Aula 3 lajes Lajes armadas em duas direções

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Lajes em Concreto Armadas 
em duas Direções
Disciplina: Concreto Estrutural II
Prof. Daniel de Lima Araújo
Escola de Engenharia Civil - UFG
Noções Gerais de teoria das placas
� Métodos de cálculo de lajes maciças apoiadas sobre 
vigas
� Elástico: baseia-se nas cargas em serviço e concreto 
íntegro (subestima os deslocamentos)
� Na ruptura (charneiras plásticas): baseado na forma de 
ruptura da laje (difícil avaliação dos deslocamentos)
Concreto Estrutural II 2
Noções Gerais de teoria das placas
� Método elástico para lajes maciças
� Teoria das placas delgadas ou de Kirchhoff
� Coeficiente de Poisson entre 0 e 0,2 (NBR 6118:2007)
� Hipóteses de cálculo:
� Material homogêneo
� Elástico linear
� Isótropo
� Pequenos deslocamentos ⇒ superposição de efeitos
� Manutenção da seção plana após a deformação
� Representação dos elementos pelo plano médio
Concreto Estrutural II 3
Noções Gerais de teoria das placas
� Método elástico para lajes maciças
� Condições de contorno:
� A ação das placas nas vigas de contorno ocorre somente por 
meio de forças verticais, não havendo transmissão de 
momentos de torção paras as vigas
� As ações das placas nas vigas são uniformemente distribuídas 
e não há transmissão de carga diretamente para os pilares; a 
carga nas placas é transferida para as vigas e daí para os 
pilares
� As vigas de contorno são indeslocáveis na direção vertical
� A rotação das placas no contorno é livre (apoio simples) ou 
totalmente impedida (engastada)
Concreto Estrutural II 4
Noções Gerais de teoria das placas
� Equação geral das placas (ou de Lagrange)
Concreto Estrutural II 5
D
p
y
w
yx
w2
x
w z
4
4
22
4
4
4
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
( )2
3
112
hED
ν−
=
Noções Gerais de teoria das placas
� Laje retangular apoiada nos quatro lados
� Momentos fletores e torçores (volventes) nos cantos
Concreto Estrutural II 6
Noções Gerais de teoria das placas
� Laje retangular apoiada nos quatro lados
� Momentos fletores principais
Concreto Estrutural II 7
Processos aproximados
� Tabelas de Czérny
Concreto Estrutural II 8
• Equação elástica 
∑∑








+
pipi
pi
=
m n
2
2
2
2
26
b
n
a
m
nm
b
yn
sen
a
xm
sen
D
p16)y,x(w e ν = 0 
sendo m e n o número de divisões da placa e p a força média no centro de cada elemento 
Processos aproximados
� Tabelas de Czérny
Concreto Estrutural II 9
• momentos fletores máximos no meio do vão 
2
2
'
x
x
wDm
∂
∂
−= e 2
2
'
y y
wDm
∂
∂
−= 
 
• para ν ≠ 0 
'
y
'
xx mmm ν+= e 
'
x
'
yy mmm ν+= 
Processos aproximados
� Tabelas de Bares
� PINHEIRO (1993)
� Coeficiente de Poisson igual a 0,15
� lx é sempre o menor vão
Concreto Estrutural II 10
Processos aproximados
� Tabelas de Bares -
PINHEIRO (1993)
� Casos de 
vinculação
Concreto Estrutural II 11
Processos aproximados
� Tabelas de Bares - PINHEIRO (1993)
� Extrato típico
Concreto Estrutural II 12
EXEMPLO 1
Link para tabelas (página 108):
13
EXEMPLO 2 – LAJE COM 
BORDO LIVRE
Link para tabelas (página 111):
14