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2a
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Lista de Vetores e Geometria Anal´ıtica
Exerc´ıcio 1. Sendo A = (aij)3×2 com aij = 2i−j e B = (bij)2×3 com bij = i2+3j,
calcule:
a) 2A− 3Bt b) (Bt − 2A)t.
Exerc´ıcio 2. Sendo A =
(
1 2
2 4
)
e B =
(
4 −6
−2 3
)
. Calcule AB e BA. Que
concluso˜es podemos tirar?
Exerc´ıcio 3. Dadas as matrizes A =
(
1 2
1 0
)
e B =
(
3 −1
0 1
)
, calcule det(A) +
det(B) e det(A+B). Qual sua conclusa˜o?
Exerc´ıcio 4. Dadas as matrizes A =
(
1 2
2 4
)
, B =
(
2 1
3 2
)
e C =
(−2 7
5 −1
)
.
Calculae AB e AC. Que concluso˜es podemos tirar?
Exerc´ıcio 5. Resolver a equac¸a˜o det(A− λI) = 0, onde A =
(
2 1
1 3
)
.
Exerc´ıcio 6. Dada a matriz A =
1 2 32 1 1
3 3 2
. Calcule det(A) e det(At). E´
sempre verdade que det(At) = det(A)?
Exerc´ıcio 7. Sabendo que A e B sa˜o matrizes de ordem 3 tais que det(A) = 3
e det(B) = 4, calcule:
a) det(AB) b) det(ABt) c) det(A2B2)
d) det(A4) e) det(4AB).
Exerc´ıcio 8. Sejam δ, θ ∈ [0, 2pi] e considere a matriz Aθ =
[
cos(θ) −sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
]
.
a) Calcule Aθ · Aδ.
b) Calcular A0 e A−θ.
c) Determinar det(Aθ). Se poss´ıvel, calcular A
−1
θ .
d) Determine uma matriz C tal que AθC = 2I.
Exerc´ıcio 9. Seja A uma matriz quadrada. A e´ chamada sime´trica se At = A
e antissime´trica se At = −A.
a) Mostre que se A e B sa˜o sime´tricas, enta˜o A+B e λA tambe´m o sa˜o.
b) Mostre que se A e B sa˜o antissime´tricas, enta˜o A+B e λA tambe´m o sa˜o.
1
Exerc´ıcio 10. Seja A uma matriz quadrada.
a) Mostre que a matriz S = A+ At e´ uma matriz sime´trica.
b) Mostre que a matriz R = A− At e´ uma matriz antissime´trica.
c) Mostre que toda matriz pode ser decomposta na soma de uma matriz sime´trica
e uma matriz antissime´trica.
d) Considere a matriz A =
[
2 2
1 4
]
. Encontre duas matrizes B e C tais que B e´ uma
matriz sime´trica e C e´ uma matriz antissime´trica e A = B + C.
Exerc´ıcio 11. Resolver os sistemas lineares abaixo atrave´s de escalonamento.
a)

x1 + x2 − x3 = 0
x2 + x3 = 1
4x1 − 3x2 = 8
b)

x− y + 2z − w = 1
−x+ 2y − 2z = −2
−x+ 2y − 4z + w = 1
3x− 3w = −3
c)

x1 + x2 − x3 + x4 = 0
x2 + x3 − x4 = 1
4x1 − 3x2 = 8
d)

x+ y + z + t = 0
x+ y + z − t = 4
x+ y − z + t = −4
x− y + z + t = 2
Exerc´ıcio 12. Encontre os valores de k ∈ R, tais que o sistema homogeˆneo
tenha uma soluc¸a˜o distinta da soluc¸a˜o trivial:
2x− 5y + 2z = 0
x+ y + z = 0
2x+ kz = 0
Exerc´ıcio 13. Dadas as matrizes A =
1 3 22 2 0
0 1 λ
 , B1 =
00
0
 e B2 =
21
4
, para
cada um dos sistemas AX = B1 e AX = B2, determine para quais valores de λ o
sistema:
a) na˜o admite soluc¸a˜o;
b) possui uma u´nica soluc¸a˜o;
c) possui mais de uma soluc¸a˜o.
Exerc´ıcio 14. Considere o sistema
{
x+ 6y − 8z = 1
2x+ 6y − 4z = 0 . Note que podemos
escreveˆ-lo na forma matricial:
[
1 6 −8
2 6 −4
]xy
z
 = [1
0
]
. (1)
2
a) Verifique que a matriz X1 =
xy
z
 =
−11/3
0
 e´ uma soluc¸a˜o para o sistema.
b) Resolva o sistema e verifique que toda ”matriz - soluc¸a˜o”e´ da forma :
X =
xy
z
 = λ
−42
1
+
−11/3
0
 ,
onde λ ∈ R.
c) Verifique que λ
−42
1
 e´ a soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo associado ao sistema (1):
[
1 6 −8
2 6 −4
]xy
z
 = [0
0
]
. (2)
d) Compare o conjunto soluc¸a˜o de (1) e (2).
Exerc´ıcio 15. Dado o sistema
1 2 0 −1
1 0 2 −1
1 2 2 −1
3 4 4 −3


x
y
z
w
 =

2
2
4
8

a) Resolva o sistema encontrando sua matriz-soluc¸a˜o,
b) Resolva o sistema homogeˆgeno associado.
c) Verifique que a matriz-soluc¸a˜o encontrada em a) e´ a matriz-soluc¸a˜o encontrada
em b) somada a uma soluc¸a˜o particular de a).
Exerc´ıcio 16 . Resolver os sistemas pela regra de Cramer:
a)

3x+ 4y + 5z = 1
2x+ 3y + 3z = 0
5x+ 7y + 8z = 1
b)

−x+ 3y + z − t = 6
3y − z + t = 5
3x+ 2z = −11
y − 3t = −11
Exerc´ıcio 17 . Resolver o sistema abaixo por escalonamento, Cramer e matriz
inversa:
a)

3x+ y + 2z = 11
2x+ y − z = 1
3x+ y + 3z = 14
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