MATEMÁTICA FINACEIRA

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M A T E M Á T I C A F I N A N C E I R A 
 
 
 
 A Matemática Financeira faz parte de nosso dia a dia na medida em que interagimos com o 
mercado comprando, investindo, vendendo... 
 
 As constantes oscilações no mercado financeiro exigem, cada vez mais, a utilização de modêlos 
matemáticos para conhecimento do sistema de cálculos de juros e indicadores financeiros. 
 
 O desconhecimento das formas de cálculo de juros leva os consumidores a ignorarem quanto 
pagam de juros quando entram em um crediário. A maioria dos compradores só se preocupam como 
valor da prestação, mas, se soubessem o tamanho do juro embutido no financiamento, poderiam até 
desistir da compra. 
 
 Receber ou pagar uma quantia hoje ou no futuro não é exatamente a mesma coisa. Valores só 
podem ser comparados se relativos a uma mesma data, caso contrário, deverão ser movimentados 
para uma mesma data devidamente corrigidos com a aplicação de uma taxa de juros. 
 
 A Matemática Financeira trata do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo, tendo 
como objetivo básico analisar e comparar os vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de 
caixa verificados em diferentes datas. 
 
 Neste trabalho temos como objetivo fornecer noções necessárias para enfrentar situações reais, 
bem como dar condições de resolver os problemas encontrados na vida prática. Os conceitos aqui 
apresentados permitem a resolução de problemas que envolvam fluxo de caixa. Utilizaremos os 
modelos matemáticos e ilustraremos, em diversos exemplos, a resolução com calculadoras 
financeiras. A simbologia aqui apresentada será a mesma utilizada atualmente no mercado 
financeiro. 
 
 Ao final do curso o aluno terá condições de: compreender as diferenças entre os regimes de 
capitalização simples e o composto; distinguir os diversos tipos de taxas praticadas pelo mercado; 
conceituar séries uniformes e calcular seus componentes; conhecer os Sistemas de Amortização 
mais utilizados e construir suas planilhas; analisar um fluxo de caixa identificando a melhor opção 
de investimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
PADRÃO MONETÁRIO BRASILEIRO 
 
Cruzeiro - Cr$ Novembro / 1942 - O antigo Mil Réis ( Rs.1$000 ) é 
 substituído pelo Cruzeiro ( Cr$ ). 
 
Dezembro / 1964 - O centavo foi extinto, passando o 
 Cruzeiro a ser grafado como Cr$ 1. 
Cruzeiro Novo - NCr$ Dezembro / 1967 - Cr$ 1.000 foram substituídos pelo 
 Cruzeiro Novo, restabelecendo os 
 Centavos, passando a ser grafado 
 NCr$ 1,00. 
 
Maio / 1970 - Restabelecida a expressão Cruzeiro 
 ( Cr$ )eliminando-se a expressão 
 Cruzeiro Novo ( NCr$ ). 
 
Agosto / 1984 - Extinto o centavo, passando o 
 Cruzeiro a ser grafado Cr$ 1. 
Cruzado - Cz$ Março / 1986 - O Cruzeiro foi substituído pelo 
 Cruzado, com o restabelecimento 
 dos centavos, passando Cr$ 1.000 
 a ser grafado como Cz$ 1,00. 
Cruzado Novo - NCz$ Janeiro / 1989 - O Cruzado foi substituído pelo 
 Cruzado Novo passando 
 Cz$ 1.000,00 a ser grafado como 
 NCz$ 1,00 
Cruzeiro - Cr$ Março / 1990 - A expressão Cruzado Novo é 
 substituída pelo antigo Cruzeiro 
 grafado como Cr$ 1,00. 
 
Cruzeiro Real - CR$ Agosto / 1993 - O Cruzeiro foi substituído pelo 
 Cruzeiro Real, passando 
 Cr$ 1.000,00 a ser grafado como 
 CR$ 1,00. 
Real - R$ Julho / 1994 - O Cruzeiro Real é substituído pelo 
 Real, passando CR$ 2.750,00 a ser 
 Grafado como R$ 1,00. 
 
 (CR$ 2.750,00 – valor da URV 
 unidade real de valor em 30.06.94) 
 
 
 
 
 
3 
C O N C E I T O S 
 
 
CAPITAL – é o valor, geralmente dinheiro, que você pode aplicar ou emprestar. 
 (é o conceito mais controvertido da ciência econômica) 
 
 
JURO – é a remuneração do capital emprestado. 
 Para o investidor: é a remuneração do investimento. 
 Para o tomador: é o custo do capital obtido. 
 
 
 
 C A P I T A L J U R O 
 
 Dinheiro 
 
 Casa 
 
 Trabalho 
 
 
 Prêmio 
 
 Aluguel 
 
 Salário 
 
 
 
 
MONTANTE – é o capital aplicado mais o juro produzido. 
 
 
REPRESENTAÇÕES 
 
Capital ( capital inicial, principal, valor presente) = C ou PV (present value) 
 
Juro = J 
 
Montante (valor futuro) = M ou FV (future value) 
 
 
 
Adotaremos : PV = capital 
 
 FV = montante 
 
 J = Juro 
 
 
 
 LEMBRETE 
 
Neste trabalho o 
conceito de 
capital será 
utilizado 
restritamente no 
sentido de 
dinheiro 
 
 
4 
TAXA DE JURO – coeficiente que define a grandeza do juro. Pode ser expressa de duas 
 formas: 
 
 a) Taxa Percentual ( r ) - representa o juro produzido por 100 unidades de 
 capital no período tomado como unidade de tempo. 
 
 b) Taxa Unitária ( i ) - representa o juro produzido pela unidade de capital no 
 período tomado como unidade de tempo. 
 
Exemplo: R$ 1.000,00 produziu R$ 50,00 em 1 mês. 
 
 cada R$ 100,00 produziu R$ 5,00, portanto r = 5% a m (cinco por cento ao mês). 
 
 cada R$ 1,00 produziu R$ 0,05, portanto i = 0,05 a m 
 
Observe a tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regime de capitalização – é o processo de formação do juro. 
 
 Há dois regimes de capitalização: 
 
JUROS SIMPLES – Apenas o capital inicial produz juro. Dizemos que os juros não são 
capitalizados. 
 
 
JUROS COMPOSTOS – Neste regime os juros são capitalizados, isto é, o juro produzido 
no fim de cada período financeiro é adicionado ao capital passando a produzir juro no 
período seguinte. 
 
 
 
 
 
Percentual Unitária 
45% 0,45 
8% 0,08 
100% 1 
235% 2,35 
0,5% 0,005 
127% 1,27 
1000% 10 
 
r
i = 
100
 ou 
r = 100 i
 
 
 
 
5 
JUROS SIMPLES 
 
 
 Neste regime a taxa incide sôbre o capital inicial aplicado, sendo diretamenteproporcional ao 
seu valor e ao tempo de aplicação. 
 
Exemplo- Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado à taxa de 5% ao mês, durante 3 meses. 
 
 O juro de cada período é obtido multiplicando-se a taxa unitária pelo capital inicial, ou seja: 
 
 J = PV . i 
 
 período taxa valor presente juro 
 1
º
 mês 0,05 x 10.000,00 = 500,00 
 2
º
 mês 0,05 x 10.000,00 = 500,00 + R$ 1.500,00 
 3
º
 mês 0,05 x 10.000,00 = 500,00 
 
 
 Acumulados em n períodos é n vezes o juro do 1
º
 período. Portanto: 
 
 
 
 
 
 Como o montante é FV = PV + J, substituindo J 
 e colocando PV em evidência, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os Juros Simples podem ser: 
 
 
 EXATOS – quando utilizamos o calendário civil. 
 Ano: 365 ou 366 dias 
 Mês: 28, 29, 30 ou 31 dia 
 
 ORDINÁRIOS – quando utilizamos o calendário comercial. 
 Ano: 360 dias 
 Mês: 30 dias 
 
J = PV . i . n 
 
 FV = PV . 1 + i.n
 
 LEMBRETE 
 
A unidade de 
tempo utilizada 
para o período n 
deve ser a mesma 
da taxa i 
 
 
6 
Problemas: 
1) Aplicou-se a importância de R$ 5.000,00, pelo prazo de 4 meses, à taxa de 3%a m Calcular o 
valor dos juros simples. 
 
 
 
 
2) O Sr. José aplicou R$ 10.000,00, a juros simples de 5% a m, pelo prazo de 120 dias. 
 Quanto rendeu a aplicação ? Quanto resgatou ? 
 
 
 
 
3) Qual o capital necessário para se obter um montante de R$ 8.900,00, daqui a 15 meses, a uma 
 taxa de 12% a t, no regime de juros simples ? 
 
 
 
 
 
4) Calcular os juros simples recebidos em uma aplicação de R$ 3.000,00, à taxa de 6% ao mês, 
num prazo de 18 dias. 
 
 
 
 
5) A que taxa foi empregado o capital de R$ 8.000,00, que no prazo de 7 meses, rendeu os juros 
simples de R$ 1.400,00 ? 
 
 
 
6) Em quantos meses R$ 5.000,00, rende os juros simples de R$ 1.250,00, à taxa de 5% ao mês? 
 
 
 
 
7) Calcular o juro simples obtido por um capital de R$ 2.000,00, à taxa de 36% a a, no prazo de 
um ano dez meses e 10 dias. 
 
 
 
 
8) A que taxa devemos aplicar um capital para que no prazo de 8 meses ele duplique de valor? 
 
 
7 
 
DESCONTOS SIMPLES 
 
 
 Os comerciantes em geral, buscando vantagens ou na impossibilidade de efetuarem à vista o 
pagamento de suas compras, assumem o compromisso de o fazerem em uma data 
futura. Esses compromissos são expressos em documentos denominados títulos de crédito. 
 
 Exemplos de títulos de crédito: 
 
 Nota Promissória – comprovante da aplicação de um capital com vencimento 
 predeterminado. Muito usado entre pessoas físicas ou entre 
 pessoas físicas e uma Instituição Financeira. 
 
 Duplicata – título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente, para o qual 
 vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos numa 
 data futura. 
 
 Letra de Câmbio – comprovante da aplicação de um capital com vencimento 
 predeterminado. É um título ao portador emitido por uma 
 Instituição Financeira. 
 
Operação de Desconto 
 
 A ) O devedor efetua o pagamento antes do dia do vencimento beneficiando-se de um abatimento 
 referente ao juro produzido por esse capital no intervalo no prazo antecipado. 
 
 B ) O credor necessitando do capital antes do vencimento, pode vender o título de crédito a um 
 terceiro que se beneficia do juro do capital que esta adiantando, pagando um valor menor 
 que o expresso no título de crédito. 
 
 A Operação de Desconto consiste no resgate ou negociação dos títulos de crédito antes da data 
 do vencimento e o abatimento obtido pela antecipação do pagamento é denominado desconto. 
 
 Portanto: 
 
 Valor Nominal ( VN ) – é o valor expresso no título de crédito e que deve ser pago 
 no dia do vencimento. 
 
 Valor Atual ( VA ) – é o valor obtido pelo título de crédito em data anterior ao 
 dia do vencimento. 
 
 Desconto ( D ) – é a diferença entre o valor nominal e o valor atual. 
 
 
D = VN - VA
 
 
 
 
 
8 
 
Temos dois tipos de Desconto: 
 
1 ) Desconto Simples Comercial ( Bancário ou Por Fora ) - juros simples calculado sobre o valor 
 nominal do título de crédito, no prazo que falta para o vencimento, a uma taxa denominada 
 taxa de desconto. 
 
 2 ) Desconto Simples Racional ( Por Dentro) – juros simples calculado sobre o valor atual do 
 título de crédito, no prazo que falta para o vencimento, a uma taxa denominada taxa de 
 rentabilidade. 
 
 Obs.Destacaremos apenas o Desconto Comercial por ser o mais praticado no mercado. 
 
DESCONTO SIMPLES COMERCIAL 
 
Considerando: VN = valor nominal 
 
 VA = valor atual 
 
 D = desconto 
 
 id = taxa unitária de desconto 
 
 n = número de períodos 
 
Conforme a definição, temos: 
 
 
 ou 
 
 
 
 Exemplo – Calcular o desconto simples comercial e o valor atual obtido por uma nota 
promissória de R$ 3.000,00, à taxa de 6% a m, 60 dias antes do vencimento. 
 
VN = 3.000 D = VN . id . n . VA = VN - D 
id = 0,06 D = 3000 .0,06 . 2 VA = 3000 - 360 
n = 2 D = R$ 360,00 VA = R$ 2.640,00 
 
 Para calcular o VA diretamente: 
 
 VA = VN . ( 1 – id . n ) 
 VA = 3000 . ( 1 – 0,06 . 2 ) 
 VA = 3000 . 0,88 
 VA= R$ 2.640,00 
dD = VN . i . n
 
 
 dVA = VN . 1 - i . n
 
 
 
 
9 
 
A taxa de juros no Desconto Simples Comercial 
 
 Considerando o valor do desconto simples comercial como o valor dos juros obtido pelo 
empréstimo do valor atual, podemos obter a relação entre as taxas de juros e do desconto simples 
comercial. 
  
 
d
d d
d d
 J = D
 VA . i . n = VN . i . n
 VN 1 - i .n i = VN . i
 1 - i .n i= VN.i
 
 Da igualdade acima temos: 
 
 
 
 e 
 
 
 
Problemas: 
 1 ) Qual a taxa de juros obtida ao descontar um título 4 meses antes do vencimento à taxa de 
 desconto de 5% a m. 
 
 
 
 
2 ) Um banqueiro deseja ganhar 6% a m nos descontos de títulos. Qual deve ser a taxa de desconto 
 para títulos com prazo de 45 dias ? 
 
 
 
 
 
 
3 ) Uma nota promissória de R$ 5.000,00 foi descontada 30 dias antes do vencimento à taxa de 8% 
 a m. Qual a taxa de juro obtida nessa operação? 
 
 
 
 
 
 
4 ) Calcular a taxa de desconto comercial a ser aplicada no desconto de uma duplicata 60 dias antes 
 do vencimento, para se obter juros de 5,5% a m ? 
d
d
i
i = 
1 - i
 d
i
i = 
1 + i
 
 
 
10 
PROBLEMAS PROPOSTOS = JUROS E DESCONTOS SIMPLES 
 
1) Calcular o juro simples obtido por uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 4%a m, durante 10 meses. 
 
2) Calcular o juro simples obtido por uma aplicação de R$ 2.000,00, à taxa de 42%a a, durante 1 ano e 
 5 meses. 
 
3) Calcular os juros simples recebidos em uma aplicação de R$ 10.000,00, a uma taxa de 9%a m, num prazo 
 de 12 dias. 
 
4) Diego emprestou R$ 800,00 de um amigo prometendo devolver ao final de 5 meses pagando simples de 6% 
 a m. Qual o montante a ser devolvido após esse prazo ? 
 
5) Que capital produz R$ 735,00 de juros simples, daqui a 210 dias, a uma taxa de 3%a m? 
 
6) A que taxa trimestral R$ 3.000,00 produz em 1 ano e meio o juro simples de R$936,00? 
 
7) Em quantos meses R$ 5.000,00 rende R$1.100,00 de juros simples a uma taxa de 66%a a ? 
 
8) Um título de R$ 6.000,00 foi descontado à taxa de 3,6% a m , faltando 45 dias antes do vencimento. 
 Calcular o desconto simples comercial. 
 
9) Calcular o valor atual de uma duplicata de R$ 2.000,00, descontada 28 dias antes do vencimento à taxa de 
 3% a m. 
 
10) Um título de crédito foi resgatado por R$ 8.875,00, 75 dias antes do vencimento a 4,5% a m. Calcular seu 
 valor nominal. 
 
11) A que taxa foi descontada uma duplicata de R$ 500,00 que obteve o desconto simples comercial de 
 R$ 49,50, três meses antes do vencimento? 
 
12) Quantos dias faltavam para o vencimento de uma nota promissória de R$ 3.000,00 que foi resgatada por 
 R$ 2.775,00 à taxa de 5% a m ? 
 
13) Um título de R$ 5.000,00, vencível em 3 meses deverá ser substituído por outro com vencimento para 
 5 meses. Considerando a taxa de desconto de 6% a m, qual deve ser o valor nominal do novo título? 
 
14) Qual a taxa de juros obtida por um banqueiro ao descontar um título de crédito 90 dias antes do vencimento 
 à taxa de desconto simples de 7% a m ? 
 
15) Uma financeira deseja obter taxa de juros de 6,4% a m nas operações de desconto de títulos. Qual a taxa do 
 desconto simples por fora a ser utilizada nos prazos de 30 dias ? 
 
 
Respostas: 1) R$ 2.000,00 6) 5,2% a trimestre 11) 3,3% a m 
 2) R$ 1.190.00 7) 4 meses 12) 45 dias 
 3) R$ 360,00 8) R$ 324,00 13) R$5.857,14 
 4) R$ 1.040,00 9)R$ 1.944,00 14) 8,860% a m 
 5) R$ 3.500,00 10)R$ 10.000,00 15) 6,015% a m 
 
 
 
11 
JUROS COMPOSTOS 
 
 No regime de Juros Compostos ( capitalização composta), os juros gerados em cada período 
financeiro, préviamente estipulado, são adicionados ao capital passando a gerar juros no período 
seguinte e assim sucessivamente. Dizemos que os juros são capitalizados. 
 
 
Diferença entre os regimes de Capitalização 
 
 Considere uma aplicação de R$ 10.000,00 aplicados durante 3 meses à taxa de 10% ao 
mês. Preencha a planilha abaixo observando as diferenças entre os regimes Simples e 
o Composto. 
 
 
 
 
 FÓRMULA DO MONTANTE 
Considerando: 
 
 PV = capital inicial i = taxa unitária relativa ao período e n = número de períodos 
 
O montante FV após cada período financeiro será: 
 
FV1 = PV + PV. i = PV ( 1 + i ) 
 
FV2 = FV1 + FV1. i = FV1 ( 1 + i ) = PV ( 1 + i ) ( 1 + i ) = PV ( 1 + i )
2
 
 
FV3 = FV2 + FV2 i = FV2 (1 + i ) = PV ( 1 + i )
2
 ( 1 + i ) = PV ( 1 + i )
3
 
 
 Generalizando para n períodos, temos a : 
 
Fórmula Fundamental dos Juros Compostos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Período Juros Simples Juros Compostos 
 ( mês) 
 1 
 2 
 3 
 
n
n =FV PV. 1 + i
 
 
 
 LEMBRETE 
 
1-É necessário que a taxa 
e o período estejam 
expressos na mesma 
unidade de tempo do 
período de capitalização. 
 
2- Se o período de 
capitalização não constar 
do problema, deve-se 
usar a mesma unidade de 
tempo associada à taxa. 
 
 
12 
Exemplos: 
1) Calcular o montante a ser resgatado por uma aplicação a juros compostos de R$ 10.000,00 
 remunerada a 5% a m , durante 4 meses. 
 
 Visualização dos dados no gráfico: 
 
 PV= 10.000,00 
 0 1 2 3 4 
 meses 
 
 i = 0,05 n = 4 FV = ? 
 Cálculo do montante: 
 
 FV = PV . ( 1 + i )
n
 
 FV = 10.000 . ( 1 + 0,05 )
4
 
 FV = 10.000 . 1,215506 (utilize no mínimo 5 casas decimais) 
 FV = R$ 12.155,06 
 
 Para a calcular apenas os juros, basta subtrair o capital do montante encontrado: 
 
 J = FV – PV = 12.155,00 - 10.000,00 = R$ 2.155,00 
 
 Observe o que ocorre em cada período. 
 
 n PV i J FV 
 1 10.000,00 0,05 500,00 10.500,00 
 2 10.500,00 0,05 525,00 11.025,00 
 3 11.025,00 0,05 551,25 11.576,25 
 4 11.576,25 0,05 578,81 12.155,06 
 
2) Calcular o montante obtido por um capital de R$ 5.000,00, aplicado a juros compostos à taxa de 
 15% a t, durante 10 trimestre 
 
 
 
 
 
 
3) Uma pessoa aplicou R$ 20.000,00 a juros compostos, com remuneração de 4,75%a m . Quanto 
 resgatou nofim de 8 meses ? 
 
 
 
 
 
 
13 
 A partir da fórmula fundamental de juros compostos, 
 
n
n =FV PV. 1 + i
 podemos, 
também , calcular: 
 
 
a) Capital Inicial (PV) 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Taxa ( i ) c ) Número de períodos ( n ) 
 ( utilizando-se das propriedades operatórias dos 
 logarítmos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n
FV
PV = 
1+i
 
 
n
1
PV = FV. 
1+i
 
n
FV
i = 1
PV

 
 
 
 
 
log FV log PV
n = 
log 1+i

 
 
 
14 
 Problemas: 
1) Calcular o montante de uma aplicação de R$ 8.000,00, à taxa de 3%a m, pelo prazo de 8 
 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcular os juros de uma aplicação de R$ 5.000,00 , a 5%a m, capitalizados 
 mensalmente durante 6 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcular o capital aplicado a juros compostos de 4,5% a m, sabendo-se que após 10 
 meses acumulou o montante de R$ 12.140,00 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) A que taxa trimestral foi aplicado um capital de R$ 5.000,00, sabendo-se que ao final de 8 
 trimestres produziu um montante de R$ 6.820,00 ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Em quantos meses R$ 2.000,00 acumula um montante de R$ 2.530,64, à taxa de 4%a com 
 capitalização mensal dos juros ? 
 
 
 
 
 
15 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS = JUROS COMPOSTOS 
 
1) Calcular o montante obtido em uma aplicação em juros compostos de R$ 4.000,00, a uma taxa de 5% 
am durante 1 ano, com capitalização mensal dos juros. 
 
2) Calcular o montante e os juros obtido em uma aplicação em juros compostos de R$ 10.000,00, 
 remunerada a uma taxa de 11%a t, durante 15 meses, com capitalização trimestral dos juros. 
 
3) Qual o capital que acumula em 1 ano o montante de R$ 6.000,00, a juros compostos de 6%a m com 
capitalização mensal dos juros ? 
 
4) A que taxa mensal um capital produz de juros compostos 40% de seu valor em 8 meses ? 
 
5) Uma pessoa tomou emprestada a quantia de R$ 5.000,00. Após 1 ano liquidou a dívida pagando ao 
todo R$ 7.050,00. Calcular a taxa empregada na operação, sabendo-se que a capitalização dos juros foi 
trimestral. 
 
6) Se você emprestar R$ 500,00 prometendo pagar juros compostos de 3% a m, quanto deverá devolver no 
fim de 3 meses ? 
 
7) Quanto você deve aplicar hoje em uma Instituição Financeira que paga juros de 4,5%a m, capitalizando 
os juros mensalmente para resgatar após 6 meses a quantia de R$ 1.200,00 ? 
 
8) Quais são os juros de uma aplicação de R$ 6.000,00, à taxa de 8,5% a b, capitalizados bimestralmente, 
durante um ano e dois meses? 
 
9) Uma pessoa investiu R$ 5.000,00 a juros compostos durante 8 meses e recebeu R$ 2.670,00 de juros. 
Calcular a taxa mensal da aplicação. 
 
10) Você deposita hoje R$ 1.000,00 em uma caderneta de poupança. Quanto você terá após um ano meio 
considerado uma taxa de juros de 0,8%a m ? 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 1) R$ 7.183,41 6) R$ 546,36 
 2) R$ 16.850,58 e R$ 6.850,58 7) 7) R$ 921,47 
 3) R$ 2.981,81 8) R$ 4.620,85 
 4) 4,296%a m 9) 5,494% a m 
 5) 8,969%a t 10) R$ 1.154,22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
FLUXO DE CAIXA 
 
 O fluxo de caixa é o conjunto de entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo. 
 
 Podemos representar as entradas e saídas do dinheiro ao longo do tempo através da 
utilização de gráficos contendo uma linha horizontal e setas dirigidas para cima e para baixo. 
 
- a linha horizontal representa o tempo, expressos em períodos financeiros ( dias, meses, 
trimestres, anos, etc.) 
- a entrada e a saída de dinheiro representamos por setas com sentidos opostos. 
 
 entrada (para cima) - saída (para baixo) 
 ou 
 entrada (para baixo) - saída (para cima) 
 
 O importante é que as setas de entrada e saída de dinheiro possuam sempre senti- 
dos opostos. Neste curso utilizaremos seta para cima como entrada e seta para baixo como 
saída. 
 
Exemplo: Uma pessoa aplicou R$ 5.000,00 em um Banco resgatando após 3 meses o mon- 
 tante de R$ 6.000,00. 
 
 1) do ponto de vista do Banco: 
 
 PV = 5.000,00(entrada) 
 
 0 1 2 3 n (meses) 
 
 
 FV = 6.000,00 (saída) 
 
 
 
 
 
 2) do ponto de vista do investidor: 
 FV = 6.000,00 ( entrada ) 
 
 
 n ( meses ) 
 0 1 2 3 
 
 PV = 5.000,00 ( saída ) 
 
 
 
 
 
 
17 
CAPITALIZAÇÃO E DESCAPITALIZAÇÃO 
 
 
A ) CAPITALIZAÇÃO 
 
 Nos cálculos de juros compostos obtemos o montante(FV) utilizando-se da fórmula: 
 FV = PV . ( 1 + i )
n
 
 
 Ao fator ( 1 + i )
n
 denominamos fator de capitalização. 
 
 Para cada período o fator de capitalização é ( 1 + i ). 
 
 FV 
 n 
 
 (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) 
 PV 
 
 
 
B ) DESCAPITALIZAÇÃO 
 
 A descapitalização é a operação inversa da capitalização, portanto partindo de um montante 
(FV) voltamos ao capital inicial(PV)utilizando-se da fórmula: 
 
 
 
n
1
PV = FV. 
1+i
 
 
 
 Ao fator 
 
1
1+i
n denominamos fator de descapitalização. 
 Para cada período o fator de descapitalização é: 
 
1
1+i
 
 
 
 FV 
 
 
 1 1 1 1 n 
 (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) 
 PV 
 
 
 
18 
 Problemas: 
1) Você tem hoje, 10.05.98, R$ 5.000,00, que foi aplicado em 10.02.98, a uma taxa de 4%a m . 
calcule: 
 
 a) Qual o valor do capital inicial em 10.02.98? 
 
 10.05.98 
 
 
 10.02.98 
 
 
 
 
 
 b)Qual o valor do montante daqui a 4 meses ? 
 
 10.09.98 
 
 
 10.05.98 
 
 
 
 
 2) Considere um capital de R$ 10.000,00 à taxa de 5% a m. Descapitalizar 3 meses e 
 capitalizar 2 meses representando o valor em cada mês no gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 meses 
 meses 
 10.000,00 
 
 
 
 
 
3) Quanto valia há 5 meses e quanto valerão daqui a 3 meses R$ 3.000,00, 
 considerando-se uma taxa de 3,2% a m. ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
T A X A S 
 TAXA - é o coeficiente que determina a grandeza do juro num determinado período de tempo. 
Também pode se referir à interpretação financeira do desempenho de uma empresa, de um 
investimento, etc. 
 Para o bom entendimento dos cálculos financeiros é necessário o conhecimento das diversas 
nomenclaturas de taxas utilizadas pelo mercado. 
 
 
TAXAS PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES 
 
A ) TAXAS PROPORCIONAIS – Duas taxas são proporcionais quando formam uma proporção 
com seus respectivos períodos reduzidos à mesma unidade de tempo. A razão entre as taxas é a 
mesma que a razão entre seus períodos. 
 
 
 Exemplos: a) 3% a m é proporcional a 36% a a, pois 
3 1
 = 
36 12
 
 
 
 b) 0,5% a d é proporcional a 15% a m, pois 
0,5 1
 = 
15 30
 
 
 
 c) 60% a a é proporcional a 30% a s, pois 
60 12
 = 
30 6
 
 
 
 
Exercícios: 
 
48% a a é proporcional a _______% a s 3% a m é proporcional a ________% a a 
 
 
48% a a é proporcional a _______% a t 3% a m é proporcional a ________% a s 
 
 
48% a a é proporcional a _______% a b 3% a m é proporcional a ________% a t 
 
 
48% a a é proporcional a _______% a m 3% a m é proporcional a ________% a b 
 
 
48% a a é proporcional a _______% a d 3% a m é proporcional a ________% a d 
 
 
 
 
20 
 
B ) TAXAS EQUIVALENTES – Duas taxas, expressas em períodos de tempo diferentes, são 
 equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital ( PV ) e num mesmo prazo, produzem o 
 mesmo montante(FV). 
 
 
 Considere o seguinte problema: Calcular, pelo regime de juros compostos, o montante 
produzido por um capital de R$ 10.000,00, aplicado: 
 
a ) durante 1 ano, à taxa de 36% a a 
 
 FV = 10.000 . 1,36
1
 = R$ 13.600,00 
 
 b ) durante 12 meses, à taxa de 3% a m 
 
 FV = 10.000 . 1,03
12
 = R$ 14.257,60 
 
 c ) durante 1 ano, à taxa de 42,576% a a 
 
 FV = 10.000 . 1,42576
1
 = R$ 14.257,60 
 
 Observando o exemplo acima e conforme a definição de taxas equivalentes, concluímos que: 
 
 - 3% a m e 36% a a são taxas proporcionais mas não são taxas equivalentes. 
 ( no regime de capitalização composta, duas taxas proporcionais não são 
 equivalentes ). 
 - 3% a m e 42,576% a a são taxas equivalentes. 
 
CÁLCULO DA TAXA EQUIVALENTE 
 
 Considere um capital PV aplicado durante um ano. Calculando o montante ( FV ) com a taxa 
 mensal im ou com a sua equivalente ia, temos: 
 
 FV1 = PV . ( 1 + i )
1
 ou FV12 = PV . ( 1 + i )
12
 
 
 Como ia e im são duas taxas equivalentes, os montantes FV1 e FV12 são iguais. 
 
 PV . ( 1 + im )
12
 = PV . ( 1 + ia )
1
 
 
 Portanto: 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
12
m ai = 1+i 1
 
 
12
a mi = 1+i 1
 
 LEMBRETE 
 
O conceito de taxas 
equivalentes está 
diretamente ligado 
ao regime de 
capitalização 
composta. 
 
 
21 
Exemplos: 1) Qual a taxa anual equivalente 2) Qual a taxa mensal equivalente 
 a 3 % a m ? a 60% a a ? 
 12 12 
 ia = 1,03 - 1 im = 1,60 - 1 
 
 ia = 1,42576 - 1 im = 1,03994 - 1 
 
 ia = 0,42576 im = 0,03994 
 
 ra = 42,576% a a rm = 3,994% a m 
 
 
Generalizando: 
 
 
 
 
 
 onde: iq = taxa equivalente a ser determinada 
 ic = taxa conhecida 
 nd = período referente à taxa desconhecida 
 nc = período referente à taxa conhecida 
 
 Exercícios: 
 1 ) Qual a taxa anual equivalente2 ) Qual a taxa trimestral equivalente 
 a 5% a m ? a 48% a a ? 
 
 
 
 
 
 
3 ) Qual a taxa semestral equivalente 4 ) Qual a taxa mensal equivalente 
 a 50% a a ? a 0,5% a d ? 
 
 
 
 
 
 
5 ) Qual a taxa anual equivalente 6 ) Qual a taxa mensal equivalente 
 a 12,4% a t ? a 8% a b ? 
 
 
 
 
nd
nc
q ci = 1+i 1
 
 
 
22 
TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
 
Taxa Nominal - É uma taxa expressa em período diferente do período de capitalização. 
 - Geralmente é expressa a ano ( periodicidade anual ). 
 - Não corresponde, de fato, ao juro pago ou recebido. 
 
 Exemplos: 30% a a, com capitalização mensal dos juros 
 48% a a, com capitalização trimestral dos juros 
 60% a a, com capitalização semestral dos juros 
 6% a m, com capitalização diária dos juros 
 
 
Taxa Efetiva - É uma taxa expressa no mesmo período da capitalização dos juros. 
 - Representa o juro efetivamente pago ou recebido. 
 
 Exemplos: 30% a a, com capitalização anual dos juros 
 15% a t, com capitalização trimestral dos juros 
 6% a m, com capitalização mensal dos juros 
 0,5% a d, com capitalização diária dos juros 
 
 A taxa nominal é muito utilizada pelo mercado, aparecendo nos contratos financeiros, mas 
nos cálculos utiliza-se a taxa efetiva. 
 
 Na resolução de problemas que apresentam taxas nominais, adotamos que a taxa por período 
de capitalização seja proporcional à taxa nominal. 
 
 Exemplo: Um empréstimo foi efetuado à taxa de 30% a a, com capitalização mensal dos 
juros. Qual a taxa efetiva anual ? 
 
 30% a a, com capitalização mensal é uma taxa nominal. Para capitalizar os juros 
mensalmente utilizamos a taxa mensal proporcional a 30% a a, portanto: 
 
 
 30 : 12 = 2,5 2,5% a m 
 
 A taxa efetiva anual é a taxa anual equivalente a 2,5% a m. 
 Portanto: 
 
 
12
1
a
12
a
a
a
a
i = 1+0,025 1
i = 1,025 1
i = 1,34488 1
i = 0,34488
r = 34,488% aa



 
 
 
23 
Problemas: 
1 ) Uma taxa de 48% a a é capitalizada trimestralmente. Calcule a taxa efetiva anual. 
 
 
 
 
 
2 ) Um Banco emprestou R$ 30.000,00 por 3 anos, cobrando juros de 42% a a, com capitalização 
 bimestral dos juros. Calcule a taxa efetiva anual e o montante a ser devolvido no final do prazo. 
 
 
 
 
 
 
3 ) Uma loja financia suas mercadorias à taxa de 60% a a, com capitalização mensal dos juros. 
 Calcular a taxa efetiva anual. 
 
 
 
 
 
 
4 ) A caderneta de poupança paga juros de 6% a a, com capitalização mensal dos juros. Qual a sua 
 taxa efetiva anual ? 
 
 
 
 
 
5 ) Você aplica a juros compostos R$ 5.000,00 durante um ano e meio a taxa de 30% a a, com 
 capitalização mensal dos juros. Calcular o montante ao final do prazo e a taxa efetiva anual. 
 
 
 
 
 
6 ) Foi aplicado R$ 20.000,00 à taxa de 6% a m, com capitalização diária dos juros. Calcular o 
 montante ao final de 12 dias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
TAXA REAL E TAXA APARENTE 
 
 
 Em regimes de economia inflacionária, o mercado utiliza-se de vários indexadores para tentar 
zerar a perda monetária provocada pela inflação. Esses indexadores são as taxas de correção 
monetária ou como chamaremos: taxa de inflação. 
 
 A taxa aparente é a unificação da taxa de inflação com a taxa de juro real. 
 
 Para encontrar a taxa aparente unificando as duas taxas ( real e inflação ) utilizamos a fórmula 
geral dos juros compostos ( fórmula do montante ). 
 
 Considerando PV = capital inicial ( valor presente ) 
 FV = montante ( valor futuro ) 
 iA = taxa aparente 
 iR = taxa de juro real 
 iI = taxa de inflação 
 
 O montante é obtido pela aplicação da taxa de inflação seguida da taxa de juro real: 
 
 FV = PV . ( 1 + iI ) ( 1 + iR ) 
 
 Se a taxa aparente é a unificação dessas duas taxas, podemos obter esse mesmo montante por: 
 
 FV = PV . ( 1 + iA ) 
 
 Então: 
 
 
 
 
 
 
 Unificar duas taxas não é soma-las. ( iA não é igual a iR + iI ) 
 
 
Exemplo: Calcular a taxa aparente mensal correspondente uma taxa de juro real de 3% a m e uma 
inflação de 5% no mesmo período. 
 
iA = ? 1 + iA = 1,03 . 1,05 
iR = 0,03 1 + iA = 1,0815 
iI = 0,05 iA = 1,0815 - 1 
 iA = 0,0815 
 rA = 8,15% a 
 
 
   A R I1+i = 1+i . 1 i
 
ATENÇÃO 
 LEMBRTE 
 
Quando não há 
infalção, a taxa 
aparente é igual a 
taxa de juro real. 
 
 
25 
 O método de unificação de taxas também pode ser utilizado para reajustes de preços ou 
salários efetuados em duas ou mais parcelas. 
 
Exemplo: Uma empresa irá reajustar os salários dos funcionários em 20%. A primeira parcela 
 será de 12% no mês de maio. Calcular o percentual da segunda a ser efetuada em 
 setembro. 
 
   
 
1+0,12 . 1 i 1 0,20 i = 1,07142 1
1,12. 1 + i 1,20 i = 0,07142
1,20 
1+ i = r = 7,142%
1,12 
   
 
Problemas: 
1 ) Calcular a taxa aparente referente a uma taxa de juro real de 3,8% e correção monetária de 
 8,5% incidentes sobre o mesmo capital. 
 
 
 
 
2 ) O rendimento mensal da caderneta de poupança para hoje é de 1,2376%. Calcular o índice 
 de atualização monetária ( taxa de inflação ), se a taxa de juro real é de 6% a a, com juros 
 capitalizados mensalmente. 
 
 
 
 
 
3 ) Uma pessoa aplicou R$ 5.000,00 e resgatou após 6 meses o montante de R$ 6.140,00. 
 a ) Qual foi a taxa aparente ? 
 
 
 
 
 b ) Se a taxa de inflação no período foi de 14,52%, calcular a taxa de juro real obtida pelo 
 investidor. 
 
 
 
 
 
 
4 ) Em três meses o preço de um produto sofreu reajustes sucessivos de 8%, 7% e 4%. 
 Calcular o percentual de reajuste total. 
 
 
 
 
26 
PROBLEMAS PROPOSTOS – TAXAS 
 
1 ) Determinar a taxa trimestral proporcional a: 
 a ) 60% a ab ) 24% a s c ) 6% a m d ) 0,5% a d 
 
2 ) Determinar a taxa trimestral equivalente a : 
 a ) 60% a a b ) 24% a s c ) 6% a m d ) 0,5% a d 
 
3 ) Uma loja financia suas mercadorias à taxa de 24% a a, com capitalização mensal dos juros. Calcular 
 a taxa efetiva anual. 
 
4 ) Uma pessoa aplicou R$ 6.000,00 a juros compostos durante 1 ano e 4 meses obtendo R$ 7.608,00 de 
 juros. Se os juros foram capitalizados mensalmente, calcular: 
 a ) a taxa efetiva mensal; 
 b ) a taxa nominal anual; 
 c ) a taxa efetiva anual. 
 
5 ) O capital de R$ 6.000,00 foi colocado a juros compostos à taxa de 36% a a, com capitalização 
 trimestral. Calcular o montante ao final de 1 ano e 3 meses. 
 
 6 ) Uma aplicação foi efetuada à taxa de 0,25% a d. Determinar a taxa efetiva para 23 dias. 
 
 7 ) Calcular o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00, à taxa de 28,4% a a, com capitalização 
 semestral dos juros, durante 2 anos e meio. 
 
 8 ) Qual a taxa aparente correspondente a uma taxa de juro real de 1,2% a m e uma inflação de 2,5% 
 no mesmo período ? 
 
 9 ) Uma financeira cobra uma taxa aparente de 32% a a, pretendendo ter um retorno de 11% a a .Qual 
 a taxa de inflação que está projetando ? 
 
10 ) Uma aplicação de R$ 3.000,00 foi resgatada após 6 meses por R$ 3.820,00. Calcular a taxa de 
 juro real obtida, sabendo-se que a inflação no período foi de 12,34%. 
 
11 ) Você investiu R$ 5.000,00 em um fundo de renda variável e resgatou após 3 meses o montante 
 de R$ 5.320,00. Considerando que a taxa de inflação no período foi de 7,5%, calcular: 
 a ) se você obteve ganho ou perda real no investimento; 
 b ) qual deveria ser o valor do montante resgatado para você obter ganho real de 2% ? 
 
12 ) Calcular o percentual que falta para atingir o reajuste salarial de 38%, efetuado em duas parcelas, 
 sendo que a primeira foi de 20%. 
 
 
 
Respostas: 
1 ) a – 15% a t 2 ) a – 12,468% a t 3 ) 26,824% a a 5 ) R$ 9.231,74 9 ) 18,919% a a 
 b – 12% a t b – 11,355% a t 4 ) a – 5,251% a m 6 ) 5,911% a m 10 ) 13,346% a s 
 c – 18% a t c – 19,102% a t b – 63,012% a a 7 ) R$ 19.423,63 11 ) a – perda 
 d – 45% a t d – 56,655% a t c – 84,805% a a 8 ) 3,730% b – R$ 5.482,5 
 
 
 
27 
CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO COMPOSTAS 
 
 
Séries Uniformes – Séries de depósitos ou de pagamentos constantes e periódicos destinados 
 a formação de um capital ou amortização de uma dívida. 
 
Termos – cada um dos depósitos ou pagamentos. 
 
Série Uniforme Postecipada - vencimento do 1
o
. termo se dá no fim do 1
o
. período. 
 
Série Uniforme Antecipada - vencimento do 1
o
. termo se dá no início do 1
o
. período. 
 
 
 Série de Depósitos 
 
Capitalização – quando a série destina-se a constituição de um montante ( valor futuro ). 
 
 Postecipada Antecipada 
 
 
 FV FV 
 
0 1 2 3 4 n 0 1 2 3 4 n 
 
 
 
 termos iguais termos iguais 
 
 
 Série de Pagamentos 
 
Amortização – quando a série destina-se ao pagamento de uma dívida. 
 
 
 
 Postecipada Antecipada 
 
 PV PV 
 
 0 1 2 3 4 n 0 1 2 3 4 n 
 
 
 
 termos iguais termos iguais 
 
Na resolução de problemas de capitalização e amortização compostas utilizam-se os modelos 
matemáticos ( fórmulas ) ou calculadoras financeiras que otimizam muito os cálculos necessários. 
 
 
 
 
 
 
28 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
- Séries uniformes de depósitos com incidência de uma mesma taxa visando à formação de um 
 montante. 
 
 - Capitalização de parcelas iguais e periódicas com a finalidade de constituir um 
 montante ao final de certo prazo. 
 
Modelos matemáticos para cálculo do valor futuro 
 
Considerando: FV = valor futuro ( montante ) 
 n = número de períodos 
 i = taxa unitária por período 
 PMT = parcelas, termos ( valor dos depósitos ) 
 
 A ) Série Postecipada 
 FV 
 
 0 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n períodos 
 
 
 PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 B ) Série Antecipada 
 
 FV 
 
 0 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n períodos 
 
 
 PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vide demonstração à página 37. 
 
n
1 i 1
FV=PMT.
i
  
 
  
 
 
n+1
1+i 1
FV=PMT. 1
i
 
 
  
 
 
 
29 
Exemplo: 
Uma pessoa deposita todo mês R$ 500,00, durante 5 meses, em uma Financeira que paga juros de 
3% a m. Calcular o montante ( valor futuro ). 
Utilizando o modelo matemático: FV = ? PMT = 500,00 i = 0,03 n = 5 
 
 a ) Postecipada 
 r = 3% a m FV=? FV = 500,00 . 1,03
5
 - 1 
 0,03 
 0 1 2 3 4 5 meses 
 FV = 500,00 . 5,30913 
 
 
 500 500 500 500 500 FV = R$ 2.654,56 
 
 b ) Antecipada 
 r = 3% a m 
 FV=?FV = 500,00 . 1,03
6
 - 1 - 1 
 0 1 2 3 4 5 0,03 
 meses 
 FV = 500,00 . 5,46841 
 
 500 500 500 500 500 FV = R$ 2.734,20 
 
 Utilizando a calculadora financeira HP12C 
 
 
 
 sor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0,00 - limpa as memórias financeiras, o visor e a pilha operacional. 
 
 -500,00 - coloca o valor do depósito mensal. 
 
 
 5,00 - coloca o número de depósitos ( parcelas ). 
 
 
 3,00 - coloca a taxa no modo percentual. 
 
 
 3,00 - informa que a série é postecipada. 
 
 
 2 .654,56 - calcula o valor futuro (FV) da série. 
 
 
 2.654,56 - informa que a série é antecipada. 
 
 
 2.734,20 - calcula o valor futuro ( FV ) da série. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 500 
 
 
 5 
 
 
 3 
 
 
 
 TECLAS VISOR 
 LEMBRETE 
 
1) PMT e FV possuem 
sentidos opostos no fluxo 
de caixa, portanto para 
obter FV positivo 
introduza PMT com o 
valor negativo, teclando 
CHS. 
 
2 ) Para cálculo do valor 
da parcela informe o 
valor de FV e tecle PMT 
no final. 
 
3 ) Para cálculo da taxa i 
e do número de parcelas 
n utilizaremos apenas a 
calculadora financeira. 
 
 
 
30 
Problemas 
1 ) Depositando R$ 200,00 no início de cada mês, durante 10 meses, à taxa de 3,5% a m, qual será o 
 montante da série ? 
 
 
 
 
 
2 ) Calcule o depósito mensal capaz de, em 5 meses, produzir o montante de R$ 5.000,00, a 
 4% a m considerando a série postecipada. 
 
 
 
 
 
 
3 ) Uma pessoa deposita no fim de cada trimestre R$ 500,00. Considerando uma taxa de 9% a t, 
 quanto acumulará ao efetuar o 8
o
. depósito ? 
 
 
 
 
 
 
4 ) Quanto devo depositar mensalmente à taxa de 5% a m, para obter o montante de R$ 10.000,00 
 no fim de um ano em uma série antecipada ? 
 
 
 
 
 
5 ) Você resolve efetuar 24 depósitos mensais em uma Financeira que para juros de 4,2% a m, com 
 a finalidade de conseguir R$ 4.000,00 para fazer uma viagem daqui a 2 anos. Calcule o valor do 
 depósito considerando a série postecipada. 
 
 
 
 
6 ) Calcule o valor futuro da série abaixo: 
 
 2,5% a m FV 
 0 1 2 3 4 
 meses 
 100 100 100 100 
 
 
 
31 
Exemplos de cálculo da taxa ( i ) e do número de parcelas ( n ) com utilização da HP12C 
 
1 ) Depositei 4 parcelas de R$ 200,00, no início de cada mês, e obtive no fim do quarto mês o 
 montante de R$ 866,00. Calcular a taxa mensal. 
 
 
 T E C L A S V I S O R 
 
 0,00 - limpa as memórias financeiras, o visor e a pilha operacional. 
 
 200 -200,00 - informa o valor do depósito. 
 
 4 4,00 - informa o número de parcelas. 
 
 866 866,00 - informa o valor do montante. 
 
 866,00 - informa que a série é antecipada. 
 
 3,20 - calcula a taxa percentual por período 
 
 
 
2 ) Quantas parcelas mensais postecipadas de R$ 100,00 são necessárias para se obter o montante 
 de R$ 720,00 à taxa de 7,26% a m ? 
 
 T E C L A S V I S O R 
 
 0,00 - limpa as memórias financeiras, o visor e a pilha operacional. 
 
 100 -100,00 - informa o valor do depósito. 
 
 7,26 7,26 - informa o valor da taxa na forma percentual. 
 
 720 720,00 - informa o valor do montante. 
 
 720,00 - informa que a série é postecipada. 
 
 6,00 - calcula o número de parcelas. 
 
 
32 
AMORTIZAÇÃO COMPOSTA 
 
- Séries uniformes de parcelas ( prestações ) com incidência de uma mesma taxa, visando o 
pagamento de uma dívida. 
- Amortização de uma dívida ( valor presente ) em parcelas iguais e periódicas, num certo 
prazo. 
 
Considerando: PV = valor presente ( valor da dívida, preço à vista ) 
 n = número de parcelas, de prestações 
 i = taxa unitária por período 
 PMT = termos, valor das parcelas ou prestações 
 
Modêlos matemáticos para cálculo do valor presente ( PV ) 
 
A ) Série Postecipada 
 
 PV 
 
 0 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n períodos 
 
 
 PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 B ) Série Antecipada 
 
 PV 
 
 0 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n períodos 
 
 
 PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n
n
1 + i 1
PV = PMT. 
i 1 + i
 
 
  
 
 
 
n 1
n 1
1 + i 1 
PV = PMT. +1
i 1 + i


 
 
  
 
 
 
33 
Exemplo: 
Uma TV em cores é vendida em 4 prestações mensais e iguais de R$ 200,00. Calcular o preço 
à vista, sabendo-se que a loja cobra juros de 5% a m. 
 
Utilizando o modelo matemático: PV = ? PMT = 200,00 i = 0,05 n = 4 
 
 
a ) Postecipada ( sem entrada ) ( 0 + 4 ) PV = 200 . 1,05
4
 - 1 
 
 PV=? r = 5% a m 0,05 . 1,05
4
 
 
 0 1 2 3 4 meses PV = 200 . 3,54595 
 
 PV = R$ 709,19 
 200 200 200 200 
 
 
 
 b ) Antecipada ( com entrada ) ( 1 + 3 ) PV = 200 . 1,053
 - 1 + 1 
 
PV=? r=5% a m 0,05 . 1,05
3
 
 
 0 1 2 3 4 meses 
 PV = 200 . 3,72325 
 
200 200 200 200 PV = R$ 744,65 
 
Utilizando a calculadora financeira HP12C: 
 
 
 
 0,00 - limpa a memória financeira, o visor e a pilha operacional. 
 200 - 200,00 - informa o valor da parcela ( prestação ). 
 4 4,00 - informa o número de parcelas. 
 5 5,00 - informa a taxa percentual por período. 
 5,00 - informa que a série é postecipada. 
 709,19 - calcula o valor presente da série. 
 709,19 - altera o modo para antecipado. 
 744,65 - calcula o valor presente da série. 
 TECLAS VISOR 
 
 
34 
Problemas: 
1 ) Calcular o preço à vista de um produto que está sendo vendido em 6 prestações mensais de 
 R$ 80,00, sem entrada, considerando que a loja cobra juros de 3% a m. 
 
 
 
 
 
2 ) Uma dívida de R$ 3.000,00 deverá ser paga em 4 prestações mensais, sem entrada. Calcular 
 o valor da prestação sabendo-se que a taxa de juro contratada foi de 5,5% a m. 
 
 
 
 
 
3 ) Um aparelho de som foi vendido com uma entrada mais 3 prestações mensais e iguais de 
 R$ 250,00. Calcular o preço à vista com juros de 4,3% a m. 
 
 
 
 
 
 
4 ) Uma loja vende uma geladeira por R$ 800,00 à vista e nas vendas a prazo cobra juros de 6% a m. 
 Qual o valor das prestações nos planos abaixo: 
 
 a ) ( 1 + 4 ) entrada mais 4 prestações mensais b ) ( 0 + 3 ) 3 prestações mensais sem entrada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 ) Calcular o valor presente do fluxo abaixo: 
 
 PV 
 r = 4% a m 
 0 1 2 16 17 18 meses 
 
 
 400 400 400 400 400 
 2000 
 
 
 
 
35 
6 ) Um automóvel é vendido por R$ 10.000,00 à vista ou R$ 4.000,00 de entrada e o restante em 4 
 parcelas mensais e iguais com juros de 7% a m. Construir o fluxo de caixa e calcular o valor das 
 parcelas. 
 
 
 
 
 
 
 
7 ) Calcular o preço à vista de uma bicicleta que está sendo vendida por uma entrada de R$ 100,00 
 mais 3 prestações mensais e iguais de R$ 85,00. com juros de 6% a m. 
 
 
 
 
 
 
 
8 ) O preço à vista de um terreno é R$ 12.000,00 e a taxa de juros na venda a prazo é de 5% a m. 
 Qual o valor que um comprador deve dar de entrada se deseja financiar o saldo em 6 prestações 
 mensais e iguais de R$ 1.500,00 ? 
 
 
 
 
 
 
 
 9 ) Analisar a oferta ao lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 a ) A taxa de juro é maior ou menor que 
 6% a m ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b ) Qual a taxa de juros cobrada ? 
 ( com HP12C, vide exemplos na página seguinte ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
Exemplos de cálculo da taxa ( i ) e do número de parcelas ( n ) com utilização da HP12C 
 
1 ) Um terreno é vendido por R$ 10.000,00 à vista ou em 6 parcelas mensais de R$ 2.150,00 com 
 a primeira no ato da compra. Calcular a taxa de juro cobrada. 
 
 
 
 0,00 - limpa as memórias financeiras, o visor e a pilha operacional. 
 
 10.000,00 10.000,00 - informa o valor presente ( preço à vista ). 
 
 2.150,00 -2.150,00 - informa o valor da prestação. 
 
 6 6,00 - informa número de prestações. 
 
 6,00 - informa que a série é antecipada. 
 
 11,49 - calcula a taxa de juros por período. 
 
 
2 ) Quantas prestações mensais e iguais de R$ 187,00, sem entrada, são necessárias para liquidar uma 
 dívida de R$ 2.000,00 com juros de 4,56% a m ? 
 
 
 
 
 0,00 - limpa as memórias financeiras, o visor e a pilha operacional. 
 
 2.000,00 2.000,00 - informa o valor presente ( valor da dívida ). 
 
 187,00 - 187,00 - informa o valor da prestação. 
 
 4,56 4,56 - informa a taxa percentual por período. 
 
 4,56 - informa que a série é postecipada. 
 
 15,00 - calcula o número de prestações. 
T E C L A S V I S O R 
T E C L A S V I S O R 
 
 
37 
Fórmula para cálculo do valor futuro da renda postecipada 
 
 O valor futuro ( FV ) de uma renda postecipada de n termos é igual à soma dos montantes de cada 
termo na data n. 
 
FV 
 0 1 2 3 n-2 n-1 n períodos 
 
 
 
 PMT PMT PMT PMT PMT PMT 
 
 
 PMT 
 
 PMT . ( 1 + i ) 
 
 PMT . ( 1 + i )
2
 
 . 
 . 
 PMT . ( 1 + i )
n-3
 
 
 
 PMT . ( 1 + i )
n-2
 
 
 
 PMT . ( 1 + i )n-1 
 
 Somando os montantes de cada termo na data n e colocando PMT em evidência, temos: 
 
 
 FV = PMT . 1 + ( 1 + i ) + ( 1 + i )
2
 + . . . .+ ( 1 + i )
n-3
 + ( 1 + i )
n-2
 + ( 1 + i )
n-1
 
 
 A expressão dentro dos colchetes é a soma dos n termos da PG, ondeo primeiro termo é 1 e 
a razão é ( 1 + i ). 
 
 Lembrando que:    
 
 
n
nn
1
1 1+i 1a . q 1 1 i 1
Sn = = = 
q 1 1 i 1 i
    
  
 
 
 
 
 Portanto 
 
 
 
 De modo análogo podemos demonstrar as demais fórmulas. 
 
n
1 i 1
FV=PMT.
i
  
 
  
 
 
 
38 
PROBLEMAS PROPOSTOS – CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO COMPOSTAS 
 
1 ) Calcular o depósito mensal capaz de, em 10 meses, acumular o montante de R$ 3.000,00, à taxa 
 de 2 % a m, considerando a série postecipada. 
 
2 ) Uma pessoa deposita R$ 50,00, no início de cada mês. Qual o valor futuro ( montante ) no final de 
 um ano e meio, se a taxa de juro é de 2,3% a m ? 
 
3 ) Depositando R$ 200,00, no fim de cada mês, em uma instituição financeira que paga 3% a m, 
 quanto você terá após um ano ? 
 
4 ) Você deseja fazer uma viagem pagando à vista daqui a 6 meses o valor de R$ 2.100,00. Quanto 
 terá que poupar mensalmente, à taxa de 2% a m, considerando a série antecipada ? 
 
5 ) Um produto cujo preço à vista é de R$ 500,00 é financiado a taxa de 4% a m. Calcular o valor da 
 prestação mensal nos planos : 
 a ) 5 prestações sem entrada ( 0 + 5 ) b ) entrada mais 4 prestações mensais ( 1 + 4 ) 
 
6 ) Uma dívida de R$ 10.000,00 será paga com entrada de R$ 2.800,00 e o restante em 8 parcelas 
 trimestrais. Qual o valor das parcelas se a taxa de juro contratada foi de 4,5% a t ? 
 
7 ) Calcular o preço à vista de um produto que é vendido em 4 prestações mensais de R$ 86,00 sem 
 entrada por uma loja que cobra juros de 6% a m. 
 
8 ) Uma geladeira é vendida por R$ 1.000,00 à vista. Se a loja cobra juros de 5% ao mês, 
 qual o valor das prestações num plano de (1 + 4) mensais e iguais? 
 
9 ) Um terreno pode ser comprado por uma das opções abaixo: 
 
 A ) R$ 12.000,00 à vista; 
 B ) R$ 3.000,00 de entrada e 4 parcelas mensais de R$ 2.500,00; 
 C ) 1 entrada mais 4 parcelas de R$ 2.400,00; 
 D ) 5 parcelas sem entrada de R$ 2.650,00. 
 
 Qual a melhor opção para um comprador que consegue investir seu capital a 2% a m ? 
 
10 ) Uma pessoa, que hoje está com 30 anos, resolve depositar, no fim de cada mês, R$ 100,00 em caderneta 
 de poupança até os 50 anos, a partir do qual fará uma retirada mensal até os 60 anos para complementar 
 sua aposentadoria. Considerando rendimentos mensais de 1% a m., calcular: 
 
 a ) o valor do montante acumulado quanto tiver 50 anos; 
 
 b ) o valor da retirada mensal. 
 
 
 
Respostas: 1 ) R$ 273,97 5 ) a ) R$ 112,31 8 ) R$ 219,97 
 2 ) R$ 1.124,80 b ) R$ 107,99 9 ) Opção C 
 3 ) R$ 2.838,40 6 ) R$ 1.091,58 10 ) a ) R$ 98.925,54 
 4 ) R$ 326,37 7 ) R$ 298,00 b ) R$ 1.429,29 
 
 
39 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
 
 Amortização – processo de liquidação de uma dívida através de pagamentos 
 periódicos. 
 
 A amortização de uma dívida pode ser processada de várias formas: 
 
 1 – pagamento, no vencimento, do capital ( principal ) mais juros capitalizados; 
 2 – pagamento dos juros periodicamente e do capital somente no vencimento; 
 3 – pagamento da dívida em prestações periódicas, constituídas de juros e quotas de 
 amortização do capital. 
 
 Cada uma das modalidades de pagamento constitui um sistema. Destacaremos o SAC e o 
PRICE, em razão de serem os mais utilizados. 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE ( S A C ) 
 
 O devedor paga a dívida em prestações periódicas postecipadas. As prestações englobam juros e 
amortizações do capital. O valor da amortização é constante em todos os períodos e a taxa de juros 
incidindo sobre o saldo devedor faz com que as parcelas de juros diminuam a cada período. Portanto as 
prestações são constantes. 
 
 
 PV = D0 ( saldo devedor na data zero ) 
 
 0 1 2 3 n-3 n-2 n períodos 
 
 
 P1 P2 P3 Pn-2 Pn-1 Pn 
 
 
 
 
 
 
 p 
 r 
 e 
 s j u r o s 
 t 
 a 
 ç prestação 
 ã 
 o 
 
 períodos 
 Observe que as parcelas relativas à amortização do capital são iguais em todos os períodos e 
as parcelas relativas aos juros diminuem período após período tornando as prestações decrescentes. 
 
 A m o r t i z a ç ã o 
 J u r o s 
 
 J u r o s 
 
 
40 
Exemplo: 
Um empréstimo de R$ 120.000,00 foi contratado para ser pago pelo SAC em 3 prestações 
anuais à taxa de 25% a a . Elaborar planilha de pagamentos. 
 
 Procedimentos: 
 
1. Calcular a amortização – dividir o valor do empréstimo pelo número de prestações. 
2. Calcular a parcela de juros – aplicar a taxa de juros sobre o saldo devedor do período 
anterior. 
3. Calcular a prestação – somar o valor da amortização com a parcela de juros. 
4. Apurar o saldo devedor do período – subtrair o valor da amortização do saldo devedor 
do período anterior. 
 
 Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
 0 - - - 120.000,00 
 1 70.000,00 30.000,00 40.000,00 80.000,00 
 2 60.000,00 20.000,00 40.000,00 40.000,00 
 3 50.000,00 10.000,00 40.000,00 0,00 
 
 
 Fluxo correspondente: 
 
 120.000 
 
 0 1 2 3 n 
 
 
 70.000 60.000 50.000 
 
 
Cálculo do Saldo Devedor 
 
 O saldo devedor após o pagamento de k prestações será: 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Uma dívida de R$ 84.000,00 será amortizada pelo sistema SAC em 12 prestações anuais à taxa de 12% a 
a . Calcular o saldo devedor após o pagamento da 8
a
. prestação. 
 
 A = 84.000,00 : 12 = 7.000,00 
 
 D8 = 84.000,00 – 8 . 7.000,00 = R$ 28.000,00 
 
 
 Dk = D0 – k . A 
 
 
41 
SISTEMA FRANCÊS OU TABELA PRICE 
 
 
 O devedor paga o empréstimo com prestações constantes, periódicas e postecipadas. O valor da 
amortização do capital ( valor presente ) aumenta a cada período enquanto as parcelas de juros diminuem 
no mesmo valor mantendo as prestações iguais em todos os períodos. 
 
 É um dos sistemas mais utilizados, pois permite ao