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Notas de Aula de Cálculo
Derivadas
Bárbara Rodriguez Cinthya Meneghetti Cristiana Po�al
30 de junho de 2013
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Universidade Federal do Rio Grande - FURG
NOTAS DE AULA DE CÁLCULO
Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF
Material elaborado como resultado do projeto REUNI - PROPESP N
o
: 033128/2012
- coordenado pelas professoras Bárbara Rodriguez, Cinthya Meneghetti e Cristiana
Po�al com participação da bolsista REUNI: Elizangela Pereira.
1 Notas de aula de cálculo - FURG
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Sumário
1 Derivadas de Funções Reais de uma Variável 3
1.1 O Problema da Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 De�nição de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Taxa de variação média e instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Derivadas laterais em um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Diferenciabilidade e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Regras Básicas de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Derivada de Função Composta - Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . 29
1.6.1 Derivada da potência de uma função . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.2 Derivada da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.3 Derivadas de Funções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
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Capítulo 1
Derivadas de Funções Reais de uma
Variável
Neste capítulo, estuda-se o coneito de derivada de uma função real de
uma variável. A derivada envolve a variação ou a mudança no comportamento de
vários fenômenos. Para melhor compreender a de�nição de derivada, abordam-se
três problemas do Cálculo que envolvem variação e movimento:
• O problema da reta tangente;
• O problema da velocidade e da aceleração;
• O problema de máximos e mínimos.
Tais problemas são de�nidos a partir do conceito de limite que foi abordado ante-
riormente.
1.1 O Problema da Reta Tangente
O objetivo desta seção é entender o que signi�ca dizer que uma reta
é tangente a uma curva em um determinado ponto P . Primeiro, considera-se que
esta curva seja uma circunferência. Nestecaso, a reta tangente no ponto P é a reta
perpendicular à radial que passa por P (observe Figura 1.1 a)).
Para uma curva qualquer esta caracterização é mais difícil (observe Fi-
gura 1.1 (b-d)).
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1.1. O PROBLEMA DA RETA TANGENTE
(a) (b)
(c) (d)
Figura 1.1: Retas tangentes à f(x) no ponto P .
O problema em determinar a reta tangente em um ponto P consiste,
basicamente, na determinação da inclinação (ou declividade) da reta procurada.
Esta inclinação pode ser aproximada utilizando-se uma reta que passa pelo ponto
de tangência e por outro ponto pertencente à curva. Tal reta é chamada de reta
secante.
Sejam P e Q dois pontos pertencentes ao grá�co da função f(x). Fazendo
Q aproximar-se de P (Figura 1.2(a)), podem ocorrer duas situações:
Situação 1) A reta PQ tende a duas posições limites, t1 e t2, obtidas respectiva-
mente ao fazer o ponto Q se aproximar de P pela esquerda e pela direita. Neste
caso, a reta tangente ao grá�co não existe. A Figura 1.2(c) ilustra esta situação
onde P (x0, f(x0))é um ponto anguloso (bico) no grá�co da função.
Situação 2) a reta PQ tenda a uma única posição limite t. Neste caso, a reta t é
chamada de reta tangente ao grá�co da função f(x) no ponto P , desde que ela não
seja vertical. É importante salientar que o ponto Q deve aproximar-se de P tanto
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1.1. O PROBLEMA DA RETA TANGENTE
pela esquerda quanto pela direita, e em ambos casos a reta PQ deve tender à reta
t. Nas Figuras 1.2(a) e 1.2(b), mostram-se instantâneos de Q escorregando ao longo
do grá�co de f(x), em direção à P pela esquerda 1.2(a) e pela direita 1.2(b).
(a) (b)
(c)
Figura 1.2: Retas secantes à f(x) no ponto P .
Sejam P (x1, y1) e Q(x2, y2) dois pontos da curva y = f(x), então a decli-
vidade da reta secante que passa por estes dois pontos é escrita como:
msec =
y2 − y1
x2 − x1 .
Outras notações podem ser utilizadas para representar a declividade da
reta secante, a saber:
msec =
f(x2)− f(x1)
h
onde h = x2 − x1. Ou,
msec =
f(x1 +∆x)− f(x1)
∆x
. (1.1.1)
Observação 1.1.1. Note que
∆y
∆x
representa a inclinação da reta secante (que
intercepta a curva nos pontos P e Q). Se ∆x é muito pequeno, isto é, ∆x → 0,
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1.1. O PROBLEMA DA RETA TANGENTE
Figura 1.3: Cálculo da declividade.
então o ponto Q tende para o ponto P e a inclinação da reta secante PQ, tende a
inclinação mtg da reta tangente a função f no ponto P .
De�nição 1.1.1. Se P (x1, y1) é um ponto da função f , então a reta tangente ao
grá�co de f em P é de�nida como a reta que passa por P com declividade (coe�ciente
angular) de�nida por
mtg = lim
h→0
f(x2)− f(x1)
h
, (1.1.2)
desde que o limita exista. Pode-se escrever (1.1.2) como:
mtg = lim
h→0
f(x1 + h)− f(x1)
h
.
Logo, se h = ∆x tem-se:
mtg = lim
∆x→0
f(x1 +∆x)− f(x1)
∆x
, (1.1.3)
desde que o limita exista.
Observe que as fórmulas (1.1.2) e (1.1.3) são maneiras de expressar a
inclinação de uma reta tangente como um limite de inclinações de retas secantes.
Importante: A equação de uma reta não vertical que passa pelo ponto P (x1, y1)
com coe�ciente angular m pode ser escrita como:
y − y1 = m(x− x1). (1.1.4)
Cálculo da Inclinação da Reta Tangente
Fazer Q se aproximar de P , corresponde a fazer ∆x tender a zero. Assim,
a reta secante tende à reta tangente, e a inclinação da reta secante msec tende à
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1.1. O PROBLEMA DA RETA TANGENTE
inclinação da reta tangente mtg:
mtg = lim
∆x→0
msec = lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
. (1.1.5)
Exemplo 1.1.1. Sendo f(x) = x2, calcule a inclinação da reta tangente ao grá�co
da função f(x) no ponto de abscissa 5.
Solução:
A inclinação da reta tangente é dada pela equação (1.1.5).
O ponto da curva f(x) = x2, cuja abscissa é 5, é o ponto
P (5, f(5)) = (5, 25). Desse modo, se f(x) = x2, para determinar a inclinação
da curva no ponto (5,25), escreve-se:
f(x+∆x) = (x+∆x)2
= x2 + 2x∆x+ (∆x)2. (1.1.6)
Substituindo a equação (1.1.6) na equação (1.1.5) tem-se:
mtg = lim
∆x→0
x2 + 2x∆x+ (∆x)2 − x2
∆x
= lim
∆x→0
∆x(2x+∆x)
∆x
mtg = lim
∆x→0
��∆x(2x+∆x)
��∆x
.
Como ∆x tende a zero, a inclinação da reta tangente pode ser represen-
tada por:
mtg = 2x. (1.1.7)
Para x = 5,
mtg = 2x = 2 · (5) = 10.
Portanto, a inclinação da reta tangente ao grá�co de f(x) = x2 em x = 5
é mtg = 10.
Cálculo da Inclinação da Reta Normal
De�nição 1.1.2. Chama-se reta normal a uma curva num ponto P (x0, f(x0)), a
reta perpendicular à reta tangente neste ponto. A equação da reta normal é escrita
como:
y − f(x0) = − 1
mtg
(x− x0),mtg 6= 0. (1.1.8)
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1.1. O PROBLEMA DA RETA TANGENTE
Exemplo 1.1.2. Sendo f(x) = x3 + 2x, escreva a equação da reta tangente e da
reta normal ao grá�co de f(x) no ponto de abscissa 1.
Solução:
O ponto pertencente à curva f(x) = x3 + 2x, cuja a abscissa é 1, é o
ponto P (1, f(1)) = (1, 3).
A equação da reta tangente em um ponto (x0, y0) é representada pela
equação (1.1.4).
Se f(x) = x3 + 2x, então:
f(x+∆x) = (x+∆x)3 + 2(x+∆x)
= x3 + 3x2∆x+ 3x(∆x)2 + 2x+ 2∆x. (1.1.9)
Substituindo a equação (1.1.9) na equação (1.1.5) tem-se:
mtg = lim
∆x→0
x3 + 3x2∆x+ 3x(∆x)2 + 2x+ 2∆x− x3 − 2x
∆x
= lim
∆x→0
��x
3 + 3x2∆x+ 3x(∆x)2 +��2x+ 2∆x��
�−x3���−2x
∆x
= lim
∆x→0
��∆x(3x2 +∆x+∆x2 + 2)
��∆x
mtg = lim
∆x→0
(3x2 +∆x+∆x2 + 2).
Como ∆x tende a zero, escreve-se a inclinação da reta tangente como
mtg = 3x
2 + 2. (1.1.10)
Logo, para x = 1, mtg = 3 · (1)2 + 2 = 5.
Utilizando a equação (1.1.4) é possível escrever a equação da reta tan-
gente à curva f(x) = x3 + 2x no ponto P (1, 3), como:
y − y0 = mtg(x− x0)
y − 3 = 5(x− 1)
y − 3 = 5x− 5
5x− y − 2 = 0.
Portanto, a equação da reta tangente ao grá�co de f(x) é 5x−y−2 = 0.
A equação da reta normal à curva f(x) = x3 + 2x no ponto P (1, 3) é
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1.2. DEFINIÇÃO DE DERIVADA
escrita como
y − f(x0) = − 1
mtg
(x− x0)
y − 3 = −1
5
(x− 1)
y − 3 = −1
5
x+
1
5
1
5
x+ y − 3− 1
5
= 0
x+ 5y − 16 = 0.
POrtanto, a reta normal à curva f(x) é x+ 5y − 16 = 0.
1.2 De�nição de Derivada
De acordo com a seção anterior, para calcular a inclinação da reta tan-
gente ao grá�co de f(x) no ponto P (x0, f(x0)) procede-se da seguinte forma:
1) Toma-se um ponto Q(x0+∆x, f(x0+∆x)) do grá�co da função f(x), distinto
de P .
2) Calcula-se ∆f = f(x0 +∆x) − f(x0) e obtém-se a inclinação da reta secante
ao grá�co da função f(x) que passa pelos pontos P e Q:
mPQ = msec =
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
. (1.2.1)
(O lado direito de (1.2.1) é chamado de quociente de Newton).
3) Aproxima-se o ponto Q do ponto P , fazendo-se ∆x tender a zero. Então a
reta secante tenderá à reta tangente ao grá�co de f(x) no ponto P (x0, f(x0)),
de modo a obter-se:
mtg = lim
∆x→0
mPQ = lim
∆x→0
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
.
De�nição 1.2.1. A derivada de uma função f(x) no ponto de abscissa x = x0 é
de�nida como o número
f ′(x0) = lim
∆x→0
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
, (1.2.2)
supondo que o limite exista. Quando o limite (1.2.2) existir,diz-se que a função é
derivável em x = x0.
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1.2. DEFINIÇÃO DE DERIVADA
Pode-se pensar em f ′ como uma função cuja entrada é o número x0
e cuja saída é o valor f ′(x0) que representa a inclinação da reta tangente à curva
y = f(x) no ponto de abcissa x = x0. Portanto, ao substituir-se x0 por x em (1.2.2),
tem-se f ′(x), ou seja, a derivada da função f em relação à variável x e é de�nida
por,
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
. (1.2.3)
O processo para calcular uma derivada é chamado derivação ou diferen-
ciação.
Notações para a derivada:
Existem diversas maneiras de representar a derivada de uma função
y = f(x), onde a variável independente é x e a dependente é y. Algumas das nota-
ções mais usuais para a derivada são:
Notação �linha� (Joseph Lagrange): f ′(x), y′, f ′(x) = y′
Notação de Leibniz:
dy
dx
,
df
dx
,
d
dx
[f(x)]
Notação de operador: Dx[y].
Para indicar o valor de uma derivada em um determinado ponto x = x0,
utiliza-se a notação
f ′(x0) =
dy
dx
∣∣∣
x=x0
=
df
dx
∣∣∣
x=x0
=
d
dx
f(x)
∣∣∣
x=x0
.
Exemplo 1.2.1. Mostre que a derivada de f(x) = x2 + 3x é f ′(x) = 2x+ 3.
Solução:
Sabendo que f(x) = x2 + 3x, deve-se mostrar que f ′(x) = 2x+ 3.
Para isso aplica-se a de�nição de derivada, representada pela equação
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1.2. DEFINIÇÃO DE DERIVADA
(1.2.2). Primeiramente deve-se calcular f(x+∆x):
f(x+∆x) = (x+∆x)2 + 3(x+∆x)
f(x+∆x) = x2 + 2x∆x+ (∆x)2 + 3x+ 3∆x. (1.2.4)
Substituindo a equação (1.2.4) em (1.2.2), tem-se:
f ′(x) = lim
∆x→0
x2 + 2x∆x+ (∆x)2 + 3x+ 3∆x− [x2 + 3x]
∆x
= lim
∆x→0
x2 + 2x∆x+ (∆x)2 + 3x+ 3∆x− x2 − 3x
∆x
= lim
∆x→0
��x
2 + 2x∆x+ (∆x)2���+3x+ 3∆x��
�−x2���−3x
∆x
= lim
∆x→0
2x∆x+ (∆x)2 + 3∆x
∆x
= lim
∆x→0
∆x(2x+∆x+ 3)
∆x
= lim
∆x→0
��∆x(+2x+∆x+ 3)
��∆x
f ′(x) = lim
∆x→0
2x+∆x+ 3.
Como ∆x tende a zero, a derivada de f(x) = x2 + 3x é f ′(x) = 2x+ 3.
Exemplo 1.2.2. Aplicando a de�nição, determine a derivada das funções:
a) f(x) = eax
Solução:
Sabendo que f(x) = eax e aplicando (1.2.2), tem-se:
f ′(x) = lim
∆x→0
eax+a∆x − (eax)
∆x
= lim
∆x→0
eax(ea∆x − 1)
∆x
f ′(x) = lim
∆x→0
eax · lim
∆x→0
(
ea∆x − 1) a
a∆x
.
Como lim
∆x→0
ea∆x − 1
a∆x
é o limite fundamental exponencial, tem-se:
f ′(x) = eax · ln e · a
f ′(x) = eax · a.
b) g(x) = sen(ax).
Solução:
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1.2. DEFINIÇÃO DE DERIVADA
Seja g(x) = sen(ax), aplicando (1.2.2), tem-se:
g′(x) = lim
∆x→0
sen(ax+ a∆x)− sen(ax)
∆x
. (1.2.5)
Utilizando a identidade trigonométrica:
sen(ax+ a∆x) = sen(ax) cos(a∆x) + cos(ax)sen(a∆x),
reescreve-se a equação (1.2.5) como:
g′(x) = lim
∆x→0
sen(ax) cos(a∆x) + cos(ax)sen(a∆x)− sen(ax)
∆x
Aplicando as propriedades para o cálculo de limites:
g′(x) = lim
∆x→0
sen(ax)[cos(a∆x)− 1]
∆x
+ lim
∆x→0
cos(ax)sen(a∆x)
∆x
= − lim
∆x→0
1− cos(a∆x)
∆x
(
lim
∆x→0
sen(ax)
)
+
(
lim
∆x→0
cos(ax)
)
lim
∆x→0
sen(a∆x)
∆x
e os limites fundamentais, tem-se:
g′(x) = 0 · sen(ax) + cos(ax) · a.
Portanto a derivada da função g(x) é representada por:
g′(x) = a cos(ax).
Exemplo 1.2.3. Considere a função m(x) =
√
x, determine:
a) a derivada de m(x).
b) a inclinação da reta tangente a m(x) em x = 9.
c) os limites de m′(x) quando x→ 0+ e x→ +∞.
d) a equação da reta normal no ponto de ordenada 1.
Exercício 1.2.1. Determine a derivada de f(x) = cos(ax) pela de�nição.
Resposta do exercício1.2.1. f ′(x) = −a · sen(ax)
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1.3. TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA E INSTANTÂNEA
Teorema 1.2.1. (Forma alternativa para a derivada): Seja f : R→ R uma função
e x0 ∈ D(f). Então:
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 ,
desde que o limite exista. Se o limite não existir ou for in�nito, diz-se que a função
f não tem derivada em x0.
Demonstração:
A derivada de f(x) em x = x0 é dada por:
f ′(x0) = lim
∆x→0
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
.
Se x = x0 +∆x, então x→ x0 quando ∆x→ 0.
Logo, substituindo x0 +∆x por x, obtém-se:
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 . (1.2.6)
1.3 Taxa de variação média e instantânea
O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação
instantânea de uma função. Em nosso dia-a-dia, pode-se pensar muitas vezes na
taxa de variação de certas grandezas, como por exemplo, a taxa de variação do
crescimento de uma certa população, ou a taxa de variação da temperatura num dia
especí�co, ou ainda, a velocidade de corpos ou objetos em movimento. A velocidade,
por exemplo, pode ser entendida como uma taxa de variação: a taxa de variação
da posição (s) em função do tempo (t). Considere um ponto móvel
deslocando-se ao longo de uma reta, de modo que sua posição seja determinada por
uma única coordenada s (observe a Figura 1.4).
Figura 1.4: Posição do objeto
O movimento é totalmente conhecido quando se sabe a localização do
ponto móvel em cada momento, isto é, uma vez conhecida a posição s como uma
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1.3. TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA E INSTANTÂNEA
função do tempo t : s = f(t). O tempo é normalmente medido a partir de algum
instante inicial, em geral este instante é t = 0.
A ideia de velocidade está presente no cotidiano das pessoas, como um
número que mede a taxa na qual uma distância está sendo percorrida. Frequente-
mente também estudam-se velocidades médias. Se um carro percorre a distância de
480 km em 6 horas, então a velocidade média é de 80 km/h. A velocidade média
vm é obtida calculando-se vm =
∆s
∆t
, onde ∆s é a distância percorrida e ∆t é o
intervalo de tempo gasto.
Para determinar a velocidade do objeto num dado instante t, considera-se
um intervalo de tempo ∆t = [t1, t2], onde t1 = t e t2 = t+∆t e o objeto deslocando-
se da posição inicial s1 = f(t) até a posição �nal s2 = f(t+∆t). A velocidade média
nesse intervalo é o quociente:
vm =
s2 − s1
t2 − t1 =
∆s
∆t
. (1.3.1)
Para valores pequenos de ∆t, o valor da velocidade média aproxima-se
da velocidade exata v, no começo do intervalo, isto é, v ∼= ∆s
∆t
, onde
∼= lê-se: �é
aproximadamente igual a�. Além disso, quanto menor o valor de ∆t, melhor a
aproximação para a velocidade v. Assim tem-se
v = lim
∆t→0
∆s
∆t
v = lim
∆t→0
s2 − s1
∆t
v = lim
∆t→0
f(t+∆t)− f(t)
∆t
. (1.3.2)
A velocidade v é conhecida como velocidade instantânea. Nessa termi-
nologia, a velocidade é simplesmente a taxa de variação da posição com relação ao
tempo.
Pode-se ainda de�nir a aceleração de um móvel como uma taxa de vari-
ação de sua velocidade em relação ao tempo t, ou seja,
a = lim
∆t→0
∆v
∆t
. (1.3.3)
Exemplo 1.3.1. Determine a velocidade e a aceleração no instante t = 1 e t = 2 de
um objeto em queda livre cuja função posição é dada por s(t) = −16t2 + 100, onde
s está medido em metros e t em segundos. Calcule também a velocidade média no
intervalo [1,2].
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1.3. TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA E INSTANTÂNEA
Solução:
A velocidade média do objeto no intervalo de tempo entre t = 1 e t = 2é dada por:
vm =
s(2)− s(1)
2− 1 .
Como s(t) = −16t2 + 100, tem-se:
vm =
[−16(2)2 + 100]− [−16(1)2 + 100]
2− 1
vm =
(−64 + 100)− (−16 + 100)
1
vm =
36− 84
1
vm = −48 m/s.
Para determinar o valor da velocidade do objeto no instante t = 1s,
primeiramente, calcula-se s(t+∆t).
Para s(t) = −16t2 + 100, tem-se s(t+∆t) igual a
s(t+∆t) = −16(t+∆t)2 + 100
= −16[t2 + 2t∆t+ (∆t)2] + 100
s(t+∆t) = −16t2 − 32t∆t− 16(∆t)2 + 100. (1.3.4)
Substituindo a equação (1.3.4) na equação (1.1.5), tem-se:
v(t) = lim
∆t→0
−16t2 − 32t∆t− 16(∆t)2 + 100− [−16t2 + 100]
∆t
= lim
∆t→0
����−16t2 − 32t∆t− 16(∆t)2���+100����+16t2���−100
∆t
= lim
∆t→0
−32t∆t− 16(∆t)2
∆t
= lim
∆t→0
∆t(−32t− 16∆t)
∆t
= lim
∆t→0
��∆t(−32t− 16∆t)
��∆t
v(t) = lim
∆t→0
−32t− 16(∆t).
Calculando-se o limite quando ∆t tende a zero, tem-se:
v(t) = −32t.
Portanto, no instante t = 1s, a velocidade instantânea é
v(1) = −32(1) = −32 m/s.
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1.3. TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA E INSTANTÂNEA
E para o instante t = 2s, a velocidade instantânea é igual a
v(2) = −32(2) = −64 m/s.
A aceleração em um instante de tempo t é de�nida como
a(t) = lim
∆t→0
v(t+∆t)− v(t)
∆t
,
para v(t) = −32t, tem-se
v(t+∆t) = −32(t+∆t)
v(t+∆t) = −32t− 32∆t. (1.3.5)
Substituindo a equação (1.3.5) em (1.1.5), tem-se:
a = lim
∆t→0
−32t− 32∆t− (−32t)
∆t
= lim
∆t→0
���−32t− 32∆t���+32t
∆t
= lim
∆t→0
−32��∆t
��∆t
a = −32.
Desse modo, a(t) = −32m/s2, ou seja, a aceleração é constante durante
o movimento.
Portanto, nos instantes t = 1s e t = 2s, a aceleração é de −32m/s2.
Exemplo 1.3.2. A área de um círculo está relacionada com seu diâmetro pela
equação A =
pi
4
D2. Calcule a taxa na qual a área varia em relação ao diâmetro,
quando o diâmetro é igual a 10 m.
Solução:
Deseja-se determinar a que taxa a área muda em relação ao diâmetro,
isto é,
dA
dD
.
Se A =
pi
4
D2, então A(D +∆D) será:
A(D +∆D) =
pi
4
(D +∆D)2
=
pi
4
[D2 + 2D∆D + (∆D)2]
A(D +∆D) =
pi
4
D2 +
pi
2
D∆D +
pi
4
(∆D)2. (1.3.6)
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1.3. TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA E INSTANTÂNEA
A variação da área em relação ao diâmetro pode ser calculada como:
dA
dD
= lim
∆D→0
A(D +∆D)− A(D)
∆D
. (1.3.7)
Substituindo a equação (1.3.6) na equação (1.3.7), tem-se:
dA
dD
= lim
∆D→0
pi
4
D2 + pi
2
D∆D + pi
4
(∆D)2 − pi
4
D2
∆D
= lim
∆D→0
�
��pi
4
D2 + pi
2
D∆D + pi
4
(∆D)2��
��−pi
4
D2
∆D
= lim
∆D→0
pi
2
D∆D + pi
4
(∆D)2
∆D
= lim
∆D→0
∆D(pi
2
D + pi
4
(∆D)
∆D
= lim
∆D→0
��
�∆D(pi
2
D + pi
4
∆D)
��
�∆D
dA
dD
= lim
∆D→0
pi
2
D +
pi
4
∆D.
Como ∆D tende a zero,
dA
dD
=
pi
2
D. (1.3.8)
logo para D = 10 m, tem-se:
dA
dD
=
pi
2
(10)
dA
dD
= 5pi.
Desse modo, a área varia em relação ao diâmetro a uma taxa de 5pi m.
Exercício 1.3.1. Supõe-se que uma população de 25.000 indivíduos (no instante
t = 0) cresce de acordo com a fórmula N(t) = 25.000 + 45t2, onde t é o tempo
medido em dias. Determine:
a) a taxa média de crescimento de t = 0 a t = 2;
b) a taxa média de crescimento de t = 2 a t = 10;
c) a taxa média de crescimento de t = 0 a 10;
d) a taxa de crescimento em t = 2;
e) a taxa de crescimento em t = 10.
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1.3. TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA E INSTANTÂNEA
Respostas do exercício
a) 90 indivíduos/dia.
b) 540 indivíduos/dia.
c) 450 indivíduos/dia.
d) 180indivíduos/dia.
e) 900 indivíduos/dia.
1.3.1 Derivadas laterais em um ponto
De�nição 1.3.1. Uma função y = f(x) tem derivada lateral à direita de um
ponto de abscissa x = x0 se o limite lateral à direita de x = x0
f ′(x+0 ) = lim
x→x+0
f(x)− f(x0)
x− x0 ,
existir. Neste caso, diz que a função f é derivável à direita em x = x0.
De�nição 1.3.2. Uma função y = f(x) tem derivada lateral à esquerda de
um ponto de abscissa x = x0 se existir o limite lateral à esquerda de x0 da razão
incremental:
f ′(x−0 ) = lim
x→x−0
f(x)− f(x0)
x− x0 ,
existir. Neste caso, diz que a função f é derivável à esquerda em x = x0.
Uma propriedade importante, que relaciona a derivada com as derivadas
laterais de uma função f(x) em x = x0, a�rma que f é diferenciável em x0 se e
somente se as derivadas laterais em x0 existem e são iguais. Neste caso, tem-se que
f ′(x−0 ) = f
′(x+0 ) = f
′(x0).
Exemplo 1.3.3. Mostre que a função f(x) = |x− 2| não possui derivada em x = 2.
Exemplo 1.3.4. Veri�que se a função f(x) = sen(x) possui derivada em x = 0.
Exercício 1.3.2. Mostre que a função m(x) =
√
x não é derivável em x = 0.
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1.3. TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA E INSTANTÂNEA
Observação 1.3.1. Existência da derivada de uma função f(x) em um ponto
P (x0, f(x0)).
Uma função possui derivada em x = x0 se os coe�cientes angulares das
retas secantes que passam por P (x0, f(x0)) e um ponto Q próximo no grá�co ten-
derem a um limite à medida que Q se aproxima de P . Quando as retas secantes
não atingem uma posição limite ou tornam-se verticais à medida que Q tende a
P , a derivada não existe. Logo, a derivabilidade está ligada à suavidade do grá-
�co da função. Uma função f(x) não tem derivada nos pontos em que seu grá�co
apresentar:
a) uma quina (as derivadas laterais são diferentes);
b) um ponto cuspidal (o coe�ciente angular de PQ tende a +∞ de um lado, e a
−∞, do outro);
c) uma tangente vertical (o coe�ciente angular de PQ tende a +∞ ou a −∞, de
ambos lados);
d) uma descontinuidade.
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1.4. DIFERENCIABILIDADE E CONTINUIDADE
1.4 Diferenciabilidade e continuidade
Teorema 1.4.1. Se a função f(x) é diferenciável em x = x0, então ela é contínua
em x = x0.
Demonstração:
Pela hipótese, f(x) é diferenciável em x = x0, logo,
lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 ,
existe e é igual a f ′(x0).
Deve-se mostrar que f(x) é contínua em x = x0, isto é:
lim
x→x0
f(x) = f(x0).
Para x 6= x0, tem-se f(x) − f(x0) = f(x)− f(x0)
x− x0 · (x − x0), assim,
calculando o limite para x tendendo a x0.
lim
x→x0
[f(x)− f(x0)] = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 · limx→x0(x− x0)
lim
x→x0
[f(x)− f(x0)] = f ′(x0) · 0
lim
x→x0
[f(x)− f(x0)] = 0, (1.4.1)
portanto:
lim
x→x0
f(x) = f(x0).
Observação 1.4.1. Segue do Teorema 1.4.1 que se f(x) não for contínua em x = x0,
então f(x) não poderá ser derivável em x = x0.
Exemplo 1.4.1. Considere as funções f(x) =
 x2, x ≤ 12, x > 1 e g(x) =
 x2, x ≤ 11, x > 1 ,
responda:
a) As funções f(x) e g(x) são contínuas em x = 1?
b) As funções f(x) e g(x) são diferenciáveis em x = 1?
Exemplo 1.4.2. Veri�que se a função f(x) = |x| é contínua e se possui derivada
em x = 0.
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1.5. REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO
1.5 Regras Básicas de Derivação
Na seção anterior, de�niu-se a derivada de uma função f como um limite.
Este limite pode ser utilizado para calcular derivadas de funções mais simples. Além
disso, é um processo considerado cansativo mesmo para funções pouco complexas.
Nesta seção,estudam-se algumas regras que permitem derivar uma grande
variedade de funções de forma mais e�ciente e prática.
Sejam c um número real, n um número racional, f(x) e g(x) funções
diferenciáveis.
1. Derivada da função constante. Seja f(x) = c. A derivada da função
constante é nula, isto é:
df(x)
dx
=
dc
dx
= 0.
Geometricamente, pode-se a�rmar que a reta horizontal y = f(x) = c tem o
coe�ciente angular igual a zero.
Demonstração:
Através da de�nição de derivada, tem-se:
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
f ′(x) = lim
∆x→0
c− c
∆x
= 0. (1.5.1)
Portanto, f ′(x) = 0 se f(x) = c.
Exemplo 1.5.1. Calcule a derivada das seguintes funções em relação a x:
a) f(x) = 9
b) g(x) = pi.
Solução:
a) Analisando a função f(x) = 9, percebe-se que 9 é uma constante. Portanto
pela regra da derivada da função constante, a derivada da função f(x) é nula.
b) Analisando a função g(x) = pi, percebe-se que pi é uma constante. Portanto
pela regra da derivada da função constante, a derivada da função g(x) é nula.
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1.5. REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO
2. Derivada da potência da função. Para qualquer constante racional n, a
derivada da função f(x) = xn é
dxn
dx
= nxn−1.
Demonstração:
Seja f(x) = xn. Utilizando a forma alternativa da de�nição de
derivada
dy
dx
= lim
z→x
f(z)− f(x)
z − x ,
e a expansão zn − xn = (z − x)(zn−1 + zn−2x+ ...+ zxn−2 + xn−1), então:
f ′(x) = lim
z→x
zn − xn
z − x
= lim
z→x
zn−1 + zn−2x+ zxn−2 + xn−1
f ′(x) = nxn−1. (1.5.2)
Portanto, se f(x) = xn, então f ′(x) = nxn−1.
Exemplo 1.5.2. Seja f(x) = x3.
a) Determine a derivada de f(x).
b) Escreva a equação da reta tangente ao grá�co de f(x) no ponto de ordenada
8.
Solução:
a) Pela análise da função f(x) = x3, percebe-se que a potência de x é igual a 3 e
pela regra da derivada da potência da função, com n = 3, tem-se:
f ′(x) = 3 · x(3−1) = 3x2.
b) O ponto de ordenada 8 tem abscissa 2. Logo, a inclinação da reta tangente é
f ′(2) = 3.22 = 12
e a equação da reta tangente é escrita como
y − 8 = 12(x− 2)
y − 8 = 12x− 24
12x− y + 16 = 0. (1.5.3)
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1.5. REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO
3. Derivada da multiplicação de uma função por uma constante. Seja c
uma constante e u = f(x) uma função derivável em x, então:
d
dx
[cf(x)] = cf ′(x).
Demonstração:
Pela hipótese, existe,
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
.
Seja g uma função de�nida por g(x) = cf(x). Logo, tem-se que
g′(x) = lim
∆x→0
g(x+∆x)− g(x)
∆x
= lim
∆x→0
cf(x+∆x)− cf(x)
∆x
= lim
∆x→0
c
[
f(x+∆x)− f(x)
∆x
]
= c lim
∆x→0
[
f(x+∆x)− f(x)
∆x
]
g′(x) = cf ′(x). (1.5.4)
Exemplo 1.5.3. Determine a derivada das seguintes funções em relação a x:
a) f(x) = 4x
3
2
b) g(x) = 7x.
Solução:
a) Pela análise da função f(x) observa-se que c = 4 e u = f(x) = x
3
2
, logo u tem
como potência
3
2
. Desse modo a derivada é igual a
df(x)
dx
= 4 ·
(
3
2
)
x
3
2
−1
= 6x
1
2 .
b) Analisando a função g(x), observa-se que c = 7 e u = x, logo a derivada é
igual a
dg(x)
dx
= 7.
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1.5. REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO
4. Derivada da função exponencial. Seja a função exponencial f(x) =
ax, de�nida∀x ∈ R, a > 0, a 6= 1, então
df(x)
dx
=
d(ax)
dx
= ax · ln(a).
Demonstração:
Aplicando a de�nição de derivada, tem-se:
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
.
Efetuam-se as devidas substituições:
f ′(x) = lim
∆x→0
a(x+∆x) −ax
∆x
f ′(x) = lim
∆x→0
ax(a∆x − 1)
∆x
. (1.5.5)
Sabe-se que lim
∆x→0
a∆x − 1
∆x
= ln(a),∀a > 0 e a 6= 1.
Calculando o limite, pode-se reescrever (1.5.5) como:
df(x)
dx
= f ′(x) = ax · ln(a)
Logo, pode-se a�rmar que, se f(x) = ax então:
f ′(x) = ax · ln(a).
Caso particular: Derivada da função exponencial natural f(x) = ex.
Se f(x) = ex, então
df(x)
dx
= f ′(x) = ex · ln(e) = ex.
Exemplo 1.5.4. Calcule a derivada de f(x) = 4ex.
Solução:
Aplicando-se as regras da derivada da multiplicação de uma função por
uma constante seguida da derivada da função exponencial, tem-se:
f ′(x) = 4
d(ex)
dx
= 4 · ex · ln e. (1.5.6)
Portanto, a derivada da função f(x) = 4ex é
f ′(x) = 4ex.
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1.5. REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO
5. Derivada da soma algébrica. Sejam u = f(x) e v = g(x) duas funções de
x, então:
d(f ± g)
dx
=
df
dx
± dg
dx
.
Demonstração: Através da de�nição de derivada, tem-se:
d(f + g)
dx
= lim
∆x→0
[f(x+∆x) + g(x+∆x)]− [f(x) + g(x)]
∆x
= lim
∆x→0
[f(x+∆x)− g(x)] + [g(x+∆x)− g(x)]
∆x
= lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
+ lim
∆x→0
g(x+∆x)− g(x)
∆x
d(f + g)
dx
=
df
dx
+
dg
dx
. (1.5.7)
Exemplo 1.5.5. Calcule a derivada das funções:
a) f(x) = 5x4 + 6x3 − 20
b) z(x) = 5x5 +
√
x3 − x 35
c) g(x) = −1
3
x15 +
1√
x
− 3
3
√
x
.
Solução:
a) Analisando a função f(x) e considerando u = 5x4, v = 6x3 e p = −20. O
cálculo de u′, v′ será feito aplicando a regra da derivada da função potência,
logo tem-se:
u′ = 20x3
v′ = 18x2
p′ = 0.
Empregando-se (1.5.7) tem-se:
f ′(x) = 20x3 + 18x2.
b) Analisando z(x) e considerando u = 5x5, v =
√
x3 e p = x
3
5
. O cálculo de u′, v′
e p′ será feito aplicando a regra da derivada da função potência, logo tem-se:
u′ = 25x4
v′ =
3
√
x
2
25 Notas de aula de cálculo - FURG
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1.5. REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO
p′ =
3
5
x−
2
5 .
Por meio de (1.5.7) tem-se:
z′(x) = 25x4 +
3
√
x
2
− 3
5
x−
2
5 .
c) Analisando g(x) e considerando u = −1
3
x15, v =
1√
x
e p = − 3
3
√
x
. O cálculo
de u′, v′ e p′ será feito por potências, logo tem-se:
u′ = −5x14
v′ = −1
2
x−
3
2
p′ = −x− 43 .
Por meio de (1.5.7) tem-se:
g′(x) = −5x14 − 1
2
x−
3
2 − x− 43 .
Exercício 1.5.1. Calcule a derivada das funções hiperbólicas:
a) f(x) = senh(x)
b) g(x) = cosh(x).
Exercício 1.5.2. Em um experimento a massa M de glicose decresce de acordo
com a fórmula M(t) = 4, 5− 0, 03t2, onde t é o tempo de reação em horas. Calcule:
a) a taxa de reação em t = 0;
b) a taxa de reação em t = 2;
c) a taxa média de reação no intervalo de t = 0 a t = 2.
Respostas
1.5.1. a) cosh(x) b) senh(x)
1.5.2. a) 0 b) −0, 12 c) −0, 06
6. Derivada do produto de funções. Sejam u = f(x) e v = g(x) funções de
x, então:
d(u · v)
dx
= u
dv
dx
+ v
du
dx
.
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1.5. REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO
Demonstração:
Através da de�nição de derivada, em-se:
d(f · g)
dx
= lim
∆x→0
f(x+∆x) · g(x+∆x)− f(x) · g(x)
∆x
.
Para transformar essa fração em uma equivalente que contenha ra-
zões incrementais para as derivadas de f e g, efetua-se a subtração e adição de
f(x+∆x)g(x) ao numerador.
d(f · g)
dx
=
= lim
∆x→0
f(x+∆x) · g(x+∆x)− f(x+∆x)g(x) + f(x+∆x)g(x)− f(x)g(x)
∆x
= lim
∆x→0
[
f(x+∆x)
g(x+∆x)− g(x)
∆x
+ g(x)
f(x+∆x)− f(x)
∆x
]
= lim
∆x→0
g(x+∆x) · lim
∆x→0
[
g(x+∆x)− f(x)
∆x
+ g(x)
]
· lim
∆x→0
[
f(x+∆x)−f(x)
∆x
]
À medida que ∆x tende a zero, f(x + ∆x) aproxima-se de f(x)
logo:
d(f · g)
dx
= f · dg
dx
+ g · df
dx
. (1.5.8)
Exemplo 1.5.6. Determine a derivada das seguintes funções:
a) f(x) = x3ex
b) g(x) = (x2 + 1) · 5x.
Solução:
a) Considerando u = x3 e v = ex, e aplicando a regra do produto de funções:
d(u · v)
dx
= u
dv
dx
+ v
du
dx
.
Tem-se:
d(u · v)
dx
= x3 · ex + ex · 3x2 = exx2(x+ 2)
b) Considerando u = (x2 + 1) e v = 5x, e fazendo:
d(u · v)
dx
= u
dv
dx
+ v
du
dx
.
Tem-se:
d(u · v)
dx
= (x2 + 1) · 5x ln(5) + 2x · 5x
27 Notas de aula de cálculo - FURG
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1.5. REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO
Exercício 1.5.3. Determine a derivada das funções abaixo de duas maneiras.
a) f(x) = 35x101(x2 + 1)
b) g(x) = 2x(x2 + 4)
c) m(x) =
(x2 + x)
2
(
2
√
x− 3x).
Resposta do exercício
1.5.3.
a) f ′(x) = 35x100(103x2 + 101)
b) g′(x) = 6x2 + 8
c) m′(x) = 1
2
(
5x3/2 − 9x2 + 3x1/2 − 6x).
7. Derivada para o quociente de funções. Sejam u = f(x) e v = g(x)
funções de x. Se u′ e v′ existem, então
d
dx
(u
v
)
=
v · u′ − u · v′
v2
, v 6= 0. (1.5.9)
Exemplo 1.5.7. Obtenha as derivadas das funções:
a) f(x) =
x+ 1
2x+ 1
b) g(x) =
x2 − 1
x2 + 1
c) h(x) =
8ex − 1
x2 + 1
d) v(x) =
10
√
2 + log pi√
3 + 1024
.
Solução:
a) Sejam u = x+ 1 e v = 2x+ 1, aplicando a regra da derivada para o quociente
de funções:
d
dx
(u
v
)
=
(2x+ 1)(x+ 1)′ − (x+ 1)(2x+ 1)′
(2x+ 1)2
d
dx
(u
v
)
=
(2x+ 1)− (2x+ 2)
(2x+ 1)2
d
dx
(u
v
)
=
(2x+ 1)− 2x− 2
(2x+ 1)2
d
dx
(u
v
)
= − 1
(2x+ 1)2
.
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1.6. DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA - REGRA DA CADEIA
b) Para u = x2 − 1 e v = x2 + 1, aplicando a regra da derivada para o quociente
de funções, tem-se
d
dx
(u
v
)
=
(x2 + 1)(x2 − 1)′ − (x2 − 1)(x2 + 1)′
(x2 + 1)2
d
dx
(u
v
)
=
(x2 + 1)2x− (x2 − 1)2x
(x2 + 1)2
d
dx
(u
v
)
=
2x3 + 2x− 2x3 + 2x
(x2 + 1)2
d
dx
(u
v
)
=
4x
(x2 + 1)2
c) Sejam u = 8ex−1 e v = x2+1 e aplicando a regra da derivada para o quociente
de funções tem-se:
d
dx
(u
v
)
=
(x2 + 1)(8ex − 1)′ − (8ex − 1)(x2 + 1)′
(x2 + 1)2
=
(x2 + 1)(8ex)− (8ex − 1)2x
(x2 + 1)2
d
dx
(u
v
)
=
8exx2 + 8ex − 16xex + 2x
(x2 + 1)2
1.6 Derivada de Função Composta - Regra da Ca-
deia
A regra da cadeia permite derivar funções complicadas utilizando deri-
vadas de funções mais simples.
Teorema 1.6.1. Se y = f(u), u = g(x) e as derivadas
dy
du
e
du
dx
existem, então a
função composta f ◦ g possui derivada representada por
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
(1.6.1)
ou
y′(x) = f ′(u) · g′(x). (1.6.2)
Observação 1.6.1. Seja a função composta f ◦g, tal que (f ◦g)(x) = f [g(x)]. Neste
caso, a função g pode ser chamada de �função interna� e f de �função externa�, devido
às posições que ocupam na expressão f [g(x)]. Então, a regra da cadeia pode ser
estabelecida como: a derivada da composta de duas funções é a derivada da função
externa tomada no valor da função interna vezes a derivada da função interna.
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1.6. DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA - REGRA DA CADEIA
Exemplo 1.6.1. Seja y = u3 e u = 2x2 + 4x− 2, calcule dy
dx
.
Exemplo 1.6.2. Calcule a derivada das funções:
a) f(x) = ex
3+4x
b) y = (x2 − 2)4(x2 + 2)10
c) h(x) = x2(9− x2)−2.
1.6.1 Derivada da potência de uma função
A derivada da potência de uma função u = f(x), para n um número
racional,