Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
A´lgebra Linear - 2014.3 - Turma C - Prof. Magno Lista 7 03/10/2014 1. Resolva os itens abaixo: a. Mostre que se T : V −→ W e´ transformac¸a˜o linear enta˜o T ( ~0 ) = ~0. b. Mostre que se T : V −→ W e´ transformac¸a˜o linear injetiva enta˜o KerT = { ~0}. 2. Mostre que se Rθ : R2 −→ R2 e´ rotac¸a˜o de θ radianos em torno da origem, enta˜o nas coordenadas (x, y) determinadas pela base canoˆnica, tem-se Rθ (x, y) = (cos θ · x− sin θ · y, sin θ · x+ cos θ · y) . 3. Seja Projr (x, y) a projec¸a˜o ortogonal do ponto (x, y) sobre a reta r que passa pela origem e tem vetor normal ~n = α~i+β~j. Determine Projr (x, y), explicitamente, em termos de x, y, α, β. 4. Seja Rr (x, y) a reflexa˜o do ponto (x, y) sobre a reta r que passa pela origem e tem vetor normal ~n = α~i+ β~j. Mostre que (x, y) +Rr (x, y) = 2Projr (x, y) . Use isto e o resultado do exerc´ıcio anterior para determinar, explicitamente, Rr (x, y) em termos de x, y, α, β. 5. Generalize os dois u´ltimos exerc´ıcios para a projec¸a˜o ortogonal e a reflexa˜o do ponto (x, y, z) ∈ R3 sobre o/com relac¸a˜o ao plano que passa pela origem (0, 0, 0) e tem vetor normal ~n = α~i+ β~j + γ~k. 6. Resolva os itens abaixo: a. Mostre que se T : R −→ Rn e´ transformac¸a˜o linear enta˜o existe vetor ~v0 ∈ Rn tal que T (x) = x~v0, x ∈ R. b. Mostre que se T : Rn −→ R e´ transformac¸a˜o linear enta˜o existe vetor ~v0 ∈ Rn tal que T (~x) = ~x · ~v0, ~x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn. (Aqui, · representa produto escalar entre vetores.) 7. Mostre que se T : V −→ V e´ linear e se α = {v1, · · · , vn} e β = {w1, · · · , wm} sa˜o bases ordenadas de V enta˜o [T ]β = [I] α β · [T ]α · [I]βα . 1 8. Mostre que se β = {e1, · · · , en} e´ a base canoˆnica de Rn e se α = {v1, · · · , vn} e´ base ortonormal de Rn enta˜o [I]αβ = ( [I]βα )t , onde t indica a transposta da matriz. 9. No exerc´ıcio 7, suponha que V = R3, que T seja projec¸a˜o ortogonal sobre o plano pi, que passa pela origem, e que β = {~i,~j,~k} seja a base canoˆnica e, ainda, que α = {a1~i + a2~j + a3~k, b1~i + b2~j + b3~k, c1~i + c2~j + c3~k} seja base ortonormal de R3 tal que os dois primeiros vetores da mesma pertencem ao plano pi. Determine [T ]β, explicitamente. (Dica: Exerc´ıcio 8.) 10. Mostre que se S : R3 −→ R3 e´ a reflexa˜o com respeito ao plano pi, do exerc´ıcio anterior, enta˜o vale a igualdade S + I = 2T, onde I : R3 −→ R3 e´ a aplicac¸a˜o identidade definida por I (v) = v, ∀v ∈ R3. Use a igualdade S + I = 2T e o resultado do exerc´ıcio anterior para obter a matriz de S na base ordenada α de R3 definida naquele exerc´ıcio. 11. Seja Rθ : R2 −→ R2 uma rotac¸a˜o no plano de θ radianos, em torno da origem. Mostre que se β e´ a base canoˆnica de R2 e se α e´ uma base ortonormal de R2 enta˜o [Rθ]β = [Rθ]α. 12. Seja pi um plano contido em/ passando pela origem de R3 e seja Rθ,pi : pi −→ pi a transformac¸a˜o linear que, a cada v ∈ pi, associa o vetor Rθ (v) ∈ pi, obtido atrave´s da rotac¸a˜o de v de um aˆngulo de θ radianos em torno da origem. Seja α uma base ordenada ortonormal de pi. Determine [Rθ,pi]α. 13. Seja e um eixo, isto e´, uma reta de R3 que passa pela origem e seja pi o plano que passa pela origem de R3 e e´ ortogonal ao eixo e. Mostre que todo vetor v ∈ R3 escreve-se de maneira u´nica como v = ve + vpi, onde ve ∈ e e vpi ∈ pi. Agora, seja Rθ,e : R3 −→ R3 a transformac¸a˜o linear que, a cada v ∈ R3, associa Rθ,e (v), obtido atrave´s da rotac¸a˜o de v de um aˆngulo de θ radianos em torno do eixo e. Mostre que Rθ,e (v) = Rθ,pi (vpi) + ve. (Rθ,pi como no exerc´ıcio anterior.) Utilize isto para determinar a matriz [Rθ,e]β de Rθ,e com respeito a uma base ortonormal β de R3 em que os seus dois primeiros elementos esta˜o no plano pi e o seu terceiro elemento esta´ no eixo e. 14. A transformac¸a˜o linear T : R3 −→ R3 definida por T (x, y, z) = (y, z, x) , (x, y, z) ∈ R3, representa uma rotac¸a˜o de um certo aˆngulo θ (em radianos) em torno de um certo eixo e. Descubra quem sa˜o θ e e. 15. Nos itens abixo, quais das transformac¸o˜es sa˜o lineares? a. T (x, y) = (y, x). b. T (x, y) = (x, x). c. T (x, y) = (0, x). d. T (x, y) = (0, 1). Para aquelas que forem lineares, determine o nu´cleo e a imagem. 16. Suponha que T : R2 −→ R2 e´ definida por T (x, y) = (x, y) , exceto nos pontos da forma (0, y), nos quais, tem-se T (0, y) = (0, 0) . Mostre que T satisfaz T (λ · v) = λ · v, mas na˜o satisfaz T (v + w) = T (v) + T (w). 17. Seja V o espac¸o vetorial das matrizes reais 2× 2 e seja T : V −→ V definida por T (M) = A ·M, M ∈ V, onde A e´ a matriz [ 1 2 3 6 ] . Mostre que T e´ linear. Determine o nu´cleo e a imagem de T . 18. Novamente, seja V o espac¸o vetorial das matrizes reais 2×2 e, agora, seja T : V −→ V definida por T (M) = M t, M ∈ V, onde t indica transposta da matriz. Mostre que T e´ linear e ache a sua matriz na base canoˆnica β = {[ 1 0 0 0 ] , [ 0 1 0 0 ] , [ 0 0 1 0 ] , [ 0 0 0 1 ]} . 19. Seja T : R2 −→ R2, linear, tal que T (1, 0) = (2, 5) , T (0, 1) = (1, 3) . Determine T (x, y).
Compartilhar