Aula 7 Dimensionamento à flexão simples de seções retangulares empregando tabelas

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Flexão simples na ruína: 
Tabelas para seção retangular
1
Disciplina: Concreto Estrutural I
Prof. Daniel de Lima Araújo
Escola de Engenharia Civil - UFG
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
 = 3,5‰ε cdσ
sεR'
R
M
d'
A'
b
d
h
x
y = 0,8x
s
d
s
c
'
c
2
sε
As
s
 
 
Do equilíbrio de forças e de momentos, tem-se que: 
Rc + R’s – Rs = 0 
Md = γf x Mk = Rc (d – 0,4x) + R’s (d - d’) 
Rc = b y σcd = b 0,8x 0,85fcd = 0,68 bd βx fcd 
Rs = As σs 
R’s = A’s σ’s 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
Do diagrama retangular de tensão no concreto, tem-se que: 
(d – 0,4x) = d (1 - 0,4x/d) = d (1 - 0,4βx) 
 
Substituindo-se esses valores, tem-se: 
0,68 bd βx fcd + A’s σ’s - As σ s = 0 (1) 
3
0,68 bd βx fcd + A’s σ’s - As σ s = 0 (1) 
Md = 0,68 bd² βx fcd (1 - 0,4βx) + A’s σ’s (d – d’) (2) 
 
Armadura Simples 
Neste caso tem-se que A’s = 0; portanto, as equações (1) e (2) 
se reduzem a: 
0,68 bd βx fcd - As σ s = 0 (1’) 
Md = 0,68 bd² βx fcd (1 - 0,4 β x) (2’) 
EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE
cε
'ε
d
x
d'
s
4
sε
 
)'dx(
'
)xd(x
ssc
−
ε
=
−
ε
=
ε
 
)d/'d(
'
)1( x
s
x
s
x
c
−β
ε
=β−
ε
=β
ε
 (3) 
sc
c
x
ε+ε
ε
=β
 
x
xc
s
)1(
β
β−ε
=ε
 
x
xc
s
)d/'d(
' β
−βε
=ε
 
TABELAS PARA ARMADURA 
SIMPLES
Coeficiente kc 
d
2
c M
bdk =
 
Da equação (2’), tem-se que: 
1bd 2
5
)4,01(f68,0
1
M
bdk
xcdxd
2
c ββββββββ −−−−========
 
kc = f (βx , fcd), onde fcd = fck / γ c 
TABELAS PARA ARMADURA 
SIMPLES
Coeficiente ks 
d
s
s M
dAk =
 
Substituindo (0,68 bd βx fcd = As σ s) da equação (1’) na equação (2’), 
tem-se: 
6
tem-se: 
Md = As σ s d (1 – 0,4βx) 
de onde se tira que: 
)4,01(
1
M
dAk
xsd
s
s ββββσσσσ −−−−========
 , 
ks = f (βx , σ s); para os domínios 2 e 3 
tem-se: σ
 s = fyd 
TABELAS PARA ARMADURA 
DUPLA
d'
b
A A
A'
≡ +
Seção 1 Seção 2
dh d - d'
A
A's
s s1 s2
s
7
M = M + M1 2d
 
Seção 1: Resiste a um momento máximo com armadura simples. 
M1 = bd² / kclim, onde kclim é o valor de kc para βx = βx34 
As1 = kslim M1 / d 
Seção 2: Seção sem concreto que resiste ao momento restante. 
M2 = Md – M1 
M2 = As2 fyd (d – d’) = A’s σ’s (d – d’) 
TABELAS PARA ARMADURA 
DUPLA
Coeficiente ks2 
Da equação de equilíbrio da seção 2, resulta: 
 
d'd
M
f
1A 2
yd
s2
−
=
 
8
Fazendo 
yd
s2 f
1k =
 , tem-se: 
d'd
MkA 2s2s2
−
=
 
ks2 = f (fyd) 
TABELAS PARA ARMADURA 
DUPLA
Coeficiente k’s 
'dd
M
'
1
'A 2
s
s
−σ
=
 
Fazendo 
s
s
'
1k'
σ
=
 , tem-se: 
9
Fazendo 
s'σ
 , tem-se: 
'dd
M
'k'A 2ss
−
=
 
k’s = f (σ’s) = f1 (fyd, σ’s) = f2 (fyd, d’/h) 
 
Armadura Total 
Armadura tracionada: As = As1 + As2 
Armadura comprimida: A’s 
Tabela
EXEMPLOS
EXEMPLO 1 
Calcular a área de aço (As) para uma seção retangular com os 
dados abaixo. 
Concreto classe C25 
Aço CA-50 
10
b = 30 cm 
h = 45 cm 
Mk = 170 kN.m 
d´ = 3 cm 
 
EXEMPLO 2 
Determinar a área de aço do exemplo anterior, com Mk = 315 kN.m.