Cap V - O Cálculo com Geometria Analítica - Vol I - 3ª Edição - Ex 5.4

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O Cálculo com Geometria Analítica - Vol I - 3ª Edição
Louis Leithold 
Capítulo V
Integração e a integral definida
Exercícios 5.4
Área
Resolvido por Nelson Poerschke
Nos exercícios de 1 a 12, ache a soma dada.
Nos exercícios 13 a 20, calcule a soma indicada, usando os Teoremas 5.4.2 até 5.4.7.
Nos exercícios de 21 a 36, use o método desta secção para calcular a área da região dada; use retângulos inscritos ou circunscritos, conforme indicado. Para cada exercício, faça uma figura mostrando a região e o i-ésimo retângulo.
21. A região limitada por retângulos inscritos.
O intervalo fechado [0, 2] está subdividido em subintervalos, cada um com de comprimento.
O i-ésimo intervalo é onde Como é crescente em [0, 2], o valor mínimo absoluto de em é .
Se A unidades quadradas for a área da região, então:
Portanto, a área da região é unidades quadradas.
22. A região limitada por retângulos circunscritos.
O intervalo fechado [0, 2] está subdividido em subintervalos, cada um com de comprimento.
O i-ésimo intervalo é onde Como é crescente em [0, 2], o valor máximo absoluto de em é .
23. A região limitada por retângulos circunscritos.
O intervalo fechado [1, 4] está subdividido em subintervalos, cada um com de comprimento.
O i-ésimo intervalo é onde Como é crescente em [1, 4], o valor máximo absoluto de em é .
24. A região limitada por retângulos inscritos.
O intervalo fechado [1, 4] está subdividido em subintervalos, cada um com de comprimento.
O i-ésimo intervalo é onde Como é crescente em [1, 4], o valor mínimo absoluto de em é .
25. A região acima do eixo e à direita da reta , limitada pelo eixo , a reta e a curva ; retângulos inscritos.
O intervalo fechado [1, 2] está subdividido em subintervalos, cada um com de comprimento.
Como é decrescente em [1, 2], o valor mínimo absoluto de em é .
26. A região acima do eixo e à direita da reta , limitada pelo eixo , a reta e a curva ; retângulos circunscritos.
Como queremos a região à direita da reta
O intervalo fechado [1, 2] está subdividido em subintervalos, cada um com de comprimento.
Como é decrescente em [1, 2], o valor máximo absoluto de em é .
27. A região acima do eixo e à esquerda da reta , limitada pelo eixo , a reta e a curva ; retângulos circunscritos.
Como queremos a região à esquerda da reta
Como é crescente em [-2 , 0], e decrescente em [0, 1] consideraremos os dois intervalos separadamente em [-2, 0] e [0, 1].
O intervalo fechado [-2, 0] está subdividido em subintervalos, cada um com de comprimento e o intervalo fechado [0, 1] está subdividido em subintervalos, cada um com de comprimento.
Intervalo [-2, 0]. crescente circunscrito 
Intervalo [0, 1]. decrescente circunscrito 
28. A região acima do eixo e à esquerda da reta , limitada pelo eixo , a reta e a curva ; retângulos inscritos.
Como queremos a região à esquerda da reta
Como é crescente em [-2 , 0], e decrescente em [0, 1] consideraremos os dois intervalos separadamente em [-2, 0] e [0, 1].
O intervalo fechado [-2, 0] está subdividido em subintervalos, cada um com de comprimento e o intervalo fechado [0, 1] está subdividido em subintervalos, cada um com de comprimento.
Intervalo [-2, 0]. crescente inscrito 
Intervalo [0, 1]. decrescente inscrito 
29. A região limitada por , pelo eixo e pela reta ; retângulos inscritos.
31. A região limitada por , o eixo e as retas e ; retângulos inscritos.
Seja a área limitada pelo eixo , a reta e a curva 
O intervalo [-1, 0] é subdividido em n subintervalos .
O i-ésimo intervalo é .
A função é crescente em [-1, 0] e, para termos retângulos inscritos, tomamos como a altura do i-ésimo retângulo.
O intervalo [0, 2] é subdividido em n subintervalos .
O i-ésimo intervalo é .
A função é crescente em [0, 2] e, para termos retângulos inscritos, tomamos como a altura do i-ésimo retângulo.
Como, :
33. A região limitada por , o eixo x e as retas ; retângulos circunscritos.
O intervalo [-2, 0] é subdividido em n subintervalos .
O i-ésimo intervalo é .
A função é crescente em [-2, 0] e, para termos retângulos circunscritos, tomamos como a altura do i-ésimo retângulo.
Como, :
O intervalo [0, 1] é subdividido em n subintervalos .
O i-ésimo intervalo é .
A função é crescente em [-2, 0] e, para termos retângulos circunscritos, tomamos como a altura do i-ésimo retângulo.
Como, :
35. A região limitada por , com , o eixo e as retas e , com ; retângulos circunscritos.
O intervalo [a, b] é subdividido em subintervalos .
O i-ésimo intervalo é .
A função é crescente em [a, b] e, para termos retângulos circunscritos, tomamos como a altura do i-ésimo retângulo.
Como :