Lista 03

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Cieˆncias Econoˆmicas - Matema´tica para cieˆncias sociais aplicadas II
Professor Maciel Arau´jo - Lista 03
3.1) Determine os quatro primeiros termos da sequeˆncia, e determine o limite, caso ele exista.
a) an =
n
3n + 2 b) an =
6n− 5
5n− 2 c) an =
7− 4n2
3 + 2n2
d) an =
(−1)n+1√n
n + 2
e) an =
(2n− 1)(3n + 1)
n3 + 1
f) an =
6n− 5
5n− 2
g) an =
2n − 1)
2n+1
h) an =
(−1)n+1
2n− 1 i) an =
1− n
n2
3.2) Assuma que cada sequeˆncia convirja e encontre seu limite.
a) a1 = 2 , an+1 =
72
1 + an
b) a1 = −1 , an+1 = an + 6
an + 2
c) a1 = −4 , an+1 =
√
8 + 2an
d) a1 = 5 , an+1 =
√
5an e) a1 = 3 , an+1 = 12−√an f) a1 = 1 , an+1 =
√
1 +
√
an
3.3) Encontre uma fo´rmula para o termo geral an das sequeˆncias abaixo.
a)
{
1,
1
3
,
1
5
,
1
7
,
1
9
, . . .
}
b)
{
1,−1
3
,
1
9
,− 1
27
,
1
81
, . . .
}
c)
{
−3, 2,−4
3
,
8
9
,−16
27
, . . .
}
3.4) Determine se a sequeˆncia e´ crescente, decrescente, ou nenhuma das duas. Verifique se e´ limitada.
a) an = (−2)n+1 b) an = 2n− 3
3n + 4
c) an =
n
n2 + 1
3.5) Calcule a soma das seguintes se´ries nume´ricas.
a)
∞∑
n=1
(
5
2n
− 1
3n
)
b)
∞∑
n=1
(−1)n
4n
c)
∞∑
n=1
(−1)n 5
4n
d)
∞∑
n=1
(
2n+1
5n
)
e)
∞∑
n=1
(
1
2n
+
(−1)n
5n
)
f)
∞∑
n=1
(
1√
n
− 1√
n + 1
)
2
3.6) Utilize o teste da comparac¸a˜o para determinar se cada se´rie abaixo converge ou diverge.
a)
∞∑
n=1
(
1
n2 + 30
)
b)
∞∑
n=1
n− 1
n4 + 2
c)
∞∑
n=1
1√
n− 1
3.7) Utilize o teste da comparac¸a˜o por limite para determinar se cada se´rie abaixo converge ou diverge.
a)
∞∑
n=1
(
n− 2
n3 − n2 + 3
)
b)
∞∑
n=1
1
ln(n)
c)
∞∑
n=1
√
n + 1
n2 + 2
3.8) Verifique quais se´ries sa˜o convergentes e quais sa˜o divergentes.
a)
∞∑
n=1
(
1√
2
)n
b)
∞∑
n=1
(−1)n+1n c)
∞∑
n=1
(−1)n+1 3
2n
3.9) Mostre que a se´rie
∞∑
n=1
1
n(n + 1)
e´ convergente e calcule sua soma
3.10) Verifique se a se´rie e´ absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
a)
∞∑
n=1
(−2)n
n2
b)
∞∑
n=1
2nn!
(n + 2)!
c)
∞∑
n=1
3nn2
n!
3.11) Utilize o teste da raza˜o para deterinar a convergeˆncia da se´rie.
a)
∞∑
n=1
n!
3n
b)
∞∑
n=1
3n
n!
c)
∞∑
n=1
n2
2n
3.12) Utilize o teste da raiz para deterinar a convergeˆncia da se´rie.
a)
∞∑
n=1
(
3n + 2
2n− 1
)n
b)
∞∑
n=1
( n
100
)n
c)
∞∑
n=1
(
ln(n)
n
)n