Lista 2 Cálculo 1 USP ICMC

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Lista B de Exerc´ıcios de SMA301 e SMA353
marc¸o de 2018
Exerc´ıcio 1 Determine os v�ertices e o eixo de cada uma das par�abolas abaixo e encontre as respectivas
representa�c~oes geom�etricas (gr�a�cos):
a) y2 = x b) y = −x2 c) y2 − 4 x− 4 y = 0
Exerc´ıcio 2
a) Existe alguma simetria na representa�c~ao geom�etrica do gr�a�co de uma fun�c~ao par? Qual? e da
representa�c~ao do gr�a�co de uma fun�c~ao ��mpar?
b) Mostre que dada uma func~ao f : R→ R, podemos encontrar uma fun�c~ao g : R→ R, que �e uma fun�c~ao
par, e uma fun�c~ao h : R→ R, que �e uma fun�c~ao ��mpar, tal que f(x) = g(x) + h(x), para x ∈ R.
c) Quais das seguintes fun�c~oes abaixo s~ao pares e quais s~ao ��mpares:
a) f(x) = x3 , para x ∈ R b) f(x) = |x| , para x ∈ R c) f(x) = x (x3 − x) , para x ∈ R
d) f(x) = x4 + x2 , para x ∈ R e) f(x) = x
3 + x
x2 + 1
, x ∈ R f) f(x) = tg(x) , para x ∈
(
−
pi
2
,
pi
2
)
Exerc´ıcio 3 Consideremos as fun�c~oes [x] = maior inteiro menor ou igual a x e {x} = dista^ncia de x ao
inteiro mais pr�oximo. Encontre a representa�c~ao geom�etrica do gr�a�co das seguintes fun�c~oes:
a) f(x) = {x} , para x ∈ R b) f(x) = [x] , para x ∈ R
c) f(x) = x− [x] , para x ∈ R d) f(x) = 1
4
{4 x} , para x ∈ R \ {0}
Exerc´ıcio 4 Veri�que quais das fun�c~oes abaixo s~ao peri�odicas e nos casos em que forem peri�odicas
encontrar o seu per��odo fundamental:
a) f(x) = sen(2 x) , para x ∈ R b) f(x) = sen(x) + sen(pix) , para x ∈ R
c) f(x) = [x] , para x ∈ R d) f(x) = 3 cos(x+ 2) , para x ∈ R
Exerc´ıcio 5 Um ponto se move no plano de tal modo que a raz~ao de suas dista^ncias a dois pontos �xos
�e uma constante c 6= 1. Mostre que o lugar geom�etrico desses pontos �e uma circunfere^ncia.
Exerc´ıcio 6
a) Calcule a �area da regi~ao limitadado plano xOy, delimitada pelas representa�c~oes geom�etricas dos
gr�a�cos das curvas y = 3 x, x2 + y2 = 9, x2 + y2 = 4 e y = 0.
b) Se h 6= 0, calcule o valor do quociente f(x+ h) − f(x)
h
para as seguintes fun�c~oes:
i) f(x) = x2 + x , para x ∈ R ii) f(x) = 3 x+ 5 , para x ∈ R
iii) f(x) = sen(x) , para x ∈ R iv) f(x) = x3 , para x ∈ R
Exerc´ıcio 7
a) Quando uma fun�c~ao �e injetora? Como caraterizar a injetividade de uma fun�c~ao analisando a repre-
senta�c~ao geom�etrica do seu gr�a�co?
b) Quando uma fun�c~ao �e sobrejetora? Como caraterizar a sobrejetividade de uma fun�c~ao analisando a
representa�c~ao geom�etrica do seu gr�a�co?
c) Quando uma fun�c~ao �e bijetora? Como caraterizar a bijetividade de uma fun�c~ao analisando a repre-
senta�c~ao geom�etrica do seu gr�a�co?
Exerc´ıcio 8 Uma fun�c~ao f : A ⊆ R → B ⊆ R admite uma inversa �a esquerda se existe uma fun�c~ao
g : B → A tal que g(f(x)) = x, para todo x ∈ A. Dizemos que f admite uma inversa �a direita se existe
uma fun�c~ao h : B→ A tal que f(h(y)) = y, para todo y ∈ B. Veri�que que
a) Uma fun�c~ao �e injetora se, e somente se, ela admite uma inversa �a esquerda.
b) Uma fun�c~ao �e sobrejetora se, e somente se, ela admite uma inversa �a direita.
c) Uma fun�c~ao �e bijetora se, e somente se, ela admite uma inversa �a esquerda e �a direta simultaneamente.
1
Exerc´ıcio 9 Em cada um dos itens abaixo diga se a fun�c~ao �e injetora , sobrejetora, bijetora:
a) f : R→ R , dada por f(x) = 5 x+ 1 , para x ∈ R
b) f : R→ R , dada por f(x) = x2 + 4 , para x ∈ R
c) f :
[
0 ,
3pi
2
]→ [−1 , 1] , dada por f(x) = cos(x) , para x ∈ [0 , 3pi
2
)
d) f : [0,∞)→ [4 ,∞) , dada por f(x) = x2 + 4 , para x ∈ R
e) f :
(
−
pi
2
,
pi
2
)→ R , dada por f(x) = tg(x) , para x ∈ (−pi
2
,
pi
2
)
g) f : [0 ,∞)→ R , dada por f(x) = x2 + 4 , para x ∈ R
Exerc´ıcio 10
a) Seja f : A ⊆ R → B ⊆ R uma fun�c~ao que admite fun�c~ao inversa. Ent~ao f−1 �e igual a 1
f
? justi�que
sua resposta.
b) Quais as fun�c~oes do Exerc��cio 9 admitem uma fun�c~ao inversa? quando admitir, encontrar a lei de
associa�c~ao da fun�c~ao inversa.
Exerc´ıcio 11 Durante uma noite um homem de 1, 80 metros de altura estava parado, ao n��vel da rua,
perto de um poste de ilumina�c~ao de 4, 50 metros que est�a aceso. Exprima o comprimento de sua sombra
como fun�c~ao da dista^ncia que ele est�a do poste.
Exerc´ıcio 12 Dois homens saem, no mesmo instante, numa caminhada do mesmo ponto por caminhos
retil��neos e perpendiculares. Um anda a velocidade de 2 km/h e o outro a 3 km/h. Exprima a dista^ncia
entre eles como fun�c~ao do tempo que eles caminharam.
Exerc´ıcio 13
Um disco circular de raio r > 0 apoia-se sobre um �o
ex��vel o qual envolve metade de sua periferia. Um
dos extremos do �o est�a preso a um suporte horizon-
tal, enquanto o outro extremo do �o �e m�ovel (�gura ao
lado). Sabendo-se que tal extremidade move-se desce-
vendo uma trajet�oria retil��nea e paralela �a trajet�oria do
centro do disco, exprima a posi�c~ao do extremo livre (A)
do �o em fun�c~ao da posi�c~ao do centro do disco (C), isto
�e, pe�co que voce construa a fun�c~ao y = f(yc).
A
Cyc
y
?
ff-
r
Exerc´ıcio 14 Um reservat�orio cont�em um l��quido, n~ao homoge^neo, em equil��brio, e cuja densidade au-
menta linearmente com a profundidade, h, valendo ρo na superf��cie e ρ1 no fundo do reservat�orio.
Sendo H > 0 a espessura da camada l��quida, pe�co que voce^ encontre a fun�c~ao que descreve a densidade
do l��quido ρ, em fun�c~ao da profundidade h (isto �e, ρ = ρ(h)).
Exerc´ıcio 15 Um objeto �e lan�cado, verticalmente, e sabe-se que no instante t segundos, sua altura �e
dada por h(t) = 4 t− t2 quil�ometros, para t ∈ [0 , 4].
a) encontre a representa�c~ao geom�etrica do gr�a�co da fun�c~ao h = h(t).
b) Qual a altura m�axima atingida pelo objeto? Em que instante essa altura �e atingida?
2
Exerc´ıcio 16
Na �gura ao lado, OPQR �e um trap�ezio tal que OP =
10 cm, PQ = QR = 5 cm. A partir de um ponto S,
pertencente ao lado OP, tra�ca-se uma perpencicular a
esse lado. Sendo OS = x, a �area A da regi~ao sobreada
na �gua ao lado pode ser obtida como uma fun�c~ao de
x, isto �e, A = A(x). Encontre essa fun�c~ao.
SO
R Q
P
x
ff -
�
�
�
�
�
��
Exerc´ıcio 17 Entre os reta^ngulos de per��metro (isto �e, soma dos lados) 2p qual ter�a maior �area?
Exerc´ıcio 18 Uma part��cula parte do repouso, no instante t = 0 e passa a mover-se sobre uma certa
trajet�oria. A acelera�c~ao tangencial da part��cula, que no instante inicial era de 3m/s2, aumentou uni-
formemente com o tempo at�e atingir o valor de 8m/s2, ap�os 5 segundos de movimento. Encontre a
express~ao da acelera�c~ao tangencial da part��cula em fun�c~ao do tempo, isto �e, a = a(t).
Exerc´ıcio 19 Um arame de 10 cm de comprimento deve ser cortado em dois peda�cos, um dois quais ser�a
torcido de modo a formar um quadrado, e o outro , a formar uma circunfere^ncia. De que modo dever�a
ser cortado o �o para que a soma das �areas das regi~oes limitadas pelo quadrado e pela circunfere^ncia
acima seja a maior poss��vel?
Exerc´ıcio 20
Na �gura ao lado, OPQ �um tria^ngulo is�oceles cuja
base, OP, mede 10 cm e cuja altura, relativa �a base OP,
tamb�em mede 10 cm. A partir de um ponto S, perten-
cente ao lado OP, tra�ca-se uma perpendicular a esse
lado. Sendo OS = x, a �area da regi~ao sobreada ao
lado pode ser descrita como uma fun�c~ao de x, isto �e,
A = A(x). Encontre a fun�c~ao A = A(x).
x
Q
P
S
O
ff -
Exerc´ıcio 21
Na �gura ao lado est�a represen-
tada uma semi-circunfere^ncia cujo
dia^metro, OB, tem valor igual �a b >
0. A cada valor do a^ngulo θ (como
na �gura) corresponde um, e so-
mente um, tria^ngulo reta^ngulo ins-
crito na semi-circunfere^ncia. En-
cotre a fun�c~ao A = A(θ) que nos
fornece a �area do tria^ngulo obtido
quando o a^ngulo �e θ.
BO
θ
3