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algebra.linear.2014.3.lista.7

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A´lgebra Linear - 2014.3 - Turma C - Prof. Magno
Lista 7
03/10/2014
1. Resolva os itens abaixo:
a. Mostre que se T : V −→ W e´ transformac¸a˜o linear enta˜o T
(
~0
)
= ~0.
b. Mostre que se T : V −→ W e´ transformac¸a˜o linear injetiva enta˜o KerT = { ~0}.
2. Mostre que se Rθ : R2 −→ R2 e´ rotac¸a˜o de θ radianos em torno da origem, enta˜o
nas coordenadas (x, y) determinadas pela base canoˆnica, tem-se
Rθ (x, y) = (cos θ · x− sin θ · y, sin θ · x+ cos θ · y) .
3. Seja Projr (x, y) a projec¸a˜o ortogonal do ponto (x, y) sobre a reta r que passa pela
origem e tem vetor normal ~n = α~i+β~j. Determine Projr (x, y), explicitamente, em
termos de x, y, α, β.
4. Seja Rr (x, y) a reflexa˜o do ponto (x, y) sobre a reta r que passa pela origem e tem
vetor normal ~n = α~i+ β~j. Mostre que
(x, y) +Rr (x, y) = 2Projr (x, y) .
Use isto e o resultado do exerc´ıcio anterior para determinar, explicitamente, Rr (x, y)
em termos de x, y, α, β.
5. Generalize os dois u´ltimos exerc´ıcios para a projec¸a˜o ortogonal e a reflexa˜o do ponto
(x, y, z) ∈ R3 sobre o/com relac¸a˜o ao plano que passa pela origem (0, 0, 0) e tem
vetor normal ~n = α~i+ β~j + γ~k.
6. Resolva os itens abaixo:
a. Mostre que se T : R −→ Rn e´ transformac¸a˜o linear enta˜o existe vetor ~v0 ∈ Rn
tal que
T (x) = x~v0, x ∈ R.
b. Mostre que se T : Rn −→ R e´ transformac¸a˜o linear enta˜o existe vetor ~v0 ∈ Rn
tal que
T (~x) = ~x · ~v0, ~x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn.
(Aqui, · representa produto escalar entre vetores.)
7. Mostre que se T : V −→ V e´ linear e se α = {v1, · · · , vn} e β = {w1, · · · , wm} sa˜o
bases ordenadas de V enta˜o
[T ]β = [I]
α
β · [T ]α · [I]βα .
1
8. Mostre que se β = {e1, · · · , en} e´ a base canoˆnica de Rn e se α = {v1, · · · , vn} e´
base ortonormal de Rn enta˜o
[I]αβ =
(
[I]βα
)t
,
onde t indica a transposta da matriz.
9. No exerc´ıcio 7, suponha que V = R3, que T seja projec¸a˜o ortogonal sobre o plano
pi, que passa pela origem, e que β = {~i,~j,~k} seja a base canoˆnica e, ainda, que
α = {a1~i + a2~j + a3~k, b1~i + b2~j + b3~k, c1~i + c2~j + c3~k} seja base ortonormal de R3
tal que os dois primeiros vetores da mesma pertencem ao plano pi. Determine [T ]β,
explicitamente. (Dica: Exerc´ıcio 8.)
10. Mostre que se S : R3 −→ R3 e´ a reflexa˜o com respeito ao plano pi, do exerc´ıcio
anterior, enta˜o vale a igualdade
S + I = 2T,
onde I : R3 −→ R3 e´ a aplicac¸a˜o identidade definida por
I (v) = v, ∀v ∈ R3.
Use a igualdade S + I = 2T e o resultado do exerc´ıcio anterior para obter a matriz
de S na base ordenada α de R3 definida naquele exerc´ıcio.
11. Seja Rθ : R2 −→ R2 uma rotac¸a˜o no plano de θ radianos, em torno da origem.
Mostre que se β e´ a base canoˆnica de R2 e se α e´ uma base ortonormal de R2 enta˜o
[Rθ]β = [Rθ]α.
12. Seja pi um plano contido em/ passando pela origem de R3 e seja Rθ,pi : pi −→ pi a
transformac¸a˜o linear que, a cada v ∈ pi, associa o vetor Rθ (v) ∈ pi, obtido atrave´s
da rotac¸a˜o de v de um aˆngulo de θ radianos em torno da origem. Seja α uma base
ordenada ortonormal de pi. Determine [Rθ,pi]α.
13. Seja e um eixo, isto e´, uma reta de R3 que passa pela origem e seja pi o plano que
passa pela origem de R3 e e´ ortogonal ao eixo e. Mostre que todo vetor v ∈ R3
escreve-se de maneira u´nica como
v = ve + vpi,
onde ve ∈ e e vpi ∈ pi.
Agora, seja Rθ,e : R3 −→ R3 a transformac¸a˜o linear que, a cada v ∈ R3, associa
Rθ,e (v), obtido atrave´s da rotac¸a˜o de v de um aˆngulo de θ radianos em torno do
eixo e. Mostre que
Rθ,e (v) = Rθ,pi (vpi) + ve.
(Rθ,pi como no exerc´ıcio anterior.) Utilize isto para determinar a matriz [Rθ,e]β de
Rθ,e com respeito a uma base ortonormal β de R3 em que os seus dois primeiros
elementos esta˜o no plano pi e o seu terceiro elemento esta´ no eixo e.
14. A transformac¸a˜o linear T : R3 −→ R3 definida por
T (x, y, z) = (y, z, x) , (x, y, z) ∈ R3,
representa uma rotac¸a˜o de um certo aˆngulo θ (em radianos) em torno de um certo
eixo e. Descubra quem sa˜o θ e e.
15. Nos itens abixo, quais das transformac¸o˜es sa˜o lineares?
a. T (x, y) = (y, x).
b. T (x, y) = (x, x).
c. T (x, y) = (0, x).
d. T (x, y) = (0, 1).
Para aquelas que forem lineares, determine o nu´cleo e a imagem.
16. Suponha que T : R2 −→ R2 e´ definida por
T (x, y) = (x, y) ,
exceto nos pontos da forma (0, y), nos quais, tem-se
T (0, y) = (0, 0) .
Mostre que T satisfaz
T (λ · v) = λ · v,
mas na˜o satisfaz T (v + w) = T (v) + T (w).
17. Seja V o espac¸o vetorial das matrizes reais 2× 2 e seja T : V −→ V definida por
T (M) = A ·M, M ∈ V,
onde A e´ a matriz [
1 2
3 6
]
.
Mostre que T e´ linear. Determine o nu´cleo e a imagem de T .
18. Novamente, seja V o espac¸o vetorial das matrizes reais 2×2 e, agora, seja T : V −→
V definida por
T (M) = M t, M ∈ V,
onde t indica transposta da matriz. Mostre que T e´ linear e ache a sua matriz na
base canoˆnica
β =
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
.
19. Seja T : R2 −→ R2, linear, tal que
T (1, 0) = (2, 5) , T (0, 1) = (1, 3) .
Determine T (x, y).

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