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Taxas Relacionadas Apostila

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26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 
 
 
1 
Taxas Relacionadas 
 
Um problema envolvendo taxas de variação de variáveis relacionadas é chamado de problema 
de taxas relacionadas. 
 Os passos a seguir representam um procedimento possível para resolver problemas 
envolvendo taxas relacionadas. 
 
1 – Faça uma figura, se isso for possível; 
2 – Defina as variáveis. Em geral defina primeiro t, pois as outras variáveis usualmente dependem 
de t. 
3 – Escreva todos os fatos numéricos conhecidos sobre as variáveis e suas derivadas em relação à t. 
4 – Obtenha uma equação envolvendo as variáveis que dependem de t. 
5 – Derive em relação a t ambos os membros da equação encontrada na etapa 4. 
6 – Substitua os valores de quantidades conhecidas na equação da etapa 5 e resolva em termos da 
quantidade desejada. 
 
Começaremos nossa discussão com um exemplo que descreve uma situação real. 
 
Exemplos: 
 
1) Uma escada com 25 unidades de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se o pé da 
escada for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 3 unidades de comprimento por 
segundo, qual a velocidade com que a escada está deslizando, quando seu pé esta a 15 unidades de 
comprimento da parede? 
 
Resolução: 
- Definição das variáveis: 
t → tempo decorrido desde que a escala começou a deslizar pela parede em segundos. 
y → distância do chão ao topo da escada. 
x → distância do pé da escada ate a parede. 
- Figura (desenho esquemático) 
 
- Fatos numéricos conhecidos: 
3=
dt
dx
 
?=
dt
dy
 quando x = 15 
 
- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 
Pelo teorema de Pitágoras temos: 
222 25=+ xy 
22 625 xy −= 
x
y
25
x
y
25
26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 
 
 
2 
- Derivando em relação a t: 
22 625 xy −= 
dt
dx
x
dt
dyy 202 −= 
dt
dx
y
x
dt
dy
2
2
−= 
dt
dx
y
x
dt
dy
−= 
 
 
- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: 
Devemos encontrar y para x = 15, substituindo na equação: 22 625 xy −= 
40022562515625 22 =−=−=y 
20400 ±=±=y portanto: 
20=y 
 
Encontrando agora 
20=



ydt
dy
 
25,2
4
93
20
15
−=−=⋅−=
dt
dy
 
 
Logo o topo da escada esta deslizando a uma taxa de 2,25 unidades de comprimento por segundo. 
O sinal negativo significa que y é decrescente, quanto t cresce. 
 
 
2) Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16m de altura e uma base com 4m de raio. A 
água “flui” no tanque a uma taxa de min2 3m . Com que velocidade o nível da água estará se 
elevando quando sua profundidade for de 5m? 
1- Figura (desenho esquemático) 
 
 
2- Definição das variáveis: 
t → tempo em (min) com que a água “flui” no tanque. 
V → volume em m3 de água. 
h → nível em (m) com que a água esta se elevando no tanque. 
r → raio em (m) do nível da água no tanque. 
4m
r m
h m
16 m
4m
r m
h m
16 m
26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 
 
 
3 
3- Fatos numéricos conhecidos: 
min
3
2 m
dt
dV
= 
min?
m
dt
dh
= quando mh 5= 
mh 16= para mr 4= 
 
4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 
4
4 hrrh =⇒= 
hrV ⋅⋅= 2
3
pi
 
3
2
16343
hhhV ⋅
⋅
=⋅





⋅=
pipi
 
 
5- Derivando em relação a t: 
3
163
hV ⋅
⋅
=
pi
 
dt
dhh
dt
dhh
dt
dV
16
3
163
2
2 ⋅
=⋅⋅⋅
⋅
=
pipi
 
dt
dV
hdt
dh
⋅
⋅
= 2
16
pi
 
 
6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: 
Encontrando agora 
5=



hdt
dh
 
min22
5 25
322
5
1616 m
dt
dV
hdt
dh
pipipi ⋅
=⋅
⋅
=⋅
⋅
=


 
min
5
407,0 m
dt
dz
=


 
 
 
3) Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a 
uma velocidade de 90km/h e o outro seguindo a direção sul, a 60km/h. Qual a taxa segundo a qual 
eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro está 0,2km do cruzamento e o 
segundo a 0,15km? 
Resolução: 
1- Figura (desenho esquemático) 
 
 
 
P
y (km)
x (km)
z (k
m)
direção 
sul
direção 
leste
P
y (km)
x (km)
z (k
m)
direção 
sul
direção 
leste
26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 
 
 
4 
2- Definição das variáveis: 
t → tempo em (h) desde que os carros começaram a se aproximar. 
x → distância em (km) do primeiro carro em relação a P (direção leste). 
y → distância em (km) do segundo carro em relação a P (direção sul). 
z → distância em (km) entre os dois carros. 
 
3- Fatos numéricos conhecidos: 
h
km
dt
dx 90−= kmx 2,0= 
h
km
dt
dy 60−= kmx 15,0= 
h
km
dt
dz (?)= kmz (?)= 
 
4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 
Pelo teorema de Pitágoras temos: 
222 yxz += 
 
5- Derivando em relação a t: 
dt
dyy
dt
dx
x
dt
dz
z 222 += 






+=
dt
dyy
dt
dx
x
dt
dz
z 22 
z
dt
dyy
dt
dx
x
dt
dz +
= 
 
6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas: 
Devemos encontrar z, substituindo na equação: 222 yxz += 
25,00625,015,02,0 2222 ==+=+= yxz 
Encontrando agora 
25,0=



zdt
dz
 
25,0
)60(15,0)90(2,0
25,0
−⋅+−⋅
=
+
=


z
dt
dyy
dt
dx
x
dt
dz
 
h
km
dt
dz 108
25,0
−=


 
 
 
4) Um avião voa a 152,4m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1.220m no sentido oeste, 
tomando como referência um holofote fixado no solo que o focaliza e que se encontra à esquerda da 
projeção vertical do avião em relação ao solo. 
Sabendo-se que a luz do holofote deverá permanecer iluminando o avião, qual deverá ser a 
velocidade angular (de giro) do holofote, no instante em que a distância horizontal entre ele e a 
projeção vertical do avião for de 610m? 
1- Figura (desenho esquemático) 
26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 
 
 
5 
 
2- Definição das variáveis: 
t → tempo em (s) com que o avião se desloca na direção oeste. 
θ → ângulo de elevação (em radianos) do feixe luminoso emitido pelo holofote em relação ao solo. 
x → distância em (m) medida horizontalmente entre o holofote e a projeção vertical do avião em 
relação ao solo. 
y → distância em (m) medida verticalmente entre o holofote e a projeção vertical do avião no solo. 
 
3- Fatos numéricos conhecidos: 
s
m
dt
dx 4,152−= mx 610= 
s
radianos
dt
d (?)=θ radianos(?)=θ 
 my 1220= 
 
4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t: 
x
tg
x
y
tg 1220=⇒= θθ 
θθ 22 1sec tg+= 
5- Derivando em relação a t: 
'1220)'( 





=
x
tgθ
 
dt
dx
xdt
d
⋅−=⋅ 2
2 1220sec θθ 
dt
dx
xdt
d
⋅
⋅
−=
θ
θ
22 sec
1220
 
 
6- Substituindo os valores das grandezas conhecidas temos: 
22
610
12201220
=⇒=== θθ tg
x
tg 
5sec54121sec 222 =⇒=+=+= θθ 
)4,152(
5610
1220
sec
1220
2222 −⋅
⋅
−=⋅
⋅
−=
dt
dx
xdt
d
θ
θ
 
srad
dt
d /
10
1
=
θ
 
 
θ
P (avião)
holofote
x = 610m
y = 1220m
Direção
oeste
θ
P (avião)
holofote
x = 610m
y = 1220m
Direção
oeste
26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas 
 
 
6 
5) Um tanque cúbico horizontal tem aresta medindo 2m, e a vazão de água é constante, valendo 
0,5m3/s. Determine a velocidade de subida do nível da água. 
1- Figura (desenho esquemático) 
 
2- Definição das variáveis: 
t → tempo em (s) com que a água esta

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