15 - ENEM
A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta 
anual nos três últimos anos de cinco microempresas 
(ME) que se encontram à venda.
Um investidor deseja comprar duas das empresas lis-
tadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita 
bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e 
escolhe as duas empresas de maior média anual.
As empresas que este investidor escolhe comprar são:
a) Balas W e Pizzaria Y.
b) Chocolates X e Tecelagem Z.
c) Pizzaria Y e Al� netes V.
d) Pizzaria Y e Chocolates X.
e) Tecelagem Z e Al� netes V.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Apresentaremos três medidas estatísticas, normal-
mente, usadas para tentar descrever, com um valor 
único, as características centrais de um conjunto de 
dados: a média aritmética, a mediana e a moda. Elas 
são denominadas medidas de tendência central.
Média aritmética simples - A média aritmética de 
uma amostra com n números é calculada como a 
soma dos números da amostra dividida por n:
 Soma dos números Média= Média= Quantidade de números Média= Quantidade de números Média=
Por exemplo, a média do conjunto A = {1, 2, 3, 4,5} 
é dada por 1+2+3+4+5 
 5 
=3
De formageral, podemos escrever que a média do 
conjunto { x1, x2, .., xn} é M = xM = xM 1+ x2+ ... + xn. 
 n.
Como curiosidade matemática, é interessante saber 
que a média aritmética é o número que minimiza o 
MATEMÁTICA
PRÉ-ENEM 
153institutoeducarte.org.br Vol. 4
..., pn) é dada por:
 p1 . x1 + p2 . x2 + ... + pn . xn M= p1 + p2 + ... + pn
Exemplo de aplicação: Considere que, no exemplo 
anterior, a universidade determinou que para ingres-
sar no curso de direito, redação tem peso 3, linguagens 
e ciências humanas peso 2 e como demais têm peso 1. 
Qual é a média do candidato nessas condições?
Solução: Inicialmente, multiplicamos cada nota 
pelo seu respectivo peso, conforme indicado na tabe-
la. Em seguida, somamos os resultados (6.846.2) e os 
dividimos pela soma dos pesos (9), obtendo 760,7.
Repare que a média � nal aumentou bastante. lsso 
ocorreu porque a aluna tinha notas altas nas áreas que 
receberam maior peso (por exemplo, Redação). Pode- 
se provar que, dependendo dos números reais esco-
lhidos como pesos, a média ponderada pode assumir 
qualquer valor entre o menor e o maior dos números 
na amostra.
 Mediana - A mediana de uma amostra numérica é 
um número que separa a metade superior e a metade 
inferior da amostra. Para calcular a mediana, deve-se 
inicialmente colocar os termos em ordem crescente. 
Se a quantidade de termos for ímpar, a mediana é o 
número do meio. Se for par, a mediana é a média arit-
mética entre os dois números do meio. 
Por exemplo, para calcular a mediana do conjunto 
{2, 6, 3 1, 7}, inicialmente devemos colocá-los em or-
dem crescente: (1, 2, 3, 6, 7). Como a quantidade de 
termos é ímpar (5 termos), a mediana é o numero do 
meio, ou seja, 3.
Se a amostra, após ordenação, fosse dada por (1 2, 
3, 4, 5, 5), por exemplo, então a mediana seria a média 
entre os termos do meio 3 e 4, ou seja, seria 3,5.
Como curiosidade matemática, é interessante saber 
que a mediana de uma amostra (x1, x2, ..., xn) é o nú-
mero que minimiza o seu erro absoluto, ou seja, é o 
valor de x para o qual é minima a expressão:x para o qual é minima a expressão:x
|x - x1| + |x-x2| +...+ |x - xn|
erro quadrático de uma amostra {x1, x2, ..., xn}, ou seja, 
é o valor de x para o qual é mínima a expressão:
(x- x1)2+ (x- x2)2 + ... (x-xn)2
Exemplo de aplicação: O quadro a seguir representa 
as notas no Enem de uma aluna. Se, no ano seguinte, 
essa aluna conseguisse aumentar sua nota de Matemá-
tica em 120 pontos, qual seria a sua nova média?
Solução: Pela de� nição de média aritimética sim-
ples, temos:
Soma Média = = 741,1 Média = = 741,1 Soma Média = = 741,1Soma
 5
Como estamos aumentando 120 pontos em Mate-
mática e mantendo constantes as demais notas, a soma 
aumentará em 120 pontos. Logo, a nova média será:
 Soma + 120 Soma 120 Nova média = = + = 741,1 + 24=765,1Soma + 120 Soma 120 Nova média = = + = 741,1 + 24=765,1Soma + 120 Soma 120 
 5 5 5
Nova média = = + = 741,1 + 24=765,1
 5 5 5
Nova média = = + = 741,1 + 24=765,1
Média artitmética ponderada - Em algumas situa-
ções, deseja-se dar importância diferente aos números 
de uma amostra sem cálculo de uma média. Matema-
ticamente, isso é feito considerando-se “pesos” para 
cada número sem numerador e somando-se estes sem 
denominador. 
Por exemplo, a média dos números (10, 20, 30) 
ponderada por pesos (3, 2, 3) é dada por: 
3 . 10 + 2 . 20 + 3 . 30 160 = = 20 = = 20 3 . 10 + 2 . 20 + 3 . 30 160 = = 203 . 10 + 2 . 20 + 3 . 30 160
 3 + 2 + 3 8
Repare que seria equivalente dizer que diz o núme-
ro 10 aparece 3 vezes, o 20 aparece 2 vezes e o 30, 3 
vezes, pois:
10 +10 +10 + 20 + 20 + 30 + 30 + 30 = 20 = 20 10 +10 +10 + 20 + 20 + 30 + 30 + 30 = 2010 +10 +10 + 20 + 20 + 30 + 30 + 30 8 = 20 8 = 20
Por isso, dizemos que os pesos modi� cam a impor-
tância de cada número amostra. Matematicamente, 
um média dos número (x1, x2, ...,xn) com pesos (p1, p2, 
MATEMÁTICA
PRÉ-ENEM 
154institutoeducarte.org.br Vol. 4
 Também é possível calcular gra� camente a media-
na usando-se um princípio similar. Em um histogra-
ma, por exemplo, a mediana é o valor M que torna M que torna M
iguais as áreas das regiões anteriores e posteriores a M.
Exemplo de explicação: os índices de aproveitamen-
to de arremessos de lance livre de um jogador de basque-
te nos seis jogos de um campeonato foram 56%, 60%, 
58%, 62% 10% e 64%. Qual a mediana desses índices? 
Solução: Ordenando-se os números de forma cres-
cente, temos: (10%, 56%, 58%, 60% 62% e 64%).
Como a quantidade de termos é par a mediana cal-
culada como a média dos termos do meio, isto é:
 58% + 60%mediana = = 59% mediana = = 59% 58% + 60%mediana = = 59% 58% + 60%
 2 
Repare que o termo 10% era bem diferente dos ou-
tros números da amostra. Possivelmente, ele repre-
senta um jogo em que o jogador estava com algum 
problema incomum e, por isso, atuou muito diferente 
do normal. Em estatística, dizemos que o termo repre-
senta um outlier.
No cálculo da mediana, esse termo não aparece ex-
plicitamente na conta � nal. Se tivessemos calculado a 
média, porém, ele apareceria e teríamos um valor me-
dia = 51,7% bem abaixo do que o jogador tipicamente 
consegue. Por isso, dizemos que mediana é uma medi-
da que não é muito in� uenciada por outliers. 
Moda - A moda de uma amostra numérica é o nú-
mero que aparece mais vezes nessa amostra. Se houver 
mais de um número com essa propriedade, todos ser o 
considerados moda. 
Por exemplo, a moda da amostra (2, 4, 4, 5, 6, 4, 7, 7)
é o 4, pois esse é o número que mais aparece na amos-
tra (3 vezes). Já na amostra (2, 4, 4, 7, 6, 4, 7, 7)temos 
duas modas: 4 e 7, pois ambos parecem mais vezes que 
qualquer outro número da amostra.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
As medidas de dispersão servem para nos informar, 
de forma resumida, quanto os números de uma amos-
tra são diferentes da média da amostra. 
Por exemplo, suponha que você quer selecionar um 
jogador para o seu time de basquete e você tem duas 
opções, Ronaldo e Bernardo, ambos com índice mé-
dio de sucesso em arremessos de 60% nas suas últimas 
quatro partidas. Suponha que os índices de Ronaldo 
tenham sido (30%, 90%, 40%, 80) e os de Bernardo 
tenham sido (55%, 60%, 65%,60%). Embora às mé-
dias sejam iguais, � ca claro que Ronaldo apresenta 
uma variação (ou dispesão) maior em relação à média 
muito maior que Bernardo. 
Matematicamente, apresentaremos duas medidas 
comumente usadas para o cálculo de dispersão de 
uma amostra (x1, x2, ..., xn) com média M: a variância 
populacional e o desvio-padrão.
 (x1 - M)2 + (x2 - M)2 + ... + (x - M)2Variância populacional =
(x
Variância populacional =
(x
 n
Desvio - padrão = √variância
O desvio-padrão encontra-se na mesma unidade de 
medida que a amostra. Além disso, quanto maior a 
variabilidade entre os dados, maior será o desvio-pa-
drão.
Exemplo de aplicação: Comparar os desvios-padrão 
nos índices de Ronaldo e Bernardo, no exemplo an-
terior.
Solução: Nos dois casos, a média é de 60%. Usando 
as fórmulas. 
DesvioRonaldo = √(30-60)2 + (90-60)2 + (40-60)2 + (80-60)2 = 51
DesvioBernardo = √(55-60)2 + (60-60)2 + (65-60)2 + (60-60)2 = 7
QUESTÃO 15 - ENEM
Uma pessoa, ao fazer uma pesquisa com alguns alunos 
de um curso, coletou as idades dos entrevistados e orga-
nizou esses dados de um grá� co:
 
Qual a moda das idades, em anos, dos entrevistados?
a) 9
b) 12
= 51
= 7
 = √(30-60)
 = √(55-60)
MATEMÁTICA
PRÉ-ENEM 
155institutoeducarte.org.br Vol. 4
b) 20 
c) 21 
d) 24 
e) 30
QUESTÃO 18 - ENEM
O polímero de PET (Politere� alato de Etileno) é um 
dos plásticos mais reciclados em todo o mundo devi-
do à sua extensa gama de aplicações, entre elas, � bras 
têxteis, tapetes, embalagens, � lmes e cordas. Os grá-
� cos mostram o destino do PET reciclado no Brasil, 
sendo que, no ano de 2010, o total de PET reciclado 
foi de 282 kton (quilotoneladas).
De acordo com os grá� cos, a quantidade de embala-
gens PET recicladas destinadas à produção de tecidos 
e malhas, em kton, é mais aproximada de
a) 16,0.
b) 22,9.
c) 32,0.
d) 84,6.
e) 106,6.
QUESTÃO 19 - ENEM
Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas 
de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as 
entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 
4x4, e que poderia calcular as médias anuais dessas 
disciplinas usando produto de matrizes. Todas as pro-
vas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conse-
guiu é mostrada a seguir.
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obti-
c) 13
d) 15
e) 21
QUESTÃO 16 - ENEM
Para as pessoas que não gostam de correr grandes 
riscos no mercado � nanceiro, a aplicação em cader-
neta de poupança é indicada, pois, conforme a tabela 
(período 2005 até 2011), a rentabilidade apresentou 
pequena variação.
Com base nos dados da tabela, a mediana dos percen-
tuais de rentabilidade, no período observado,
é igual a:
a) 6,2 
b) 6,5 
c) 6,6 
d) 6,8 
e) 7,0
QUESTÃO 17 - ENEM
Após encerrar o período de vendas de 2012, uma con-
cessionária fez um levantamento das vendas de carros 
novos no último semestre desse ano. Os dados estão 
expressos no grá� co:
Ao fazer a apresentação dos dados aos funcionários, 
o gerente estipulou como meta para o mês de janeiro 
de 2013 um volume de vendas 20% superior à média 
mensal de vendas do semestre anterior.
Para atingir essa meta, a quantidade mínima de carros 
que deveriam ser vendidos em janeiro de 2013 seria:
a) 17 
MATEMÁTICA
PRÉ-ENEM 
156institutoeducarte.org.br Vol. 4
da a partir da tabela por:
a) d)
b)
c) e) 
QUESTÃO 20 - ENEM
O Ministério da Saúde e as unidades federadas pro-
movem frequentemente campanhas nacionais e locais 
de incentivo à doação voluntária de sangue, em regi-
ões com menos número de doadores por habitante, 
com o intuito de manter a regularidade de estoques 
nos serviços hemoterápicos. Em 2010, foram recolhi-
dos dados sobre o número de doadores e o número 
de habitantes de cada região conforme o quadro se-
guinte:
 
Os resultados obtidos permitiram que estados, muni-
cípios e o governo federal estabelecessem as regiões 
prioritárias do país para a intensi� cação das campa-
nhas de doação de sangue. 
A campanha deveria ser intensi� cada nas regiões em 
que o percentual de doadores por habitantes fosse me-
nor ou igual ao do país.
Disponível em: http://bvsms.saude.gov.br. Acesso em: 2 ago, 2013 (adaptado).
As regiões brasileiras onde foram intensi� cadas as 
campanhas na época são?
a) Norte, Centro-Oeste e Sul.
b) Norte, Nordeste e Sudeste.
c) Nordeste, Norte e Sul.
d) Nordeste, Sudeste e Sul.
e) Centro-Oeste, Sul e Sudeste.
ANOTAÇÕES
MATEMÁTICA
PRÉ-ENEM