Lista 03 V4

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Lista de Exercícios - 3
Cálculo Numérico
Prof. Flávio Andrade Faria
Araraquara - SP
1 Sistemas Não Lineares
Usando o método de Newton encontre as raízes dos sistemas abaixo
a) F (x) =
[
2x3 − y2 − 1
xy3 − y − 4
]
,
[
x0
y0
]
=
[
1.5
2
]
, erro relativo com ε ≤ 10−2
b) F (x) =


3x− cos(yz)− 1
2
x2 − 81(y + 0.1)2 + sen(z) + 1.06
e−xy + 20z + 10pi−3
3

,

 x0y0
z0

 =

 0.5−0.2
−1

,
erro relativo com ε ≤ 10−2,
J(x) =

 3 sin(yz)z sin(yz)y2x −162y − 16.2 cos(z)
−ye−xy −xe−xy 20


2 Interpolação polinomial + integração numérica
1) Usando a solução por sistemas lineares, encontre um polinômio interpolador para a função ln(x).
O polinômio deverá interpolar a função nos pontos abaixo:
x 1 2 3
ln(x) 0 0.6931 1.0986
Calcule ln(2.7) usando o polinômio interpolador. Qual o erro de aproximação com relação ao
valor da função encontrado pela calculadora?
a) Calcule a integral
∫
3
1
ln(x)dx usando o método analítico.
b) Calcule a integral da função tabelada usando a regra 1/3 de Simpson. Qual é o erro de apro-
ximação com relação a solução exata?
2) Usando a forma polinomial de Lagrange, encontre um polinômio interpolador P (x) para a função
tabelada abaixo:
x 0.78 1.04 1.3 1.56
f(x) 2 2.5 3.6 4.8
a) Calcule a integral
∫
1.56
0.78
P (x)dx usando o método analítico.
b) Calcule a integral da função tabelada usando a regra do trapézio generalizada. Qual é o erro
de aproximação com relação a solução do item a)?
2
3 Métodos dos mínimos quadrados
1) Dada a função tabelada
x 2 3 4 5
f(x) 0.9 0.2 0.4 1.2
Encontre um ajuste para a função com o método dos mínimos quadrados.
a) Usando uma reta ϕ(x) = (c1x+ c2)
b) Usando uma parábola ϕ(x) = (c1x2 + c2x+ c3)
c) Trace o gráfico das curvas de ajuste e dos diagramas de dispersão para ambos os casos.
2) Considere a função abaixo
x 0.6 0.9 1.1 1.3
f(x) 1.3671 1.5028 1.5748 1.6375
Encontre um ajuste para a função com o método dos mínimos quadrados.
a) Usando uma reta ϕ(x) = (c1x+ c2).
b) Usando a função ϕ(x) = (c1x+ c2 cos(x))
c) Usando os itens a) e b) determine uma estimativa para o valor f(1.4).
d) Use o item a) para determinar x tal que f(x) = 0.7.
3) Dada a função tabelada
x -6 -4 -2 1 2
f(x) 10 9 6 5 4
Ajuste os dados com uma função do tipo f(x) ≈ a(b)x. Estime o valor de f(1.5).
3
Respostas dos exercícios
Sistemas Não Lineares
a)
[
x
y
]
=
[
1.2343
1.6616
]
, na terceira iteração.
b)

 xy
z

 =

 0.4981−0.1996
−0.5288

, na terceira iteração.
Interpolação polinomial + integração numérica
• Exercício 1)
P (x) = −0.1438x2 + 1.1245x − 0.9807, P (2.7) = 1.0071,
erro relativo é:
∣∣∣∣ ln(2.7) − P (2.7)ln(2.7)
∣∣∣∣ = 0.014.
a)
∫
3
1
ln(x)dx = (x ln(x)− x)
∣∣∣3
1
= 1.2958
b) Regra 1/3 de Simpson
∫
3
1
ln(x)dx ≈ 1.2903
erro relativo é: er =
∣∣∣∣1.2958 − 1.29031.2958
∣∣∣∣ = 0.0042
• Exercício 2)
P (x) = −4.7413x3 + 19.2308x2 − 21.2179x + 9.1
a)
∫
1.56
0.78
P (x)dx = 2.4472
b) Regra do trapézio Generalizada
∫
1.56
0.78
P (x)dx ≈ 2.47
erro relativo é: er =
∣∣∣∣2.4472 − 2.472.4472
∣∣∣∣ = 0.0093
4
Métodos dos mínimos quadrados
• Exercício 1)
a) Reta ϕ(x) = 0.11x + 0.29.
b) Usando uma parábola ϕ(x) = 0.375x2 − 2.515x + 4.415.
c) Diagramas de dispersão:
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
Diagrama de dispersão com ajuste linear
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Diagrama de dispersão com ajuste por parábola
Figura 1: Diagramas de dispersão e curvas de ajustes.
• Exercício 2)
a) ϕa(x) = 0.3876x + 1.1426.
b) ϕb(x) = 1.0774x + 0.8673cos(x).
c) ϕa(1.4) = 1.6853 e ϕb(x)(1.4) = 1.6557
d) 0.3876x + 1.1426 = 0.7⇒ x = −1.1419.
• Exercício 3)
f(x) ≈ 5.2226(0.8926x), f(1.5) = 5.2226(0.89261.5) = 4.4045