Aula sobre torção no concreto armado

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Torção no Concreto Armado
Disciplina: Concreto Estrutural II
Prof. Daniel de Lima Araújo
Escola de Engenharia Civil - UFG
2
1. Casos mais comuns
3
1. Casos mais comuns
4
1. Casos mais comuns
5
1. Casos mais comuns
6
2. Casos típicos para o momento de 
torção
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2. Casos típicos para o momento de 
torção
Concreto Estrutural II 8
2. Casos típicos para o momento de 
torção
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2. Casos típicos para o momento de 
torção
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2. Casos típicos para o momento de 
torção
3. Torção de equilíbrio e torção de 
compatibilidade
 Na torção de equilíbrio, o momento de torção é necessário para 
o equilíbrio da estrutura, devendo ser considerada.
 Na torção de compatibilidade, o momento de torção pode ser 
desconsiderado devido à fissuração da viga à torção.
11
3. Torção de equilíbrio e torção de 
compatibilidade
 Torção de compatibilidade
12
3. Torção de equilíbrio e torção de 
compatibilidade
 Torção de compatibilidade
13
4. Torção simples
14
 Torção pura no concreto não fissurado
 Seção maciça: analogia da membrana (torção igual à 
inclinação da superfície)
4. Torção simples
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 Torção pura no concreto não fissurado
 Seção maciça: analogia da membrana (torção igual à 
inclinação da superfície)
4. Torção simples
16
 Torção pura no concreto não fissurado
 Seção vazada (oca)
 
torção) de (fluxo ctet onde )dst(rT tt  
 
e
tete
A2
T
t TdAt2 dA2rds  
 
 
4. Torção simples
17
 Torção pura no concreto não fissurado
 Seção vazada (oca)
 
Inércia à torção : 
média linha da perímetro u ,
u
A4
J
2
e
t 
 
Dimensionamento: seções maciças calculadas como 
vazadas 
 
4. Torção simples
18
 Momento de inércia à torção
4. Torção simples
19
 Momento de inércia à torção
4. Torção simples
20
 Torção pura no concreto não fissurado (Torção de St. Venant)
 Tensões principais: inclinadas a 450
 
4. Torção simples
21
 Torção pura no concreto não fissurado
 Influência do empenamento
4. Torção simples
22
 Torção pura no concreto
 Ensaios de Morsch 
4. Torção simples
23
 Torção pura no concreto
 Ensaios de Morsch 
4. Torção simples
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 Torção pura no 
concreto fissurado
 Seções 
retangulares 
 
 
 Caso 






6
b
h
6
b5
Ae
6
b
tb
6
5
b es 
 Caso sse
s
s hbAe
5
b
tb
6
5
b  
 
4. Torção simples
25
 Torção pura no 
concreto fissurado
 Seções 
compostas por 
associação de 
retângulos
Válido para h  3b; caso contrário, tomar h = 3b e 
desprezar o restante do retângulo. 
 
4. Torção simples
26
 Torção pura no concreto fissurado
 Seções vazadas
5. Dimensionamento à torção pura 
segundo treliça clássica
Concreto Estrutural I - 2003 27
5. Dimensionamento à torção pura 
segundo treliça clássica
Concreto Estrutural I - 2003 28
a) equilíbrio no plano EFGH 
a2
2T
DTa
2
D
2
d
dd
d  (compressão na biela) 
 
Real
5. Dimensionamento à torção pura 
segundo treliça clássica
29
2
a
tA com ,
A
Dd
td  
ta
T
a2
2T
2
a
t
2
d
td
d
td  (tensão na biela comprimida) 
como Ae = a
2 , tem-se que: 
tA2
T
 onde , 2
tA
T
e
d
tdtd
e
d
td  
 
5. Dimensionamento à torção pura 
segundo treliça clássica
30
b)   0X 
yd
d
1
d
yd1
d
d
af2
T
A
a2
T
4fA4
2
D
4H4  
yd
d
1s
af
T2
A4A  
Trabalhando com taxa de armadura, tem-se: 
yd
d
yde
d
yd
2
dss
ffA2
T
fa4
T2
a4
A
u
A 
  
onde u é o perímetro do contorno externo de Ae. 
 
5. Dimensionamento à torção pura 
segundo treliça clássica
31
c) equilíbrio do nó A 
2
D
H dwd  
A área total de estribos no trecho a vale: 90A
s
a
 
Logo: 
yd
d
yde
d90d
yd90
ffA2
T
s
A
a2
T
fA
s
a 
 
Obs: o estribo deve obrigatoriamente ser fechado 
 
6. Dimensionamento à torção pura 
segundo treliça “generalizada”
32
a) dd TasenD2  
6. Dimensionamento à torção pura 
segundo treliça “generalizada”
33
a) dd TasenD2  





2sen
2
2sentA
T
Tsenayt2 td
e
d
tddtd 
 
b)  gcot
a
T
2fAcosD4H4 dydsdd  


 gcot
f
gcot
fa2
T
a4
A
u
A
yd
d
yd
2
dss  
 
c) 

senDfA
s
gcota
dyd90 




tg
f
tg
fA2
T
s
A
a2
T
fA
s
gcota
yd
d
yde
d90d
yd90 
 
6. Dimensionamento à torção pura 
segundo treliça “generalizada”
 Tensão nas bielas de compressão: maiores com sen2 < 1, ou 
seja,  < 450
 Consumo de armadura: Volume de armação de torção - V() –
para um comprimento s.
34
V() = volume de armação longitudinal + volume de 
estribos 
   





 tggcotsu
f
ustg
f
sugcot
f
V
yd
d
yd
d
yd
d 
Impondo a condição de mínimo:   0tggcot
d
d


 
Logo: 0
22
450
cos
1
sen
1




 
 
7. Torção com flexão e esforço cortante
 Dimensionamento das armaduras: calculadas isoladamente e 
somadas ao final (“superposição de efeitos”)
 Torção com flexão 
35
7. Torção com flexão e esforço cortante
 Dimensionamento das armaduras: calculadas isoladamente e 
somadas ao final (“superposição de efeitos”)
 Torção com força cortante
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7. Torção com flexão e esforço cortante
 Verificação do concreto (bielas de compressão)
37
T
T
1
1
1
0,3
1
1
1
0,5 a 0,6
sd
ult
ult
V
V
sd
ult
M
M
sd
 
Diagrama de interação 
 
7. Torção com flexão e esforço cortante
 Verificação do concreto (bielas de compressão)
38
1
wu
wd
tu
td 





 
 
Obs: verificação à favor da segurança para Md  (0,5 a 
0,6) Mult 
 
8. Prescrições da NBR 6118:2014 e 
disposições construtivas (Item 17.5)
 Torção de compatibilidade
 A torção de compatibilidade pode ser desprezada. Em 
elementos com comprimento menor ou igual a duas vezes sua 
altura deve ser respeitado o limite de armadura mínima de 
cisalhamento e, ainda,
 Para torção de equilíbrio, usar modelo da treliça generalizada 
espacial com 30    45. 39
8. Prescrições da NBR 6118:2014 e 
disposições construtivas (Item 17.5.1.4.1)
 Geometria da Seção Resistente
 Seções Poligonais convexas cheias
40
1ee C2he
A
h 

 
onde: 
A = área da seção cheia; 
 = perímetro da seção cheia; 
C1 = distância entre o eixo da armadura longitudinal de 
canto e a face lateral da peça. 
 
Caso A/ resulte menor que 2c1, pode-se adotar he = A/ ≤ b - 2c1 e a superfície média da seção 
celular equivalente Ae definida pelos eixos das armaduras do canto (respeitando o cobrimento 
exigido nos estribos)
8. Prescrições da NBR 6118:2014 e 
disposições construtivas (Item 17.5.1.4.2)
 Seção Composta de Retângulos
41


i
3
i
i
3
i
SdSdi
ba
ba
TT 
onde: 
TSdi = parcela do momento torçor total correspondente ao 
retângulo i; 
TSd = momento torçor total ; 
a = menor lado do retângulo i; 
b = maior lado do retângulo i. 
Cada retângulo deve ser verificado isoladamente com a 
seção equivalente definida acima para seções retangulares.8. Prescrições da NBR 6118:2014 e 
disposições construtivas
 Seções Vazadas
 Menor espessura da parede entre a espessura real da parede e 
a espessura equivalente.
42
8. Prescrições da NBR 6118:2014 e 
disposições construtivas (Item 17.5.1.3)
 Resistência da peça – Torção Pura
43
TSd  TRd,2 
TSd  TRd,3 
TSd  TRd,4 
TRd,2 :resistência das diagonais comprimidas de concreto; 
TRd,3 :parcela resistida pelos estribos normais ao eixo da 
peça; 
TRd,4 :parcela resistida pelas barras longitudinais, paralelas 
ao eixo da peça. 
 
8. Prescrições da NBR 6118:2014 e 
disposições construtivas (Item 17.5.1.5)
 Resistência da peça – Torção Pura
 Verificação da Compressão Diagonal do Concreto 
44
 2sen.h.A.f..50,0T eecdv2,Rd 
onde: 
250
f
1 ckv  
 
8. Prescrições da NBR 6118:2014 e 
disposições construtivas (Item 17.5.1.6)
 Resistência da peça – Torção Pura
 Cálculo das Armaduras
45
a) Resistência dos estribos: 
 gcot.A2.f.
s
A
T eywd
90
3,Rd 
b) Resistência das armaduras longitudinais: 
 tg.A2.f.
u
A
T eywd
s
4,Rd

 
A distribuição da armadura deve ser constante ao longo do 
perímetro da seção 
 
fywd ≤ 435 MPa
8. Prescrições da NBR 6118:2014 e 
disposições construtivas (Item 17.7)
 Solicitações Combinadas
 Torção e Flexão 
 As verificações podem ser efetuadas separadamente para a 
torção e para as solicitações normais.
46
8. Prescrições da NBR 6118:2014 e 
disposições construtivas (Item 17.7)
 Solicitações Combinadas
 Torção e força cortante
 O ângulo de inclinação das bielas de concreto , deve ser o 
mesmo para ambos os casos de solicitação. A resistência à 
compressão diagonal do concreto é satisfeita quando:
47
1
T
T
V
V
2Rd
Sd
2Rd
Sd 
8. Prescrições da NBR 6118:2014 e 
disposições construtivas (Item 17.5.1.2)
 Taxa geométrica mínima
48
8. Prescrições da NBR 6118:2014 e 
disposições construtivas (Item 18.3.4)
 Diâmetro e espaçamento dos estribos
49
8. Prescrições da NBR 6118:2014 e 
disposições construtivas (Item 18.3.4)
 Diâmetro e espaçamento dos estribos
50
• Os estribos para torção devem ser fechados em todo o seu 
contorno, envolvendo as barras das armaduras longitudinais de 
tração, e com as extremidades adequadamente ancoradas por meio 
de ganchos em ângulo de 45°. 
• As barras longitudinais da armadura de torção podem ter arranjo 
distribuído ou concentrado ao longo do perímetro interno dos 
estribos, espaçadas no máximo em 350 mm. 
• Deve-se respeitar a relação ΔAsl /Δu
• As seções poligonais devem conter, em cada vértice dos estribos de 
torção, pelo menos uma barra
8. Prescrições da NBR 6118:1978 e 
disposições construtivas
 NBR 6118/78
 Armadura Mínima
51
25t p/ CA-25,0
u
A
s
A
mín
s
mín
90 












  
60 e CA-50t p/ CA-14,0
u
A
s
A
mín
s
mín
90 












  
8. Prescrições da NBR 6118:1978 e 
disposições construtivas
 NBR 6118/78
 Espaçamento Máximo dos Estribos
 Diâmetro Mínimo e espaçamento das Barras Longitudinais de 
Canto
52

















cm 30
12
2
d
6,0 
cm 20
3
h
2
b
6,0 tutd
w
tutd


 

mm 10
t
8. Prescrições da NBR 6118:1978 e 
disposições construtivas
 NBR 6118/78
53
EXEMPLOS
54