livro matemática empresarial

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MATEMÁTICA EMPRESARIAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ROSVITA FUELBER FRANKE 
2012
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA SOBRE A AUTORA 
 
Rosvita Fuelber Franke é graduada em Licenciatura em Matemática pela Universidade 
Luterana do Brasil e fez Mestrado em Matemática na Universidade Federal do Rio 
Grande do Sul. É professora do curso de Matemática na Universidade Luterana do 
Brasil desde 2001. Desde 2010 atua como professora de Matemática Empresarial na 
ULBRA tendo atuado também como professora de Matemática Financeira no curso de 
Administração à distância. 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
Neste livro apresentamos os diversos aspectos dos conteúdos que envolvem a disciplina 
de Matemática Empresarial abordando os conceitos de função, apresentando como 
exemplos principais as funções polinomiais, a construção e interpretação de gráficos, a 
noção intuitiva de limites, a derivada de funções e também o conceito de integral. Em 
cada capítulo procuramos trabalhar, além dos conceitos matemáticos, a aplicação dos 
conteúdos desenvolvidos na área da economia e administração. Procuramos também 
mostrar as aplicações e desenvolver o conteúdo com o auxílio de exemplos resolvidos e 
a indicação de exercícios que possam servir de apoio para seus estudos. 
4 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
NOTAS SOBRE A AUTORA..........................................................................................2 
 
APRESENTAÇÃO............................................................................................................3 
 
SUMÁRIO.........................................................................................................................4 
 
CAPÍTULO 1: Conjunto dos Números Reais e Plano Cartesiano......1 
1.1. Números Reais............................................................................................................2 
1.2. Plano Cartesiano.........................................................................................................3 
1.3. Teste seus conhecimentos...........................................................................................4 
 
CAPÍTULO 2: Conceito de Função ........................................................15 
2.1. Funções ....................................................................................................................16 
2.2. Teste seus conhecimentos.........................................................................................17 
 
CAPÍTULO 3: Funções do 1º. Grau, Lei da Oferta e da Demanda e 
 Ponto de Equilíbrio de Mercado...................................25 
3.1. Funções do Primeiro Grau........................................................................................26 
3.2. Lei de Oferta e Demanda..........................................................................................27 
3.3. Ponto de Equilíbrio de Mercado...............................................................................28 
3.4. Teste seus conhecimentos.........................................................................................30 
 
CAPÍTULO 4: Funções do 2º. Grau, Funções Custo, Receita, Lucro e 
Break-even point............................................................35 
4.1. Função Quadrática....................................................................................................37 
4.2. Função Custo............................................................................................................38 
4.3. Função Receita.........................................................................................................39 
4.4. Função Lucro............................................................................................................40 
4.5. Ponto de nivelamento (break-even point).................................................................45 
4.6. Teste seus conhecimentos.........................................................................................56 
 
CAPÍTULO 5: Funções Polinomiais, Potência, Racional e Exponencial 
 e Logarítmica...................................................................60 
5.1. Funções Polinomiais... .............................................................................................83 
5.2. Funções Potência......................................................................................................88 
5.3. Função Racional.......................................................................................................88 
5.4. Função Exponencial.................................................................................................88 
5.5.Função Logarítmica...................................................................................................90 
5.6. Teste seus conhecimentos.........................................................................................99 
 
CAPÍTULO 6: Aplicações das funções na economia e administração.60 
6.1. Custo, receita e lucro médio.....................................................................................83 
6.2. Propensão ao consumo e a poupar............................................................................88 
5 
 
6.3. Montante...................................................................................................................88 
6.4. Função Utilidade e Produção....................................................................................88 
6.6.Teste seus conhecimentos..........................................................................................99 
 
CAPÍTULO 7: Noção Intuitiva de Limites e o Conceito de Derivada..80 
7.1. Ideia intuitiva de limites...........................................................................................83 
7.2. Derivada como taxa de variação...............................................................................88 
7.3. Regras de derivação..................................................................................................88 
7.4. Crescimento/decrescimento e pontos críticos de uma função..................................88 
7.5. Derivada de segunda ordem e suas informações sobre o gráfico da função............90 
7.6. Teste seus conhecimentos.........................................................................................99 
 
CAPÍTULO 8: Aplicações da Derivada na Economia e 
Administração...............................................................100 
8.1. Funções Marginais..................................................................................................101 
8.2. Otimização..............................................................................................................102 
8.3. Elasticidade - preço da demanda............................................................................103 
8.4. Propensão marginal a consumir e a poupar............................................................104 
8.5. Teste seus conhecimentos.......................................................................................110 
 
CAPÍTULO 9: A integrais......................................................................100 
9.1. A integral como antiderivada.................................................................................101 
9.2. Propriedades da integral indefinida e regras de integração....................................102 
9.3. O conceito de integral definida e o Teorema Fundamental do Cálculo.................103 
9.4. Teste seus conhecimentos.......................................................................................110 
 
CAPÍTULO 10: Aplicações da integral na administração..................100 
10.1.Excedente do produtor..........................................................................................101 
10.2. Excedente do consumidor.....................................................................................102 
10.3. Teste seus conhecimentos.....................................................................................110 
 
Apêndice: Fórmulas básicas da matemática empresarial...................120 
Respostas dos testes de conhecimento...................................................121 
Referências Bibliográficas......................................................................150 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
CAPÍTULO – I 
 
Conjunto dos Números Reais e 
 Plano Cartesiano 
 
 
Introdução 
Neste capítulo apresentaremos alguns conceitos preliminares que são 
importantes no estudo de funções. Antes de iniciarmos o conteúdo específico de 
Matemática Empresarial é necessário que você se familiarize com algumas questões que 
envolvem os números reais, com alguns tópicos de álgebra e também com a 
representação de pares ordenados no plano cartesiano. 
 
1.1. Números Reais 
A grande maioria das aplicações matemáticas utilizam os números reais. No 
curso de Matemática Empresarial é suficiente considerar um número real como um 
decimal. Números reais são representados por símbolos, tais como: -4, 5 , 
2
3
, - 0,7489, 
3 8 e pi . 
O conjunto dos números reais possui vários subconjuntos importantes, entre 
eles, destacamos: 
O Conjunto dos Números Naturais: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}; 
O Conjunto dos Números Inteiros: ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...}; 
O Conjunto dos Números Racionais: ℚ = {p/q | p, q ∈ ℤ e q ≠ 0}. 
A forma decimal de um número racional pode ter uma quantidade finita de casas 
após a vírgula, como por exemplo 25,0
4
1
= , ou uma quantidade infinita, como por 
exemplo 3,0...33333,0
3
1
== , neste caso, a barra sobre o 3 indica que o dígito se repete 
infinitamente. Podemos ainda apresentar, como exemplos de Números Racionais, os 
seguintes números: 
a) 1,66666... b) -7 c) 
5
7
 d) 0 e)-2,345345345... f) 16 
7 
 
 
1.1.1. Representações Decimais 
 A conversão de uma fração em decimais se faz dividindo o numerador pelo 
denominador. Se o denominador da fração na sua forma irredutível só contiver os 
fatores 2 e/ou 5, a decimal resultante será sempre finita; e é assim porque podemos 
introduzir fatores 2 e 5 no denominador em número suficiente para fazer desse 
denominador uma potência de 10. Observe os exemplos: 
a) ;75,0
100
75
10
75
2255
355
225
35
4
3
2 ===×××
××
=
××
×
= 
b) ;4,1
10
14
52
72
5
7
==
×
×
= 
c) ;95,1
100
195
205
395
20
39
==
×
×
= 
Conclusão: Uma fração se transforma em decimal finita se seu denominador não contém 
outros fatores primos além de 2 e 5. 
 Agora qual é a representação decimal de 
7
12 ? Observe que ao dividirmos 12 por 
7 obtemos 1,7142857142857142857... que é uma decimal infinita, denominada 
periódica. Como os possíveis restos da divisão, não exata, por 7 são 1,2,3,4,5,6 iremos 
encontrar os mesmos restos repetidamente, resultando no período 714285, que terá no 
máximo 6 algarismos! 
Um número real que não pode ser escrito na forma de uma razão, p/q com p e q 
números inteiros, é dito um número irracional. Os números irracionais são os números 
cuja escrita na forma decimal é infinita e não periódica. Exemplos de números 
irracionais: 
a) O número pi (pi), que pode ser representado pela dízima não periódica 
aproximadamente igual a 3,141592654. 
b) O número de Euler (e) que pode ser representado pela dízima não periódica 
aproximadamente igual a 2,718281828. 
c) ...414213562,12 ≅ 
O símbolo ≅ apresentado no exemplo anterior significa “aproximadamente 
igual a”. Observe ainda, que sempre que usamos a calculadora estamos trabalhando com 
números racionais, já que o visor de uma calculadora apresenta um número finito de 
8 
 
dígitos. Vale considerar ainda que nas atividades que serão apresentadas neste curso 
usaremos o seguinte critério para arredondamentos: 
• Se o algarismo da casa seguinte a ser arredondada for 0,1,2, 3 ou 4 deixaremos a 
casa a ser arredondada como está, como por exemplo: 1,234231.... será 
arredondado para 1,2342; 
• Se o algarismo da casa seguinte a ser arredondada for 5,6,7,8 ou 9 aumentamos 
uma unidade na casa a ser arredondada, observe o exemplo: 21,34269 será 
arredondado para 21,3427. 
Cabe ainda ressaltar que se o resultado obtido no problema envolve dinheiro 
usaremos apenas duas casas decimais, pois nossa moeda não admite mais do que 
centavos. 
 
1.1.2. Representação de números reais 
A todo número real corresponde um, e somente um, valor na reta real e todo 
valor na reta real corresponde um, e somente um, número real. Entre dois valores reais 
na reta existem infinitos números reais. 
 
 
O conjunto dos números reais é um conjunto ordenado. Isto significa que dados 
dois números reais, sempre é possível verificar se eles são iguais ou se um é maior ou 
menor do que o outro. 
Podemos comparar dois números reais quaisquer devido à seguinte propriedade 
(denominada Lei da Tricotomia): 
Sejam a e b dois números reais quaisquer. Somente uma das seguintes expressões é 
verdadeira: 
baoubaba >=< , . 
Geometricamente, a > b significa que a está à direita de b (ou de modo 
equivalente, b está à esquerda de a) na reta dos números reais. 
Desigualdades podem ser usadas para descrever intervalos de números reais. 
9 
 
1.1.3. Intervalos reais 
Considere a seguinte situação: 
No dia 15 de outubro de 2012, a temperatura máxima registrada na cidade de 
Canoas foi de 27ºC e a temperatura mínima foi de 15ºC. Qual foi a variação de 
temperatura nesse dia? 
A variação de temperatura nesse dia foi de 12ºC. Considerando t a temperatura 
registrada em um momento qualquer do dia, podemos dizer que t está no intervalo de 
15ºC a 27ºC e podemos representar esta variação utilizando a desigualdade 2715 ≤≤ t . 
Observe que a notação de intervalo se faz necessária, pois não podemos enumerar todos 
os valores reais que estão entre 15 e 27, visto que são infinitos. 
Na reta real temos a seguinte representação para o intervalo de variação de t: 
 
No intervalo acima, as “bolinhas” (∙) indicam que os valores 15 e 27 pertencem 
ao intervalo, o que também pode ser representado por [15,27]. 
Observe agora os tipos de intervalos reais que podemos ter: 
 
1.1.3.1. Intervalos Limitados 
1) Fechado: A={x ∈ ℝ| a ≤ x ≤ b} ou A=[a, b] temos que nesse caso os valores a e b 
pertencem ao intervalo A. 
Representação gráfica: 
 
2) Aberto: B={x ∈ ℝ| a < x < b} ou B=]a, b[ nesse caso temos que a e b não 
pertencem ao intervalo B. 
Representação gráfica: 
 
No intervalo acima, as “bolinhas” (∘) indicam que os valores a e b não 
pertencem ao intervalo. 
10 
 
3) Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda: C={x ∈ ℝ| a < x ≤ b}ou C=]a, b] 
nesse caso temos que a não pertence ao intervalo C mas b pertence à C. 
Representação gráfica: 
 
4) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita: D={x ∈ ℝ| a ≤ x < b}ou D=[a, b[ 
nesse caso temos que a pertence ao intervalo mas b não. 
Representação gráfica: 
 
1.1.3.2. Intervalos não Limitados 
1) Intervalo aberto: E={x ∈ ℝ| x > a}, E=]a, +∞[ nesse caso a não é elemento do 
intervalo. 
Representação gráfica: 
 
2) Intervalo aberto: F={x ∈ ℝ| x < b} ou E=]-∞, b[ nesse caso temos que b não 
pertence ao intervalo. 
Representação gráfica: 
 
3) Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda: G={x ∈ ℝ| x ≤ b} ou G=]-∞, b] 
nesse caso temos que b é um elemento do intervalo. 
Representação gráfica: 
 
4) Intervalofechado à esquerda e aberto à direita: H={x ∈ ℝ| x ≥ a} ou H=[a, +∞[ 
nesse caso temos que a é um elemento de H. 
Representação gráfica: 
11 
 
 
Observações importantes: 
a) Os números reais a e b são os extremos de cada intervalo; 
b) Alguns autores utilizam o parênteses (,) para indicar que um intervalo, ou um 
extremo do intervalo, é aberto. Assim podemos escrever (a,b) para indicar ]a,b[; 
c) O Conjunto dos Números Reais também pode ser representado por ℝ=]-∞, +∞[ 
ou, como citado na observação anterior, ℝ=(-∞, +∞); 
d) Os símbolos -∞ e +∞ não são números. De fato eles indicam que a reta real se 
estende a uma distância infinita para a esquerda ou para a direita. 
 
1.2. Plano Cartesiano 
Dois números reais quaisquer formam um par e, quando a ordem desse par tem 
significado e importância, dizemos que temos um par ordenado. A notação utilizada 
para representar um par ordenado é (a,b) onde o número a é denominado primeira 
coordenada e o número b é a segunda coordenada. Observe que os pares (4,5) e (5,4) 
são pares ordenados diferentes, pois a primeira coordenada de um é diferente da 
primeira coordenada do outro e o mesmo acontece com as segundas coordenadas. 
Consideremos dois eixos perpendiculares que se interseccionam, determinando um 
ponto chamado origem. O eixo horizontal (OX) é denominado de eixo das abscissas e 
o eixo vertical (OY) é o eixo das ordenadas. Os dois eixos determinam um sistema de 
eixos ortogonais denominado plano cartesiano. 
 
12 
 
A cada par ordenado corresponde um ponto do plano cartesiano e, reciprocamente, 
a cada ponto do plano cartesiano corresponde um par ordenado. A primeira coordenada 
do ponto é denominada abscissa do ponto e a segunda coordenada é chamada de 
ordenada do ponto. 
Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões que denominamos quadrantes. 
Estas regiões, quadrantes, são tomadas sempre no sentido anti-horário. 
 
Utilizando uma unidade de comprimento podemos marcar números reais sobre os 
eixos. Considerando no eixo das abscissas, os valores positivos à direita da intersecção e 
os valores negativos à esquerda. No eixo das ordenadas, positivos acima da intersecção 
e negativos abaixo de intersecção. Assim, podemos marcar no plano cartesiano, pontos 
que correspondem a pares ordenados, como na figura abaixo: 
 
13 
 
Observações: 
a) Para marcar um ponto no plano cartesiano consideramos as coordenadas 
cartesianas do ponto onde a primeira coordenada corresponde a abscissa e a 
segunda corresponde a ordenada; 
b) Usamos a notação P(a,b) para o par ordenado ou ponto P do plano, mas no caso 
dos números a ou b serem decimais, o par fica separado por ponto e vírgula. 
Como, por exemplo, no par (-7; 4,21) que aparece no terceiro quadrante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
1.3. Teste seus conhecimentos 
1. Com o auxílio de uma calculadora, encontre a forma decimal para cada número 
racional. Verifique se o número tem finitas ou infinitas casas após a vírgula. 
a) 
8
37
− b) 
99
18
 c) 
6
23
− d) 
27
5
 e) 
25
74
− f) 
10
25
 g) 
19
189
− 
2. Localize, na reta real, os seguintes números reais. 
a = -3,678; b = 21 ; c =
2
5
− ; d =
7
14
− ; e = 3 64 ; f = 0,8177; g = 5 
 
3. Escreva, usando a notação de intervalos, e represente na reta real cada conjunto 
abaixo. 
a) A é o subconjunto dos números reais formado pelos números reais maiores que 3. 
b) B é o intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de extremos -5 e 1. 
c) C é o intervalo aberto de extremos -2 e 1. 
d) D é o intervalo fechado de extremos 0 e 5. 
4. Dê as coordenadas cartesianas de cada ponto do plano cartesiano abaixo: 
 
5. Marque no plano cartesiano os seguintes pontos: 
A(-1,3) B(-3,2) C(0,5;3) D(0,4) E(0,-2) F(-3,1) G(1,5;-3) H(0,25;0) 
 
 
 
 
 
15 
 
 CAPÍTULO – II 
 
Conceito de Função 
 
Introdução 
Em economia ou administração muitas vezes se faz necessário relacionar duas 
variáveis como, por exemplo, quantidade e preço. As funções são ferramentas muito 
importantes que nos auxiliam a descrever tais relações. Neste capítulo, desenvolvemos o 
conceito de função e revisamos importantes operações algébricas que serão utilizadas 
no desenvolvimento da disciplina. 
 
2.1. Funções 
Considere a seguinte situação: 
Uma companhia de exportação espera obter durante um ano um lucro de, no 
mínimo, 5 milhões de dólares. Se a cada mês o lucro é de 700 mil dólares, complete 
a planilha para descrever o processo e determine o mês em que a empresa atingiu 
sua meta. 
Tempo em meses Lucro em milhões 
1 0,7 
2 1,4 
3 2,1 
4 
 
5 
 
6 
 
7 
 
8 
 
9 
 
10 
 
11 
 
12 
 
 
A ferramenta matemática que nos permite modelar o problema motivador e 
atribuir a ele uma lei matemática para expressar a relação que existe entre o tempo e 
o lucro obtido recebe o nome de função. O conjunto de valores que atribuímos ao 
tempo recebe o nome de domínio da função, enquanto o tempo é denominado 
variável independente. O conjunto de valores que encontramos para o lucro é 
chamado conjunto imagem da função e o lucro é denominado valor da função ou 
variável dependente. 
De maneira mais geral e formal podemos considerar a seguinte definição: 
16 
 
 
 
 
 
Considerando a situação anterior podemos representar a função da seguinte: 
f : ℝ+ → ℝ+ 
y = f(x) = 0,7x 
 O símbolo f determina o “nome” da função e o símbolo ℝ+ (conjunto dos números 
reais não negativos)
 
antes da seta representa o domínio da função, conjunto no qual 
devemos considerar os valores de x. Já o ℝ+ após a seta indica o contradomínio da 
função, formado por todos os elementos que podem pertencer ao conjunto imagem da 
função. 
Quando completamos a segunda coluna da tabela (representada pelo lucro) estamos 
determinando a imagem de cada um dos valores do domínio que estão representados na 
primeira coluna (que no caso específico do exemplo é considerado como o tempo 
transcorrido). 
Assim, podemos calcular e preencher as linhas da tabela da seguinte forma: 
Tempo em meses Lucro em milhões 
1 f (1) = 0,7.1 = 0,7 
2 f (2) = 0,7.2 = 1,4 
3 f (3) = 0,7.3 = 2,1 
4 f (4) = 0,7.4 = 2,8 
5 f (5) = 0,7.5 = 3,5 
6 f (6) = 0,7.6 = 4,2 
7 f (7) = 0,7.7 = 4,9 
8 f (8) = 0,7.8 = 5,6 
9 f (9) = 0,7.9 = 6,3 
10 f (10) = 0,7.10 = 7,0 
11 f (11) = 0,7.11= 7,7 
12 f (12) = 0,7.12 = 8,4 
E, com base nos resultados obtidos, podemos concluir que a meta de lucro será 
alcançada, e até ultrapassada, no oitavo mês. 
A tabela também pode ser útil na hora de representarmos o problema na forma de 
um gráfico. O gráfico de uma função descreve geometricamente a função, utilizando 
um sistema de eixos coordenados xy. Observe que a cada valor de x do domínio 
estamos relacionando um valor y = f (x) da imagem. O conjunto de todos os pares 
ordenados (pontos) da forma (x,f(x)) forma uma curva no plano cartesiano, denominada 
gráfico da função f. 
Uma função f é uma lei (ou uma regra) que associa a cada elemento x 
do domínio (D(f)) exatamente um elemento do conjunto contradomínio 
(CD(f)), tal elemento é representado por f(x) e denominado imagem de x pela 
função f. 
17 
 
Voltando ao problema inicial podemos considerar as seguintes representações: 
Vamos agora apresentar alguns exemplos de situações que envolvem funções. 
Exemplo 1: Seja f a função definida pela lei f(x) = - 2x+1. Qual é o domínio da função? 
Calcule f(-1) e f(5). 
Resolução: Observe inicialmente que a lei da função f(x) = - 2x+1 envolve operações 
básicas de números reais como multiplicação e adição. Observe ainda que sempre é 
possível multiplicar um número real por -2 e também é possívelsomarmos este número 
a 1, obtendo como resultado um único número real. Por estas considerações podemos 
assumir que o domínio da função é o conjunto dos números reais (ℝ). 
Para encontrar o valor de f(-1) devemos substituir a variável independente x, por -1 
em todas as ocorrências de x na lei f(x) = - 2x+1, assim temos: 
f(-1) = - 2(-1)+1 = +2+1 = 3. 
Da mesma forma, para encontrar o valor de f(5) devemos substituir a variável 
independente x, por 5 em todas as ocorrências de x na lei f(x) = - 2x+1 e assim obtemos: 
f(5) = - 2(5)+1 = -10+1 = -9. 
 
Exemplo 2: Seja f a função definida pela lei 1)( += xxf . Qual é o domínio da 
função? Calcule f(-1) e f(3). 
Resolução: A lei da função 1)( += xxf envolve uma raiz de índice par (raiz 
quadrada) onde x + 1 elemento real. Neste exemplo, devemos lembrar que não existe, 
no conjunto dos números reais, uma raiz de índice par de números negativos, ou seja, 
devemos considerar que o número x+1 não pode ser negativo. Assim, devemos ter 
necessariamente 101 −≥⇒≥+ xx . Isto significa que o valor de x deve ser maior ou 
18 
 
igual a -1 para que a possamos encontrar como resultado da função um número real. 
Concluímos então que o domínio da função deve ser o intervalo [-1,+∞[. 
Agora que sabemos que D(f(x))= [-1,+∞[ podemos então calcular f(-1), já que -1 
pertence ao domínio da função. Assim temos: 
001)1()1( ==+−=−f 
Da mesma forma, para encontrar o valor de f(3) devemos substituir a variável 
independente x, por 5 em todas as ocorrências de x na lei e assim obtemos: 
2413)3( ==+=f . 
 
Exemplo 3: No Brasil costumamos usar graus Celsius para expressar a temperatura mas 
em alguns países a temperatura é expressa em graus Fahrenheit. A expressão 
matemática que apresenta a temperatura y em graus Celsius em função da temperatura x 
em graus Fahrenheit é 
9
160
9
5
−= xy . 
a) Você está em um país cuja temperatura ambiente é expressa em graus 
Fahrenheit. No momento da sua chegada vê um termômetro que marca 77ºF. 
Qual é a temperatura em graus Celsius? 
b) A água entra em ebulição a 212ºF. Qual a temperatura correspondente em graus 
Celsius? 
Resolução: (a) Considerando que a lei que relaciona a temperatura em Fahrenheit com a 
temperatura em graus Celsius é
9
160
9
5
−= xy para determinarmos a temperatura 
fazemos x=77 e substituímos na lei: 
25
9
225
9
160385
9
160
9
385
9
160
9
775
9
16077
9
5
==
−
=−=−
×
=−×=y 
Concluímos assim que a temperatura é de 25ºC. 
(b) Se a água entra em ebulição a 212ºF temos que substituindo x por 212 na equação 
temos: 
100
9
900
9
1601060
9
160
9
1060
9
160
9
2125
9
160212
9
5
==
−
=−=−
×
=−×=y 
Ou seja, a temperatura para a água entrar em ebulição é de 100ºC. 
 
Exemplo 4: A variação do preço de um determinado produto no ano de 2011 pode ser 
determinada pela seguinte lei P(t)=0,75t+5,59, onde t representa os meses do ano sendo 
19 
 
que t=1 é o mês de janeiro e P(t) o preço do produto no mês t. Construa uma tabela com 
os valores mês a mês para mostrar a variação do preço. Marque os valores encontrados 
em um gráfico cartesiano para representar a situação. 
Resolução: 
 Mês(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Preço(R$) 6,34 7,09 7,84 8,59 9,34 10,09 10,84 11,59 12,34 13,09 13,84 14,59 
 
 
 
Neste exemplo, você pode observar na tabela e também no gráfico, que conforme o 
valor de t aumenta o preço também aumenta. Este tipo de variação caracteriza uma 
função crescente. 
 
Exemplo 5: Considere a função real 2)( −−= xxf . Determine o seu domínio e 
construa uma tabela apresentando no mínimo 5 valores diferentes de x e suas 
respectivas imagens. Use os resultados da tabela para fazer um esboço do gráfico. 
X 2 3 4 5 6 7 
Y 
Resolução: Novamente temos uma função cuja lei envolve uma raiz de índice par (raiz 
quadrada) onde x - 2 é elemento real. Neste exemplo, devemos lembrar que não existe, 
no conjunto dos números reais, uma raiz de índice par de números negativos, ou seja, 
devemos cuidar para que o número x - 2 não seja negativo. Assim, devemos ter 
necessariamente 202 ≥⇒≥− xx . Isto significa que o valor de x deve ser maior ou 
igual a 2 para que a possamos encontrar como resultado da função um número real. 
Concluímos então que o domínio da função deve ser o intervalo [2,+∞[. 
Atenção: ao completar a tabela você deve tomar cuidado com os sinais!! 
20 
 
x 2)( −−= xxf 
2 0022)2( =−=−−=f 
3 1123)3( −=−=−−=f 
4 414213,1224)4( −≅−=−−=f 
5 7320501,1325)5( −≅−=−−=f 
6 2426)6( −=−=−−=f 
7 236068,2527)7( −=−=−−=f 
 
 
Agora temos uma função que quando o valor de x aumenta a imagem f(x) diminui, o 
que caracteriza uma função decrescente. 
 
Exemplo 6: Uma loja paga uma comissão para seus vendedores de 6% em cada venda 
de até R$1.500,00. Para vendas acima deste valor o vendedor recebe uma comissão de 
2% mais um valor fixo de R$150,00. Considere que f(x) é a função que determina a 
comissão de cada vendedor em função do valor da venda x. 
a) Apresente a função f(x); 
b) Qual a comissão de um vendedor que vendeu R$700,00? 
c) Qual a comissão de um vendedor que vendeu R$ 2.700,00? 
Resolução: (a) A lei de f(x) depende do valor vendido x. Se o valor da venda for de até 
R$1.500,00 o vendedor recebe 6% do valor, ou seja, se 15000 ≤≤ x temos que o valor 
da venda deve ser multiplicado por 06,0
100
6
= (6%). E então f(x) = 0,06x. Já se a venda 
for maior do que R$1.500,00 a comissão será de 2% mais um valor fixo de R$150,00, 
ou seja, se 1500>x temos que o valor da venda deve ser multiplicado por 
21 
 
02,0
100
2
= (2%) e acrescido de 150. Então f(x) = 0,02x+150. O domínio da função 
consiste dos valores de x em um dos intervalos [0,1500] ou ]1500,+∞[. Em cada um 
desses intervalos a função é definida por leis diferentes (esta é uma função definida 
por partes): 



>+
≤≤
=
150015002,0
1500006,0)(
xsex
xsex
xf . 
(b) A comissão do vendedor que vendeu R$700,00 será dada pela fórmula f(x) = 0,06x, 
já que x = 700 está no intervalo 15000 ≤≤ x . Então f(700) = 0,06.700 = 42. Assim a 
comissão será de R$42,00. 
(c) Já a comissão do vendedor que vendeu R$2.700,00 será dada pela fórmula 
f(x)=0,02x+150, já que x = 2700 está no intervalo 1500>x . 
Então f(2700) = 0,02.2700+150=54+150=204. Assim a comissão será de R$204,00. 
 
Exemplo 7: Considere a função cujo gráfico está abaixo. 
a) Qual é o valor de x quando y = 2? 
b) Determine f(-1) e f(2). 
 
Resolução: (a) Observe que o ponto do gráfico onde temos y = 2 devemos olhar para o 
ponto onde a coordenada y é 2. Esse ponto possui coordenada x = 1. 
(b) Para encontrar o valor de f(-1) olhamos a coordenada y do ponto onde x é igual a -1. 
No gráfico vemos que (-1,-2) é o ponto do gráfico procurado, ou seja, f(-1) = -2. De 
maneira semelhante encontramos o valor de f(2) que será 1 e assim temos f(2)=1. 
22 
 
Exemplo 8: O gráfico abaixo representa o valor (em R$) do preço de venda do quilo do 
tomate em uma feira de produtos agrícolas no decorrer dos doze meses do ano, 
considerando que x=1 representa o mês de janeiro, x=2 o mês de fevereiro, e assim 
sucessivamente. Determine: 
 
a) O valor do quilo do tomate em janeiro, março, maio e outubro. 
b) O mês em que o valor do quilo do tomate atingiu R$5,00. 
c) O mês em que o quilo do tomate assumiu o maior valor. 
d) O mês em que o quilo do tomate assumiu o menor valor. 
Resolução: (a) O valor de y apresentado em x=1(janeiro) é de 2,5. Assim temos que o 
valor do quilo de tomate em janeiro foi de R$2,50. Para x=3 (março) temos y=3,5 e, 
então o valor do quilo de tomate em março era de R$3,5. Para o mês de maio temos x=5 
e y=3 e assim podemos afirmar que o preço do quilo do tomate em maio foi de R$3,00.Por fim, no mês de outubro o valor do quilo de tomate, conforme o gráfico, foi de 
R$5,50. 
(b) O mês em que o quilo de tomate atingiu o valor de R$5,00 foi o mês x=8, ou seja, o 
mês de julho. 
(c) O valor do quilo de tomate atingiu seu maior valor em agosto. Nesse mês o preço foi 
de R$6,00. 
(d) O menor valor apresentado foi no mês de janeiro, quando o quilo de tomate custou 
R$ 2,50. 
 
23 
 
Exemplo 9: A função custo unitário associado a produção de um determinado produto é 
dado pela função 75320)( +=
q
qc onde q é a quantidade produzida e c(q) o custo 
relacionado com esta quantidade. Determine o domínio da função, complete a tabela 
abaixo e faça um esboço do gráfico da função. 
Quantidade(q) 10 20 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 
Custo(R$) 
Resolução: Inicialmente observe que a lei apresenta uma fração com a variável 
independente no denominador e devemos considerar que o número zero não pode fazer 
parte do domínio da função, já que a divisão por zero não está definida no conjunto dos 
números reais. Por este motivo o domínio da função real pode ser o conjunto dos 
números reais menos o zero (ℝ*= ℝ-{0}). Mas agora observe que a função serve como 
modelo para um problema da realidade e, neste problema a variável independente q 
representa a quantidade produzida que não pode se negativa. Sendo assim o domínio da 
função deve ser o conjunto dos números reais positivos (ℝ+). 
Quantidade(q) 10 20 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 
Custo(R$) 107 91 81,4 78,2 77,13 76,6 76,28 76,07 75,91 75,8 75,71 75,64 
 
Agora observe no gráfico que a medida que os valores de q aumentam o valor do custo 
diminui se aproximando de 75(sem nunca chegar de fato a 75, já que a expressão 
q
320
 
nunca será zerada). Este gráfico mostra uma função limitada inferiormente. 
 
Exemplo 10: A receita de uma determinada empresa pode ser descrita pela função 
25
1
20)( +
−
−
=
q
qr onde q é a quantidade vendida e r(q) a receita associada a esta 
24 
 
quantidade. Determine o domínio da função, complete a tabela abaixo e faça um esboço 
do gráfico da função. 
Quantidade(q) 2 3 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 
Custo(R$) 
Resolução: Novamente temos uma lei apresenta uma fração com a variável 
independente no denominador e devemos considerar que o número um não pode fazer 
parte do domínio da função, já que 1 - 1 = 0 e a divisão por zero não está definida no 
conjunto dos números reais. Por este motivo o domínio da função real pode ser o 
conjunto dos números reais menos o um (ℝ-{1}). Mas agora observe que a função serve 
como modelo para um problema da realidade e, neste problema a variável independente 
q representa a quantidade vendida que não pode se negativa. Sendo assim o domínio da 
função deve ser o conjunto dos números reais maiores do que 1, ou seja, ]1,+∞[. 
Quantidade(q) 2 3 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 
Custo(R$) 5 15 20 22,78 23,57 23,95 24,17 24,31 24,41 24,49 24,55 24,59 
 
Agora observe no gráfico que a medida que os valores de q aumentam o valor da receita 
vai se aproximando de 25 (sem nunca chegar de fato a 25, já que a expressão 
1
20
−
−
q
 
nunca será zerada). Este gráfico mostra uma função limitada superiormente. 
 
 
 
 
 
 
25 
 
2.2. Teste seus conhecimentos 
1. Considere D = {-2,-1,0,1,2} o domínio da função f dada pela lei f(x)=2x-1 e o 
conjunto dos números inteiros como contradomínio. Determine o conjunto 
imagem da função. Marque os pontos de f(x) no plano cartesiano. 
2. Seja f: ℕ →ℕ definida por 


 +
=
ímparéxsex
paréxsex
xf
,2
,3)( . Calcular: 
f(5)= f(4)= f(0)= f(13)= 
 
3. Determine o domínio da função definida pela lei 5)( += xxf . 
 
4. Numa rodovia, um carro mantém uma velocidade constante de 90km/h. 
a) Construa uma tabela que indique a correspondência entre a quantidade de horas 
(1,2,3,4,5) e a distância percorrida; 
b) Apresente uma lei que associa o número de horas e a distância percorrida; 
c) Se a viagem durasse 6 horas, quantos quilômetros seriam percorridos? 
d) Se o carro percorreu 225km, quantas horas ele gastou? 
 
5. Supondo que a quantia gasta com giz para as escolas públicas de uma cidade do 
Brasil (em milhares de reais) possa ser modelada pela função 
12567,325,48,0)( 23 ++−= ttttf , em que t representa o ano, com t=0 
correspondendo a 2000, determine o que se pede. 
 
a) Use o modelo matemático para completar a tabela abaixo 
Ano 2000 2001 2002 2003 2004 2005 
Despesas 
b) Utilize o modelo para prever os gastos em 2013 e 2020. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
CAPÍTULO – III 
 
Funções do 1º. Grau, Lei da Oferta e da 
Demanda e Ponto de Equilíbrio de Mercado 
 
Introdução 
Nesse capítulo vamos apresentar a função polinomial do primeiro grau, ou 
simplesmente Função do 1º. Grau. Veremos também algumas aplicações importantes na 
administração e economia, como a Lei de Oferta, Lei da Demanda e o Ponto de 
Equilíbrio. 
 
3.1. Funções do Primeiro Grau 
Considere o problema abaixo, apresentado na atividade no capítulo II: 
Numa rodovia, um carro mantém uma velocidade constante de 90km/h. 
a) Construa uma tabela que indique a correspondência entre a quantidade de 
horas (1,2,3,4,5) e a distância percorrida; 
b) Apresente uma lei que associa o número de horas e a distância percorrida; 
A tabela solicitada no problema apresenta os valores correspondentes ao tempo 
transcorrido na primeira linha e a distância percorrida na segunda. 
 
 
 
Observe que a tabela apresenta uma variação proporcional. Este tipo de variação 
caracteriza as funções polinomiais de primeiro grau. 
A lei da função será dada por f(x) = 90x, onde a = 90 é a taxa de variação e pode ser 
determinada pela razão distância/tempo. Este valor determina o acréscimo na distância 
correspondente ao acréscimo de uma unidade no tempo. 
Considere a função f: ℝ→ℝ definida pela lei baxxf +=)( , onde a e b são dois 
números reais quaisquer com a≠0. 
Tempo 1 2 3 4 5 
Distância 90 180 270 360 450 
27 
 
 
A representação cartesiana desta função é uma linha reta. 
O valor de a é denominado coeficiente angular da reta e representa a tangente 
trigonométrica do ângulo que a reta forma com o sentido positivo do eixo dos x, medido 
no sentido anti-horário, enquanto que o valor de b é o coeficiente linear da reta, sendo a 
ordenada do ponto em que a ela corta o eixo dos y. O ângulo θ é denominado 
inclinação da reta. 
 
 
 
 
 
 
 
A equação da reta ainda permite analisar se a função é crescente ou decrescente. 
Observe que se o coeficiente angular da reta for positivo a função cresce, isto é, o 
gráfico cartesiano é inclinado para a direita, enquanto que se o coeficiente angular for 
negativo a função decresce, isto é, o gráfico cartesiano é inclinado para a esquerda. Tais 
situações são ilustradas nos gráficos abaixo: 
a) 12 += xy , a = 2 > 0 
A função é crescente. 
b) 12 +−= xy , a = - 2 < 0 
A função é decrescente. 
Sendo a o coeficiente angular da reta, que pode ser determinado 
pela expressão 
12
12tan
xx
yy
a
−
−
== θ , e b coeficiente linear, que é a 
ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y, obtemos a equação 
reduzida da reta baxy += . 
28 
 
 
 
 
Para determinarmos uma reta basta dois pontos. No caso da função polinomial de 
primeiro grau os pontos importantes na determinação do gráfico são os cortes nos eixos 
x e y (ou os interceptos). 
Dada a equação reduzida da reta baxy += já sabemos que b é o intercepto do eixo 
y e, o intercepto do eixo x é obtido quando consideramos x = 0. Assim, temos: 
a
b
xbaxbax −=⇒−=⇒=+ 0 . 
 
Exemplo 1: Considere a função de primeirograu cuja lei é dada por 23)( −= xxf . 
Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear da reta, os interceptos e construa 
seu gráfico e verifique se a função é crescente ou decrescente. 
Resolução: Da lei 23)( −= xxf , temos: 
 
Coeficiente Angular: a = 3>0 
Função Crescente 
Coeficiente Linear: b = - 2 
Interceptos: 
3
2
=x e 2−=y 
Corte no eixo x (y=0): 
3
223023 =⇒=⇒=− xxx 
Corte no eixo y (x=0): 
220.3 −=−=y 
 
29 
 
 Exemplo 2: Uma empresa foi multada por jogar resíduos tóxicos em um rio. A multa 
aplicada foi de R$45.000,00 mais R$1.500,0 por dia até que a empresa se ajustasse às 
normas que regulamentam os índices de polução. Apresente a função que relaciona o 
valor da multa com relação ao número x de dias que a empresa levou para se ajustar as 
normas exigidas. Determine o valor da multa que a empresa deve pagar se levar 12 dias 
para se ajustar as normas. Sabendo que a empresa pagou R$79.500,00 de multa, 
determine quantos dias de fato ela levou para se ajustar as normas exigidas. 
Resolução: Observe que temos uma parte da multa que é fixa (45.000,00) e outra parte 
que vai variar conforme o número de dias x (1.500,00x). Então temos que a lei que 
expressa a situação é 450001500)( += xxf . 
Para determinar qual o valor que será pago ao final de 12 dias, devemos substituir x 
por 12 na lei da função: 
6300045000180004500012.1500)12( =+=+=f 
Assim, concluímos que o valor pago após 12 dias é de R$63.000,00. 
Agora, se a empresa pagou R$79.500,00 de multa, teremos 79500)( =xf , ou seja, 
devemos calcular o valor de x considerando que 79500450001500 =+x . Temos então: 
23
1500
34500
345001500
45000795001500
79500450001500
=
=
=
−=
=+
x
x
x
x
x
 
Isto significa que a empresa levou 23 dias para regularizar a sua situação. 
 
Exemplo 3: Apresente a lei da função do primeiro grau que passa pelos pontos (4,-1) e 
(6,-5). 
Resolução: Como já foi colocado anteriormente, para determinarmos o gráfico de uma 
reta são necessários apenas dois pontos. Considerando (6,-5) como ponto ),( 22 yx e (4,-
1) como ponto ),( 11 yx e, utilizando a igualdade 
12
12
xx
yy
a
−
−
= que determina o valor do 
coeficiente angular da reta, temos: 
2
2
4
2
15
46
)1(5
12
12
−=
−
=
+−
=
−
−−−
=⇒
−
−
= a
xx
yy
a 
Assim, o coeficiente angular da reta é a = - 2 e temos uma função decrescente. 
30 
 
Para determinar o coeficiente linear utilizamos a equação reduzida da reta 
baxy += , um dos pontos dados no problema e o valor de a calculado anteriormente. 
Assim, obtemos: 
b
b
b
b
baxy
=
=+−
+−=−
+−=−
+=
7
81
81
4.21
 
Agora, sabendo que a = - 2 e que b = 7 temos equação reduzida da reta que passa 
por (4,-1) e (6,-5) que é 72 +−= xy , lembre-se que esta equação também expressa a lei 
da função procurada. 
 
Exemplo 4: Um motorista de automóvel sabe que o custo mensal do uso de um carro 
depende do número de quilômetros rodados. João observou que no mês de maio ele 
gastou R$380,00 e percorreu 480km e, em junho, gastou R$460,00 para percorrer 
680km. Considerando que o modelo linear é apropriado, expresse o custo mensal C 
como uma função da distância percorrida d. Use o resultado obtido para determinar o 
custo quando forem percorridos 2400km por mês. 
Resolução: O modelo linear citado no problema faz referência à equação da reta, isto 
significa que estamos procurando uma função polinomial do primeiro grau como 
modelo para a situação. Neste problema é solicitado que o custo seja expresso em 
função da distância, ou seja, C(d), onde d é a variável independente e C a variável 
dependente. Note que temos dois pontos a considerar (480,380) e (680,460) e, para 
expressarmos a função, devemos proceder como no exemplo 3, procurando a equação 
da reta que passa pelos pontos dados. Assim, o coeficiente angular da reta é: 
4,0
200
80
480680
380460
12
12
==
−
−
=⇒
−
−
= a
dd
cc
a . 
Para determinar o coeficiente linear fazemos: 
b
b
b
b
badc
=
=−
+=
+=
+=
188
272460
272460
680.4,0460
 
31 
 
Agora, sabendo que a =0,4 e que b = 188 temos que a lei da função custo será 
1884,0)( += ddC . Para determinar o custo quando forem percorridos 2400km 
fazemos: 
 11481889601882400.4,0)2400( =+=+=C . 
Assim, temos que se o motorista percorrer 2400km seu custo mensal será de 
R$1.148,00. 
 
3.2. Lei de Oferta e Demanda 
A função oferta é a função que descreve o comportamento do produtor, 
relacionando preço e quantidade. É uma função crescente já que a predisposição para 
oferta de um produto pelo produtor no mercado aumenta quando o preço aumenta, em 
outros termos, podemos dizer que quando o preço de uma mercadoria aumenta, o 
produtor oferta maior quantidade dessa mercadoria. Normalmente, denota-se o preço 
por “p” e a função por S(p). 
A função demanda relaciona preço à quantidade vendida, expressa o 
comportamento do consumidor que, compra mais quando o preço do produto diminui e 
compra menos quando o preço desse produto aumenta. Assim podemos dizer que a 
função demanda é uma função decrescente. Usualmente a demanda é denotada por 
D(p) ou Q(p) que representa a quantidade vendida ou demandada pelo preço “p”. 
 
Exemplo 5: A oferta de um produto no mercado é dada pela função ppS
3
13)( +−= , 
com o preço variando entre R$9,00 e R$30,00. Observe que p é o preço por unidade e S 
é a correspondente oferta de mercado. Represente a função graficamente. 
Resolução: Para fazermos o gráfico da função, que é uma reta, consideramos dois 
pontos: 
Primeiro fazemos 0339.
3
13)9(9 =+−=+−=⇒= Sp . Temos o ponto (9,0). 
Agora, fazendo 710330.
3
13)30(30 =+−=+−=⇒= Sp . Temos o ponto (30,7). 
Assim, temos a reta: 
32 
 
 
 
Exemplo 6: Considere que função dada por ppD )5,0(15)( −= , onde p é o preço por 
unidade do produto e D(p) a quantidade demandada no mercado. Determine: 
a) Intervalo da variação de p, ou seja, o domínio da função; 
b) Intervalo de variação de D, ou seja, a imagem da função; 
c) Representação gráfica. 
Resolução: Considere inicialmente que a função demanda vista como uma função 
polinomial do primeiro grau deve ter domínio e imagem real, porém neste caso a função 
expressa uma situação real e o preço de uma mercadoria não pode ser negativo nem 
pode ser negativa a quantidade demandada. Para melhor entender a situação vamos 
observar o gráfico da função real abaixo: 
 
Para determinar o domínio olhamos o eixo x, que neste caso representa o preço p. 
Observe que quando x<0 indica preço menor do que zero, portanto a parte do gráfico 
onde x é negativo não faz sentido. E, para x>30 temos como imagem (que neste caso 
indica a quantidade) valores negativos, o que também não condiz com a realidade. 
Sendo assim, concluímos que o domínio (valores do preço) deve variar no intervalo 
entre 0 e 30. 
33 
 
Agora, fazendo a mesma análise para a imagem (que corresponde a quantidade 
demandada) vemos que para 300 ≤≤ x temos 150 ≤≤ y . O que significa que 
enquanto o preço p 300 ≤≤ p a quantidade demandada está no intervalo 150 ≤≤ D . 
Assim, concluímos: 
a) Intervalo da variação de p, ou seja, o domínio da função é [0,30] 
b) Intervalo de variação de D, ou seja, a imagem da função é [0,15] 
c) Representação gráfica. 
 
 
3.3. Ponto de Equilíbrio de Mercado 
Quando trabalhamos com duas funções diferentes, algumas vezes é importante 
determinarmos se estas funções possuem pontos em comum. Tais pontos são 
denominados pontos de intersecção. Dadas duas funções distintas f(x) e g(x) 
encontramos, se existir, o(s) ponto(s) de intersecção resolvendo a equação )()( xgxf = . 
Em economia estes pontos possuem nomes específicos, conformea situação. 
Considerando as funções oferta e demanda, a primeira crescente e a segunda 
decrescente, existe um ponto comum as duas (um ponto de intersecção), este ponto é 
denominado ponto de equilíbrio de mercado. A coordenada x do ponto de equilíbrio 
corresponde ao preço de equilíbrio de mercado (PE). A coordenada y do ponto de 
equilíbrio é quantidade correspondente ao preço de equilíbrio é denominada 
quantidade de equilíbrio de mercado (QE). 
 
Exemplo 7: Considere a função de oferta do exemplo 5, ppS
3
13)( +−= , e a função de 
demanda do exemplo anterior, ( )ppD 5,015)( −= . Encontre o ponto de equilíbrio de 
mercado. Apresente o gráfico da situação. 
34 
 
Resolução: Para encontrar o ponto de equilíbrio fazemos )()( pDpS = , resolvendo a 
equação encontramos o valor de p que corresponde ao preço de equilíbrio. Observe: 
( )
equilíbriodepreço
p
p
p
pp
pp
pp
pp
pDpS
6,21
5,2
54
545,2
545,11
18.3)5,0(
3
1
.3
1535,0
3
1
5,015
3
13
)()(
=
=
=
=+
=





+
+=+
−=+−
=
 
Substituindo esse valor na função oferta, ou na função demanda, encontramos o valor de 
q que corresponde a quantidade de equilíbrio. Assim, 
equilíbriodequantidade
D
D
xD
ppD
2,4)6,21(
8,1015)6,21(
6,215,015)6,21(
5,015)(
=
−=
−=
−=
 
O ponto de equilíbrio é PE(21,6;4,2). 
O gráfico é: 
 
 
Exemplo 8: Considere as seguintes funções do primeiro grau 13)( += xxf e 
12)( −= xxg . Apresente o ponto de intersecção das funções e construa um gráfico 
cartesiano apresentando as duas retas e o ponto encontrado. 
35 
 
Resolução: Para determinar a abscissa do ponto de intersecção das duas funções 
devemos igualar as equações, ou seja, fazer )()( xgxf = e, em seguida, substituir o 
valor encontrado em f(x) ou g(x) para determinar a ordenada do ponto. Observe: 
Inicialmente, calculamos a abscissa do 
ponto: 
2
1123
1213
)()(
−=
−−=−
−=+
=
x
xx
xx
xgxf
 
Agora, calculamos a ordenada: 
5)2(
16)2(
1)2.(3)2(
−=−
+−=−
+−=−
f
f
f
 
Assim obtemos o ponto de intersecção das 
funções, ponto A(-2,-5), apresentado no 
gráfico ao lado. 
O Gráfico fica: 
 
 
Exemplo 9: Dadas as funções demanda de mercado ppD −= 20)( e oferta 
ppS 520)( +−= , determine o preço de equilíbrio (PE) e a correspondente quantidade 
de equilíbrio (QE) e represente-o graficamente. 
Resolução: 
Inicialmente, calculamos o preço de 
equilíbrio: 
667,6
6
40
640
52020
52020
)()(
≅
=
=
+=+
+−=−
=
p
p
p
pp
pp
pSpD
 
Agora, calculamos a quantidade de 
equilíbrio: 
O Gráfico fica: 
 
36 
 
,
333,13)67,6(
667,620)667,6(
20)(
=
−=
−=
D
D
ppD
 
Assim obtemos o ponto de equilíbrio 
)333,13;667,6(PE
 
apresentado no gráfico. 
 
Exemplo 10: Dada a equação 2D+3P- 60 = 0 com demanda (D) e preço (P), determine: 
 a) A lei da função preço. 
 b) A lei da função demanda. 
 c) Represente graficamente a demanda em função do preço. 
 d) Calcule a demanda quando P=10. 
Resolução: (a) Para determinarmos a função preço vamos escrever o preço P em função 
da demanda D, ou seja, isolamos P na equação: 
 
20
3
2
3
60
3
2
3
602
6023
06032
+−=
+−=
+−
=
+−=
=−+
DP
DP
DP
DP
PD
 
(b) Para determinar a função demanda vamos escrever a demanda em função do preço 
P. Assim, temos: 
30
2
3
2
60
2
3
2
603
6032
06032
+−=
+−=
+−
=
+−=
=−+
PD
PD
PD
PD
PD
 
(c) 
37 
 
 
(d) A demanda para P=10 é obtida quando substituímos P por 10 na função demanda 
encontrada no item (b). 
15)10(
3015)10(
30
2
30)10(
30)10(
2
3)10(
=
+−=
+−=
+−=
D
D
D
D
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
3.4. Teste seus conhecimentos 
1) Considere a equação de reta y = - 2x + 3. Determine coeficiente linear, 
coeficiente angular, se a reta é crescente ou decrescente e construa o gráfico da 
função. Apresente também o valor de x para o qual a reta corta o eixo horizontal, 
e o valor de y onde a reta corta o eixo y. 
2) Encontre a equação da reta que passa pelos pontos (1,-3) e (0,-2). 
3) Uma empresa pode vender 1000 unidades de um determinado produto pelo 
preço unitário de R$30,00 e pode vender 2000 unidades deste produto se o preço 
for R$25,00. Sendo linear a equação da demanda, determine: 
a) A equação da demanda. 
b) Faça o gráfico da demanda. 
c) Determine a demanda se o preço baixar para R$20,00. 
4) A tabela abaixo apresenta a oferta de mercado de um determinado produto 
relacionada ao preço desse produto. Encontre a lei da oferta e represente a 
função graficamente. 
p – preço (R$) 10 20 30 40 
S(p) – oferta 24 44 64 84 
 
5) Considere as funções de oferta 15)( += ppS e demanda 20)( +−= ppD de 
um determinado produto. Apresente o ponto de equilíbrio de mercado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
CAPÍTULO – IV 
 
Funções do 2º. Grau, Funções Custo, Receita, 
Lucro e Break-even point 
Introdução 
Nesse capítulo vamos estudar a função polinomial do segundo grau também 
denominada Função Quadrática. Apresentaremos as funções Custo, Receita e Lucro 
fazendo uma análise de gráficos dessas funções. Veremos também o conceito de break-
even point e sua aplicação na economia. 
 
4.1. Função Quadrática 
 Uma função definida no conjunto dos números reais que a cada variável 
independente x associa um valor y tal que cbxaxy ++= 2 com a, b e c números reais 
tais que 0≠a . 
 
 
 
Na função quadrática observamos que: 
• x: é a variável independente (eixo horizontal); 
• y: é a variável dependente (eixo vertical); 
• quando a > 0 a curva (denominada parábola) possui a concavidade voltada para 
cima e quando a < 0 a parábola possui concavidade voltada para baixo; 
• c: é a ordenada do ponto onde a curva corta o eixo vertical (ponto (0,c)); 
• o domínio da função é o Conjunto dos Números Reais, pois não há qualquer 
restrição matemática para se efetuar o quadrado de um n.º, e/ou um produto, 
e/ou uma soma algébrica; 
• as raízes da função ou zeros da função quadrática são os valores da variável 
independente x que anulam a equação cbxaxy ++= 2 . Existem vária maneiras 
de encontrarmos as raízes de uma função quadrática, mas o método mais 
f : ℝ→ℝ 
cbxaxxf ++= 2)( 
40 
 
comum, é usando a conhecida “Fórmula de Báskara”, ou seja, fazendo 
a
acbb
x
2
42 −±−
= . 
 
4.1.1. Gráfico da Função quadrática 
 O gráfico da função quadrática é representado por uma curva denominada 
parábola. Para a construção do gráfico é importante que seja determinado o ponto do 
gráfico chamado de vértice da parábola. O vértice da parábola é o ponto cujas 
coordenadas são 
a
b
xv 2
−= (que é a abscissa do vértice) e 





−==
a
bfxfy vv 2)( (que é 
a ordenada do vértice) assim, o vértice é 











−−
a
bf
a
bV
2
,
2
. Quando a concavidade da 
parábola é voltada para cima (a>0) o vértice é denominado ponto de mínimo da função 
e, quando a concavidade é voltada para baixo (a<0) o vértice é o ponto de máximo da 
função. O vértice da parábola também determina o conjunto imagem da função do 2º. 
Grau. A imagem de cbxaxxf ++= 2)( será ),[)Im( +∞= vyf quando a curva é voltada 
para cima (a>0) e será ],()Im( vyf −∞= quando a curva é voltada para baixo (a<0). 
Para construirmos o gráfico de uma parábola podemos fazer uma tabela de valores onde 
a partir do vértice escolhemos no mínimo mais dois números reais à esquerda (ou 
menores) de vxe dois números à direita (maiores) de vx para termos simetria com 
relação à reta x = vx . 
 Outros pontos importantes, e que podem auxiliar na construção do gráfico, são 
os cortes nos eixos. Já sabemos que (0,c) será o ponto de corte no eixo y (vertical). Na 
função quadrática, o corte no eixo x (horizontal) depende das raízes da função 
quadrática, que, por sua vez, depende do valor encontrado em 
a
acbb
x
2
42 −±−
= . 
Assim: 
• quando 042 >− acb temos duas raízes reais diferentes, ou seja, 2 (dois) pontos 
de corte no eixo x; 
• quando 042 =− acb temos duas raízes reais iguais, ou seja,1 (um) ponto de 
corte no eixo x; 
41 
 
• quando 042 <− acb temos duas raízes complexas, ou seja, 0 (nenhum) ponto de 
corte no eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1. Dada a função quadrática definida pela lei 352 2 +−= xxy apresente o 
domínio, a imagem, os zeros da função (se existirem), o vértice (ponto de máximo ou 
mínimo da função quadrática) e faça um esboço do seu gráfico. 
Resolução: Observe que o domínio da função quadrática sempre será o conjunto dos 
números reais, salvo se a lei da função for aplicada a um problema da realidade. 
Vamos começar determinando o vértice, sabendo que 35,2 =−== ceba . 
25,1
4
5
2.2
)5(
2
==
−
−=−=
a
b
xv 
125,0325,6125,33)25,1(5)25,1(2)25,1()( 2 −=+−=+−=== fxfy vv 
E, encontramos ( )125,0;25,1 −V . 
Como 02 >=a temos que a parábola possui concavidade voltada para cima e isso 
indica que o vértice é um ponto de mínimo e ainda que );125,0[)Im( +∞−=f . 
Vamos determinar os zeros da função, novamente observando que 
35,2 =−== ceba . 
1
4
4
4
155,1
4
6
4
15
4
15
4
15
4
24255
2.2
3.2.4)5()5(
2
4
21
22
==
−
===
+
=
±
=
±
=
−±
=
−−±−−
=
−±−
=
xx
a
acbb
x
 
42 
 
Temos agora os cortes nos eixos. No eixo y o corte será em (0,3), já que c = 3, e no 
eixo x será nos pontos (1,5;0) e (1,0). 
Para construirmos o gráfico vamos agora considerar a seguinte tabela: 
x 352)( 2 +−== xxxfy 
0 3 (valor de c) 
1 0 (zero da função) 
25,1=vx 125,0)25,1( −== fyv 
1,5 0 (zero da função) 
2 131083)2(5)2(2)2( 2 =+−=+−=f 
Agora, marcando os pontos no plano cartesiano e, unindo esses pontos, obtemos a 
parábola. 
 
 
Exemplo 2. Dada a função quadrática definida pela lei 32 −−= xy apresente o 
domínio, a imagem, os zeros da função (se existirem), o vértice (ponto de máximo ou 
mínimo da função quadrática) da função e faça um esboço do seu gráfico. 
Resolução: Observe que o domínio da função quadrática é o conjunto dos números 
reais. 
Agora, temos que 30,1 −==−= ceba . O vértice será ( )3,0 −V , pois: 
0)1.(2
0
2
=
−
−=−=
a
b
xv e 330)0()( 2 −=−−=== fxfy vv . 
Como 01 <−=a temos que a parábola possui concavidade voltada para baixo e isso 
indica que o vértice é um ponto de máximo e ainda que ]3,()Im( −−∞=f . 
43 
 
Vamos determinar os zeros da função com 30,1 −==−= ceba : 
2
120
2
1200
)1.(2
)3).(1.(4)0()0(
2
4 22
−
−±
=
−
−±
=
−
−−−±−
=
−±−
=
a
acbb
x . 
Observe que não encontramos raízes reais, isto significa que não temos cortes no eixo x. 
No eixo y o corte será em (0,-3), já que c = - 3, que é exatamente o vértice da função. 
Para construirmos o gráfico vamos agora considerar a seguinte tabela: 
x 3)( 2 −−== xxfy 
-2 7343)2()2( 2 −=−−=−−−=−f 
-1 4313)1()1( 2 −=−−=−−−=−f 
0=vx 3)0( −== fyv 
1 4313)1()1( 2 −=−−=−−=f 
2 7343)2()2( 2 −=−−=−−=f 
Agora, marcando os pontos no plano cartesiano e, unindo esses pontos, obtemos a 
parábola. 
 
 
4.2. Função Custo 
 Assim como no primeiro capítulo, apresentamos agora algumas funções 
importantes da economia. A função custo descreve o custo de produção de determinado 
bem e varia em função da quantidade produzida desse bem. Usaremos normalmente a 
notação C(q) para apresentar o custo de produção de q unidades de certo artigo. Observe 
que não tem sentido tratar com valores de q negativos, assim o domínio da função custo 
44 
 
estará sempre no intervalo [0,+∞). De modo geral, podemos dizer que a função custo 
consiste de uma parte variável (que corresponde ao gasto com a produção, como compra 
de matéria prima e mão-de-obra), denominada de custo variável, e de uma parte fixa 
(que corresponde aos gastos fixos, como por exemplo a manutenção das instalações) , 
chamada de custo fixo. A função custo é obtida quando somamos o custo variável ao 
custo fixo: 
 
 
 
Exemplo 3: Uma empresa fabrica calças e seu custo de produção é dado, em relação a 
quantidade produzida, pela equação do custo 2520)( 2 ++−= qqqC . 
a) Qual o custo para produzir 0(zero) unidades? Qual o significado disso? 
b) Qual o custo para produzir 15 unidades de calças? 
c) Qual a quantidade que deve ser produzida para que tenhamos custo máximo? 
d) Faça um esboço do gráfico da função custo. 
Resolução: (a) Para determinar o custo de 0 unidades devemos substituir 0 na variável 
independente q, assim obtemos 25250.200)0( 2 =++−=C que indica que o custo 
fixo de produção é $25. 
(b) O custo para produzir 15 unidades será determinado por 
1002515.20)15()15( 2 =++−=C . Assim, o custo para produzir 15 unidades será de 
$100. 
(c) Para determinarmos a quantidade a ser produzida para obtermos custo máximo, 
vamos observar que a lei do custo indica uma parábola com concavidade voltada para 
baixo e, portanto o vértice será o ponto de máximo da função. Assim, basta 
determinarmos as coordenadas do vértice: 10)1.(2
20
2
=
−
−=−=
a
bqv e 
1252510.20)10()( 2 =++−== vv qCC . O valor 10=vq é a quantidade produzida para 
que o custo seja máximo e o valor 125=vC é o custo máximo de produção. 
(d) Para construir o gráfico da função observamos inicialmente que a função é 
quadrática. Outra observação importante é que o domínio da função, que neste caso 
indica uma quantidade, deverá ser o conjunto dos números positivos já que não 
podemos produzir uma quantia negativa de calças. Assim como nos exemplos 1 e 2 
C = Cv+Cf 
45 
 
determinamos os cortes nos eixos e o vértice da parábola para nos auxiliar na 
construção. Assim, considerando que 2520,1 ==−= ceba temos: 
i) Vértice (já determinado no item (c)): 10=vq e 125)( == vv qCC . 
ii) Raízes (corte no eixo x/quantidade): 
)(18,118,21
2
36,2220
2
10040020
)1.(2
)25).(1.(4)20()20(
2
4
21
22
problemanosentidotemnãoqeq
a
acbbq
−≅≅
−
±−
≅
−
+±−
=
−
−−±−
=
−±−
=
 
iii) Corte no eixo y/Custo: O valor de c na equação quadrática é c=25 então o corte no 
eixo do custo será no ponto (0,25); 
iv) Tabela: 
q 2520)( 2 ++−= qqqC 
0 25 
5 100255.20)5()5( 2 =++−=C 
10 125 
15 100 
21,18 0 
Assim, o gráfico fica: 
 
É importante ressaltar que sendo o gráfico uma parábola e considerando que abscissa do 
vértice é 10=vq observamos que para quantidades entre 0 e 10 o custo é crescente 
(veja que conforme o valor de q aumenta o custo C também aumenta). Quando 
chegamos a q=10 temos o custo máximo de produção que é C=125. Para valores de q 
maiores do que 10 o custo é decrescente (o valor de q aumenta e o custo diminui). 
46 
 
 
4.3. Função Receita 
 A função receita descreve o total recebido pela venda de uma quantidade 
variável de certo produto (a receita depende da quantidade vendida). Quando o preço 
unitário de venda do produto é fixo (po) a função receita será definida pelo produto do 
preço fixo (po) pela quantidade comercializada q, ou seja: 
R= po.q 
 Nesse caso temos que a função receita é uma função do primeiro grau crescente 
e que passa pela origem. Observe o exemplo 4, abaixo. 
 
Exemplo 4: Considere que uma empresa que fabrica calças vendecada peça ao preço 
unitário de R$8,00. Determine a função receita e o seu gráfico. 
Resolução: Considerando que o preço é fixo temos que a receita será dada por R=8.q, 
ou seja, a função receita será dada por R(q)=8q. Pelo estudado no capítulo anterior 
observamos que a função é do primeiro grau e então marcamos dois pontos (0,0) e (1,8) 
e traçamos a reta (crescente). Veja o gráfico: 
 
 Já quando o preço também varia de acordo com a quantidade vendida ou 
demandada, a receita será obtida como produto do preço p (agora variável) pela 
quantidade q correspondente. 
 
R= p.q 
 
R= p.q 
47 
 
Exemplo 5: Considere que a empresa que fabrica calças determinou que a sua demanda 
variasse conforme o preço, de acordo com a função 20
2
)( +−= ppD . Qual será sua 
receita, em função da quantidade vendida? Faça um esboço do gráfico da receita. 
Resolução: Agora estamos considerando a situação de que o preço é variável e que pode 
ser obtido da função demanda isolando a variável preço (p). Observe: 
402
402)20.(220
2
20
2
+−=
+−=+−=⇒+−=⇒+−=
Dp
DDpDppD
 
Lembre-se que demanda é quantidade, assim podemos considerar que a função preço 
fica relacionada com a quantidade da seguinte maneira: 
402 +−= qp 
Como a receita é obtida pelo produto do preço pela quantidade temos que: 
qqR
qqqqqpR
402
402)402(.
2
2
+−=
+−=+−==
 
O gráfico da receita será uma parábola com concavidade voltada para baixo. Veja: 
 
4.4. Função Lucro 
 A função lucro é obtida quando da receita (valor recebido pela venda) é 
subtraído o custo, ou seja, a função lucro é definida pela diferença entres as funções 
receita e custo, isto é: 
 
 
L(q) = R(q) – C(q) 
48 
 
Exemplo 6: Considerando a função custo, 2520)( 2 ++−= qqqC , e receita 
qqqR 402)( 2 +−= , apresentadas nos exemplos anteriores, obtenha a função lucro. 
Construa o gráfico da função lucro obtida. 
Resolução: De acordo com a definição temos que L(q) = R(q) - C(q) então, neste caso 
obtemos: 
2520)(
25202520402)2520(402)(
2
22222
−+−=
−+−=−−++−=++−−+−=
qqqL
qqqqqqqqqqqL
 
Observe que a função lucro é quadrática e, portanto, seu gráfico será uma parábola. 
Observe: 
 
A função lucro do exemplo foi obtida a partir de uma função receita que varia conforme 
a quantidade demandada e lembre-se que a função demanda varia em função do preço. 
Assim quando o preço aumenta a demanda baixa e, consequentemente o lucro também. 
No gráfico observamos que o lucro é crescente até q=10, onde temos o vértice (ponto de 
máximo da função) a partir de q=10 o lucro decresce. 
 
4.5. Ponto de nivelamento (break-even point) 
 Sejam C(q), a função custo associada à produção de um determinado produto, e 
R(q), a função receita relativa à venda do mesmo produto. A quantidade qe para a qual 
a receita e o lucro são iguais, isto é, R(q) = C(q), é denominada quantidade de 
nivelamento e o ponto (qe,R(qe)) = (qe,C(qe)) é denominado ponto de nivelamento ou 
49 
 
break-even point. Observe que o break-even point é o ponto de intersecção das funções 
receita e custo. 
 
Exemplo 7: Considerando a função custo, 2520)( 2 ++−= qqqC , e receita 
qqqR 402)( 2 +−= , apresentadas anteriormente, obtenha o break-even point. Apresente 
o gráfico das duas funções no mesmo sistema de eixos. 
Resolução: Para determinarmos o break-even point fazemos: 
02520
02520402
2520402
)()(
2
22
22
=−+−
=−−++−
++−=+−
=
qq
qqqq
qqqq
qCqR
 
Obtemos agora uma equação do 2º. grau que pode ser resolvida pela fórmula de 
“Báskara”, com 2520,1 −==−= ceba Observe: 
66,18
2
32,172034,1
2
32,1720
2
30020
2
10040020
)1.(2
)25).(1.(4)20()20(
2
4
21
22
=
−
−−
≅=
−
+−
≅
−
±−
=
−
−±−
=
−
−−−±−
=
−±−
=
qq
a
acbbq
Nesse exemplo obtemos dois valores para qe, quantidade de nivelamento e, portanto 
teremos dois pontos de nivelamento. Observe que os valores encontrados são as 
abscissas dos pontos. Para determinarmos as ordenadas devemos substituir os valores 
encontrados na função receita ou na função custo. Assim, usando a função receita, 
temos: 
)0088,50;66,18()0088,50;34,1(
0088,504,7463912,696)66,18.(40)66,18(2)(
0088,506,535912,3)34,1.(40)34,1(2)(
21
2
2
2
1
PeP
qR
qR
=+−=+−=
=+−=+−=
 
Observe os break-even points no gráfico das duas funções feitas no mesmo sistema de 
eixos: 
50 
 
 
 Considerando a função lucro (do exemplo 6) obtida a partir das funções custo e 
receita do exemplo acima veja o que ocorre quando construímos o gráfico das três 
funções no mesmo sistema de eixos: 
 
Com os três gráficos no mesmo sistema de eixos é possível observar que as 
abscissas dos pontos de intersecção das funções custo e receita (quantidade de 
nivelamento q1 e q2) determinam um intervalo onde a função lucro está toda acima do 
eixo horizontal, isto significa que o lucro é positivo. 
51 
 
Exemplo 8: Considere que em tempo de estiagem a produção de certo produto agrícola 
depende da quantidade de adubo empregado. Pode-se considerar a seguinte expressão 
matemática para esta função ou dependência 289 qqP −+= , onde q denota a 
quantidade de adubo empregado em sacas e P a quantidade do produto colhido também 
em sacas. Pede-se: 
a) Esboce o gráfico cartesiano desta função. 
b) Existe valor de q para que a produção seja máxima? E nula? 
Resolução: Inicialmente vamos encontrar alguns pontos importantes para construir o 
gráfico da parábola, onde 98,1 ==−= ceba : 
i) Vértice: 4)1.(2
8
=
−
−=vq e 251691632944.89)( 2 =+=−+=−+== vv qPP . 
Temos então )25,4(V . 
ii) Raízes (corte no eixo x/quantidade de adubo): 
)(1
2
29
2
18
2
108
2
1008
2
36648
)1.(2
)9).(1.(4)8()8(
2
4
21
22
problemanosentidotemnãoqeq
a
acbbq
−=
−
==
−
−
=
−
±−
=
−
±−
=
−
+±−
=
−
−−±−
=
−±−
=
 
iii) Corte no eixo y/Produção (quantidade produzida): O valor de c na equação 
quadrática é c=9 então o corte no eixo do custo será no ponto (0,9); 
iv) Tabela: 
q 289)( qqqP −+= 
0 9 
2 21416922.89)2( 2 =−+=−+=P 
4 25 
6 213648966.89)6( 2 =−+=−+=P 
9 0 
Assim, o gráfico fica: 
52 
 
 
(b) O valor de q para que a produção seja máxima é q = 4 (que é a abscissa do vértice). 
Para que tenhamos produção nula a quantidade deve ser q = 9 (que é a raiz positiva). 
 
Exemplo 9: Márcia e Artur investiram em ações de diferentes empresas. Ambos 
compraram as ações por um preço unitário de R$2,00. As ações adquiridas por Márcia 
subiram segundo a função 225,01 += xA . Já as ações adquiridas por Artur variaram 
segundo a função 225,0 22 +−= xxA . Nas duas funções x indica o tempo, em meses, 
transcorrido a partir da data da compra das ações. 
a) Determine os valores das ações de Márcia e Artur, mês a mês, em um período de 
seis meses, a contar da data inicial x=0. Construa uma tabela indicando o tempo 
e os valores encontrados; 
b) Construa o gráfico das duas funções no mesmo sistema de eixos; 
c) Qual foi a melhor aplicação, considerando os primeiros seis meses? 
Resolução: (a) Vamos construir uma tabela com três colunas, x (tempo), A1 e A2. 
x (tempo) 225,01 += xA (Márcia) 225,0 22 +−= xxA (Artur) 
0 22025,0 =+⋅ 220025,0 2 =+−⋅ 
1 25,22125,0 =+⋅ 25,121125,0 2 =+−⋅ 
2 50,22225,0 =+⋅ 122225,0 2 =+−⋅ 
3 75,22325,0 =+⋅ 25,123325,0 2 =+−⋅ 
53 
 
4 32425,0 =+⋅ 224425,0 2 =+−⋅ 
5 25,32525,0 =+⋅ 25,325525,0 2 =+−⋅ 
6 50,32625,0 =+⋅ 526625,0 2 =+−⋅ 
(b) Levando em consideração os valores encontrados na tabela temos o seguinte gráfico: 
 
(c) Observando a tabela e o gráfico podemos concluir que nos meses 1,2,3, e 4 da 
aplicação as ações de Márcia foram mais rentáveis. No quintomês o resultado foi o 
mesmo para as duas e, a partir do sexto mês a aplicação de Artur possui melhor 
desempenho. 
 
Exemplo 10: Considere as funções 5,14,0)( += qqC e receita qqqR 5,45,0)( 2 +−= e 
apresente o que se pede em cada item. 
a) A receita máxima; 
b) O custo fixo; 
c) Os pontos de intersecção entre a função custo e receita; 
d) Apresente a lei da função Lucro; 
e) O intervalo onde o lucro é positivo. 
Resolução: Vamos ver item por item: 
(a) Para determinar a receita máxima calculamos o vértice da função 
qqqR 5,45,0)( 2 +−= , onde 05,4,5,0 ==−= ceba . Então: 
125,1025,20125,105,45,4)5,4(5,0)(5,4)5,0(2
5,4 2
=+−=⋅+−=⇒=
−
−= vv qRq 
E a receita máxima é R=10,125. 
54 
 
(b) O custo fixo é de Cf = 1,5. 
(c) Para determinarmos os pontos de intersecção fazemos )()( qCqR = assim: 
05,11,45,0
05,14,05,45,0
5,14,05,45,0
)()(
2
2
2
=−+−
=−−+−
+=+−
=
qq
qqq
qqq
qCqR
 
Calculamos então as raízes da equação que serão: 
82,738,0 21 == qeq 
Substituindo esses valores na receito ou no custo, obtemos: 
652,15,138,04,0)38,0( =+⋅=C 
628,45,182,74,0)82,7( =+⋅=C 
Assim os pontos de intersecção entre as duas funções são: B1(0,38;1,652) e 
B2(7,82;4,628). 
(d) A função lucro é definida por )()()( qCqRqL −= , sendo assim obtemos: 
5,11,45,0)(
)5,14,0(5,45,0)(
)()()(
2
2
−+−=
+−+−=
−=
qqqL
qqqqL
qCqRqL
 
(e) Para descrever o intervalo onde o lucro é positivo basta vermos quais são as 
abscissas dos pontos de intersecção entre o custo e a receita, ou seja, 
82,738,0 21 == qeq . Assim temos que o lucro é positivo entre q = 0,38 e q = 7,82. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
4.6. Teste seus conhecimentos 
1. Dada a função quadrática definida pela lei 372 2 −+−= xxy apresente o domínio, a 
imagem, os zeros da função (se existirem), o vértice (ponto de máximo ou mínimo da 
função quadrática) da função e faça um esboço do seu gráfico. 
 
2. Uma empresa constatou que existe uma relação entre a sua produção e o número de 
funcionários expressa pela fórmula matemática 2236)( xxxP −= onde P representa a 
produção e x o número de funcionários. Pede-se: 
a) Elabore uma tabela para obter a produção P a partir do número de 
funcionários x. (Obtenha pelo menos até 18 contratações). 
b) A produção é crescente ou decrescente? 
c) Com que número de funcionários a produção da empresa será maior? 
d) Esboce o gráfico cartesiano desta função com base na tabela feita no item 
(a). 
 
3. Sejam 482)( 2 += qqC ; 20
10
2
+=
pq ; 36
2
+−=
pq , respectivamente, as funções 
Custo, Oferta e Demanda para certo produto. 
a) Determine o ponto de equilíbrio entre oferta e demanda e faça os gráficos dessas 
funções, assinalando cortes nos eixos. 
b) Determine a função receita e faça os gráficos da função receita e custo sobrepostos, 
indicando o(s) break-even poit(s). 
 
4. Sabe-se que o custo C, em reais, para produzir x unidades de um produto é dado pela 
função 450090)( 2 +−= qqqC . Qual deve ser a quantidade de unidades produzidas 
para que o custo seja mínimo? 
 
5. Construa o gráfico das funções custo, receita e lucro, apresentadas no exemplo 10 
deste capítulo, em um mesmo sistema cartesiano. 
 
 
 
 
56 
 
CAPÍTULO – V 
 
Funções Polinomiais, Potência, Exponencial e 
Logarítmica 
 
Introdução 
Nos capítulos anteriores estudamos as funções polinomiais de primeiro e segundo graus 
e suas aplicações na área econômica e administrativa. Nesse capítulo vamos apresentar 
mais algumas funções matemáticas apresentando seus gráficos e discutindo seu domínio 
para, no capítulo seguinte, apresentar as aplicações dessas funções na economia e 
administração. 
 
5.1. Funções Polinomiais 
 Uma função f é denominada função polinomial se 
o
n
n
n
n
n
n axaxaxaxaxaxf ++++++= −−−− 1222211 ...)( 
onde n é um número inteiro não negativo e os números reais naaaa ,...,, 210 são 
constantes, chamadas de coeficientes. O grau de um polinômio é o maior expoente da 
variável x cujo coeficiente não é zero. Assim temos 7
4
33)( 256 +−+−= xxxxf 
como exemplo de função polinomial de grau. O domínio de uma função polinomial é 
sempre o conjunto de todos os reais. 
 As funções de primeiro grau que estudamos no capítulo 3 e a função quadrática 
que vimos no capítulo 4 são exemplos de funções polinomiais de grau 1 e 2. 
A seguir apresentamos alguns gráficos de funções polinomiais. A construção 
desses gráficos será trabalhada de forma mais clara no capítulo 7, fazendo uso da 
ferramenta matemática denominada derivada da função. Você também pode construir os 
gráficos das funções apresentadas nesse livro com o auxílio de softwares disponíveis na 
internet. Dentre eles destaco o GeoGebra1, software livre de fácil uso e que foi usado na 
construção de todos os gráficos desse livro. 
 
 
1
 O software pode ser encontrado e baixado de forma gratuita na internet no site http://www.geogebra.org 
 
 
57 
 
Exemplo 1: Gráficos de funções polinomiais. 
 
52)( 23 +−+= xxxxf 
 
203)( 24 +−+−= xxxxf 
 
xxxxf +−= 35 45)( 
 
xxxxf +−= 24 43)( 
 
5.2. Funções Potência 
 Uma função da forma nkxxf =)( , onde k e n são constantes, é denominada 
função potência. Com relação ao expoente n podemos considerar três situações 
diferentes. 
Primeira Situação: O expoente n é um número inteiro positivo. 
 Quando o expoente da função nkxxf =)( é um número inteiro positivo, temos 
uma função polinomial. Nesse caso o domínio é, novamente, o conjunto dos números 
reais. 
 
58 
 
Exemplo 2: Observe os gráficos de funções potência para o caso de expoente inteiro, 
positivo, par e ímpar. 
 
n par 
 
 
n ímpar 
 
 
Segunda Situação: O expoente n é um número fracionário, não inteiro, e positivo. 
 Nessa situação vamos considerar que 
q
p
n = com 0>p e 0>q , vamos também 
lembrar que uma potência fracionária pode ser representada por meio de raízes, sendo 
que 
q pq
p
xx = . Assim, por exemplo, temos 55
1
xx = ou xx =2
1
. No caso de termos 
um expoente fracionário, para considerar o domínio da função, vamos avaliar que 
quando tratamos de uma raiz com índice ímpar como em 55
1
xx = , o valor de x pode 
assumir qualquer valor real, mas quando temos uma raiz de índice par como em 
xx =2
1
 o domínio deve considerar que só é real a raiz de números não negativos. 
 
Exemplo 3: Considere as funções xxf =)( , 3)( += xxg e 3)( −= xxh . 
Determine o domínio das funções, e construa o gráfico de cada uma, usando o auxílio 
de uma tabela de valores. 
 
 
 
59 
 
xxf =)( 
Domínio: [0,+∞) 
x 
xxf =)( 
0 0 
1 1 
4 2 
9 3 
16 4 
 
 
 
3)( += xxg 
Domínio:[-3,+∞) 
x 3)( += xxg 
-3 0 
-2 1 
0 3 
1 2 
6 3 
 
 
 
3)( −= xxh 
Domínio: [3,+∞) 
x 3)( −= xxh 
3 0 
4 1 
7 2 
12 3 
19 4 
 
 
 
 
 
Considerando o gráfico inicial xxf =)( , observamos que os gráficos 
seguintes possuem o mesmo comportamento, porém ao somarmos ou subtrairmos um 
número no radical (argumento da função) deslocamos o gráfico para a direita ou 
esquerda (no eixo horizontal) uma quantidade equivalente ao número somado ou 
subtraído, mas atenção, quando somamos uma quantidade deslocamos o gráfico para a 
esquerda e, quando subtraímos um valor, deslocamos o gráfico para a direita. 
Chamamos esta situação de translação horizontal. 
 Observe o que ocorre nos gráficos abaixo, considerando como base a função 
3)( xxf = . 
60 
 
Exemplo 4: Considere as funções 3)( xxf = , 3 2)( += xxg e 3 2)( −= xxh . 
Determine o domínio das funções, e construa o gráfico de cada