resistc3aancia dos materiais cap 02

Prévia do material em texto

Capítulo 2:
Tensão e Deformação – Carregamento Axial
Professor Fernando Porto
Resistência dos Materiais
1ª Parte
Introdução
• No Capítulo anterior, aprendemos a calcular 
as tensões que surgem pela aplicação de 
carregamentos em vários membros e 
conexões, de uma máquina ou estrutura.
• Aprendemos a projetar membros ou conexões 
de maneira que eles não viessem a falhar sob 
especificadas condições de carregamento.
Introdução
• Outro importante aspecto na análise e projeto 
de estruturas se relaciona com as 
deformações causadas pela aplicação das 
cargas a uma estrutura. É importante evitar 
que as deformações se tornem tão grandes a 
ponto de impedir que a estrutura venha a 
cumprir os fins aos quais estava destinada.
• Através da análise das deformações pode-se 
também determinar as tensões.
Deformação Normal sob Carregamento 
Axial
• Vamos considerar a 
barra BC, de 
comprimento L, e seção 
transversal de área A, 
suspensa do ponto B. 
• Se aplicarmos uma carga 
P na extremidade C, a 
barra sofre uma 
deformação  (delta).
 : defomação
Deformação Normal sob Carregamento 
Axial
• Nós definimos a deformação específica 
normal ( - epsilon) pela seguinte expressão:
• Uma vez que a deformação linear total e o 
comprimento são expressos nas mesmas 
unidades, a deformação específica normal é 
uma grandeza adimensional.
� = 	
�
�
 : deformação linear total
L : comprimento inicial
Deformação Normal sob Carregamento 
Axial
• Considere, por exemplo, uma barra de comprimento 
L = 0,600 m e de seção transversal uniforme, que se 
deforma de um valor  = 150 x 10-6 m. A deformação 
específica correspondente é:
• ou
Diagrama Tensão-Deformação
• É o diagrama que 
representa as relações 
entre tensões e 
deformações específicas de 
um material.
• Para obtenção do diagrama 
tensão-deformação de 
certo material, 
normalmente se faz um 
ensaio de tração de uma 
amostra do material.
Máquina para ensaios de tensão
• Neste ensaio, utiliza-se um 
corpo-de-prova típico do 
material.
• Corpo-de-prova é uma amostra 
de um dado material, retirado 
de um lote, com o objetivo de 
se obter as propriedades 
mecânicas do material.
Corpo de 
prova típico
• O corpo-de-prova é levado 
à máquina de teste, que é 
usada para aplicar a carga 
centrada P. 
• A medida que aumenta o 
valor de P, a distância L
entre as duas marcas 
também aumenta
• É obtido dividindo-se as ordenadas (forças) 
pela área da seção transversal inicial 
(estimando assim as tensões) e as abscissas 
(deformações) pelo comprimento inicial L, 
estimando assim a deformação específica.
� =
�
�
� = 	
�
�
� =
�
�
� = 	
�
�
400
280
140
[M
Pa
]
recuperação estricção
escoamento
Ruptura
R
e
• O diagrama tensão-deformação varia muito 
de material para material, e, para um mesmo 
material, podem ocorrer resultados diferentes 
em vários ensaios, dependendo da 
temperatura do corpo de prova ou da 
velocidade de crescimento da carga.
• Entre os diagramas tensão-deformação de 
vários grupos de materiais é possível, no 
entanto, distinguir algumas características 
comuns. Elas nos levam a dividir os materiais 
em duas importantes categorias:
• Materiais dúcteis;
• Materiais frágeis.
• Diagramas típicos de materiais dúctil e frágil.
Material dúctil Material frágil
Materiais Dúcteis
• Os materiais dúcteis, que compreendem o aço 
estrutural e outros metais, se caracterizam por 
apresentarem escoamento a temperaturas 
normais. 
• O corpo-de-prova é submetido a carregamento 
crescente, e seu comprimento aumenta, de início, 
lentamente, sempre proporcional ao carregamento. 
Desse modo, a parte inicial do diagrama tensão-
deformação é uma linha reta com grande coeficiente 
angular. 
• Entretanto, quando é atingido um valor crítico de 
tensão e, o corpo-de-prova sofre uma longa 
deformação, com pouco aumento da carga aplicada.
• Essa deformação é causada por deslizamento 
relativo das camadas do material de 
superfícies oblíquas, o que mostra que este 
fato se dá principalmente por tensões de 
cisalhamento.
• Quando o carregamento atinge um valor 
máximo, o diâmetro do corpo começa a 
diminuir, devido a perda de resistência local. 
Esse fenômeno é conhecido como estricção. 
Corpos de prova de 
material dúctil:
a) Estricção
b) Ruptura
• Após o início da 
estricção, um 
carregamento mais 
baixo é suficiente 
para manter o corpo-
de-prova se 
deformando, até que 
ocorra a ruptura.
• Podemos perceber que a 
ruptura se dá segundo uma 
superfície em forma de cone, 
que forma um ângulo 
aproximado de 45o com a 
superfície inicial do corpo-de-
prova. 
• Isto mostra que a ruptura dos 
materiais dúcteis ocorre sob 
tensão de cisalhamento;
Onde:
e Tensão de escoamento (início do escoamento);
U Tensão última (máxima carga aplicada);
R Tensão de ruptura (ponto de ruptura).
400
140
[M
Pa
]
e
280
Ruptura Ruptura
Aço estrutural Alumínio
Os diagramas tensão-deformação mostram que o aço 
estrutural e o alumínio, ambos materiais dúcteis, 
apresentam diferenças de comportamento no 
escoamento. Para o aço estrutural, as tensões 
permanecem constantes para uma grande variação das
deformações, após o início do escoamento.
400
140
[M
Pa
]
e
280
Ruptura Ruptura
Aço estrutural Alumínio
No caso do alumínio, e de muitos outros materiais 
dúcteis, o início do escoamento não é caracterizado pelo 
trecho horizontal do diagrama (patamar de 
escoamento). Ao invés disso, as tensões continuam 
aumentando - embora não de maneira linear – até que a 
tensão última é alcançada. Começa então a estricção 
que pode levar a ruptura.
400
140
[M
Pa
]
e
280
Ruptura
Alumínio
• Para esses materiais se define um valor convencional 
para a tensão e. 
• A tensão convencional de escoamento é obtida 
tomando-se no eixo das abscissas a deformação 
específica  = 0,2% (ou  = 0,002), e por esse ponto 
traçando-se uma reta paralela ao trecho linear inicial 
do diagrama. 
• A tensão se corresponde ao ponto de interseção dessa 
reta com o diagrama, é conhecida como tensão 
convencional a 0,2%.
• A tensão se corresponde ao ponto de interseção dessa 
reta com o diagrama, é conhecida como tensão 
convencional a 0,2%.
Ruptura
convencional
e
Materiais Frágeis
• Materiais frágeis, como ferro fundido, vidro e 
pedra, são caracterizados por uma ruptura 
que ocorre sem nenhuma mudança sensível 
no modo de deformação do material.
• Então, para os materiais frágeis, não diferença 
entre tensão última e tensão de ruptura. Além 
disto, a deformação até a ruptura é muito 
menor nos materiais frágeis do que nos 
materiais dúcteis.
Materiais Frágeis
• Não ocorre estricção nos materiais frágeis e a 
ruptura se dá em uma superfície 
perpendicular ao carregamento.
• Pode-se concluir daí que a ruptura dos 
materiais frágeis se deve principalmente a 
tensões normais.
Ruptura
U = R
Capítulo 2:
Tensão e Deformação – Carregamento Axial
Professor Fernando Porto
Resistência dos Materiais
2ª Parte
Lei de Hooke e Módulo de 
Elasticidade
• Atualmente, as estruturas são projetadas de 
modo a sofrerem pequenas deformações que 
não ultrapassem os valores do diagrama 
tensão-deformação correspondentes ao 
trecho reto do diagrama (região elástica).
Região 
elástica
• Na parte inicial do 
diagrama, a tensão  é 
diretamente 
proporcional à 
deformação específica 
 e podemos escrever:
� = �. �
• Esta relação é conhecida como Lei de Hooke, e 
se deve ao matemático inglês Robert Hooke.
Robert Hooke 
(Julho 1635 – Março 1703)
� = �. �• O coeficiente E é chamado 
módulo de elasticidade 
longitudinal do material, ou 
módulo de Young (Thomas 
Young, cientista inglês). 
• Expresso em [Pa] ou seus 
múltiplos no sistema 
internacional, o coeficiente 
E é uma propriedade 
mecânica do material
Thomas Young (Junho 1773 – Maio 1829)� =
�
�
• Uma curiosidade sobre o módulo de Young é que 
dois outros grandes cientistas precederam Thomas 
Young em muitas décadas. Entretanto, como foi o 
cientista inglês quem conseguiu generalizar a 
aplicação, o módulo acabou por levar o seu nome.
Giordano Riccati 
ou Jordan Riccati 
(fl. 1782)
Leonhard Euler 
(Abril 1707 –
Setembro 1783)
• Ao maior valor para o qual a Lei de Hooke é 
válida se denomina limite de 
proporcionalidade do material.
• Quando o material é dúctil e possui o início do 
escoamento em um ponto bem definido do 
diagrama, o limite de proporcionalidade 
coincide com o ponto de escoamento.
• Para outros materiais, o limite de 
proporcionalidade não se define tão 
facilmente.
� = �. �
Aço liga ASTM A709 (AISI 8614)
Temperado e Revenido
Aço baixa liga ASTM A992
Alta resistência
Aço carbono ASTM A36 (AISI 1020)
Ferro puro
Diagramas tensão-deformação 
para ferro puro e para 
diversos tipos de aço.
Comparação entre diagramas de tensão-deformação: (1) latão macio; (2) aço 
de baixo carbono; (3) bronze duro; (4) aço laminado a frio; (5) de aço médio 
carbono, recozidos; (6) de aço médio carbono, com tratamento térmico.
Deformações de barras sujeitas 
a esforços axiais
• Vamos considerar a barra 
homogênea BC, de 
comprimento L, e seção 
transversal de área A, 
suspensa do ponto B, 
sujeita a força axial 
centrada P. 
 : deformação
Deformações de barras sujeitas 
a esforços axiais
• Se a tensão atuante  = 
P/A não exceder o limite 
de proporcionalidade do 
material, podemos aplicar 
a Lei de Hooke : 
 : deformação
� = �. �
 : deformação
� = �. �
Por definição, temos

• Atenção: A equação acima só pode ser usada 
se a barra for homogênea (módulo de 
elasticidade E constante), tiver seção 
transversal uniforme de área constante A e 
carga for aplicada nas extremidades da barra.
• Se as forças forem aplicadas em outros pontos, ou se 
a barra consiste de várias partes com diferentes 
seções transversais ou compostas de diferentes 
materiais, devemos dividi-la em segmentos que, 
individualmente satisfaçam a as condições de 
aplicação da fórmula do slide anterior. Assim, a 
deformação total da barra pode ser escrita como:
Exemplo: A barra rígida BDE é suspensa por duas hastes 
AB e CD. A haste AB é de alumínio (E = 70GPa) com área de 
seção transversal de 500mm2; a haste CD é de aço (E = 200GPa) 
com área de seção transversal de 600mm2. Para a força de 30kN 
determine: a) deslocamento do ponto B; b) deslocamento de D; 
c) deslocamento do ponto E.
Corpo livre Barra BDE
tensão
compressão
Deslocamento de B
O sinal negativo indica uma contração da 
barra AB, e em consequência, o 
deslocamento para cima de B.
Deslocamento de D
Deslocamento de E
Exemplo: Os suportes rígidos A e B comprimem uma 
barra de alumínio EF de diâmetro de 1,5pol. através de dois 
parafusos de aço de diâmetro ¾ pol., CD e GH, de passo de 
rosca simples de 0,1pol., e após serem ajustados, as porcas em D
e H são ambas apertadas de um quarto de volta. Sabendo-se 
que E é 29 x 106 psi para aço, e 10,6 x 106 psi para alumínio, 
determine a tensão normal na barra EF.
Parafusos CD e GH
Barra EF
Deslocamento de D relativo à B
É importante visualizar que 
Tensão na barra de alumínio
Corpo livre para peça B
Empregando as equações anteriores:
Capítulo 2:
Tensão e Deformação – Carregamento Axial
Professor Fernando Porto
Resistência dos Materiais
3ª Parte
Exercício 1
• A barra de aço redondo A992 é 
sujeita ao carregamento 
mostrado. Se a área da seção 
transversal é 60mm2, determine 
o deslocamento de B e de A. 
Despreze as dimensões dos 
acoplamentos em C e B.
Respostas: 2,31 mm; 2,64 mm 1 9ª ed
Exercício 2
• A montagem consiste de uma barra redonda CB de aço A36 e 
uma barra redonda BA de alumínio 1100-H14, ambas de 
12mm de diâmetro. Se o conjunto é sujeito à carga axial em A
e no ponto B, determine o deslocamento de B e do ponto A. 
As dimensões originais da montagem são mostradas na figura. 
Despreze as dimensões das conexões em B e C, e assuma que 
são rígidas.
Respostas: 1,59 mm; 6,14 mm 5 9ª ed
Exercício 3
• A montagem consiste de duas barras redondas AB e CD de 
latão vermelho C83400 (E = 101GPa) de 10mm de diâmetro, 
uma barra redonda EF de aço inox 304 (E = 193GPa), e uma 
barra rígida G. Se P = 5kN, determine o deslocamento 
horizontal do ponto F.
Resposta: 0,453 mm 9 9ª ed
Exercício 4
• A barra rígida é suportada pela barra CB, conectada por 
pinos, a qual tem uma seção transversal de 14mm2 e é feita 
de alumínio 6061-T6. Determine a deflexão vertical da barra 
em D quando a carga é aplicada. 
Resposta: 17,3 mm 13 9ª ed
• Para a treliça de aço (ASTM 
A36) e carregamentos 
mostrados, determinar as 
deformações nos membros BD
e DE, sabendo-se que suas 
seções transversais tem 
1300mm2 e 1950mm2.
Exercício 5
130kN
130kN
130kN
2,5 m
2,5 m
2,5 m
4,5 m
2-23 3ª ed
• Os membros AB e BE da treliça mostrada são de barras de 
aço ASTM A36, com diâmetro de 25mm. Para o carregamento 
mostrado, determinar o alongamento da barra AB e da barra 
BE.
Exercício 6
Resposta: 1,222 mm; +1,910 mm 2-24 3ª ed
• Cada um dos braços AB e CD é feito de alumínio 2014-T6 e 
tem área de seção transversal de 125mm2. Sabendo que eles 
suportam o membro rígido BC, determine a deflexão do 
ponto E.
Exercício 7
Resposta: 0,1024 mm 2-24 4ª ed
P = 5kN
0,38 m 
0,44 m 
0,20 m 
• O comprimento do cabo de 
aço ASTM A36 de 2mm de 
diâmetro CD foi ajustado 
quando não havia carga 
aplicada, deixando um vão 
de 1,5mm entre o ponto E e
o ponto B do braço ACB. 
Determine onde (x) o bloco 
de 20kg deve ser colocado 
para que ocorra contato 
entre o ponto B e o E.
Exercício 8
Resposta: 92,6 mm 2-26 4ª ed
0,25 m 
20 kg 
x
0,32 m 
0,08 m 
1,5 mm
• Cada uma das quatro hastes de ligação verticais, 
conectadas às duas vigas horizontais, são de alumínio 
1100-H14 e tem uma seção transversal retangular de 
10x40mm. Para o carregamento mostrado, determinar a 
deflexão (a) no ponto E, (b) ponto F e (c) no ponto G.
Exercício 9
Resposta: a) 80,4mm; b) 209m; c) 390m 2-25 3ª ed
40 mm 
300 mm 
400 mm 
250 mm 
250 mm 
24kN
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS 
MAIS USADOS EM ENGENHARIA
Material
P
e
so
 E
sp
e
cí
fi
co
K
g
/m
3
Tensões de Ruptura
Tr
aç
ão
 M
P
a
C
o
m
p
re
ss
ão
M
P
a
C
is
al
h
am
e
n
to
M
P
a
Tensões de 
escoamento
Módulos e 
elasticidade
Lo
n
gi
tu
d
in
al
G
P
a
Tr
an
sv
e
rs
al
G
P
a
C
o
ef
D
ila
ta
çã
o
 
Té
rm
ic
a 
1
0
-6
/
o
C
A
lo
n
ga
m
e
n
to
 %
Tr
aç
ão
 M
P
a
C
is
al
h
am
e
n
to
M
P
a
Material
P
e
so
 E
sp
e
cí
fi
co
K
g
/m
3
Tensões de Ruptura
Tr
aç
ão
 M
P
a
C
o
m
p
re
ss
ão
M
P
a
C
is
al
h
am
e
n
to
M
P
a
Tensões de 
escoamento
Módulos e 
elasticidade
Lo
n
gi
tu
d
in
al
G
P
a
Tr
an
sv
e
rs
al
G
P
a
C
o
e
f
D
il
at
aç
ão
 
Té
rm
ic
a
 1
0
-6
/
o
C
A
lo
n
ga
m
e
n
to
 %
Tr
aç
ão
 M
P
a
C
is
alh
am
e
n
to
M
P
a
Material
P
e
so
 E
sp
e
cí
fi
co
K
g
/m
3
Tensões de Ruptura
Tr
aç
ão
 M
P
a
C
o
m
p
re
ss
ão
M
P
a
C
is
al
h
am
e
n
to
M
P
a
Tensões de 
escoamento
Módulos e 
elasticidade
Lo
n
gi
tu
d
in
al
G
P
a
Tr
an
sv
e
rs
al
G
P
a
C
o
ef
D
ila
ta
çã
o
 
Té
rm
ic
a 
1
0
-6
/
o
C
A
lo
n
ga
m
e
n
to
 %
Tr
aç
ão
 M
P
a
C
is
al
h
am
e
n
to
M
P
a
Aço
Estrutural ASTM A36
Baixa liga alta resistência 
ASTM A709 Grade 345
ASTM A913 Grade 450
ASTM A992 Grade 345
Temperado e revenido
ASTM A709 Grade 690
Aço inoxidável AISI 302
Laminado a frio
Recozido
Aço para concreto armado
Média resistência
Alta resistência
Ferro Fundido
Ferro Fundido Cinzento
4,5% C, ASTM A-48
Ferro Fundido Maleável
2% C, 1% Si,
ASTM A-47
Material
P
e
so
 E
sp
e
cí
fi
co
K
g
/m
3
Tensões de Ruptura
Tr
aç
ão
 M
P
a
C
o
m
p
re
ss
ão
M
P
a
C
is
al
h
am
e
n
to
M
P
a
Tensões de 
escoamento
Módulos e 
elasticidade
Lo
n
gi
tu
d
in
al
G
P
a
Tr
an
sv
e
rs
al
G
P
a
C
o
ef
D
ila
ta
çã
o
 
Té
rm
ic
a 
1
0
-6
/
o
C
A
lo
n
ga
m
e
n
to
 %
Tr
aç
ão
 M
P
a
C
is
al
h
am
e
n
to
M
P
a
Alumínio
Ligas de Magnésio
Ligas Níquel Cobre Monel 400
Titânio
Cuproníquel
Obs.: Alloy – Liga; Forging – Forjado; Extrusion – Extrudado; 
Cold-Worked – Encruado a frio; Annealed – Recozido.
Material
P
e
so
 E
sp
e
cí
fi
co
K
g
/m
3
Tensões de Ruptura
Tr
aç
ão
 M
P
a
C
o
m
p
re
ss
ão
M
P
a
C
is
al
h
am
e
n
to
M
P
a
Tensões de 
escoamento
Módulos e 
elasticidade
Lo
n
gi
tu
d
in
al
G
P
a
Tr
an
sv
e
rs
al
G
P
a
C
o
ef
D
ila
ta
çã
o
 
Té
rm
ic
a 
1
0
-6
/
o
C
A
lo
n
ga
m
e
n
to
 %
Tr
aç
ão
 M
P
a
C
is
al
h
am
e
n
to
M
P
a
Ligas de Cobre
Obs.: Alloy – Liga; Annealed – Recozido; Hard-drawn – Trefilado a frio;
Cold-rolled – Laminado a frio. 
Latão Amarelo (latão 1/3 zinco)
Latão Vermelho C230
Bronze Estanho
Bronze Manganês 
Bronze Alumínio 
Cobre livre de Oxigênio
Material
P
e
so
 E
sp
e
cí
fi
co
K
g
/m
3
Tensões de Ruptura
Tr
aç
ão
 M
P
a
C
o
m
p
re
ss
ão
M
P
a
C
is
al
h
am
e
n
to
M
P
a
Tensões de 
escoamento
Módulos e 
elasticidade
Lo
n
gi
tu
d
in
al
G
P
a
Tr
an
sv
e
rs
al
G
P
a
C
o
ef
D
ila
ta
çã
o
 
Té
rm
ic
a 
1
0
-6
/
o
C
A
lo
n
ga
m
e
n
to
 %
Tr
aç
ão
 M
P
a
C
is
al
h
am
e
n
to
M
P
a
Obs.: Alloy – Liga; Annealed – Recozido; Hard-drawn – Trefilado a frio;
Cold-rolled – Laminado a frio. 
Concreto
Resistência média
Resistência alta
Borracha
Granito (valores médios)
Mármore (valores médios)
Arenito
Vidro 95% Si
Plásticos
Nylon tipo 6/6
(material para moldagem)
Policarbonato
Poliéster PBT
(termoplástico)
Elastômero Poliéster
Poliestireno
Vinil, rígido PVC
Obs.: 
HR - Hot-Rolled (laminado à quente)
CD - Cold-Drawn (trefilado à frio)
Obs.: 
HR - Hot-Rolled (laminado à quente)
CD - Cold-Drawn (trefilado à frio)
Obs.: 
Q&T - Quenched and Tempered (Temperado e Revenido)
Q&T* - Water-Quenched and Tempered (Temperado e Revenido em Água)
Normalized – Normalizado
Annealed - Recozido
No AISI Tratamento
Tensão de 
Ruptura
MPa (kpsi)
Tensão de 
Escoamento
MPa (kpsi)
Alongamento 
em 2pol, %
Redução em 
área, %
Dureza 
Brinell
Temperatura
oC (oF)
Obs.: 
Q&T - Quenched and Tempered (Temperado e Revenido)
Q&T* - Water-Quenched and Tempered (Temperado e Revenido em Água)
Normalized – Normalizado
Annealed - Recozido
No AISI Tratamento
Tensão de 
Ruptura
MPa (kpsi)
Tensão de 
Escoamento
MPa (kpsi)
Alongamento 
em 2pol, %
Redução em 
área, %
Dureza 
Brinell
Temperatura
oC (oF)
Obs.: 
Q&T - Quenched and Tempered (Temperado e Revenido)
Q&T* - Water-Quenched and Tempered (Temperado e Revenido em Água)
No AISI Tratamento
Tensão de 
Ruptura
MPa (kpsi)
Tensão de 
Escoamento
MPa (kpsi)
Alongamento 
em 2pol, %
Redução em 
área, %
Dureza 
Brinell
Temperatura
oC (oF)
Normalized – Normalizado
Annealed - Recozido
Capítulo 2:
Tensão e Deformação – Carregamento Axial
Professor Fernando Porto
Resistência dos Materiais
4ª Parte
Problemas Estaticamente 
Indeterminados
• Nos problemas na seção precedente, pudemos 
sempre utilizar os diagramas de corpo livre e as 
equações de equilíbrio na determinação das forças 
internas produzidas nas várias partes da estrutura 
por carregamentos conhecidos. Feito isto, mostrou-
se possível ser estimada a deformação de qualquer 
parte da estrutura.
Problemas Estaticamente 
Indeterminados
• Entretanto, em muitos problemas as forças internas 
não podem ser determinadas apenas com os 
recursos da estática, ou seja, através do desenho do 
diagrama de corpo livre da peça e estudando suas 
equações de equilíbrio.
• Neste caso, as equações de equilíbrio devem ser 
complementadas por outras relações envolvendo 
deformações, obtidas através da consideração das 
condições geométricas do problema.
Problemas Estaticamente 
Indeterminados
• Tais problemas são ditos serem estaticamente 
indeterminados, pois a estática não é suficiente para 
determinar as reações e esforços internos. 
• Neste tópico é mostrado como conduzir à solução 
desses problemas.
Exemplo 1
Tubo
Barra
Placa rígida
Uma barra de comprimento L e área da seção 
transversal A1, com módulo de elasticidade E1, foi 
colocada dentro de um tubo de mesmo comprimento , 
mas de área transversal A2 e módulo de elasticidade E2. 
Qual a deformação da barra e do tubo, quando uma 
força P é aplicada por meio de uma placa rígida?
• Chamando de P1 e P2 as forças axiais na barra e no 
tubo, desenhamos os diagramas de corpo livre dos 3 
elementos: 
P1 + P2 = P
P1 + P2 = P
• Ocorre, no entanto, que uma equação não é 
suficiente para determinar duas incógnitas. O 
problema é estaticamente indeterminado!
• Entretanto, a geometria do problema nos mostra que 
as deformações 1 e 2 na barra e no tubo devem ser 
iguais:
• Igualando as equações:
e lembrando que P1 + P2 = P :�� = ��.
����
����
��.
����
����
+ �� = �
��.
����
����
+ �� = � ��.
����
����
+ 1 = �
��.
���� + ����
����
= �
�� = �.
����
���� + ����

�� = �.
����
���� + ����
Similarmente:
Com os valores de P1 e P2 podemos calcular a 
deformação da barra e do tubo.
Exemplo 2
A barra mostrada ao 
lado é presa aos apoios 
fixos A e B. Determinar 
as reações desses 
apoios quando se aplica 
o carregamento 
indicado.
Observe que não são dadas informações sobre o material !
• Vamos considerar inicialmente que a barra esteja 
livre em B, e que a reação RB seja uma força externa 
desconhecida, cujo valor será determinada pelas 
considerações de deformação da barra igual a zero. 
• Para estimar a deformação total, a barra é dividida 
em 4 partes:
P1 é a carga aplicada à fração 1 da barra
• Com estes dados podemos calcular a deformação da 
barra causada pelas forças aplicadas em D e K, se 
esta estivesse livre na base:
• Agora estima-se uma força RB capaz de anulara 
deformação causada pelas forças aplicadas nos 
pontos D e K:
Deformação total:
�� = ��.
��
���
+
��
���
�� = ��.
1,95 × 10�
�
Uma deformação anula a outra, de modo que devem ser iguais!
Exemplo 3 Calcular as reações em A e B, considerando uma distância inicial 
de 4,5mm entre a barra e o apoio B.
Adotar E = 200GPa
Exemplo 4
A haste CE (10mm ) e a DF
(15mm ) são ligadas à barra 
rígida ABCD como mostrado.
Sabendo-se que as hastes são 
de alumínio (E = 70GPa), 
determinar: 
(a) a força atuante em cada 
haste; 
(b) deslocamento do ponto A.600 mm
450mm
300mm 200mm
32KN 
750 mm
• Condições de Equilíbrio
Considerando como corpo livre a barra ABCD, notamos 
que as reações em B e nas hastes são estaticamente 
indeterminadas. No entanto, da estática podemos 
escrever:
450mm
300mm 200mm
32KN 
+MB = 0
32�� . 0,45� ���. 0,3� ���. 0,5� = 0
0,3. ��� + 0,5. ��� = 14,4 × 10
�
Eq.1
• Condições de Geometria
Após a aplicação da força de 32kN, a barra assume a 
posição A’BC’D’. Da semelhança de triângulos BAA’, 
BCC’ e BDD’, temos:
450mm
300mm 200mm
��
0,3�
=
��
0,5�
��
0,45�
=
��
0,5�
�� = 0,6. ��
�� = 0,9. ��
• Deformações
Empregando a equação de deformação:
�� =
���. ���
���. �
�� =
���. ���
���. �
�� = 0,6. ��
���. ���
���. �
= 0,6.
���. ���
���. �
• Deformações
���. ���
���. �
= 0,6.
���. ���
���. �
��� = 0,6�
��� = 0,75m
E = 70 × 10�	Pa
��� = 	
�
4
0,010�	��
��� = 	
�
4
0,015�	��
��� = 7,8540 × 10
��	��
��� = 1,7671 × 10
��	��
��� = 0,333. ��� Eq.2
Aplicando a equação 1 na equação 2:
��� = 0,333. ���
0,3. ��� + 0,5. ��� = 14,4 × 10
�
Eq.2
Eq.1
0,3 × (0,333. ���) 	+ 0,5. ��� = 14,4 × 10
�
��� = 24��
Usando novamente a Eq.2: ��� = 8��
Deslocamento dos pontos D e A:
�� =
���. ���
���. �
=
24000�. 0,75�
1,7671 × 10��	��. 70 × 10���
�� = 1,455��
�� = 0,9. ��
�� = 1,310��
Capítulo 2:
Tensão e Deformação – Carregamento Axial
Professor Fernando Porto
Resistência dos Materiais
5ª Parte
Exercício 1
A coluna de concreto é reforçada 
empregando 4 barras de aço, cada uma 
com diâmetro de 18mm. Determine (a) a 
tensão no concreto e (b) no aço se a coluna 
é sujeita a um carregamento de 800kN.
Considere Eaço = 200GPa e Econc = 25GPa
Ex.4-31 9th Ed. Resp.: (a) 65,9MPa; (b) 8,24MPa
Exercício 2
Uma coluna é construída de concreto de 
alta resistência e 4 barras de aço A-36. Se 
sujeita a uma força de 800kN, determine o 
diâmetro requerido de cada barra de modo 
que um quarto da carga seja suportado 
pelo aço e três quartos seja pelo concreto. 
Considere Eaço = 200GPa e Econc = 25GPa
Ex.4-32 9th Ed. Resp.: 33,9mm
Exercício 3
Um tubo de aço é preenchido com 
concreto e sujeito a uma carga compressiva 
de 80kN. Determine a tensão média (a) no 
concreto e (b) no aço devido ao 
carregamento. O tubo tem um diâmetro 
externo de 80mm e diâmetro interno de 
70mm.
Considere Eaço = 200GPa e Econc = 24GPa
Ex.4-33 9th Ed. Resp.: (a) 5,85MPa; (b) 48,8MPa
Exercício 4
A barra AC de alumínio 2014-T6 
é reforçada pelo cilindro BC
firmemente ajustado de aço 
A992. Quando a montagem não 
sofre carregamento, permanece 
uma fresta de 0,5mm entre C e o 
piso rígido inferior E. Determine 
as reações (a) no suporte rígido 
D e (b) na base C quando a carga 
axial de 400kN é aplicada.
Ex.4-42 9th Ed. Resp.: (a) 219kN; (b) 181kN
Aço A992
E
alumínio
Exercício 5
A montagem consiste de duas barras AB e CD de cobre 
vermelho C83400 de diâmetro de 30mm, uma barra EF de aço 
inox 304 de diâmetro 40mm, e a barra rígida G. Se os suportes 
em A, C e F são também rígidos, determine a tensão normal 
média desenvolvida nas barras (a) AB, CD e (b) EF.
Ex.4-43 9th Ed. Resp.: (a) 26.5MPa; (b) 33,8MPa
Exercício 6
O suporte consiste de uma barra 
redonda de cobre vermelho C83400 
circundada por um cilindro de aço 
inox 304. Antes da carga ser aplicada, 
é observada uma defasagem de 1mm 
entre o comprimento da barra e o do 
cilindro. Determine a maior carga 
axial possível de ser aplicada no topo 
rígido A sem causar escoamento de 
nenhum dos materiais. 
Ex.4-47 9th Ed. Resp.: 198kN
• Resistência dos Materiais
• Beer, Ferdinand P.; Johhston Jr., 
E. Russell; Editora Pearson 
Nakron Books, 3a. Ed., 2010
Fonte Bibliográfica