MATEMÁTICA CP 1s Vol1 2015 2017

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MATERIAL DE APOIO AO
CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
CADERNO DO PROFESSOR 
MATEMÁTICA
ENSINO MÉDIO
1a SÉRIE
VOLUME 1
Nova edição
2014-2017
governo do estado de são paulo
secretaria da educação
São Paulo
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Governo do Estado de São Paulo
Governador
Geraldo Alckmin
Vice-Governador
Márcio Luiz França Gomes
Secretário da Educação
Herman Voorwald
Secretária-Adjunta
Cleide Bauab Eid Bochixio
Chefe de Gabinete
Fernando Padula Novaes
Subsecretária de Articulação Regional
Raquel Volpato Serbino
Coordenadora da Escola de Formação e 
Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP
Irene Kazumi Miura 
Coordenadora de Gestão da 
Educação Básica
Ghisleine Trigo Silveira
Coordenadora de Gestão de 
Recursos Humanos
Coordenador de Informação, 
Monitoramento e Avaliação 
Cleide Bauab Eid Bochixio
Educacional
Olavo Nogueira Filho 
Coordenadora de Infraestrutura e 
Serviços Escolares
 
Coordenadora de Orçamento e 
Finanças
Claudia Chiaroni Afuso
Senhoras e senhores docentes,
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colabo-
radores nesta nova edição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que 
permitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula 
de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com 
os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abor-
dagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação 
— Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste 
programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização 
dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações 
de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca 
por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso 
do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb. 
Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orien-
tações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São 
Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades 
ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias, 
dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade 
da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas 
aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam 
a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avalia-
ção constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a 
diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico. 
Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu 
trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar 
e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história. 
Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo.
Bom trabalho!
Herman Voorwald
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
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Sumário
orientação geral sobre os Cadernos 5
Situações de Aprendizagem 9
Situação de Aprendizagem 1 – Conjuntos numéricos; regularidades numéricas 
e geométricas 9
Situação de Aprendizagem 2 – Progressões aritméticas e progressões geométricas 21
Situação de Aprendizagem 3 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finitas e 
aplicações à Matemática Financeira 34
Situação de Aprendizagem 4 – Limite da soma dos infinitos termos de uma PG infinita 48
Situação de Aprendizagem 5 – Funções como relações de interdependência: 
múltiplos exemplos 55
Situação de Aprendizagem 6 – Funções polinomiais de 1o grau: significado, gráficos, 
crescimento, decrescimento e taxas 65
Situação de Aprendizagem 7 – Funções polinomiais de 2o grau: significado, gráficos, 
interseções com os eixos, vértices e sinais 74
Situação de Aprendizagem 8 – Problemas envolvendo funções de 2o grau em múltiplos 
contextos; problemas de máximos e mínimos 96
Orientações para Recuperação 103
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do 
tema 105
Considerações finais 106
Quadro de conteúdos do Ensino médio 108
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5
Matemática – 1ª série – Volume 1
Insistimos, no entanto, no fato de que so-
mente o professor, em sua circunstância parti-
cular, e levando em consideração seu interesse 
e o dos alunos pelos temas apresentados, pode 
determinar adequadamente quanto tempo de-
dicar a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos são apresentadas, 
além de uma visão panorâmica do conteúdo 
do volume, oito Situações de Aprendizagem, 
que pretendem ilustrar a abordagem sugeri-
da, orientando a ação do professor em sala 
de aula. As atividades são independentes e 
podem ser exploradas pelos professores com 
maior ou menor intensidade, segundo seu in-
teresse e de sua turma. Naturalmente, em ra-
zão das limitações no espaço dos Cadernos, 
nem todas as unidades foram contempladas 
com Situações de Aprendizagem, mas a ex-
pectativa é de que a abordagem dos temas seja 
explicitada nas atividades oferecidas.
São apresentados, também, em cada Ca-
derno, sempre que possível, materiais disponí-
veis (textos, softwares, sites e vídeos, entre ou-
tros) em sintonia com a abordagem proposta, 
que podem ser utilizados pelo professor para 
o enriquecimento de suas aulas.
Compõem o Caderno, ainda, algumas con-
siderações sobre a avaliação a ser realizada, 
bem como o conteúdo considerado indispen-
sável ao desenvolvimento das competências 
enunciadas no presente volume.
Os temas escolhidos para compor o con-
teúdo disciplinar de cada volume não se afas-
tam, de maneira geral, do que é usualmente 
ensinado nas escolas ou do que é apresentado 
pelos livros didáticos. As inovações preten-
didas referem-se à abordagem dos assuntos, 
sugerida ao longo dos Cadernos. Em tal abor-
dagem, busca-se evidenciar os princípios nor-
teadores do presente currículo, destacando-se 
a contextualização dos conteúdos e as compe-
tências pessoais envolvidas, especialmente as 
relacionadas com a leitura e a escrita matemá-
tica, bem como os elementos culturais inter-
nos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos es-
tão organizados em 16 unidades de extensões 
aproximadamente iguais. De acordo com o 
número de aulas disponíveis por semana, o 
professor explorará cada assunto com mais 
ou menos aprofundamento, ou seja, escolhe-
rá uma escala adequada para o tratamento 
de cada um deles. A critério do professor, em 
cada situação específica, o tema correspon-
dente a uma das unidades pode ser estendido 
para mais de uma semana, enquanto o de ou-
tra unidade pode ser tratado de modo mais 
simplificado.
É desejável que o professor tente contem-
plar todas as 16 unidades, uma vez que, jun-
tas, compõem um panorama do conteúdo do 
volume, e, muitas vezes, uma das unidades 
contribui para a compreensão dasoutras.
OrientaçãO geral sObre Os CadernOs
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Conteúdos básicos do volume
A abordagem dos conceitos deste volume, 
relativos ao bloco Números e sequências, prio-
rizará aspectos considerados fundamentais 
para a compreensão de alguns dos diferentes 
significados dos conceitos envolvidos.
O primeiro aspecto que pretendemos res-
saltar é o reconhecimento da regularidade en-
volvida na construção de sequências numéri-
cas ou de sequências geométricas. Para tanto, 
propomos que o início do trabalho se dê com 
a retomada das características dos conjuntos 
numéricos, a fim de que os alunos percebam, 
por um lado, a regularidade do conjunto dos 
números naturais e dos números inteiros e, por 
outro, a questão da densidade dos números 
reais. Partindo do conhecimento desses con-
juntos, esperamos que os alunos possam re-
lacionar a regularidade dos números naturais 
à de outras sequências numéricas e também 
geométricas, identificando essa regularidade, 
sempre que possível, por intermédio de uma 
expressão matemática. Assim, apresentamos, 
na Situação de Aprendizagem 1, uma série de 
situações-problema exemplares, para que o 
professor possa optar pela utilização total ou 
parcial no início de seu trabalho. 
Partindo do princípio de que os alunos de-
vem reconhecer a regularidade de sequências 
numéricas de qualquer natureza e escrever 
expressões matemáticas que reflitam a re-
gularidade observada, julgamos importante 
que não sejam tratadas de maneiras comple-
tamente distintas as sequências aritméticas e 
as sequências geométricas, como se costuma 
observar nos livros didáticos. Essa proposta de 
abordagem simultânea dos dois tipos mais co-
muns de sequências, as progressões aritméticas 
(PAs) e as progressões geométricas (PGs), está 
contemplada na Situação de Aprendizagem 2 
e permite, a nosso ver, que o foco do tratamen-
to conceitual se desloque do formalismo algé-
brico para a construção do significado real e 
importante das características da regularidade 
de cada sequência.
PAs e PGs estão presentes em várias situa-
ções contextualizadas, conforme alguns mo-
delos apresentados na Situação de Aprendi-
zagem 2, e não costumam trazer dificuldades 
adicionais de compreensão para os alunos. 
Dentre as inúmeras aplicações desse conteú-
do, destacamos especialmente uma, na Situa-
ção de Aprendizagem 3, quando propomos 
que problemas clássicos de cálculos de juros 
e de montantes envolvidos em processos de 
capitalização ou amortização componham o 
contexto possível para o tratamento da soma 
de um número finito de termos de uma PA ou 
de uma PG. Para o desenvolvimento das ativi-
dades que compõem essa Situação de Apren-
dizagem, conforme justificaremos adiante, 
julgamos fundamental que os alunos possam 
dispor de calculadoras.
O conceito de infinito, de suma importância 
em Matemática, costuma ser bastante moti-
vador para o estudo de alguns conceitos, des-
de as séries iniciais, quando os alunos tomam 
contato com a ideia do “mais 1”, que conduz 
à construção do campo numérico dos natu-
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Matemática – 1ª série – Volume 1
rais. A ideia da quantidade infinita de números 
existente entre dois números reais, como 1 e 2, 
por exemplo, é algo que parece inicialmente es-
tranho para nossos alunos, mas pode, pouco a 
pouco, firmar-se como um conceito fundamen-
tal da Matemática, dependendo das diferentes 
abordagens que destinamos ao conceito duran-
te toda a escolaridade. Nessa perspectiva, isto 
é, com o objetivo de que os estudantes constru-
am, gradual e lentamente, o conceito de limite 
de uma função, não devemos perder oportuni-
dades que surjam durante nossas aulas para, de 
maneira apropriada, abordar a ideia de limite. 
É nesse contexto que propomos a realização 
da sequência de atividades que compõem a Si-
tuação de Aprendizagem 4, durante a qual o 
foco estará sempre colocado sobre o conceito 
de limite, em detrimento de dificuldades de 
natureza algébrica.
Além dos conteúdos citados, este Cader-
no também faz uma retomada da noção de 
função, que traduz uma relação de interde-
pendência entre duas grandezas, explorando-
-se especialmente as funções de 1o grau e de 
2o grau, bem como suas aplicações em dife-
rentes contextos. Tais assuntos já foram apre-
sentados aos alunos em séries/anos anteriores. 
Na 6a série/7o ano do Ensino Fundamental, 
foram exploradas situações envolvendo a pro-
porcionalidade direta e inversa entre grande-
zas, e que conduzem a relações do tipo y = kx, 
ou, então, y = kx , onde k é uma constante não 
nula. Na 8a série/9o ano, foram estudadas as 
funções y = ax + b e y = ax2 + bx + c, com 
a ≠ 0, além da representação destas em gráficos.
Agora, o estudo dessas funções será apre-
sentado de modo mais sistematizado. Tudo será 
feito, no entanto, de tal forma que, mesmo se 
o professor estiver tratando desse assunto pela 
primeira vez, o aluno provavelmente não terá 
grandes dificuldades em acompanhar as ativi-
dades propostas. Como já foi dito anteriormen-
te, as funções referidas são capazes de traduzir 
matematicamente todos os processos que envol-
vem relações de proporcionalidade direta (gráfi-
cos lineares), ou relações em que uma grandeza 
é proporcional ao quadrado de outra (gráficos 
com a forma de uma parábola). Muitos exercí-
cios envolvendo situações concretas em que a 
consideração das grandezas envolvidas conduz 
a uma função de 1o grau ou de 2o grau serão 
contemplados, com especial destaque para pro-
blemas de otimização, ou seja, problemas que 
envolvem a obtenção do máximo ou do mínimo 
de uma função, em determinado contexto.
De modo geral, os conteúdos estudados 
neste Caderno são meios para o desenvolvi-
mento de importantes competências básicas:
 f o recurso à linguagem das funções para 
representar interdependências conduz a 
um aumento na capacidade de expressão, 
favorecendo a construção de um discurso 
mais eficaz para enfrentar problemas em 
diferentes contextos;
 f a capacidade de compreensão de uma 
variada gama de fenômenos é ampliada, 
uma vez que muitas situações de interde-
pendência estão naturalmente associadas 
a modelagens que conduzem a explicações 
dos referidos fenômenos;
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8
 f o reconhecimento das funções envolvidas 
em um fenômeno possibilita a sistematiza-
ção de propostas de intervenção consciente 
sobre a realidade representada.
Na Situação de Aprendizagem 5, reapre-
sentaremos a ideia de função por meio de 
múltiplos exemplos de situações de interde-
pendência entre grandezas.
Na Situação de Aprendizagem 6, destacare-
mos as funções de 1o grau, com suas qualidades 
características. 
Na Situação de Aprendizagem 7, serão sis-
tematizados os fatos fundamentais relativos às 
funções de 2o grau (gráficos, simetria, interse-
ção com os eixos, coordenadas do vértice, estu-
do dos sinais).
E, por fim, na Situação de Aprendiza-
gem 8, serão apresentados diversos pro-
blemas envolvendo funções de 2o grau, in-
cluindo situações de otimização (máximos 
e mínimos).
Para a organização dos trabalhos, dividi-
mos o conteúdo em 16 unidades, mais ou me-
nos correspondentes às oito semanas de aulas. 
Sugerimos a seguinte estruturação:
Quadro geral de conteúdos do volume 1 da 1a série do Ensino médio
unidade 1 – Sequências numéricas e/ou geométricas; identificação e registro da regularidade.
unidade 2 – Progressões aritméticas e progressões geométricas – termo gerale aplicações.
unidade 3 – Progressões aritméticas e progressões geométricas – termo geral e aplicações.
unidade 4 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita.
unidade 5 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita – aplicações à Matemática 
Financeira.
unidade 6 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita – aplicações à Matemática 
Financeira.
unidade 7 – Limite da soma dos termos de uma PG infinita.
unidade 8 – Limite da soma dos termos de uma PG infinita.
unidade 9 – Funções como relações de interdependência.
unidade 10 – Funções de 1o grau – significado, gráficos, crescimento, decrescimento, taxas.
unidades 11, 12, 13 – Funções de 2o grau – significado, gráficos, interseções com os eixos, 
vértice, sinais.
unidades 14, 15 e 16 – Problemas envolvendo funções de 2o grau – problemas de máximos 
e mínimos.
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Matemática – 1ª série – Volume 1
SITuAçãO DE APRENDIzAGEM 1
CONjuNTOS NuMÉRICOS; REGuLARIDADES NuMÉRICAS 
E GEOMÉTRICAS
roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 1
Na 1a série do Ensino Médio, é bem pro-
vável que os alunos conheçam os conjuntos 
numéricos – Naturais, Inteiros, Racionais e 
Reais – e, também, que estejam familiarizados 
com a ideia preliminar da relação entre dois 
subconjuntos desses conjuntos, conhecimento 
este que é a base do conceito de função. Se a 
premissa é verdadeira, cabe ao professor rever 
com os alunos algumas características desses 
conjuntos, com o objetivo de construir a base 
para a apresentação, posterior, das leis de for-
mação das sequências numéricas. Caso a pre-
missa não seja verdadeira, isto é, se os alunos 
não conhecem satisfatoriamente os conjuntos 
numéricos, convém que o professor lhes apre-
sente formalmente cada conjunto (IN, , Q 
e IR) antes de iniciar a aplicação da Etapa 1, 
descrita mais adiante.
Conhecidos os conjuntos numéricos, os 
alunos poderão reconhecer que, na maioria 
das vezes, uma sequência ordenada de nú-
meros pode ser identificada por intermédio 
de uma sentença matemática que relaciona 
um número natural a um número real. Essa 
ideia é fundamental para o estudo das rela-
ções de dependência entre um par de gran-
dezas, ou, em outros termos, para o estudo 
das funções.
Nesta Situação de Aprendizagem, explo-
raremos, inicialmente, na Etapa 1, a cons-
trução dos conjuntos numéricos e algumas 
de suas propriedades. Em seguida, apre-
sentaremos algumas sequências que possi-
bilitarão a identificação de determinados 
padrões de regularidades e pediremos que 
os alunos descrevam, em língua materna, a 
regularidade que identificam. Isso feito, o 
próximo passo será pedir que os alunos en-
SituAçõES dE AprEndizAgEm
Conteúdos e temas: conjuntos numéricos; sequências numéricas e/ou geométricas; termo geral de sequên-
cias numéricas.
Competências e habilidades: obter sequências numéricas a partir do conhecimento de seu termo geral; 
obter o termo geral de uma sequência numérica a partir da identificação da regularidade existente; 
reconhecer a existência ou não de padrões de regularidades em sequências numéricas ou geométricas; 
utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas 
ou geométricas.
Sugestão de estratégias: resolução de exercícios exemplares.
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10
contrem termos sucessivos dessas sequên-
cias, caso elas mantenham a regularidade 
observada. Completando a primeira etapa, 
os alunos serão convidados a exprimir a 
regularidade observada por intermédio de 
uma sentença matemática.
Realizada a etapa inicial, proporemos, na 
Etapa 2, apresentada mais adiante, que os alunos 
obtenham sequências numéricas a partir de con-
dições dadas em língua materna ou em lingua-
gem matemática e, ainda, que obtenham termos 
determinados de algumas dessas sequências.
Etapa 1 – observando padrões 
e regularidades
Inicialmente, recomendamos que o profes-
sor liste o conjunto dos números naturais e dos 
números inteiros para, em seguida, pedir que 
os alunos identifiquem alguns subconjuntos 
descritos por informações comunicadas em 
língua materna, como nos exemplos a seguir:
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
 = { ... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
Com base nos elementos do conjunto nu-
mérico, alguns números deverão ser deter-
minados:
 f números naturais menores do que 7;
 f números naturais maiores ou iguais a 8;
 f números inteiros menores do que 7 e maio-
res do que –2;
 f números inteiros cujo valor absoluto é me-
nor do que 4.
Em seguida, após a exposição desses e 
de outros exemplos que o professor julgar 
apropriados, poderá ser pedido que os alu-
nos transcrevam as informações comunica-
das em língua materna para a linguagem 
matemática. No caso dos exemplos ante-
riores, teríamos:
 f {x ∈ IN | x < 7} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
 f {x ∈ IN | x ≥ 8} = {8, 9, 10, 11, 12, ...}.
 f {x ∈ | – 2 < x < 7} = {–1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
 f {x ∈ | |x| < 4} = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}.
 observando padrões e regularidades
Você já reparou que as pessoas, em muitos momentos do dia, estão diante de situações 
que envolvem uma sequência de números? O torcedor procura, em uma tabela no cader-
no de esportes do jornal, a posição de seu time no campeonato nacional. Para localizar 
uma determinada residência em uma rua, o carteiro observa certa regra na numeração 
das casas: de um lado, estão dispostas as casas de numeração par em sequência crescente 
ou decrescente, e, do outro lado, as de numeração ímpar. Em um edifício, a numeração 
dos apartamentos indica também o andar em que eles se localizam. No hospital, a enfer-
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11
Matemática – 1ª série – Volume 1
Discutidos alguns casos, como exemplifi-
cado, recomendamos que os alunos se envol-
vam na resolução dos seguintes problemas:
1. Dados os conjuntos a seguir, 
descritos em linguagem coti-
diana, encontre, em cada caso, 
seus elementos e traduza a descrição dada 
para a linguagem matemática.
a) O conjunto A é formado por números 
naturais maiores do que 4 e menores ou 
iguais a 11.
{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.
{x ∈ IN | 4< x ≤ 11}
b) O conjunto B é formado por números 
naturais menores ou iguais a 6.
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
{x ∈ IN | x ≤ 6}
c) O conjunto C é formado por números 
inteiros maiores ou iguais a –3 e meno-
res do que 5.
{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}.
{ x ∈ | -3 ≤ x <5}
d) O conjunto d é formado por números 
inteiros maiores ou iguais a –2.
{−2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}.
{ x ∈ | x ≤ - 2}
2. Quais são os cinco menores números que per-
tencem a cada um dos seguintes conjuntos?
a) E é o conjunto dos cinco menores nú-
meros naturais que são divisíveis por 4.
{0, 4, 8, 12, 16}.
b) F é o conjunto dos cinco menores núme-
ros naturais ímpares maiores do que 7.
{9, 11, 13, 15, 17}.
meira é orientada sobre a sequência de horários em que deve administrar certo medica-
mento ao paciente. 
O ser humano também observa vários movimentos naturais que seguem uma determinada 
sequência, formando, assim, certo padrão: os períodos do dia, as estações do ano, as fases da 
Lua e o período de aparecimento de um cometa são alguns desses movimentos. 
Desde a Antiguidade, grande parte do trabalho dos matemáticos e cientistas tem sido observar 
e registrar fenômenos que ocorrem segundo um padrão. O encontro de um padrão ou de uma 
regularidade será uma das possibilidades de compreensão, previsão e controle desses fenômenos. 
Para abordar esse assunto, este Caderno explora, inicialmente, as sequências numéricas 
que podemos construir a partirdos conjuntos numéricos que conhecemos: os naturais, os 
inteiros, os racionais e os reais.
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12
c) g é o conjunto dos cinco menores nú-
meros inteiros que, elevados ao qua-
drado, resultam em um número menor 
do que 10.
{ −3, −2, −1, 0, 1}.
d) H é o conjunto dos cinco menores nú-
meros naturais que, quando dobrados 
e somados a 1, resultam em um núme-
ro maior do que 7.
{4, 5, 6, 7, 8}.
3. Descreva, em linguagem matemática, os 
conjuntos E, F, g e H, apresentados na ati-
vidade anterior.
E = {4n, sendo n ∈ IN, e n < 5}.
F = {2n + 1, sendo n ∈ IN, e 4 ≤ n ≤ 8}.
G = {x ∈ | −4 < x < 2}.
H = {2n + 1 > 7, sendo n ∈ IN, e n < 9}.
A resolução e a discussão desses pro-
blemas iniciais permitirão, ao nosso ver, 
introduzir a notação apropriada para a 
designação de termos de uma sequência 
numérica. Todavia, antes que isso seja im-
plementado (o que será feito na Etapa 2), 
consideramos importante que os alunos se 
detenham um pouco mais na identificação 
das regularidades de algumas sequências.
4. A seguir, são apresentadas três sequências 
numéricas infinitas. Observando cada uma 
delas, responda:
a) Qual é o 100o termo nesta sequência: 1, 
1, 1, 1, 1, ...?
1
b) Qual é o 120o termo nesta sequência: 
1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 
1, 1, …? 
2 (posição múltipla de 3)
c) Qual é o 25o termo nesta sequência: 
5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 
5, 4, …? 
3 (posição múltipla de 5)
É importante que o professor auxilie 
os alunos na observação de que, nessas 
sequên cias, os motivos (períodos) são re-
petidos igualmente, ou seja, um elemento 
ou um grupo de elementos se repete perio-
dicamente, levando-os a perceber que essa 
característica deve ser levada em conta, na 
organização dos dados, para a identifica-
ção do termo solicitado.
A sequência dos números naturais é cons-
truída, como sabemos, pelo acréscimo de 
uma unidade a um termo já conhecido. A 
fim de proporcionar aos alunos a oportuni-
dade de observar regularidades e perceber 
que, muitas vezes, é possível construir uma 
“receita” ou uma sentença que indique como 
a sequência deve continuar, o professor pode 
apresentar tipos diferentes de sequências 
para que os alunos observem as proprieda-
des de seus elementos e descubram a lei de 
formação, ou seja, o padrão utilizado para a 
construção da sequência. Oriente-os a cons-
truir uma sentença algébrica que permita 
calcular um termo qualquer, em função de 
sua posição na sequência (sequências, sob o 
ponto de vista funcional).
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13
Matemática – 1ª série – Volume 1
5. A seguir, é apresentada uma sequência na 
forma figurativa. Descreva, em palavras, o 
padrão de regularidade desta sequência e 
indique qual deve ser a figura que ocupa a 
152a posição.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
As sequências figurais também podem en-
riquecer o trabalho com a observação de regu-
laridades e generalização de padrões. No caso 
da sequência em questão, o professor pode 
estimular os alunos a perceber que a sétima 
figura é igual à primeira, que a oitava figura é 
igual à segunda, e assim por diante. Ou seja, 
cada período é formado por seis figuras; por-
tanto, a 152a figura será igual à segunda, pois 
tanto o número 2 (que indica a posição da se-
gunda figura) quanto o número 152 (que indi-
ca a posição da 152a figura), quando divididos 
por 6, deixam resto 2.
Assim, o professor poderá auxiliar os 
alunos na conclusão de que as Figuras 1, 7, 
13, 19 etc. são todas iguais à primeira figu-
ra, pois os números 1, 7, 13, 19 etc., quando 
divididos por 6, deixam resto 1. Do mesmo 
modo, as Figuras 3, 9, 15, 21 etc. são todas 
iguais à Figura 3, pois os números 3, 9, 15, 21 
etc., quando divididos por 6, deixam resto 3, 
e assim sucessivamente.
A exploração de sequências repetitivas, 
numéricas ou não, favorece a discussão sobre 
algumas noções trabalhadas nas séries anterio-
res, como múltiplos, divisores e regras de divisi-
bilidade, e permite uma aproximação da noção 
de congruência, uma vez que trabalha com nú-
meros que, divididos por um determinado nú-
mero inteiro, apresentam o mesmo resto.
Realizada a discussão do exemplo propos-
to e de outros que o professor julgar apro-
priados, propomos que os alunos resolvam os 
seguintes problemas.
6. Observe a sequência de figuras:
1 2 3 4 5 6 7
...
 Supondo que a lei de formação continue a 
mesma, desenhe as figuras que deverão ocu-
par as posições 38a e 149a nessa sequência. 
justifique sua resposta.
A figura que ocupa a posição 38 será a mesma figura da posi-
ção 2, pois a divisão de 38 por 4 deixa resto 2, e a que ocupa 
a posição 149 será a mesma da posição 1, visto que a divisão 
de 149 por 4 deixa resto 1.
7. Observe a sequência (1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 
3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1...). Supondo que a lei de 
formação dessa sequência permaneça, deter-
mine o 38o e o 149o termos.
O período é de cinco números. Assim, o 38o termo é 2, pois 
a divisão de 38 por 5 deixa resto 3, e o terceiro termo da 
sequência é o número 2; o 149o termo é igual a 3, pois a 
divisão de 149 por 5 deixa resto 4, e o quarto termo da se-
quência é o número 3.
BOOK_MAT-SPFE-2014_1S_CP_VOL1.indb 13 17/07/14 15:19
14
8. Hoje é quarta-feira. Devo pagar uma dí-
vida daqui a exatamente 90 dias. Em que 
dia da semana cairá o 90o dia?
O período é de sete dias. A divisão de 90 por 7 deixa res-
to 6; portanto o 90o dia será o sexto elemento da sequên-
cia dos dias da semana iniciada na quinta-feira. Logo, o 
90o dia será terça-feira.
9. um processo de reflorestamento previa a 
plantação de certo número x de mudas de 
árvores. No primeiro dia, foram planta-
das 120 árvores, e planejou-se que, nos 
dias seguintes, seriam plantadas, por dia, 
dez árvores a mais do que no dia anterior. 
Sendo assim:
a) quantas árvores serão plantadas no séti-
mo dia?
6 ⋅ 10 + 120 = 180 árvores.
b) qual é o número x, se, no final do dé-
cimo dia, havia sido plantada a metade 
do total previsto inicialmente?
No décimo dia = 9 ⋅ 10 + 120 = 210 →
S = 120 + 130 + 140 + ... + 190 + 200 + 210 = 
= 1 650 (metade do total)
Total de árvores = 1 650 ⋅ 2
x = 3 300
10. Observe os seis primeiros termos de uma 
sequência.
1 2 3 4
A
B
C
D
(I)
1 2 3 4
A
B
C
D
(II)
1 2 3 4
A
B
C
D
(III)
1 2 3 4
A
B
C
D
(IV)
1 2 3 4
A
B
C
D
(VI)
1 2 3 4
A
B
C
D
(V)
 Supondo que a regularidade observada 
na formação desses termos seja mantida 
para a formação dos demais, isto é, que o 
termo (I) seja igual ao termo (VII), que 
o termo (II) seja igual ao termo (VIII), e as-
sim por diante, responda:
a) quais quadrículas estarão pintadas no 
termo (XXX)?
O período da sequência é de seis termos. A divisão de 
30 por 6 resulta resto zero. Assim, o termo (XXX) é igual 
ao termo (VI), e nele estarão pintadas as quadrículas C2, 
C3, D3 e D4.
b) quantas vezes a quadrícula B2 terá 
sido pintada desde o termo (I) até o 
termo (XIX)?
A quadrícula B2 é pintada três vezes a cada período, nos ter-
mos (I), (III) e (IV). Até o termo (XIX), incluindo-o, serão três 
períodos e mais um termo. Portanto, a quadrícula B2 será 
pintada 3 ⋅ 3 + 1 = 10 vezes.
11. Aproveitando as condições 
apresentadas na atividade 9 da se-
ção anterior, crie três questões 
acompanhadas de sua resolução.
BOOK_MAT-SPFE-2014_1S_CP_VOL1.indb 14 17/07/14 15:19
15
Matemática – 1ª série – Volume 1
Praticamente não há limite para o número de exemplos que 
poderão sercriados. O professor poderá permitir que os alu-
nos socializem os exemplos que criaram e que, ao final, sele-
cionem 4 ou 5 que, na opinião deles, consideraram os mais 
criativos ou os mais difíceis.
12. Atribui-se ao matemático grego Hipsicles 
(240 a.C.-170 a.C.) uma regra para criar 
uma nova sequência numérica a partir de 
outra. O método consiste em tomar uma 
sequência numérica (por exemplo, 1, 2, 3, 
4, 5, 6, …) e criar outra em que cada termo 
seja igual à soma dos anteriores. Isto é:
termos são as raízes da equação x2 – 8x 
+ 15 = 0. Encontre o primeiro e o segun-
do termos dessa sequência, considerando 
que exista diferença constante entre dois 
termos consecutivos.
Resolvendo a equação de 2o grau, encontraremos como raízes 
os números 3 e 5. A sequência será, portanto, (−3, –1, 1, 3, 5). 
Assim, os dois primeiros termos serão −3 e −1, respectivamente.
Professor, uma prática que costuma mo-
tivar os alunos e aproveitar, de forma mais 
intensa, seus conhecimentos anteriores é so-
licitar-lhes que, com base nas condições desse 
problema, criem diversas questões, para que 
sejam trocadas e resolvidas por eles mesmos, 
sob sua supervisão. Além disso, esse tipo de 
atividade é um consistente instrumento no es-
tímulo à metacognição, isto é, estimula cada 
aluno a refletir sobre como elabora e mobili-
za suas estratégias de raciocínio durante uma 
etapa de resolução de problemas.
Etapa 2 – Sequências definidas por 
sentenças matemáticas
Nesta etapa, os alunos serão convidados 
a obter sequências numéricas a partir de con-
dições definidas, inicialmente, na língua ma-
terna e, posteriormente, na linguagem mate-
mática. Além disso, desenhando um percurso 
inverso ao anterior, uma série de problemas 
será proposta para que os alunos obtenham a 
expressão do termo geral de determinada se-
quência numérica. Sugerimos que a próxima 
atividade seja discutida com os alunos antes 
que eles se envolvam com a resolução dos pro-
blemas propriamente dita.
1
1 + 2
1 + 2 + 3
1 + 2 + 3 + 4
1 + 2 + 3 + 4 + 5
...
1
3
6
10
15
...
Sequência nova
 Pela regra de Hipsicles, a sequência (1, 2, 3, 4, ...) 
gerou a sequência (1, 3, 6, 10, 15, 21, …).
 Aplique a regra de Hipsicles e encontre os 
oito primeiros termos de duas novas se- 
quências numéricas geradas a partir da 
sequência (1, 3, 6, 10, 15, 21,...).
As sequências serão: (1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, …) e 
(1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, …).
13. uma sequência numérica crescente é 
composta por cinco termos. O terceiro 
termo é o número 1, e o quarto e quinto 
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16
 Sequências definidas por sentenças 
matemáticas
14. Em uma sequência numéri-
ca, o primeiro termo é uma fra-
ção de numerador 1 e denomi-
nador 4. Os termos seguintes ao primeiro 
podem ser obtidos adicionando sempre uma 
unidade ao numerador e ao denominador da 
fração do termo imediatamente anterior.
a) Quais são os cinco primeiros termos 
dessa sequência?
1
4
 , 2
5
 , 3
6
 , 4
7
 , 5
8
 .
b) Chamando o primeiro termo de a1, o 
segundo termo de a2, o terceiro de a3, e 
assim por diante, qual é o termo a9?
9
12
 = 3
4
c) Qual é o termo a54?
54
57
 
d) Como se pode determinar um termo an 
qualquer?
Um termo qualquer an é uma fração em que o numerador é 
igual a n e o denominador é três unidades a mais do que n, 
isto é, é igual a n + 3. Assim, an = 
n
n + 3
 .
Chamamos a atenção do professor para o 
fato de que o conjunto de problemas desta etapa 
envolve sequências numéricas de várias nature-
zas, e não apenas as aritméticas e as geométri-
cas, e também para a necessidade de os alunos 
escreverem em língua materna a regularidade 
expressa na linguagem matemática.
15. Em uma sequência numérica, o primei-
ro termo é igual a 2, e os seguintes são 
obtidos pelo acréscimo de três unidades 
ao termo imediatamente anterior. Sen-
do assim, responda:
a) quais são os cinco primeiros termos?
(2, 5, 8, 11, 14).
b) qual é o termo a10?
(29).
c) qual é o termo a20?
(59).
d) como se pode determinar um termo an 
qualquer?
Somando o termo inicial, 2, a um certo número de termos 
sempre iguais a 3. Para se obter um termo n qualquer, deve-
mos somar o primeiro termo, 2, com n − 1 termos iguais a 3. 
Assim, an = 2 + 3 (n − 1) = 3n − 1.
Outro raciocínio possível é o seguinte: como o salto de 
um termo a outro é constante e igual a 3, podemos supor 
que uma expressão geral deva conter o termo 3n. Para 
que a1 = 2, é preciso que seja subtraído 1 de 3n. Assim, 
an = 3n − 1.
16. Para se obter os termos de uma sequência 
numérica, é necessário fazer o seguinte:
i. Elevar a posição do termo ao quadra-
do, isto é, calcular 12 para o primeiro 
termo, 22 para o segundo termo, 32 para 
o terceiro termo, e assim por diante.
BOOK_MAT-SPFE-2014_1S_CP_VOL1.indb 16 17/07/14 15:19
17
Matemática – 1ª série – Volume 1
ii. Adicionar duas unidades ao resultado 
obtido após elevar ao quadrado a posi-
ção do termo.
 Para essa sequência numérica, responda:
a) quais são os cinco primeiros termos?
(3, 6, 11, 18, 27).
b) qual é o 8o termo?
a8 = 8
2 + 2 = 66.
c) qual é o termo a20?
a20 = 20
2 + 2 = 402.
d) como se pode determinar um termo an 
qualquer?
an = n
2 + 2.
17. Observe os cinco primeiros termos da se-
guinte sequência numérica:
3, 2,
5
3
,
3
2
,
7
5
.
 Demonstre que é possível determinar os 
termos dessa sequência a partir da ex-
pressão an = 
n 2
n
,+ atribuindo a n valores 
naturais maiores do que zero.
Para n = 1, a1 = 
1 + 2
1
 = 3;
Para n = 2, a2 = 
2 + 2
2
 = 2;
Para n = 3, a3 = 
3 + 2
3
 = 
5
3
;
Para n = 4, a4 = 
4 + 2
4
 = 6
4
 = 3
2
;
Para n = 5, a5 = 
5 + 2
5
 = 7
5
18. A expressão an = 
n 1
n 1
–
+
 é a expressão do 
termo geral de uma sequência numérica, 
isto é, os termos da sequência podem ser 
obtidos se forem atribuídos a n valores 
naturais maiores do que zero. Sendo as-
sim, encontre:
a) o termo a1;
a1 = 
1 − 1
1 + 1
 = 0.
b) o termo a5;
a5 = 
5 − 1
5 + 1
 = 4
6
 = 2
3
 .
c) o 8o termo;
a8 = 
8 − 1
8 + 1
 = 7
9
 .
d) a posição do termo que é igual a 
9
11
.
O termo 9
11
 pode ser escrito como 10 − 1
10 + 1
 .
Portanto, ele é o décimo termo.
19. Determinada sequência numérica tem 
a1 = 9, a2 = 3, a3 = 1 e a4 = 
1
3
. Nessa sequên-
cia, qual é:
a) o 5o termo?
Cada termo da sequência, a partir do segundo, é obtido pela 
divisão do anterior por 3. Assim, o quinto termo será igual a 
1
3
 ÷ 3 = 1
9
 .
BOOK_MAT-SPFE-2014_1S_CP_VOL1.indb 17 17/07/14 15:19
18
b) o termo a6?
a6 = a5 ÷ 3 = 
1
9
 ÷ 3 = 1
27
 .
c) a posição do termo que é igual a 
1
81
?
Como 27 é igual a 81 ÷ 3, e 1
27
 é o sexto termo, 1
81
 é o 
sétimo termo.
20. Qual das duas expressões listadas a seguir 
é a expressão do termo geral da sequência 
da atividade anterior? (Lembre-se de que n 
é o número que dá a posição do termo na 
sequência, isto é, se n = 2, temos o segundo 
termo; se n = 5, temos o quinto termo; e 
assim por diante.)
an = 
9
3n
 an = 3
3 – n
O termo geral da sequência é an = 3
3 −n, que poderá ser 
verificado a partir da substituição de n por números naturais 
maiores do que zero.
21. Observe a seguinte sequência dos números 
pares positivos: 0, 2, 4, 6, 8, 10, ... Nessa 
sequência:
a) qual é o 10o termo?
O décimo termo é 18.
b) qual é o 15o termo?
O 15o termo é 28.
c) qual é o termo a35?
a35 = 68.
d) qual é o termo a101?a101 = 200.
e) qual é a posição do termo que é igual a 
420?
420 é o 211o termo.
f) como se pode determinar um termo an 
qualquer?
Fazendo (n − 1) ⋅ 2, sendo n um número natural maior do 
que zero.
22. Escreva os cinco primeiros termos da se-
quência dos números ímpares positivos. 
Em seguida, responda:
1, 3, 5, 7, 9...
a) qual é o 10o termo?
a10 = 19.
b) qual é o termo a13?
a13 = 25.
c) qual é o termo a25?
a25 = 49.
d) como se pode determinar um termo an 
qualquer?
Fazendo 2 ⋅ n − 1, em que n é um número natural maior 
do que zero. 
23. Observe a seguinte sequência numérica: 
1, 4, 9, 16, 25, ... Nessa sequência, responda:
a) qual é o 6o termo?
O sexto termo é 62 = 36.
b) qual é o termo a7?
a7 = 7
2 = 49.
BOOK_MAT-SPFE-2014_1S_CP_VOL1.indb 18 17/07/14 15:19
19
Matemática – 1ª série – Volume 1
c) qual é a expressão de seu termo geral?
an = n
2.
24. uma sequência numérica é 
dada pelo seguinte termo geral:
an = n + 1 .
 Para essa sequência, determine:
a) os cinco primeiros termos;
2 , 3 , 2, 5 , 6 .
b) os cinco primeiros termos que sejam nú-
meros inteiros.
Os cinco primeiros termos representados por números inteiros se-
rão aqueles em que o radicando é um quadrado perfeito, a saber:
a3 = 2; a8 = 3; a15 = 4; a24 = 5; a35 = 6.
25. Observe a sequência de figuras. Em segui-
da, responda:
a) Quantos quadrinhos brancos deverá ter 
a 6a figura dessa sequência?
A 6a figura deverá ter 30 quadrinhos brancos, pois 6 ⋅ 6 − 6 = 30.
b) Escreva uma fórmula que permita cal-
cular a quantidade de quadrinhos bran-
cos, em função da posição n da figura 
na sequência. (Sugestão: você pode 
organizar os dados em uma tabela como 
a que segue.)
posição da 
figura na 
sequência
número de 
quadrinhos 
pretos
número de 
quadrinhos brancos
1 1 0
2 2 22 − 2
3 3 32 − 3
4 4 42 − 4
n n n2 − n = n ⋅ (n − 1)
c) Quantos quadrinhos brancos deverá ter 
a 39a figura dessa sequência?
392 − 39 = 39(39 − 1) = 39 · 38 = 1 482. 
26. A seguir, estão os primeiros elementos de 
uma sequência de figuras que representam 
os chamados números quadrangulares. Ana-
lise-os e responda às questões propostas.
1 2 3 4 5
a) Quantos quadrinhos deverá ter o 6o ele-
mento dessa sequência? E o 10o termo?
36; 100.
b) Qual é a expressão do termo geral dessa 
sequência?
n2.
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20
27. Observe a figura:
1 3 5 7 9
 Nessa representação, os números escritos 
logo abaixo da figura indicam a quantidade 
de quadrinhos de cada um desses conjun-
tos. Sendo assim, responda:
a) qual é a soma dos números escritos 
abaixo da figura?
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.
b) que relação pode ser estabelecida entre 
esse resultado e a figura analisada?
A soma dos números escritos abaixo da figura é igual ao to-
tal de quadrinhos que formam a figura. Os números escritos 
abaixo da figura são os cinco primeiros naturais ímpares. Sua 
soma é 25. O total de quadrinhos da figura é 52 = 25.
c) utilizando os resultados de suas obser-
vações, determine, sem efetuar a adição, 
o resultado de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 
+ 13 + 15.
8² = 64.
28. Observe as linhas completas da tabela e 
complete as que estiverem em branco.
Adição descrição
1 + 3 = 4 = 2²
A soma dos dois 
primeiros números 
ímpares é igual ao 
quadrado de 2.
1 + 3 + 5 = 9 = 3²
A soma dos três 
primeiros números 
ímpares é igual ao 
quadrado de 3.
1 + 3 + 5 + 7 = 
= 16 = 4²
A soma dos quatro pri-
meiros números ímpares 
é igual ao quadrado de 4.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52
A soma dos cinco 
primeiros números 
ímpares é igual ao 
quadrado de 5.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 
+ ... + 2 ⋅ n – 1 = n²
A soma dos n primeiros 
números ímpares é igual 
a n2.
Considerações sobre a avaliação
A Situação de Aprendizagem 1 abordou 
a regularidade numérica, e também geo-
métrica, observada em algumas sequên-
cias. Além disso, introduziu a ideia de que 
é possível obter uma sequência numérica a 
partir de uma relação matemática estabele-
cida entre um conjunto discreto (naturais) 
e um conjunto de qualquer natureza. São 
esses, pois, os elementos importantes a se-
BOOK_MAT-SPFE-2014_1S_CP_VOL1.indb 20 17/07/14 15:19
21
Matemática – 1ª série – Volume 1
rem avaliados. Para tanto, sugerimos que 
o professor elabore momentos de avaliação 
que contemplem:
 f a obtenção de termos de maiores ordens de 
uma sequência, a partir do conhecimento 
dos primeiros termos;
 f a determinação do termo geral de sequên-
cias numéricas, desde que esses termos ge-
rais se baseiem em expressões conhecidas 
pelos alunos, por exemplo, expressões do 
tipo a ⋅ x + b ou a ⋅ x2 + b.
Salientamos, também, a importância de 
que as avaliações não se restrinjam a situações 
individuais. Em alguns momentos, pode-se 
contemplar a possibilidade de que os alunos 
consultem seu material de aula e, em outros, 
seus colegas de grupo. Destacamos, por fim, 
o fato de que um trabalho com características 
essencialmente indutivas, como é o caso dos 
temas desenvolvidos neste Caderno, estimula 
sobremaneira a discussão e a tomada de deci-
sões, justificando, dessa forma, a inclusão de 
instrumentos de avaliação não individuais.
SITuAçãO DE APRENDIzAGEM 2 
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
Conteúdos e temas: progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG); expressão do termo 
geral da PA e da PG.
Competências e habilidades: reconhecer o padrão de regularidade de uma sequência aritmética ou de 
uma sequência geométrica; utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões 
de sequências numéricas.
Sugestão de estratégias: resolução de exercícios exemplares.
roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 2
As sequências aritméticas ou geométricas 
são bastante estudadas, no Ensino Médio, por 
vários motivos, como a pouca exigência algé-
brica e a facilidade de padronizar os conceitos 
por intermédio de fórmulas matemáticas.
A baixa exigência algébrica envolvida, es-
pecialmente no estudo das PAs, deve ser, de 
fato, valorizada, em detrimento de exercícios 
sem qualquer contexto, que exijam a escrita 
de equações complexas. Enfatizamos, portan-
to, que se priorizem o desenvolvimento dos 
conteúdos e a apresentação de situações-pro-
blema, sob o prisma do reconhecimento da 
regularidade da sequência e da generalização 
intuitiva do termo geral, colocando em se-
gundo plano, portanto, a simples substitui-
ção de valores em fórmulas decoradas.
Outro aspecto que merece comentário é o 
fato de que, em geral, as PAs e as PGs são 
BOOK_MAT-SPFE-2014_1S_CP_VOL1.indb 21 17/07/14 15:19
22
tratadas de modo independente, uma a cada 
tempo, e as PAs vêm sempre antes das PGs. 
No entanto, vale destacar que o raciocínio 
principal envolvido em um ou em outro tipo 
de sequência é o mesmo, ou seja, um valor 
constante é o passo que permite obter um 
termo a partir do anterior. O fato de que, em 
um caso, esse passo é adicionado, enquanto, 
no outro, é multiplicado, é algo que compõe 
o raciocínio secundário do estudo, cujo re-
conhecimento não costuma trazer qualquer 
dificuldade adicional aos alunos. 
Dessa forma, apresentaremos, a seguir, 
uma série de problemas exemplares, com-
postos, em alguns casos, por PA, em ou-
tros, por PG e, em outras situações, pelos 
dois tipos de sequências. Sugerimos que 
sejam propostos aos alunos na ordem em 
que aparecem.
A atividade 1 pode ter a resolução solicita-
da sem nenhum comentário prévio. Durante 
os comentários da correção, o professor pode-
rá valorizar as diversasmaneiras de resolução 
que eventualmente surgirem. um tipo de re-
solução importante, que poderá ser levantada 
pelo professor, caso não surja dos alunos, é 
aquele que considera o passo de cada sequên-
cia como parcela ou fator constante no mo-
mento da escrita da expressão do termo geral 
da sequência. Por exemplo, no caso da se-
quência (5, 9, 13, 17, 21, ...), o passo constante 
é 4, que, adicionado a cada termo, permite que 
se obtenha o seguinte. Nesse caso, a expressão 
do termo geral deverá conter, necessariamen-
te, um termo do tipo 4 ⋅ n. Compreendido isso, 
pode-se pensar da seguinte maneira:
Para n = 1, o resultado deve ser igual 
a 5, que é o primeiro termo da sequên-
cia. No entanto, ao fazer 4 ⋅ n ou 4 ⋅ 1, o 
resultado obtido é 4. Sendo assim, ainda 
falta uma unidade para se obter o pri-
meiro termo. Logo, o termo geral pode 
ser este:
an = 4 ⋅ n + 1
Testando essa expressão para outros 
termos, verificamos que ela é válida, pois:
a2 = 4 ⋅ 2 + 1 = 9
a3 = 4 ⋅ 3 + 1 = 13
Logo, o termo geral da sequência é 
mesmo an = 4 ⋅ n + 1.
Esse mesmo tipo de raciocínio pode ser 
aplicado na determinação do termo geral 
de uma PG. Na sequência (2, 6, 18, 54, ...), 
por exemplo, o passo constante é 3, que, 
quando multiplicado por algum termo, 
resulta no termo imediatamente seguinte. 
Assim, se sempre se multiplica por 3, o ter-
mo geral da sequência deve conter 3n. Com 
base nessa regularidade, pode-se chegar à 
seguinte conclusão:
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23
Matemática – 1ª série – Volume 1
Para n = 1, o resultado deve ser igual 
a 2, que é o primeiro termo da sequência. 
No entanto, ao fazer 3n ou 31, obtemos 3, 
e não 2. Logo, deve haver mais um fator 
na expressão, a fim de que o resultado 
esperado seja obtido. Esse fator é 
2
3
, 
pois 3 ⋅ 
2
3
 = 2. Então, o termo geral da
sequência deve ser:
an = 
2
3
 ⋅ 3n
Testando essa expressão para outros 
termos, verificamos que ela é válida, pois:
a2 = 
2
3
 ⋅ 32 = 
18
3
 = 6
a3 = 
2
3
 ⋅ 33 = 
54
3
 = 18
Logo, o termo geral da sequência 
é mesmo an = 
2
3
 ⋅ 3n, que, simplificando, 
pode ser escrito como an = 2 ⋅ 3
n – 1.
É esperado, nesta Situação, que alguns 
alunos adotem procedimento semelhante ao 
adotado para a PA, isto é, fazer 3n e, em segui-
da, subtrair uma unidade, a fim de que 31 – 1 
coincida com o primeiro termo da sequência. 
Nesse caso, caberá ao professor pedir que os 
alunos apliquem a “fórmula” obtida para os 
demais termos da sequência, quando, então, 
perceberão o equívoco do raciocínio adotado.
Salientamos, novamente, que não é con-
veniente formalizar a adoção de um ou 
outro tipo de raciocínio, nem mesmo aquele 
descrito anteriormente. Caberá a cada aluno 
escolher o raciocínio que considera mais ade-
quado, e caberá ao professor discutir todos os 
raciocínios que surgirem, apresentando prós 
e contras de cada um, no sentido de fornecer 
elementos para que os alunos possam refinar 
suas estratégias iniciais.
1. Considere as sequências de 
(I) a (VI) para responder às 
questões propostas.
 (i) (0, 3, 6, 9, 12, ...)
 (ii) (1, 4, 7, 10, 13, ...)
 (iii) (2, 5, 8, 11, 14, ...)
 (iV) (–2, 4, –8, 16, –32, ...)
 (V) (0,2; 0,4; 0,6; 0,8; ...)
 (Vi) (1, 4, 16, 64, 256, ...)
a) Quais são os três termos seguintes de 
cada uma dessas sequências?
(I) 15, 18, 21. 
(II) 16, 19, 22. 
(III) 17, 20, 23.
(IV) 64, −128, 256.
(V) 1,0; 1,2; 1,4.
(VI) 1 024, 4 096, 16 384.
b) É verdade que o algarismo 8 não apa-
rece em nenhum número da sequência 
(II)? justifique.
Não, pois o algarismo 8 aparece no termo 28, que é o décimo 
termo da sequência.
c) É possível que um mesmo número natu-
ral apareça em duas das três primeiras 
sequências? justifique.
BOOK_MAT-SPFE-2014_1S_CP_VOL1.indb 23 17/07/14 15:19
24
Não, pois a sequência (I) é formada apenas por núme-
ros que, divididos por 3, deixam resto zero; a sequência 
(II) é formada apenas por números que, divididos por 3, 
deixam resto 1; a sequência (III) é formada apenas por 
números que, divididos por 3, deixam resto 2. Como a 
divisão por um número natural diferente de zero (divi-
são euclidiana) não pode apresentar dois restos distintos, 
não é possível que um mesmo número apareça em duas 
dessas sequências.
d) O número 1 087 é um termo de qual(is) 
sequência(s)?
O número 1 087 é um termo da sequência (II), pois a divi-
são de 1 087 por 3 deixa resto 1, e é também elemento da 
sequência (V), uma vez que é múltiplo de 0,2.
e) Explique por que o número 137 não 
pertence à sequência (II).
A sequência (II) é formada apenas por números que, di-
vididos por 3, deixam resto 1. Logo, o 137 não é termo da 
sequên cia (II), pois a divisão de 137 por 3 deixa resto 2.
f) Qual é o termo geral da sequência (I)?
an = 3(n – 1), n ∈ IN*.
g) Qual é o termo geral da sequência 
(II)?
an = 3n − 2, n ∈ IN*.
h) Qual é o termo geral da sequência 
(III)?
an = 3n − 1, n ∈ IN*.
i) Qual é o termo geral da sequência 
(IV)?
an = (−2)
n, n ∈ IN*.
j) Qual é o termo geral da sequência 
(V)?
an = 0,2 ⋅ n, n ∈ IN*
k) Qual é o termo geral da sequência (VI)?
an = 4
n ÷ 4, n ∈ IN*
ou an = 4n-1
l) Escolha um critério, justificando-o, e se-
pare as seis sequências em dois grupos.
Espera-se, neste item, que os alunos percebam que há, 
entre as sequências apresentadas, algumas em que o 
passo constante é somado a cada termo e outras em 
que o passo constante é multiplicado a cada termo. To-
davia, poderão aparecer outros critérios, e o professor 
deverá estar atento para valorizar os critérios surgidos, 
mas, também, enfatizar a importância do reconheci-
mento do passo constante das sequências, seja ele so-
mado ou multiplicado.
2. Sabe-se que as Olimpíadas, a Copa do 
Mundo e os jogos Pan-americanos ocorrem 
de quatro em quatro anos. Se essas compe-
tições ocorreram nos anos de 2004, 2006 e 
2007, respectivamente, e considerando que 
continuem a acontecer, segundo essa regra, 
por muito tempo, responda:
a) Qual competição ocorrerá em 2118? E 
em 2079 e 2017?
As Olimpíadas acontecem em anos em que sua divisão por 
4 deixa resto zero, a Copa acontece em anos em que sua di-
visão por 4 deixa resto 2, e os Jogos Pan-americanos aconte-
cem em anos em que sua divisão por 4 deixa resto 3. Assim, 
em 2118, aconteceria a Copa do Mundo (resto 2); em 2079, 
aconteceriam os Jogos Pan-americanos (resto 3); e, em 2017, 
não aconteceria nenhuma dessas três competições (resto 1).
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25
Matemática – 1ª série – Volume 1
b) Haverá algum ano em que ocorrerá 
mais de uma dessas três competições? 
Explique.
Não é possível, pois qualquer número dividido por 4 deixa 
um, e apenas um, desses restos: zero, 1, 2 ou 3.
3. Determinada sequência numérica obedece 
à seguinte condição: a diferença entre dois 
termos consecutivos é sempre a mesma e 
igual a 6. Considerando que o primeiro ter-
mo dessa sequência é –8, responda:
a) quais são os cinco primeiros termos?
(−8, −2, 4, 10, 16).
b) qual é o termo a9?
40
c) qual é o 15o termo?
76
d) qual é o 20o termo?
106
e) quanto é a diferença entre a12 e a5?
42
f) qual é a expressão de seu termo geral, 
isto é, qual é a fórmula matemática que 
relaciona um termo qualquer (an) à po-
sição do termo (n)?
an = 6n − 14.
4. O primeiro termo de uma sequência numé-
rica é 0,02. Para obter os termos seguintes, 
basta multiplicar o termo imediatamente 
anterior por 5. Sendo assim, responda:
a) qual é o 2o termo?
0,1
b) qual é o termo a3?
0,5
c) qual é o termoa4?
2,5
d) qual é o resultado da divisão entre a6 e a4?
25
e) qual é o termo geral da sequência, isto 
é, qual é a fórmula matemática que re-
laciona um termo qualquer (an) à posi-
ção do termo (n)?
an = 0,02 ⋅ 5
n – 1.
A resolução dos exercícios anteriores 
foi, de certa forma, preparatória para a ca-
racterização das PAs e das PGs. Finalizada 
essa etapa, o professor poderá definir PA 
e PG por meio de uma discussão com seus 
alunos, identificando, entre as sequências 
já estudadas, aquelas que atendem a cada 
definição dada.
Compreendido o significado de uma PA, o 
aluno será capaz de concluir que, partindo do 
primeiro termo, para avançar um termo na se-
quência, deverá adicionar o “passo”, ou razão 
r, uma vez, isto é, a2 = a1 + r; da mesma forma, 
para avançar dois termos, deverá adicionar 
2 ⋅ r ao primeiro termo, obtendo a3 = a1 + 2 ⋅ r. 
Por esse processo, espera-se que o aluno reco-
nheça que, para obter o 20o elemento, deverá 
adicionar 19 ⋅ r ao primeiro termo e escrever: 
BOOK_MAT-SPFE-2014_1S_CP_VOL1.indb 25 17/07/14 15:19
26
a20 = a1 + 19 ⋅ r, e assim sucessivamente. Esse 
raciocínio favorecerá a construção, por parte 
do aluno, da fórmula do termo geral da PA, 
que é dada por an = a1 + (n – 1) ⋅ r.
Além disso, essa compreensão permiti-
rá que o aluno note que, para “passar” de a4 
para a11, deverá avançar sete termos, ou seja, 
para obter o termo a11 a partir do termo a4, 
deverá adicionar 7 ⋅ r ao termo a4 e escrever: 
a11 = a4 + 7 ⋅ r. Da mesma forma, poderá es-
crever a4 = a11 – 7 ⋅ r, pois, para “passar” de a11 
para a4, deve “retroceder” sete termos.
Da mesma forma, associa-se às PGs o 
significado de que, conhecidos o primeiro 
termo e o passo, ou razão q, é possível deter-
minar qualquer termo da sequência a partir 
da multiplicação do primeiro termo pela ra-
zão um determinado número de vezes. Assim, 
se o aluno compreender que a2 = a1 ⋅ q, que 
a3 = a1 ⋅ q
2, e assim por diante, compreenderá, 
também, que an = a1 ⋅ q
n – 1 e, generalizando, 
que an = ak ⋅ q
n – k.
Destacamos, novamente, a importância de 
valorizar o raciocínio dos alunos na obtenção 
do termo geral de uma PA ou de uma PG, 
em detrimento de restringir a resolução dos 
problemas à utilização das fórmulas obtidas. 
O professor deverá estar atento e observar 
quais estratégias de resoluções os alunos es-
tão utilizando, a fim de distinguir aqueles que 
utilizam fórmulas prontas como um mero 
atalho para a aplicação do conceito que já 
dominam – e, portanto, podem ser estimu-
lados nesse sentido – daqueles alunos que, 
sem terem atingido a compreensão desejada, 
buscam adaptar as condições dos problemas 
às fórmulas, como se eles se questionassem 
constantemente sobre “qual fórmula devem 
utilizar”. Casos dessa natureza certamente 
merecerão maior atenção do professor.
É importante que o professor também ex-
plore o seguinte fato: cada termo de uma PG, 
a partir do segundo, é a média geométrica en-
tre seu antecessor e seu sucessor. O exemplo a 
seguir serve como ilustração:
Na PG (4, 8, 16, 32, 64 ...), 16 é média 
geométrica de 8 e 32, pois 16 = 8 ⋅ 32.
Após a discussão dos problemas ante-
riores e das expressões do termo geral das 
PAs e das PGs, o professor poderá pedir 
que os alunos resolvam alguns problemas 
exemplares.
5. Considere que: uma PA é uma sequência 
(a1, a2, a3, ..., an, ...) de números an, em 
que a diferença entre cada termo an + 1 e 
seu antecedente an é uma constante. Essa 
diferença constante é chamada de razão 
da PA e é representada por r. Assim, em 
uma PA de razão r, temos: an + 1 – an = r, 
para todo n natural, n ≥ 1. De acordo com 
essa definição, indique quais das sequên-
cias a seguir são PAs. Em caso afirmativo, 
determine a razão.
BOOK_MAT-SPFE-2014_1S_CP_VOL1.indb 26 17/07/14 15:19
27
Matemática – 1ª série – Volume 1
a) (2, 5, 8, 11, ...).
b) (2, 3, 5, 8, ...).
c) (7, 3, –1, –5, ...).
d) 
2
3
, 
2
3
, 
2
3
, 
2
3
 , ...� �.
e) � �–
3
2
, –1, –
1
2
, 0, ... .
f) � �6, 2, 
2
3
, 
2
9
, ... .
São PAs as seguintes sequências: a) (razão: 3); 
c) (razão −4); d) (razão: 0); e) (razão: 1
2
 ).
6. Considere as sequências dadas por seus 
termos gerais:
i) an = 4 ⋅ n + 1, com n ∈ IN, n ≥ 1;
ii) an = 4 ⋅ n
2 – 1, com n ∈ IN, n ≥ 1;
iii) a1 = 2 e an = an – 1 ⋅ 3, com n ∈ IN, n ≥ 2;
iV) a1 = 2 e an = an – 1 + 3, com n ∈ IN, n ≥ 2.
 Obtenha os cinco primeiros termos de cada 
uma dessas sequências e destaque a razão 
daquelas que forem PAs.
I) 5, 9, 13, 17, 21. II) 3, 15, 35, 63, 99.
III) 2, 6, 18, 54, 162. IV) 2, 5, 8, 11, 14.
São PAs as seguintes sequências: (I), com razão = 4, e (IV), 
com razão = 3.
7. Considere que: uma PG é uma sequência 
(a1, a2, a3, …, an, ...), em que cada termo 
an, a partir do segundo, é obtido pela mul-
tiplicação de seu antecedente an – 1 por uma 
constante diferente de zero.
 De acordo com essa definição, quais das 
sequências a seguir são PGs? justifique sua 
resposta.
i) (1, 3, 9, 27, ...); ii) (1, 2, 6, 24, ...);
iii) 36, 12, 4, 
4
3
, ...� � ; iV) (1, –2, 4, –8, ...);
V) � �3, 
8
3
, 
7
3
, 2, ... ; Vi) ( , , , , ...)2 2 2 2 4 .
São PGs: (I), de razão 3; (III), de razão 1
3
 ; 
(IV), de razão −2; (VI), de razão 2 .
8. Considere as sequências:
i) an = 3 ⋅ n + 1, com n ∈ IN, n ≥ 1;
ii) an = 3 ⋅ n
2 − 1, com n ∈ IN, n ≥ 1;
iii) an = 3 ⋅ n, com n ∈ IN, n ≥ 1;
iV) a1 = 3 e an = an – 1 ⋅ 2, com n ∈ IN, n ≥ 2;
V) a1 = 3 e an = an – 1 + 2, com n ∈ IN, n ≥ 2.
 Determine os cinco primeiros termos de 
cada sequência e destaque a razão daque-
las que forem PGs ou PAs.
I) 4, 7, 10, 13, 16.
II) 2, 11, 26, 47, 74.
III) 3, 6, 9, 12, 15.
IV) 3, 6, 12, 24, 48.
V) 3, 5, 7, 9, 11.
(IV) é PG de razão 2. São PAs: (I), de razão 3; (III), de razão 3; 
e (V), de razão 2.
9. Observe a se quência de figuras e responda 
às questões propostas.
BOOK_MAT-SPFE-2014_1S_CP_VOL1.indb 27 17/07/14 15:19
28
1 32 4
a) Quantos quadradinhos comporão a quin-
ta figura dessa sequência? E a sexta figura?
Na quinta figura, 48 quadradinhos, e, na sexta, 96 quadradinhos.
b) Associe a essa sequência outra que indique 
o número de quadradinhos de cada figura. 
Essa sequência é uma PG? justifique.
(3, 6, 12, 24, ...) é PG, pois cada termo an 
é obtido a partir da 
multiplicação do termo anterior an – 1 por 2.
c) Construa uma fórmula que possa ser uti-
lizada para determinar um termo qual-
quer dessa sequência. Para auxiliá-lo 
nessa tarefa, a tabela a seguir organiza os 
dados, a fim de que as regularidades se-
jam mais facilmente observadas, elemen-
to necessário à construção da fórmula.
Podemos escrever a fórmula desta maneira: an = 3 ⋅ 2
n – 1.
Esse problema poderá favorecer uma dis-
cussão sobre a obtenção da fórmula do termo 
geral de uma PG.
posição 
de um 
termo na 
sequência
Cálculo
Quantidade de 
quadradinhos
1 3 3
2 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 21 6
3 6 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 3 ⋅ 22 12
4 12 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 3 ⋅ 23 24
... ... an-1
n (an-1) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2n-1 an = (an-1) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2n-1
Neste caso, o aluno pode obter uma fór-
mula de recorrência: an = (an – 1) ⋅ 2 e a fórmula 
do termo geral: an = 3 ⋅ 2
n – 1.
10. Nesta figura, cada quadradinho é formado 
por quatro palitos de comprimentos iguais.
1 2 3 4 5
...
a) A sequência formada pelas quantidades 
de palitos necessários para a construção 
das figuras resulta em uma PA? justifi-
que sua resposta.
A sequência formada pelas quantidades de palitos é, sim, 
uma PA, pois cada figura tem seis palitos a mais que a prece-dente: 4, 10, 16, 22, 28, ...
b) Quantos palitos serão necessários para a 
construção da sexta figura? E da sétima?
28 + 6 = 34 e 34 + 6 = 40. Serão necessários 34 palitos para 
compor a sexta figura e 40 para compor a sétima.
c) Quantos palitos serão necessários para 
construir a 78a figura?
4 + 77 ⋅ 6 = 466.
d) Escreva uma fórmula que expresse a 
quantidade de palitos da figura que 
ocupa a posição n nessa sequência.
an = 4 + (n − 1) ⋅ 6 = 6n − 2.
11. Sabe-se que o 9o termo de uma PA de ra-
zão 4 é 29. Qual é o 20o termo dessa PA?
a20 = 73. Para determinar o 20
o termo de uma PA é suficiente adi-
cionar ao 9o termo uma parcela que é igual ao produto 11 ⋅ 4, 
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29
Matemática – 1ª série – Volume 1
pois, para “passar” do 9o ao 20o, é necessário “avançar” 11 termos, 
ou seja, a20 = a9 + 11 ⋅ r. Não é necessário, portanto, encontrar, 
antes, o primeiro termo para se obter o vigésimo.
12. Sabe-se que a sequência (8, x, –4, y) é uma 
PA. Determine os valores de x e y.
Em toda PA, temos a3 − a2 = a2 − a1 → −4 − x = x − 8 → x = 2. 
Com o mesmo raciocínio, escrevemos y − (−4) = −4 − x → 
→ y + 4 = −4 − 2 → y = −10. Nesse caso, temos: (8, 2, −4, −10).
13. Invente uma PA. Separe ape-
nas os termos cuja posição n é in-
dicada por um número múltiplo de 
6 e forme outra sequência de números. Essa 
nova sequência também é uma PA? Em 
caso de resposta afirmativa, determine a 
razão da PA. justifique sua resposta.
A nova sequência será uma PA, cuja razão é igual ao produto 
do número 6 pela razão da PA anterior.
14. Determine o 8o termo de cada uma das 
PGs:
i) (1, 3, 9, 27, ...) ii) � �8, 4, 2, 1, 
1
2
, …
 a8 = 2 187 a8 = 
1
16
15. Determine o 12o termo de uma PG de ra-
zão 2, sabendo que o quinto termo dessa 
sequência é 4.
a12 = 512.
16. uma bola é lançada de uma altura de 
18 m, e seu impacto no solo provoca sal-
tos sucessivos, de tal forma que, em cada 
salto, a altura que ela atinge é igual a 80% 
da altura alcançada no salto anterior. Que 
altura será alcançada pela bola quando 
ocorrer o 5o salto? E o 10o salto? (use uma 
calculadora.)
A altura atingida no quinto salto corresponde ao sexto termo 
de uma PG em que o primeiro termo é igual a 80% de 18 e a 
razão é 0,8. Assim, a6 = 18 ⋅ 0,8
5 ≅ 5,898 m. A altura do décimo 
salto, obedecendo a essa lógica, será: a11 = 18 ⋅ 0,8
10 ≅ 1,933 m.
17. Dada a PG 
1
2
, x, 32, y� �, determine os 
valores de x e y.
Em toda PG, cada termo, a partir do segundo, é a mé-
dia geométrica do antecessor e do sucessor. Neste caso, 
x = 1
2
⋅ 32 = 4. Por outro lado, pela definição de PG, 
y
32
 = 32
x
 → y
32
 = 32
4
 → y = 256. Nesse caso, temos: 
� �
1
2
, 4, 32, 256 .
18. Suponha que a população de uma cidade 
tenha uma taxa de crescimento constante 
e igual a 20% ao ano. No fim do ano 2007, 
a população era de 50 mil habitantes.
a) Calcule a população da cidade ao fim 
de cada um dos quatro anos seguintes e 
escreva os resultados obtidos em forma 
de sequência.
Professor, estabeleça com seus alunos uma linguagem como:
P: a população inicial; P1 : a população um ano depois; P2 : a 
população dois anos depois; e assim por diante.
P1= 50 000 + 20% de 50 000 = 50 000 + 0,2 ⋅ 50 000 = 60 000.
P2 = 60 000 + 20% de 60 000 = 60 000 + 0,2 ⋅ 60 000 = 72 000.
Fazendo os demais cálculos, obtêm-se as populações P3 e P4: 
86 400 e 103 680, respectivamente.
BOOK_MAT-SPFE-2014_1S_CP_VOL1.indb 29 17/07/14 15:19
30
b) A sequência obtida é uma PG? Em caso 
afirmativo, qual é a razão?
A sequência (50 000, 60 000, 72 000, 86 400, 103 680, ...) é uma 
PG de razão 1,2, pois:
60 000
50 000
 = 72 000
60 000
 = 86 400
72 000
 = 103 680
86 400
 = 1,2.
Assim, para se obter o termo sucessor de um termo conheci-
do, basta multiplicar este último por 1,2, ou seja, Pn + 1= 1,2 ⋅ Pn.
c) Encontre uma fórmula que permita cal-
cular a população dessa cidade daqui a 
n anos, contados a partir de 2007.
P1 = 50 000 ⋅ 1,2
1
P2 = 50 000 ⋅ 1,2
1 . 1,2 = 50 000 ⋅ 1,22
P3 = 50 000 ⋅ 1,2
2 ⋅ 1,2 = 50 000 ⋅ 1,2
3
Assim, Pn= 50 000 ⋅ 1,2
n.
Essa fórmula pode ser generalizada para Pn = P0 ⋅ (1 + i)
n, sendo 
i a taxa de crescimento.
19. Suponha que o valor de um automóvel di-
minua a uma taxa constante de 10% ao ano. 
Hoje, o valor desse automóvel é R$ 20 mil.
 Professor, convém ressaltar que a taxa, 
nesse problema, é negativa. Se há uma di-
minuição de 10% ao ano, o valor do carro 
passa a ser de 90% sobre o valor anterior. 
utilizando os resultados da atividade ante-
rior, discuta com os alunos que, para calcu-
lar o preço do carro daqui a um ano, é su-
ficiente multiplicar o valor inicial do carro 
por 0,9, pois P1 = P0 ⋅ (1 – 0,1) = P0 ⋅ 0,9.
a) Calcule o valor desse automóvel daqui a 
quatro anos.
R$ 13 122,00.
b) Encontre uma fórmula que permita cal-
cular o preço desse automóvel daqui a n 
anos.
Pn = 20 000 ⋅ 0,9
n.
tratamento das progressões sob o ponto de 
vista funcional
Ao obter os termos de uma PA por meio 
da lei de formação, utilizando a fórmu-
la do termo geral ou de recorrência, o alu-
no trabalha, intuitivamente, com a noção 
de função, pois associa cada índice ao ter-
mo correspondente. Ou seja, todo número 
natural (n) que é índice na sequência está 
associado a um único número real. A fór-
mula relativa à lei de formação da PA é a 
expressão algébrica que representa a função. 
Nesse caso, temos uma função f: S → IR, 
sendo S ⊂ IN*.
Assim, o domínio dessa função é forma-
do pelos índices dos termos da PA, isto é, 
D(f) = S = {1, 2, 3, 4, ...}. O contradomí-
nio dessa função é IR, e o conjunto imagem 
é formado pelos termos da PA, ou seja, 
Im(f) = {a1, a2, a3, ..., an, ...}.
A representação gráfica da função que cor-
responde a uma PA é um conjunto de pontos 
que pertencem a uma reta. Todavia, o gráfico 
não é a reta que contém esses pontos. Toman-
do como exemplo a PA (1, 4, 7, 10, 13, ...), 
na qual a1 = 1, a2 = 4, a3 = 7, a4 = 10, e assim 
sucessivamente, sua representação gráfica é a 
figura a seguir.
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31
Matemática – 1ª série – Volume 1
a4 = 10
a3 = 7
a2 = 4
a1 = 1
1 2 3 4
Nesse caso, temos: D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
Im(f) = {1, 4, 7, 10, 13, ...} e an = 3n – 2 
Essa terminologia somente deverá ser des-
tacada para o aluno quando esse assunto for 
retomado, posteriormente, nesta série, no 
estudo da função polinomial do 1o grau.
Ao aplicar a fórmula do termo geral ou de 
recorrência para a determinação dos elemen-
tos de uma PG, da mesma maneira que se faz 
para uma PA, os estudantes também utilizam, 
intuitivamente, a ideia de função (todo número 
natural (n) que é índice na sequência está asso-
ciado a um único número real), pois associam 
cada índice ao termo correspondente. 
A fórmula que indica a lei de formação da 
PG corresponde à expressão algébrica que 
representa a função. Nesse caso, temos uma 
função f: T → IR, sendo T ⊂ IN*.
A expressão do termo geral de uma PG, 
an = a1 ⋅ q
n – 1, reflete o crescimento expo-
nencial de an em função de n. Assim como o 
tratamento funcional das PAs está associa-
do ao estudo das funções afins, esse tipo de 
tratamento para as PGs será feito no estudo 
das funções exponenciais. Portanto, não se 
trata de, neste momento, apresentar aos alu-
nos toda a terminologia adotada no estudo 
das funções, mas apenas apontar relações 
que serão exploradas mais adiante. Os pro-
blemas seguintes são exemplos de como a 
apresentação inicialdesse tratamento pode 
ser realizada.
20. um conjunto A é forma-
do apenas pelos seguintes ele-
mentos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. As-
sim, podemos escrever: A = {1, 2, 3, 4, 5, 
6}. um conjunto B é formado por ele-
mentos numéricos obtidos a partir dos 
elementos do conjunto A, da seguinte 
forma: cada elemento de B é 4 unidades a 
mais do que o triplo do elemento corres-
pondente de A. Dito de outra forma, se 
chamarmos cada elemento do conjunto 
A de n, e cada elemento do conjunto B de 
p, temos: p = 4 + 3n.
a) Quais são os elementos do conjunto B?
B = {7, 10, 13, 16, 19, 22}.
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32
b) Qual é o tipo de sequência numérica for-
mada pelos elementos do conjunto A?
Uma PA de razão 1.
c) Qual é o tipo de sequência numérica for-
mada pelos elementos do conjunto B?
Uma PA de razão 3.
21. Cada elemento de um conjunto D será obti-
do a partir de um elemento correspondente 
do conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, da seguin-
te forma: d = –5c + 15, em que c represen- 
ta um elemento do conjunto C e d repre- 
senta um elemento do conjunto D.
a) Quais são os elementos do conjunto D?
D = {10, 5, 0, −5, −10, −15}.
b) Qual é o tipo de sequência numérica for-
mada pelos elementos do conjunto D?
Uma PA de razão −5.
22. Determinada regra matemática “transfor-
ma” cada elemento do conjunto E = {1, 2, 3, 
4, 5, 6, ...} em outro número, conforme mos-
tra a seguinte representação:
71
R
132
E
193
G
254
R
315 A
a) Qual é o resultado associado ao nú-
mero 6?
37
b) Qual é o resultado associado ao nú-
mero 10?
61
c) Se cada elemento do conjunto E for 
identificado pela letra n, e cada resul-
tado for identificado pela letra p, qual 
será a equação matemática que rela-
ciona p e n?
6n + 1 = p
d) Ordenando os resultados obtidos, qual 
ocupará a 9a posição?
55
e) Qual é o tipo de sequência numérica 
formada pelos elementos do conjunto 
dos resultados?
Uma PA de razão 6 e primeiro termo 7.
23. Na Antiguidade, era muito 
comum associar adivinhações a 
problemas matemáticos. Veja este 
exemplo:
“Quando ia a Bagdá
Encontrei um homem com 7 mulheres
Cada mulher tinha 7 sacos
Cada saco, 7 gatos
Cada gato, 7 gatinhos.
Gatinhos, gatos, sacos e mulheres
Quantos iam a Bagdá?”
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33
Matemática – 1ª série – Volume 1
 Escreva uma sequência com os elementos 
da charada e aponte que tipo de sequência 
numérica é formada.
(1, 7, 49, 343, 2 041). Trata-se de uma PG de razão 7.
24. um número é chamado de palíndromo quan-
do é o mesmo se lido da esquerda para a di-
reita ou da direita para a esquerda. Assim, os 
números 55, 121 e 2 002 são palíndromos.
a) um conjunto A é formado por todos os 
números palíndromos de dois algaris-
mos. Quais são os elementos de A e qual 
é o tipo de sequência numérica formada 
por esses elementos?
A = {11, 22, 33, 44, …, 99}. Trata-se de uma PA de razão 11.
b) um conjunto B é formado por todos 
os números palíndromos de três alga-
rismos. Observando os elementos do 
conjunto B, podemos dizer que eles for-
mam uma PA? justifique sua conclusão.
Construindo o conjunto B = {101, 111, 121, 131, 141, 151, …}, 
temos a impressão de que ele é uma PA de razão 10. Contudo, 
escrevendo mais alguns termos na sequência (…, 171, 181, 191, 
201, 211, …), observamos que, na passagem do algarismo das 
centenas de 1 para 2, a série de palíndromos é quebrada.
A sequência dos números de três algarismos que iniciam 
por 2 seria: (202, 212, 222, …). O mesmo ocorrerá na passa-
gem das centenas que terminam com 2 e começam com 3 
(…, 292, 302, 312, …). Portanto, a sequência de palíndromos 
de 3 algarismos não é uma PA.
Considerações sobre a avaliação
O desenvolvimento apresentado nesta 
Situação de Aprendizagem para o tratamento 
das progressões priorizou dois aspectos:
 f a abordagem comum das PAs e PGs;
 f a determinação dos termos gerais das 
PAs ou das PGs com base na regularida-
de observada nas sequências, em detri-
mento do uso das conhecidas fórmulas 
que, em geral, os alunos decoram e usam 
mecanicamente.
Em relação ao primeiro aspecto, relativo ao 
tratamento comum dos dois tipos de sequên- 
cias, julgamos importante que o professor le-
ve-o, de fato, em consideração no momento 
da elaboração de avaliações, propondo, por 
exemplo, questões semelhantes aos proble-
mas 9 e 10.
É comum os alunos utilizarem as fór-
mulas dos termos gerais da PA e da PG na 
resolução de problemas. Não há por que 
evitar tal conduta, mas também devem-se 
propor situações em que o simples uso da 
fórmula não conduza diretamente ao resul-
tado procurado. Nesse sentido, apresenta-
mos, nesta Situação de Aprendizagem, al-
guns modelos, como é o caso, por exemplo, 
da atividade 3.
Por fim, salientamos, novamente, a ne-
cessidade da existência de momentos de 
avaliação em que os alunos possam trocar 
ideias com outros colegas de grupo e mes-
mo consultar suas anotações. Além disso, 
o professor poderá pedir que os alunos de-
monstrem seu conhecimento sobre o assun-
to criando problemas e/ou contextos em 
que os conceitos possam, claramente, ser 
aplicados.
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SITuAçãO DE APRENDIzAGEM 3 
SOMA DOS TERMOS DE uMA PA Ou DE uMA PG FINITAS E 
APLICAçÕES À MATEMÁTICA FINANCEIRA
Conteúdos e temas: progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG): termos gerais e soma 
dos termos; juros compostos, processos simples de capitalização e de amortização.
Competências e habilidades: utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões 
de sequências numéricas ou geométricas; aplicar conhecimentos matemáticos em situações do cotidiano 
financeiro; generalizar procedimentos de cálculo com base em expressões matemáticas associadas ao 
estudo das progressões numéricas.
Sugestão de estratégias: resolução de exercícios exemplares.
roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 3
Esta Situação de Aprendizagem é dividida 
em duas etapas. A primeira etapa é composta 
por problemas exemplares para a construção 
de significados da soma dos elementos de uma 
sequência, e a segunda etapa é toda dirigida 
para a aplicação da soma de elementos de 
uma PA ou de uma PG em alguns casos típi-
cos da Matemática Financeira.
O cálculo da soma dos termos de uma PA 
ou de uma PG é um bom momento para se 
retomar e aprofundar com os alunos a noção 
de algoritmo em Matemática, pois podemos 
entender o cálculo da soma de qualquer um 
desses dois tipos de sequência como um cál-
culo realizado a partir de certa ordenação de 
procedimentos que conduzem, com eficiên-
cia, ao resultado procurado.
No caso de uma PA do tipo (a1, a2, a3, ..., an – 3, 
an – 2, an – 1, an), o professor pode explorar a 
propriedade da equidistância dos extremos, 
isto é, a1 + an = a2 + an – 1 = a3 + an – 2 = ..., a 
fim de desenvolver estratégias para o cálculo 
da soma de seus termos, em um trabalho que 
antecede a construção e utilização da fórmula 
da soma dos termos de uma PA.
Por exemplo, para o cálculo da soma dos 
200 primeiros números naturais, indicada por:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 197 + 198 + 
+ 199 + 200,
o aluno pode ser auxiliado no sentido de ob-
servar que 
1 + 200 = 2 + 199 = 3 + 198 = 4 + 197 = 
= ... = 201.
Nesse caso, obterá cem somas iguais a 201 
e, finalmente, concluirá que S200 = 100 ⋅ 201 = 
= 20 100. Podemos, também, dizer que a soma 
dos 200 números naturais é igual ao produto 
de 200 por 
201
2
, ou seja, o produto de 200 
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