limites

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Sumário
1 Limites de funções reais de uma variável 4
1.1 De�nições importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Motivação para a de�nição de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 De�nição formal de limite �nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Construção geométri
a que ilustra a noção de limite . . . . . . . . . . 12
1.5 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 De�nição de limite à direita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2 De�nição de limite à esquerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Propriedades usadas no 
ál
ulo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.1 Limite de uma 
onstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.2 Limite da função identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.3 Limite da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.4 Limite da diferença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.5 Limite do produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.6 Limite do quo
iente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.7 Limite da multipli
ação por uma 
onstante . . . . . . . . . . . 23
1.6.8 Limite da poten
iação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.9 Limite da radi
iação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.10 Limite de uma função polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.11 Limite de uma função ra
ional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.12 Limite do logaritmo natural de uma função . . . . . . . . . . . 25
1.7 Limites in�nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.8 Limites no in�nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8.1 Limites no in�nito de xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.9 Limites espe
iais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
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SUMÁRIO
1.9.1 Indeterminação do tipo
0
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.9.2 Indeterminação do tipo
∞
∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38
1.9.3 Indeterminação do tipo ∞−∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.9.4 Indeterminação tipo 0 · ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.10 Teorema do 
onfronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.11 Limites fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.11.1 Limite fundamental trigonométri
o . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.11.2 Limite fundamental exponen
ial I . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.11.3 Limite fundamental exponen
ial II . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.12 Lista de Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Notas de aula de Cál
ulo - FURG
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-
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Capítulo 1
Limites de funções reais de uma
variável
Apresentação
O 
ál
ulo é fundamentalmente diferente da matemáti
a estudada durante
o ensino médio. Ele trata de variação e de movimento, bem 
omo de quantidades
que tendem a outras quantidades. Ele teve sua origem em quatro problemas nos
quais os matemáti
os europeus estavam trabalhando durante o sé
ulo XVII. São
eles:
• O problema da reta tangente;
• O problema da velo
idade e da a
eleração;
• O problema de máximos e mínimos;
• O problema da área.
Cada um destes problemas envolve o 
on
eito de limite e é possível in-
troduzir o 
ál
ulo diferen
ial e integral a partir de qualquer um deles.
Neste 
apítulo serão apresentados os 
on
eitos de limites que permitem
estudar o 
omportamento de uma função nas proximidades de um determinado
ponto.
4
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1.1. DEFINIÇÕES IMPORTANTES
1.1 De�nições importantes
a) Vizinhança: Chama-se vizinhança (ou entorno) de 
entro em a e raio δ o inter-
valo aberto (a− δ, a+ δ), onde δ > 0.
Notação: ε(a, δ) = (a− δ, a + δ) = {x ∈ R| |x− a| < δ}.
Veja a representação grá�
a na Figura 1.1 (a).
( )
a d_ a a d+
( )
a d_ a a d+
(a)vizinhança (b)vizinhançaperfurada
Figura 1.1: Representação grá�
a de vizinhança e vizinhança perfurada.
b) Vizinhança perfurada: É o intervalo (a − δ, a) ∪ (a, a + δ). Ou seja, é um
entorno de raio δ onde o 
entro a não está in
luído.
Notação: ε′(a, δ) = (a− δ, a) ∪ (a, a+ δ)
ε′(a, δ) = {x ∈ R|a− δ < x < a + δ ∧ x 6= a}.
A representação grá�
a pode ser vista na Figura 1.1 (b).
) Ponto de a
umulação ou ponto limite: Um número a é dito ponto de a
umu-
lação de um 
onjunto C se, e somente se, para toda vizinhança perfurada ε′(a, δ)
de 
entro a, existe pelo menos um ponto x 6= a tal que x ∈ C e x ∈ ε′(a, δ).
Exemplo 1.1.1. Se C = R então todo elemento de C é ponto de a
umula-
ção, pois toda vizinhança de qualquer elemento de C 
ontém uma in�nidade de
elementos de C.
Exer
í
io 1.1.1. Seja A o intervalo [1, 4[. Determine os pontos de a
umulação
de A.
d) Ponto isolado: Um ponto a perten
ente a C é ponto isolado de C se existe
ε′(a, δ) tal que ∀x ∈ C, x 6= a então x /∈ ε′(a, δ).
Exemplo 1.1.2. Represente a vizinhança |x− 5| < 1
2
.
Solução:
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1.2. MOTIVA�O PARA A DEFINI�O DE LIMITE
Comparando 
om a de�nição de vizinhança, tem-se que o 
entro é
a = 5 e o raio é δ = 1
2
. Para 
omprovar, utiliza-se a de�nição de módulo para
en
ontrar o intervalo que representa a vizinhança:
|x− 5| < 1
2
⇔ −1
2
< x− 5 < 1
2
.
Assim, tem-se:
−1
2
< x− 5 < 1
2
−1
2
+ 5 < x− 5 + 5 < 1
2
+ 5
9
2
< x < 11
2
.
Portanto, a vizinhança é representada por ε
(
5, 1
2
)
=
(
9
2
, 11
2
)
. A repre-
sentação grá�
a pode ser vista na Figura 1.2.
( )
5 0,5
_
5 5 0,5+
Figura 1.2: Representação da vizinhança ε
(
5, 1
2
)
.
1.2 Motivação para a de�nição de limite
A idéia de limite apare
e intuitivamente em muitas situações. Na Físi
a,
por exemplo, para de�nir a velo
idade instantânea de um móvel utiliza-se o 
ál
ulo
da velo
idade média para o 
aso onde o intervalo de tempo seja muito próximo de
zero. A velo
idade média vm é 
al
ulada 
omo vm =
s1 − s0
t1 − t0 =
△s
△t , onde s é a
posição e t é o tempo (veja na Figura 1.3). Então, a velo
idade instantânea vi é
de�nida 
omo:
vi = lim△t→0
△s
△t .
Em outras palavras, a velo
idade instantânea é o limite da velo
idade
média quando △t tende a zero.
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1.2. MOTIVA�O PARA A DEFINI�O DE LIMITE
s0
s1
t1t0
t
s
D
D
t
s
Figura 1.3: Grá�
o da posição de um móvel ao longo do tempo.
O 
ál
ulo de limites serve para des
rever 
omo uma função se 
omporta
quando a variável independente tende a um dado valor.
Notação: lim
x→a
f(x) = L.
Lê-se: �L é o limite de f(x) quando x se aproxima de a�.
O matemáti
o fran
ês Augustin-Louis Cau
hy (1789-1857) foi a primeira
pessoa a atribuir um signi�
ado matemati
amente rigoroso às frases �f(x) se apro-
xima arbitrariamente de L� e �x se aproxima de a�.
Observação 1.2.1. A expressão lim
x→a
f(x) = L des
reve o 
omportamento de f(x)
quando x está muito próximo de a, e não quando x = a.
Exemplo 1.2.1. Como será o 
omportamento da função f(x) = x2− x+1 quando
x se aproximar 
ada vez mais de 2?
Solução:
A determinação do 
omportamento de f(x) para valores próximos de 2
pode ser analisada de várias formas. Ini
ialmente, atribuem-se valores que se aproxi-
mam de 2 para x e, 
al
ulando f(x) para 
ada um desses valores, pode-se 
onstruir
a seguinte tabela:
Tabela 1: Valores da função f(x) para valores próximos de 2.
x 1 1,5 1,9 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,1 2,5 3
f(x) 1 1,75 2,71 2,9701 2,997001 - 3,003001 3,0301 3,31 4,75 7
aproximação à esquerda → ← aproximação à direita
Primeiramente, observe que não foi 
olo
ado na tabela o valor de f(x)
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1.2. MOTIVA�O PARA A DEFINI�O DE LIMITE
quando x = 2. Esse valor foi omitido, pois se deseja estudar apenas os valores de
f(x) quando x está próximo de 2, e não o valor da função quando x = 2.
Per
ebe-se que quando x se aproxima de 2 (em qualquer sentido) f(x) se
aproxima de 3. Logo, pode-se dizer que lim
x→2
f(x) = 3.
Observe a Figura 1.4. Comprova-se que o grá�
o da função se aproxima
para o mesmo valor quando x está se aproximando de 2, tanto para valores maiores
quanto para valores menores do que 2.
−3 −2 −1 1 2 3
−1
1
2
3
4
5
x
y
Figura 1.4: Grá�
o de f(x).
Nesse 
aso, o valor do limite 
oin
idiu 
om o valor da função quando
x = 2, pois f(2) = 3. Mas nem sempre esse 
omportamento vai se veri�
ar, 
omo
pode ser visto no próximo exemplo.
Exemplo 1.2.2. Como será o 
omportamento da função f(x) =

 2x− 1, se x 6= 33, se x = 3
quando x está 
ada vez mais próximo de 3?
Solução:
Assim 
omo no exemplo anterior, primeiramente atribuem-se valores para
x e, en
ontrando os valores de f(x) 
orrespondentes, pode-se 
onstruir a seguinte
tabela:
Tabela 2: Valores da função f(x)para valores próximos de 3.
x 2 2,5 2,9 2,99 2,999 3 3,001 3,01 3,1 3,5 4
f(x) 3 4 4,8 4,98 4,998 - 5,002 5,02 5,2 6 7
aproximação à esquerda → ← aproximação à direita
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1.2. MOTIVA�O PARA A DEFINI�O DE LIMITE
Per
ebe-se que quando x se aproxima de 3 em ambos os sentidos, f(x)
se aproxima 
ada vez mais de 5. Logo, lim
x→3
f(x) = 5. Esse 
omportamento pode ser
observado na Figura 1.5.
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
Figura 1.5: Grá�
o de f(x).
Observe que nesse 
aso, o valor de f(x) quando x = 3 é f(3) = 3,
justamente o ponto que se en
ontra fora da 
urva des
rita por f(x). Ou seja,
f(3) 6= lim
x→3
f(x). Por isso, enfatiza-se o fato de que o limite des
reve o 
ompor-
tamento da função à medida em que x se aproxima de 3, e não no próprio x = 3.
Observação 1.2.2. Veja os grá�
os das funções f , g e h na Figura 1.6, e o grá�
o
da função i na �gura 1.7.
x
y
a
L
f x( )
x
y
a
L
g x( )g a( )
x
y
a
L
h x( )
Figura 1.6: Grá�
o das funções f , g e h.
Nota-se que nos grá�
os das funções f , g e h quando x se aproxima de
a, y se aproxima de L, independente do valor de y quando x = a. Assim, pode-se
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1.3. DEFINI�O FORMAL DE LIMITE FINITO
dizer que o limite da função f quando x tende a a é L (es
reve-se lim
x→a
f(x) = L) e o
mesmo pode ser dito sobre as funções g e h.
x
y
a
L
i x( )
i a( )
Figura 1.7: Grá�
o da função i.
Já para a função i, quando x se aproxima de a para valores maiores que
a, i se aproxima de i(a), e quando x se aproxima de a por valores menores que a,
i(x) tende a L. Ou seja, não há um valor úni
o ao qual i(x) se aproxima quando x
tende a a. Assim, não existe o limite da função i para x tendendo a a.
1.3 De�nição formal de limite �nito
A linguagem utilizada até aqui não é uma linguagem matemáti
a, pois ao
dizer, por exemplo, �x su�
ientemente próximo de a�, não se sabe quanti�
ar o quão
próximo x está de a. Então 
omo exprimir em linguagem matemáti
a a de�nição
de lim
x→a
f(x) = L?
(a) f(x) deve ser arbitrariamente próximo de L para todo x su�
i-
entemente próximo de a (e diferente de a).
É ne
essário de�nir o 
on
eito de proximidade arbitrária. Para tal,
utilizam-se pequenos valores representados geralmente pelas letras ǫ (epsilon) e δ
(delta), que servem de parâmetro de 
omparação para determinar se um valor está
ou não próximo de outro.
Considere um ǫ > 0, arbitrário. Os valores de f(x) são tais que
L− ǫ < f(x) < L+ ǫ,
isto é, sua distân
ia a L é menor do que de ǫ, ou seja, |f(x) − L| < ǫ. Portanto,
10 Notas de aula de Cál
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1.3. DEFINI�O FORMAL DE LIMITE FINITO
dizer que f(x) é arbitrariamente próximo de L é o mesmo que dizer: dado um ǫ > 0,
tem-se |f(x)− L| < ǫ.
Assim, (a) pode ser rees
rito 
omo:
(b) Dado ǫ > 0, deve-se ter |f(x) − L| < ǫ para todo x su�
ientemente
próximo de a (e diferente de a).
Dizer que x é su�
ientemente próximo de a para |f(x)− L| < ǫ signi�
a
dizer que a sua distân
ia a a é su�
ientemente pequena para que isto o
orra, ou
seja, existe δ > 0 tal que, se |x− a| < δ e x 6= a, então |f(x)− L| < ǫ.
Em suma, dando um ǫ > 0 qualquer, �xa-se a proximidade de f(x) a L.
Então se lim
x→a
f(x) = L, deve ser possível en
ontrar um δ > 0 em 
orrespondên
ia a
ǫ > 0 , tal que para todo x 6= a 
uja a distân
ia até a seja menor que δ , tem-se a
distân
ia de f(x) a L menor que ǫ. A partir de (a) e (b), pode-se agora formular a
de�nição formal de limite �nito:
De�nição 1.3.1. Dada uma função f 
om domínio D(f), seja �a� um ponto de
a
umulação de D(f), e L um número, diz-se que o número L é o limite de f(x) 
om
x tendendo a �a� se, dado qualquer ǫ > 0, existe δ > 0 tal que se ∀x ∈ D(f) e
0 < |x− a| < δ então |f(x)− L| < ǫ.
Para indi
ar essa de�nição, es
reve-se lim
x→a
f(x) = L.
Observação 1.3.1. Na de�nição formal de limites, emprega-se o 
on
eito de mó-
dulo. A ideia bási
a no 
on
eito de módulo de um número real é medir a distân
ia
desse número até a origem.
Teorema 1.3.1. (Uni
idade do limite) Se lim
x→a
f(x) = L1 e lim
x→a
f(x) = L2, então
L1 = L2.
Demonstração:
Supondo-se que L1 6= L2. Sem perda de generalidade, pode-se es
rever
que L > M . Tomando-se ǫ =
L−M
2
> 0.
Se lim
x→a
f(x) = L1, então existe δ1 > 0, tal que se 0 < |x− a| < δ1 ⇒
|f(x)−M | < L−M
2
, então
f(x) <
L+M
2
. (1.3.1)
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1.4. CONSTRUÇ�O GEOMÉTRICA QUE ILUSTRA A NOÇ�O DE LIMITE
Se lim
x→a
f(x) = L2, então existe δ2 > 0, tal que se 0 < |x− a| < δ2 ⇒
|f(x)− L| < L−M
2
, então
L+M
2
< f(x). (1.3.2)
De (1.3.1) e (1.3.2), tem-se que para δ = min{δ1, δ2}, 0 < |x− a| < δ
que impli
a que f(x) < f(x), o que é um absurdo. Logo a suposição ini
ial é falsa
e L = M .
1.4 Construção geométri
a que ilustra a noção de
limite
Sendo 
onhe
idos f , a, L e ǫ, sabendo que lim
x→a
f(x) = L, ne
essita-se
a
har δ que satisfaça a de�nição de limite. Observe a Figura 1.8. Mar
am-se L+ ǫ e
L−ǫ no eixo y e por esses pontos traçam-se retas paralelas ao eixo x , que en
ontram
o grá�
o de f nos pontos A e B. Traçando retas paralelas ao eixo dos y por esses
pontos, obtêm-se os pontos C e D, interse
ções dessas retas 
om o eixo x. Basta
tomar δ > 0 tal que a−δ e a+δ sejam pontos do segmento CD. Observe que δ não é
úni
o e equivale à distân
ia de a ao extremo mais próximo do intervalo representado
pelo segmento CD.
x
y
a
L
f x( )
x
y
a
L
f x( )
L + e
L _ e
A
B
C D
a _ d a d+
d d
Figura 1.8: Representação geométri
a de limite.
Exemplo 1.4.1. Prove formalmente que lim
x→3
(2x− 4) = 2.
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1.4. CONSTRUÇ�O GEOMÉTRICA QUE ILUSTRA A NOÇ�O DE LIMITE
Solução:
Comparando ao limite geral lim
x→a
f(x) = L, tem-se nesse 
aso que a = 3,
f(x) = 2x− 4 e L = 2. Assim, deve-se provar que dado qualquer ǫ > 0, existe δ > 0
tal que se x ∈ D(f) e 0 < |x− 3| < δ então |(2x− 4)− 2| < ǫ. Cal
ulando:
|(2x− 4)− 2| = |2x− 6|
|(2x− 4)− 2| = 2 · |x− 3|.
Mas 
omo 0 < |x− 3| < δ, então 2 · |x− 3| < 2 · δ. Es
olhendo δ = ǫ
2
:
|(2x− 4)− 2| = 2 · |x− 3| < 2 · δ = 2 · ǫ
2
= ǫ. Portanto, |(2x− 4)− 2| < ǫ.
Logo, dado qualquer ǫ > 0, existe δ =
ǫ
2
tal que se x ∈ D(f) e
0 < |x− 3| < δ então |(2x− 4)− 2| < ǫ, que é justamente a de�nição de limite.
Assim, lim
x→3
(2x− 4) = 2.
Exemplo 1.4.2. Prove formalmente que lim
x→2
x2 = 4.
Solução:
Comparando 
om o limite geral lim
x→a
f(x) = L, tem-se que a = 2,
f(x) = x2 e L = 4. Assim, deve-se provar que dado um ǫ > 0, existe δ > 0 tal que se
x ∈ D(f) e 0 < |x−2| < δ então |(x2)−4| < ǫ. Fatorando: |x2−4| = |x−2| · |x+2|.
É pre
isoen
ontrar uma desigualdade envolvendo |x+2| e um valor 
ons-
tante. Como |x− 2| < δ , então supondo δ = 1 tem-se que |x− 2| < 1. Portanto:
−1 < x− 2 < 1
1 < x < 3
3 < x+ 2 < 5.
Como |x − 2| < δ e |x + 2| < 5, então |x − 2| · |x + 2| < 5 · δ. Assim,
es
olhendo δ = min
{
1,
ǫ
5
}
, ou seja, o menor entre os valores 1 e
ǫ
5
, tem-se:
|x− 2| · |x+ 2| < 5 · δ
|x2 − 4| < 5 · ǫ
5
|x2 − 4| < ǫ.
Logo, dado qualquer ǫ > 0, existe δ = min
{
1,
ǫ
5
}
tal que se x ∈ D(f) e
0 < |x− 2| < δ então |x2 − 4| < ǫ.
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1.5. LIMITES LATERAIS
Portanto, lim
x→2
x2 = 4.
Exemplo 1.4.3. Considere que lim
x→2
x2 = 4. Dado ǫ = 0, 05, determine δ > 0 tal
que |x− 2| < δ sempre que |(x2)− 4| < ǫ.
Solução:
Do exemplo anterior, foi visto que es
olhendo δ = min
{
1,
ǫ
5
}
se obtém
a de�nição do limite para esse 
aso. Como ǫ = 0, 05, então:
δ = min
{
1, 0,05
5
}
= min
{
1,
1
100
}
=
1
100
δ = 0, 01.
Assim, |x− 2| < 0, 01 sempre que |(x2)− 4| < 0, 05.
Exer
í
io 1.4.1. Mostre que lim
x→−2
(3x+ 7) = 1. Em seguida, dado ǫ = 0, 03,
determine δ > 0 tal que |(3x+ 7)− 1| < ǫ sempre que |x+ 2| < δ.
Exer
í
io 1.4.2. Prove que o limite de f(x) =

 1, se x ≤ 02, se x > 0 quando x tende a
zero não existe.
1.5 Limites Laterais
1.5.1 De�nição de limite à direita
Seja uma função f de�nida pelo menos em um intervalo (a, b), diz-se que
o número L é o limite de f(x) 
om x tendendo a a pela direita se, dado qualquer
ǫ > 0 , existe δ > 0 tal que se 0 < x− a < δ então |f(x)− L| < ǫ .
Para indi
ar essa expressão, es
reve-se lim
x→a+
f(x) = L.
1.5.2 De�nição de limite à esquerda
Seja uma função f de�nida pelo menos em um intervalo (c, a) , diz-se que
o número L é o limite de f(x) 
om x tendendo a a pela esquerda se, dado qualquer
ǫ > 0 , existe δ > 0 tal que se −δ < x− a < 0 então |f(x)− L| < ǫ .
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1.5. LIMITES LATERAIS
Para indi
ar essa expressão, es
reve-se lim
x→a−
f(x) = L.
Teorema 1.5.1. (Existên
ia do limite �nito) O limite lim
x→a
f(x) = L existe e é
igual a L se, e somente se, os limites laterais lim
x→a+
f(x) e lim
x→a−
f(x) existirem e ambos
forem iguais a L.
Demonstração:
Tem-se que lim
x→a
f(x) = L. Portanto, pela de�nição de limite, ∀ ǫ > 0 ∃ δ > 0 tal
que se 0 < |x− a| < δ então |f(x)− L| < ǫ.
Note que
0 < |x− a| < δ se e somente se − δ < |x− a| < 0 ou 0 < x− a < δ.
Pode-se a�rmar que ∀ ǫ > 0 ∃ δ > 0 tal que
se − δ < x− a < 0 então |f(x)− L| < ǫ
e
se 0 < x− a < δ então |f(x)− L| < ǫ.
Finalmente, lim
x→a−
f(x) = L e lim
x→a+
f(x) = L.
Exemplo 1.5.1. Considere as funções f(x) =
|x|
x
e g(x) = |x|. Cal
ule, se houver:
a) lim
x→0+
f(x)
b) lim
x→0−
f(x)
) lim
x→0
f(x)
d) lim
x→0+
g(x)
e) lim
x→0−
g(x)
f) lim
x→0
g(x).
Solução:
Antes de determinar os limites soli
itados será 
onstruído o grá�
o da
função f(x).
Considere um número real a > 0. Cal
ulando o valor de f(x) para x = a:
f(a) =
|a|
a
=
a
a
f(a) = 1.
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1.5. LIMITES LATERAIS
Agora, 
al
ulando f(x) quando x = −a:
f(−a) = | − a|−a
=
a
−a
f(−a) = −1.
Como o denominador de f(x) não pode ser nulo, então essa função não
está de�nida para x = 0. Assim, a função f(x) pode ser rees
rita da seguinte forma:
f(x) =

 −1, se x < 01, se x > 0 e seu grá�
o pode ser visto na Figura 1.9, junto 
om o
grá�
o de g(x).
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−2
−1
1
2
3
x
y
f ( )x =
| |x
x g x x( )=| |
a) b)
Figura 1.9: Grá�
os de f(x) e g(x).
a) lim
x→0+
f(x) 
orresponde ao limite lateral para x tendendo a 0 pela direita. Na
Figura 1.10, pode-se ver que quando x se aproxima de 0 pela direita, o valor de
y se mantém igual a 1.
Assim, lim
x→0+
f(x) = 1.
b) lim
x→0−
f(x) 
orresponde ao limite lateral para x tendendo a 0 pela esquerda. Observa-
se na Figura 1.11 que à medida que x se aproxima de 0 pela esquerda, y se mantém
om valor igual a −1.
Ou seja, lim
x→0−
f(x) = −1.
16 Notas de aula de Cál
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1.5. LIMITES LATERAIS
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.10: Representação do limite lateral à direita em f(x).
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.11: Representação do limite lateral à esquerda em f(x).
) Para lim
x→0
f(x) existir, os limites laterais para x tendendo a 0 pela direita e pela
esquerda devem existir e serem iguais. Como foi visto nos itens anteriores, esses
limites existem, mas são diferentes. Logo, lim
x→0
f(x) não existe. Observe na Figura
1.12 
omo os valores da função não 
onvergem para um mesmo ponto para valores
x próximos de 0.
d) Para en
ontrar lim
x→0+
g(x), analisam-se os valores de y quando x se aproxima de
0 pela direita. Observando o grá�
o de g(x) na Figura 1.13, per
ebe-se que y
também �
a 
ada vez mais próximo de 0 nesse sentido, ou seja, lim
x→0+
g(x) = 0.
e) lim
x→0−
g(x) é en
ontrado observando o 
omportamento de y quando x se aproxima
de 0 pela esquerda. Pode ser veri�
ado na Figura 1.14 que y se aproxima de 0
quando x tende a 0 pela esquerda, então lim
x→0−
g(x) = 0.
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1.5. LIMITES LATERAIS
−3 −2 −1 1 2 3
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−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.12: Grá�
o de f(x).
−3 −2 −1 1 2 3
−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.13: Representação do limite lateral à direita em g(x).
−3 −2 −1 1 2 3
−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.14: Representação do limite lateral à esquerda em g(x).
f) Para lim
x→0
g(x) existir, os limites laterais para x tendendo a 0 pela direita e pela
esquerda devem existir e serem iguais. Foi visto nos itens anteriores que eles
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1.5. LIMITES LATERAIS
de fato existem e ambos são iguais a 0. Assim, lim
x→0
g(x) = 0. Veja na Figura
1.15 
omo os valores da função 
onvergem para o mesmo ponto para valores de
x próximos de zero.
−3 −2 −1 1 2 3
−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.15: Grá�
o de g(x).
Exer
í
io 1.5.1. Seja a função f(x) =
√
x, determine, se houver:
a) lim
x→0−
f(x)
b) lim
x→0+
f(x)
) lim
x→0
f(x).
Exer
í
io 1.5.2. Para 
ada um dos 
asos a seguir, 
al
ule o limite L, depois deter-
mine δ > 0 tal que |f(x)− L| < 0, 01 sempre que 0 < |x− a| < δ.
a) lim
x→5
√
x− 4
b) lim
x→2
x2 − 3x+ 2
x− 2
) lim
x→−2
x2 + 5x+ 6
x+ 2
.
Respostas dos exer
í
ios:
1.5.1. a) Não existe. b) lim
x→0+
f(x) = 0 
) Não existe.
1.5.2.
a) lim
x→5
√
x− 4 = 1, δ = 0, 01
19 Notas de aula de Cál
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1.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES
b) lim
x→2
x2 − 3x+ 2
x− 2 = 1, δ = 0, 01
) lim
x→−2
x2 + 5x+ 6
x+ 2
= 1, δ = 0, 01.
1.6 Propriedades usadas no 
ál
ulo de limites
Sejam L, M , a e k números reais e lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M . Então,
as seguintes propriedades são válidas:
1.6.1 Limite de uma 
onstante
O limite de uma 
onstante é a própria 
onstante:
lim
x→a
k = k.
Demonstração:
Seja ǫ > 0, deve-se mostrar que existe δ > 0 tal que se 0 < |x − a| < δ
então |k − k| < ǫ.
Mas 
omo |k − k| = 0, pode-se atribuir qualquer número positivo para δ
tal que se 0 < |x− a| < δ então |k − k| < ǫ.
Logo lim
x→a
k = k.
1.6.2 Limite da função identidade
O limite da função identidade f(x) = x é o valor de a:
lim
x→a
x = a.
Exer
í
io 1.6.1. Utilizando a de�nição formal de limite, mostre que lim
x→a
x = a.
1.6.3 Limite da soma
O limite da soma de duas funções é a soma de seus limites:
lim
x→a
{f(x) + g(x)} = L+M .
20 Notas de aula de Cál
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1.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES
Demonstração:
Seja ǫ > 0, 
onsidera-se ǫ
2
para ser utilizado na de�nição de limite. Assim:
Existe δ1 > 0 tal que se 0 < |x− a| < δ1 então |f(x)− L| < ǫ
2
. (1.6.1)
Existe δ2 > 0 tal que se 0 < |x− a| < δ2 então |f(x)−M | < ǫ
2
. (1.6.2)
Deve-se es
olher δ > 0 tal que (1.6.1) e (1.6.2) sejam verdadeiras, o que
a
onte
e para δ = min{δ1, δ2}. De fato:
Se 0 < |x−a| < δ então |f(x)+g(x)−(L+M)| ≤ |f(x)−L|+|g(x)−M | < ǫ
2
+ ǫ
2
= ǫ.
Portanto, lim
x→a
{f(x) + g(x)} = L+M .
1.6.4 Limite da diferença
O limite da diferença de duas funções é a diferença de seus limites:
lim
x→a
{f(x)− g(x)} = L−M .
Exer
í
io 1.6.2. Apli
ando a de�nição formal de limite, mostre que:
lim
x→a
{f(x)− g(x)} = L−M.
1.6.5 Limite do produto
O limite do produto de duas funções é o produto de seus limites:
lim
x→a
{f(x) · g(x)} = L ·M .
Demonstração:
Deseja-se provar que lim
x→a
{f(x) · g(x)} = L ·M . Para tal, primeiro irá
se demonstrar um 
aso parti
ular onde o produto dos limites de duas funções re-
sulta em zero, através da de�nição de limite, para que posteriormente, através das
propriedades apresentadas nessa seção, se obtenha a expressão pro
urada.
Considerando o 
aso parti
ular onde h é uma função tal que lim
x→a
h(x) = 0,
logo deseja-se provar que lim
x→a
h(x) · f(x) = 0.
Como por hipótese lim
x→a
f(x) = L e sendo ǫ > 0, 
onsidera-se ǫ = 1 para
ser utilizado na de�nição de limite. Assim:
Existe δ1 > 0tal que se 0 < |x− a| < δ1 então |f(x)− L| < 1. (1.6.3)
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1.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES
Mas então |f(x)| = |f(x)−L+L| < |f(x)−L|+ |L| < 1+L, e portanto:
Existe δ1 > 0 tal que se 0 < |x− a| < δ1 então |h(x)| · |f(x)| < |h(x)| · (1 + |L|).
(1.6.4)
Assim 
omo, sendo ǫ > 0, 
onsidera-se ǫ
1+|L| para ser utilizado na de�ni-
ção de limite da função h tendendo a a da seguinte forma:
Existe δ2 > 0 tal que se 0 < |x− a| < δ2 então |h(x)− 0| = |h(x)| < ǫ
1 + |L| .
(1.6.5)
Para que (1.6.4) e (1.6.5) se veri�quem, toma-se δ = min{δ1, δ2}, logo:
Existe δ > 0 tal que se 0 < |x−a| < δ então |h(x)·f(x)−0| < (1+|L|)· ǫ
1 + |L| = ǫ.
(1.6.6)
Portanto, lim
x→a
h(x) · f(x) = 0.
Agora, lembrando que lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M , observa-se que:
f(x)·g(x)−L·M = f(x)·g(x)−f(x)·M+f(x)·M−L·M = f(x)·[g(x)−M ]+M ·[f(x)−L].
(1.6.7)
Ou ainda, através da propriedade do limite da soma (1.6.3):
lim
x→a
[f(x) · g(x)− L ·M ] = lim
x→a
{f(x) · [g(x)−M ] + lim
x→a
{M · [f(x)− L]}. (1.6.8)
Como lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M , então lim
x→a
f(x)− L = 0 e
lim
x→a
g(x)−M = 0, e portanto, através da propriedade demonstrada no 
aso parti-
ular, tem-se que:
lim
x→a
f(x) · [g(x)−M ] = 0 e lim
x→a
g(x) · [f(x)− L] = 0. (1.6.9)
De (1.6.8) e (1.6.9), e utilizando as propriedades do limite da diferença
(1.6.4) e do limite de uma 
onstante (1.6.1) 
on
lui-se que:
lim
x→a
[f(x) · g(x)− L ·M ] = 0 + 0
lim
x→a
[f(x) · g(x)]− lim
x→a
[L ·M ] = 0
lim
x→a
[f(x) · g(x)] = lim
x→a
[L ·M ]
lim
x→a
[f(x) · g(x)] = L ·M.
Logo, lim
x→a
[f(x) · g(x)] = L ·M .
22 Notas de aula de Cál
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1.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES
1.6.6 Limite do quo
iente
O limite do quo
iente de duas funções é o quo
iente de seus limites, desde
que o limite do denominador não seja zero:
lim
x→a
{
f(x)
g(x)
}
=
L
M
, M 6= 0.
Exer
í
io 1.6.3. Utilizando a de�nição formal de limite, mostre que lim
x→a
{
f(x)
g(x)
}
=
L
M
, M 6= 0.
1.6.7 Limite da multipli
ação por uma 
onstante
O limite de uma 
onstante multipli
ada por uma função é a 
onstante
multipli
ada pelo limite da função:
lim
x→a
{k · f(x)} = k · L.
Exer
í
io 1.6.4. Através da de�nição formal de limite, mostre que lim
x→a
{k · f(x)} =
k · L.
1.6.8 Limite da poten
iação
O limite da n-ésima potên
ia de uma função é igual à n-ésima potên
ia
do limite da função:
lim
x→a
[f(x)]n =
[
lim
x→a
f(x)
]n
= Ln.
Ou ainda:
lim
x→a
[f(x)]g(x) =
[
lim
x→a
f(x)
] lim
x→a
g(x)
= LM .
Demonstração:
Rees
reve-se a potên
ia 
omo uma multipli
ação de n fatores:
lim
x→a
[f(x)]n = lim
x→a
[f(x) · f(x) · f(x) · ... · f(x)].
Da propriedade do limite do produto (1.6.5):
lim
x→a
[f(x)]n = lim
x→a
f(x) · lim
x→a
f(x) · lim
x→a
f(x) · ... · lim
x→a
f(x).
Mas 
omo são n fatores, então:
lim
x→a
[f(x)]n =
[
lim
x→a
f(x)
]n
.
Logo, lim
x→a
[f(x)]n =
[
lim
x→a
f(x)
]n
= Ln.
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1.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES
Exer
í
io 1.6.5. Mostre que lim
x→a
[f(x)]g(x) =
[
lim
x→a
f(x)
] lim
x→a
g(x)
= LM .
1.6.9 Limite da radi
iação
O limite da raiz n-ésima de uma função é igual à raiz n-ésima do limite
da função:
lim
x→a
n
√
f(x) = n
√
lim
x→a
f(x) = n
√
L,
se L > 0 e n é um inteiro positivo ou se L ≤ 0 e n é um inteiro positivo ímpar.
1.6.10 Limite de uma função polinomial
Para qualquer polin�mio, p(x) = c0 + c1x + c2x
2 + ... + cnx
n
e qualquer
número real a, então:
lim
x→a
p(x) = p(a).
Demonstração:
Essa propriedade é 
onsequên
ia direta das propriedades do limite da
soma (1.6.3) e do limite da multipli
ação por uma 
onstante (1.6.7):
lim
x→a
p(x) = lim
x→a
[c0 + c1x+ c2x
2 + ...+ cnx
n]
= lim
x→a
c0 + lim
x→a
c1x+ lim
x→a
c2x
2 + ... + lim
x→a
cnx
n
= c0 + c1 · lim
x→a
x+ c2 · lim
x→a
x2 + ...+ cn · lim
x→a
xn
lim
x→a
p(x) = c0 + c1a + c2a
2 + ...+ cna
n.
Logo lim
x→a
p(x) = p(a).
1.6.11 Limite de uma função ra
ional
Seja a função ra
ional f(x) =
P (x)
Q(x)
, então seu limite é dado por:
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
P (x)
Q(x)
=
P (a)
Q(a)
, desde que Q(a) 6= 0.
Exer
í
io 1.6.6. Mostre que lim
x→a
f(x) = lim
x→a
P (x)
Q(x)
=
P (a)
Q(a)
, desde que Q(a) 6= 0.
24 Notas de aula de Cál
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1.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES
1.6.12 Limite do logaritmo natural de uma função
O limite do logaritmo natural de uma função é igual ao logaritmo natural
do limite da função:
lim
x→a
{ln[f(x)]} = ln
[
lim
x→a
f(x)
]
= ln(L), L > 0.
Exer
í
io 1.6.7. Mostre que lim
x→a
{ln[f(x)]} = ln
[
lim
x→a
f(x)
]
= ln(L).
Observação 1.6.1. A Propriedade 1.6.12 pode ser utilizada para logaritmos de
qualquer base.
Exemplo 1.6.1. Cal
ule os limites:
a) lim
x→5
(x2 + 3x)
b) lim
x→3
x2 − 1
x+ 5
) lim
x→2+
(2x+ 5)
d) lim
x→3−
(x+ 4)5
e) lim
x→1+
√
x− 1
f) lim
x→3−
√
9− x2
g) lim
x→1+
[ln(x2 + 1)]
h) lim
x→3
[ln(x2 − 4x+ 4)]
Solução:
a) Como lim
x→5
(x2 + 3x) representa o limite de uma função polinomial, então basta
al
ular o valor da função para x = 5 (para onde x está tendendo) utilizando a
propriedade do limite de um polin�mio (1.6.10). Assim:
lim
x→5
(x2 + 3x) = (5)2 + 3(5) = 40.
Portanto, lim
x→5
(x2 + 3x) = 40.
b) Pelo fato de lim
x→3
x2 − 1
x+ 5
representar o limite de uma função ra
ional, utilizando a
propriedade do limite de um quo
iente (1.6.6) basta 
al
ular o valor dessa função
para x = 3, desde que o denominador não seja nulo. Então:
lim
x→3
x2 − 1
x+ 5
=
lim
x→3
(x2 − 1)
lim
x→3
(x+ 5)
=
(3)2 − 1
(3) + 5
= 1.
Logo, lim
x→3
x2 − 1
x+ 5
= 1.
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1.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES
) Sendo lim
x→2+
(2x+ 5) um limite lateral 
om x tendendo a 2 pela direita, pode-se
fazer uma mudança de variável para se obter uma expressão que resulte no mesmo
limite soli
itado. Note que se x tende a 2 por valores um pou
o maiores do que
2, pode-se dizer que x = 2 + h, onde h é um número positivo muito próximo de
zero, e assim, obtém-se o seguinte limite:
lim
h→0
[2(2 + h) + 5].
Observe que h é a distân
ia de x até o ponto para o qual x está tendendo,
assim, quando h se aproxima muito de 0, (2 + h) se aproxima muito de 2 pela
direita, por isso as duas expressões são equivalentes. Como o lado direito da
igualdade representa o limite �nito de uma função polinomial, basta 
al
ular o
valor dessa função para h = 0. Assim: